NOTIONS DE LOGIQUE ...
ENONCES et QUANTIFICATEURS
V(1)
F(0)
= proposition (p)
V
p
F
V
F
p
(deux propositions
de meme vérité sont
dites equivalentes)
7(7p) ⇐⇒ p
(p et q) ⇐⇒ (q et p)
[ (p et q) et r ] ⇐⇒ [ p et (q et r) ]
?????
selon une variable (x) dans
un ensemble déterminé (E)
= fonction propositionnelle
[ x ∈ E ; p(x) ]
E
E
V
V
(p ou q) ⇐⇒ (q ou p)
[ (p ou q) ou r ] ⇐⇒ [ p ou (q ou r) ]
7 (p et q) ⇐⇒ (7p) ou (7q)
7 (p ou q) ⇐⇒ (7p) et (7q)
F
Cas particuliers :
E
ﺑﺎﺳﻣﮫ ﺗﻌﺎﻟﻰ
LOIS LOGIQUES
p et (q ou r) ⇐⇒ [ (p et q) ou (p et r) ]
p ou (q et r) ⇐⇒ [ (p ou q) et (p ou r) ]
F
(p ⇒ q) ⇐⇒ [ (7p) ou q ]
7(p ⇒ q) ⇐⇒ p et (7q)
(p ⇒ q) ⇐⇒ [(7q) ⇒ (7p)]
[(p ⇒ q) et (q ⇒ r )] ⟹ (p ⇒ r)
la négation notée ( p )
(et qui suit le sens....) V = E ; F = ∅ V = ∅ ; F = E
∀ x ∈ E ; p(x) ∀ x ∈ E ; p(x)
p p (p )
Par NEGATION
V F V
(p ⇐⇒ q) ⇐⇒ [ (p ⇒ q) et (q ⇒ p) ]
V ≠∅; F ≠E
V ≠E; F ≠∅
F V F
(p ⇐⇒ q) ⇐⇒ (q ⇐⇒ p)
∃ x ∈ E ; p(x) ∃ x ∈ E ; p(x)
p VRAIE
p FAUSSE
( p ⇐⇒ q ) ⇐⇒ [(7q) ⇔ (7p)]
p VRAIE ∀ x ∈ E ; p(x) ⇔ V = E [⇔ F = ∅ ]
on a (p)
[(p ⇐⇒ q) et (q ⇐⇒ r)] ⟹ (p ⇐⇒ r)
∃ x ∈ E ; p(x) ⇔ V ≠ ∅ [⇔ F ≠ E ] AUTRES :
∃! x ∈ E ; p(x) ⇔ V = { x0 } (x0 ∈ E)
(x0 est le seul dans E qui vérifie p(x))
La proposition
∀ x ∈ E ; p(x)
∃ x ∈ E ; p(x)
Types de RAISONNEMENT
Sa négation
∃ x ∈ E ; p(x)
∀ x ∈ E ; p(x)
- par implications successives (1)
- par disjonction des cas (2)
- par contraposée
(3)
- par récurrence (4)
- par l’absurde (5)
- par équivalence
- .........................
p
(1)
p⟹q ⟹ q
LES CONNECTEURS (composer et décomposer)
p
q p et q p ou q p ⇒ q p ⇐⇒q
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
F
V
on symbolise la négation par le mot «non» aussi ; et
la conjonction « et » par « p » ou « ∧ »... ; et la
q
disjonction par « v »......
7p ⟹ q
⟹ q
p⟹q
(p ⟹ q) ⇔ [(7q) ⟹ (7p)]
(p ⇒ q) c’est (7p) ou q
(p ⇐⇒ q) c’est [(p ⇒ q) et (q ⇒ p)]
Toute conjonction contenant une propo F est elle-même F
Toute disjonction contenant une propo V est elle-même V
- Toute implication d’hypothèse F est elle-même V
- Toute implication de conclusion V est elle-même V
(2)
(3)
⇔
n ∈ IN ; ∀ n ≥ n0 ; P(n)
(4)
𝐏(𝐧𝟎 )
.
∀ m≥ 𝐧𝟎; 𝐏(𝐦) ⟹ 𝐏(𝐦 + 𝟏)
on peut généraliser ce principe de récurrence...
.
[ (p et 7q) ⇒ 7p ] ⟹ q (5)
Pour montrer l’implication [ p(x) ⇒ q(x)]
On suppose que p(x) est VRAIE et
(P1 ⇒ P2 ) et (P2 ⇒ P3 ) … … . 𝑒𝑡 (P𝑛−1 ⇒ P𝑛 )) ⟹ (P1 ⇒ P𝑛 ) (1)
on montre que q(x) est VRAIE aussi
((P ⇒ R) ou (Q ⇒ R)) ⇔ ((P ou Q) ⇒ 𝑅) (2)
- La plupart des résultats sont des implications ...
et se traduisent par « si.....alors ...» ; « ...donc....» ; .....
- Les équivalences sont plutôt rares et se retrouvent
surtout dans les définitions ou propriétés caractéristiques
