Logique Mathématique : Énoncés, Quantificateurs et Raisonnements

?????
V(1) F(0)
selon
une variable (x) dans
= proposition (p)
[ x ∈ E ; p(x) ]
p
V
F
V
F
p
V
F
E
un
ensemble déterminé (E)
(
p)
p
p
(p)
V
F
V
F
V
F
EVEF
V= E ; F=∅V=∅;F= E
∀x∈E;p(x)
∀x∈E;p
(
x )
∃x∈E ; p
(
x )
∃x ∈E ; p(x)
Par NEGATION
V≠E ; F≠∅V≠∅;F≠ E
p
FAUSSE
pVRAIE
La proposition
Sa négation
∀
x ∈E; p(x)
∃x ∈E;p(x)
∃x ∈E;p(x)
∀x ∈E;p(x)
ﻰﻟﺎﻌﺗ ﮫﻣﺳﺎﺑ
p
q
pet q
pou q
p q
p q
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V
Toute conjonction contenant une propo Fest elle-même F
Toute disjonction contenant une propo Vest elle-même V
-Toute implication d’hypothèse Fest elle-même V
-Toute implication de conclusion Vest elle-même V
⇒⇐⇒
= fonction propositionnelle
Cas particuliers :
(deux propositions
de meme vérité sont
dites equivalentes)
(et qui suit le sens....)
la négation notée
7(7p) p
(p et q) (q et p)
[ (pet q)et r ] [ p et (q et r)]
(p ou q) (q ou p)
[ (pou q)ou r ] [ p ou (q ou r)]
7(p et q) (7p) ou (7q)
7(p ou q) (7p) et (7q)
p et (q ou r)[(pet q) ou (pet r)]
p ou (q et r)[(pou q) et (pou r)]
(p q) (7p) ou q
7(p q) p et (7q)
[(pq) et(q r)] (p r)
(p q)
(p q) et (q p)
(p q) (q p)
p
q [(7q) ⇔(7p)]
[(
p
q) et (q
r
)]
(p r)
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇐⇒ ⇐⇒ ⇒⇒
⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒ ⇐⇒
⇐⇒
(
)
[ ]
]
[
(p q) [(7q)
(7p)]
⇐⇒
⇒⇒
LOIS LOGIQUES
AUTRES :
- La plupart des résultats sont des implications
...
- Les équivalences sont plutôt rares et se
retrouvent
surtout dans les définitions
(p q) c’est (7p) ou q
(p q) c’est [(p q) et (q p)]
⇒⇒
⇒
⇐⇒
on a (p)
pVRAIE
et se traduisent par « si.....alors ...» ; « ...donc....» ; .....
on symbolise la négation par le mot «non» aussi
la conjonction «
et
» par «
» ou «
»
... ; et
disjonction
p
q
∧
par « v»......
la
; et
ou propriétés caractéristiques
∀x ∈E; p(x) ⇔V= E [⇔F=∅]
∃x ∈E; p(x) ⇔V ≠∅[⇔
F
≠E]
∃
!
x ∈E; p(x) ⇔V={x0}(x0∈E)
(x0est le seul dans E qui vérifie p(x))
Pour montrer l’implication [ p(x) ⇒q(x)]
On suppose que p(x) est VRAIE et
on montre que q(x) est VRAIE aussi
⇔
p
p⟹q⟹q
7p⟹q
p⟹q⟹q
(p q)⇔[(7q) (7p)]
⟹
⟹
- par implications successives (1)
- par disjonction des cas (2)
- par contraposée (3)
- par récurrence (4)
- par l’absurde
- par équivalence
- .........................
(2)
(3)
(4)
NOTIONS DE LOGIQUE ...
Types de RAISONNEMENT
LES CONNECTEURS (composer et décomposer)
ENONCES et QUANTIFICATEURS
(2)
(1)
(1)
[(p et 7q)⇒7p ] q (5)
⟹
on peut généraliser ce principe de récurrence...
n∈IN ;∀n≥n0;P(n)
.𝐏(𝐧𝟎)
∀≥ 𝐧𝟎;𝐏(𝐦)⟹ 𝐏(𝐦+𝟏).
(5)
⟹
⟹
⟹
m