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Exposé 60 : Etude de suites de terme général an , np et n! Croissances comparées.Exemples
de comparaison de suites aux suites précédentes.Calculatrice.
Pré requis :
- Suites réelles, convergentes,divergentes
- Opérations algébriques et comparaison de suites
- Fonctions logarithmes et exponentielles
- Formule du binôme
- Limite de composition de fonctions
- Récurrence
1) Etudes des suites ( a n ), (n p )et (n!)
a) Etude de un=an , a Є IR
Propriété :
1. Si a = 1 la suite est constante et vaut 1.
2. Si a > 1 la suite est croissante et tend vers +∞.
3. Si -1< a < 1 la suite (un)n converge vers 0.
4. Si a = -1 la suite diverge et prend pour valeur 1 si n pair , -1 si n impair
5. Si a < -1 , (un)n diverge ((u2 k) diverge vers +∞ et (u2 k+1) diverge vers -∞)
Démonstration
1 et 4 sont évidents.
2.Si a >1 , on pose
a=1kk0an=1kn1nk ∞
(l'inégalité découlant de la
formule du binôme) donc
lim an∞
3.Si a=0 alors la suite est constante de valeur 0.
Si 0<a<1 ,
un1
un
=a1
donc la suite un=an est décroissante et minorée par 0 donc
elle converge vers L ≥0 , et L =a L => L(1-a)=0 => L =0
Si 0>a>-1 alors
∣un∣ 0
et donc
un0
Remarque :
∣un∣ L
=>
unL
vrai ssi L=0 pour le cas où un=a n !
b) Etude de un=nb , b Є IR
Propriété : Soit (un)n une suite de terme général nb , b Є IR
1. Si b < 0 ; (un)n est décroissante et tend vers 0.
2. Si b=0 ; (un)n est constante et est égale à 1.
3. Si b>0 , (un)n est croissante et tend vers +∞.
Démonstration
b=0 est évident.
on pose sinon vn=ln(un)= ln(nb)=b.ln(n) , si b<0 (vn) est décroissante et
lim vn=−∞
si b>0 (vn) est croissante et
lim vn=∞
Avec le théorème de comparaison des limites par une application on en déduit :

lim un = +∞ si b>0 , 0 si b<0 . ( en posant un=exp(vn) d'où la croissance et la
décroissance suivant la valeur de b.)
c) Etude de un=n!
Propriété : Soit (un)n une suite de terme général n!, cette suite est strictement
croissante et diverge vers +∞.
Pour tout n entier ,
un1
un
=n1!
n ! =n11
=> (un) strictement croissante.
Pour tout n entier un=n!=n(n-1)!≥n or lim n =+∞ donc lim un=+∞.
2) Croissance comparée
a) Définition
Définition : Soit (un) et (vn) deux suites réelles , (vn) ne s'annulant pas à partir d'un certain
rang. Si
lim un
vn
0
alors on dit que un est négligeable devant vn. On note un<<vn
Démonstration :
1.Par récurrence , on obtient : pour tout p entier
∣unp∣kp∣un∣
d'où le résultat par le th des
gendarmes car 0<k<1)
2.Par récurrence pour tout entier p ,
∣unp∣≥kp∣un∣
d'où le résultat par le théorème des
comparaison des suites.
Corollaire : Soit (un) une suite réelle dont les termes sont non nums à partir d'un certain rang ,
et telle que (
∣un1
un
∣
) tend vers L réel non nul.
1. Si L<1 alors lim(un)=0
2. Si L>1 alors lim(
∣un∣
) = +∞
b) Application
Théorème : a≠0 et n≥1 :
–Si |a|>1 alors
nb≪an≪n !
avec b>0
–Si |a|<1 alors
1
n ! ≪an≪nb
avec b<0
Théorème : Soit (un) une suite réelle non nulle( pour tout n un=0).
1. S'il existe k Є ]0,1[ et n0 entier tel que pour tout n≥n0 ,
∣un1∣k∣un∣
alors
lim un0
2. S'il existe k Є ]1,+∞[ et n0 entier tel que pour tout n≥n0 ,
∣un1∣≥k∣un∣
alors
lim un∞

Démonstration : Posons
un=nb
an
.Alors
un1
un
=n1b
an1 . an
nb=11
n
b
.1
a1 a
On a bien si |a|<1 d'après le corollaire
un1
un
L avec L1
=> lim un=0 ie an>>nb
Et si |a|<1 même démonstration
lim nb
an=un=∞
ie
lim an
nb=0
ie an<<nb
Posons
un=an
n !
on obtient
un1
un
=an1
n1!.n !
an=a
n10
donc d'après le corollaire
lim un=lim an
n! =0
ie n! >>an
Enfin si |a|<1 ,
1
n ! an=
1
a
n
n ! 0
d'après ce qui précède.
Application:
1.
lim an.nb=∞
avec a>1 et b>0
2.
lim n ! .nb=∞
avec b <0
3) Comparaison de suites aux précédentes
Théorème : Soit α,β et b des réels strictement positifs et a Є IR a>1. Alors les suites de
terme générale an, nb, n!, (ln n)α , e βn , nn divergent vers +∞. Et on a :
–(ln n)α <<nb <<e βn <<an<<n!<<nn, si e β<a
–(ln n)α <<nb <<an <<e βn <<n!<<nn, si e β>a
Application :
lim nb
nn
avec b>0 etc.......
Démonstration du théorème :
on a déjà
nb≪an≪n !
–e βn = (e β)n donc e βn <<an si e β<a et e βn >>an si e β>a
–
ln nα
nb=[ ln n
n
b
α
]
α
=[ α
b.lnn
b
α
n
b
α
]
α
= α
b
α
.[ln un
un
]
α
or
lim n
b
α=∞
et
lim ln X
X=0
d'où (ln n)α <<nb
–
nn
n ! =n n.n n−1.... . n 1
or lim n = +∞ ie
lim nn
n! =∞
ie
lim n!
nn=0
ie nn>>n!