et (n!) - Mathix.org

Exposé 60 : Etude de suites de terme général an , np et n! Croissances comparées.Exemples
de comparaison de suites aux suites précédentes.Calculatrice.
Pré requis :
- Suites réelles, convergentes,divergentes
- Opérations algébriques et comparaison de suites
- Fonctions logarithmes et exponentielles
- Formule du binôme
- Limite de composition de fonctions
- Récurrence
1) Etudes des suites (an), (np)et (n!)
a) Etude de un=an , a Є IR
Propriété :
1. Si a = 1 la suite est constante et vaut 1.
2. Si a > 1 la suite est croissante et tend vers +∞.
3. Si -1< a < 1 la suite (un)n converge vers 0.
4. Si a = -1 la suite diverge et prend pour valeur 1 si n pair , -1 si n impair
5. Si a < -1 , (un)n diverge ((u2 k) diverge vers +∞ et (u2 k+1) diverge vers -∞)
Démonstration
1 et 4 sont évidents.
2.Si a >1 , on pose a=1k  k 0 a n=1k n1nk ∞ (l'inégalité découlant de la
formule du binôme) donc lim a n ∞
3.Si a=0 alors la suite est constante de valeur 0.
u n1
=a1 donc la suite un=an est décroissante et minorée par 0 donc
Si 0<a<1 ,
un
elle converge vers L ≥0 , et L =a L => L(1-a)=0 => L =0
Si 0>a>-1 alors ∣u n∣ 0 et donc u n 0
Remarque : ∣u n∣ L => u n  L vrai ssi L=0 pour le cas où un=an !
b) Etude de un=nb , b Є IR
Propriété : Soit (un)n une suite de terme général nb , b Є IR
1. Si b < 0 ; (un)n est décroissante et tend vers 0.
2. Si b=0 ; (un)n est constante et est égale à 1.
3. Si b>0 , (un)n est croissante et tend vers +∞.
Démonstration
b=0 est évident.
on pose sinon vn=ln(un)= ln(nb)=b.ln(n) , si b<0 (vn) est décroissante et lim v n=−∞
si b>0 (vn) est croissante et lim v n=∞
Avec le théorème de comparaison des limites par une application on en déduit :
lim un = +∞ si b>0 , 0 si b<0 . ( en posant un=exp(vn) d'où la croissance et la
décroissance suivant la valeur de b.)
c) Etude de un=n!
Propriété : Soit (un)n une suite de terme général n!, cette suite est strictement
croissante et diverge vers +∞.
u n1 n1 !
=
=n11 => (un) strictement croissante.
Pour tout n entier ,
un
n!
Pour tout n entier un=n!=n(n-1)!≥n or lim n =+∞ donc lim un=+∞.
2) Croissance comparée
a) Définition
Définition : Soit (un) et (vn) deux suites réelles , (vn) ne s'annulant pas à partir d'un certain
un
rang. Si lim  0 alors on dit que un est négligeable devant vn. On note un<<vn
vn
Théorème : Soit (un) une suite réelle non nulle( pour tout n un=0).
1. S'il existe k Є ]0,1[ et n0 entier tel que pour tout n≥n0 , ∣u n1∣k∣u n∣ alors
lim u n  0
2. S'il existe k Є ]1,+∞[ et n0 entier tel que pour tout n≥n0 , ∣u n1∣≥k∣u n∣ alors
lim u n ∞
Démonstration :
1.Par récurrence , on obtient : pour tout p entier ∣u n p∣k p∣u n∣ d'où le résultat par le th des
gendarmes car 0<k<1)
2.Par récurrence pour tout entier p , ∣u n p∣≥k p∣u n∣ d'où le résultat par le théorème des
comparaison des suites.
Corollaire : Soit (un) une suite réelle dont les termes sont non nums à partir d'un certain rang ,
u n1
∣ ) tend vers L réel non nul.
et telle que ( ∣
un
1. Si L<1 alors lim(un)=0
2. Si L>1 alors lim( ∣u n∣ ) = +∞
b) Application
Théorème : a≠0 et n≥1 :
b
n
– Si |a|>1 alors n ≪a ≪ n ! avec b>0
1
n
b
≪a ≪n avec b<0
– Si |a|<1 alors
n!
n
b
u n1 n1b
nb
a
1 1 1
=
n1
.
=1

. 
.Alors
b
n
un
a
n a a
n
a
u n1
 L avec L1 => lim un=0 ie an>>nb
On a bien si |a|<1 d'après le corollaire
un
nb
an
Et si |a|<1 même démonstration lim n =u n =∞ ie lim b =0 ie an<<nb
a
n
Démonstration : Posons u n=
u n1
a
n!
a
an
=
. n=
 0 donc d'après le corollaire
on obtient
u
n1
!
n1
n!
a
n
an
lim u n=lim =0 ie n! >>an
n!
1 n
 
Enfin si |a|<1 ,
d'après ce qui précède.
1
a
=
0
n
n!
n! a
n1
Posons u n=
Application:
1. lim a n . nb =∞ avec a>1 et b>0
2. lim n ! . nb =∞ avec b <0
3) Comparaison de suites aux précédentes
Théorème : Soit α,β et b des réels strictement positifs et a Є IR a>1. Alors les suites de
terme générale an, nb, n!, (ln n)α , e βn , nn divergent vers +∞. Et on a :
– (ln n)α <<nb <<e βn <<an<<n!<<nn, si e β<a
– (ln n)α <<nb <<an <<e βn <<n!<<nn, si e β>a
Application : lim
nb
n avec b>0 etc.......
n
Démonstration du théorème :
on a déjà n b ≪a n≪ n !
– e βn = (e β)n donc e βn <<an si e β<a et e βn >>an si e β>a
b
–
–
α
b
u n
ln nα ln n α α ln n α  α α α
ln X
=0
=[ b ] =[ .
] =  . [ ln
] or lim n α =∞ et lim
b
b
X
b
b
u
n
n
nα
nα
α
b
d'où (ln n) <<n
n!
nn n
n
n
nn
or lim n = +∞ ie lim =∞ ie lim n =0 ie nn>>n!
= .
.... .
n ! n n−1
1
n
n!