?????
[ x ∈ E ; p(x) ]
EVEF
V= E ; F=∅V=∅;F= E
∀x∈E;p(x)
∀x∈E;p
(
x
)
∃x∈E ; p
(
x
)
∃x ∈E ; p(x)
Par NEGATION
V≠E ; F≠∅V≠∅;F≠ E
FAUSSE
∀
ﻰﻟﺎﻌﺗ ﮫﻣﺳﺎﺑ
Toute conjonction contenant une propo Fest elle-même F
Toute disjonction contenant une propo Vest elle-même V
-Toute implication d’hypothèse Fest elle-même V
-Toute implication de conclusion Vest elle-même V
⇒⇐⇒
= fonction propositionnelle
Cas particuliers :
(et qui suit le sens....)
(p et q) (q et p)
[ (pet q)et r ] [ p et (q et r)]
(p ou q) (q ou p)
[ (pou q)ou r ] [ p ou (q ou r)]
7(p et q) (7p) ou (7q)
7(p ou q) (7p) et (7q)
p et (q ou r)[(pet q) ou (pet r)]
p ou (q et r)[(pou q) et (pou r)]
(p q) (7p) ou q
7(p q) p et (7q)
[(pq) et(q r)] (p r)
p
r
(p r)
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇐⇒ ⇐⇒ ⇒⇒
⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒ ⇐⇒
⇐⇒
(
)
[ ]
]
[
⇐⇒
⇒⇒
LOIS LOGIQUES
- La plupart des résultats sont des implications
- Les équivalences sont plutôt rares et se
surtout dans les définitions
(p q) c’est [(p q) et (q p)]
⇒⇒
⇒
⇐⇒
et se traduisent par « si.....alors ...» ; « ...donc....» ; .....
on symbolise la négation par le mot «non» aussi
∧
ou propriétés caractéristiques
∀x ∈E; p(x) ⇔V= E [⇔F=∅]
∃x ∈E; p(x) ⇔V ≠∅[⇔
!
x ∈E; p(x) ⇔V={x0}(x0∈E)
(x0est le seul dans E qui vérifie p(x))
Pour montrer l’implication [ p(x) ⇒q(x)]
On suppose que p(x) est VRAIE et
on montre que q(x) est VRAIE aussi
- par implications successives (1)
- par disjonction des cas (2)
- par contraposée (3)
- par récurrence (4)
- par l’absurde
- par équivalence
- .........................
LES CONNECTEURS (composer et décomposer)
ENONCES et QUANTIFICATEURS
on peut généraliser ce principe de récurrence...
.𝐏(𝐧𝟎)
∀≥ 𝐧𝟎;𝐏(𝐦)⟹ 𝐏(𝐦+𝟏).
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