chapitre 17 variables aléatoires discrètes

CHAPITRE
17
VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES
Ex. 1 – On se place sur un espace probabilisé (Ω, T , P).
a. (i) Soit X une variable aléatoire discrète, à valeurs dans N, montrer que E(X) =
(ii) De même, démontrer que E(X2 ) =
X
X
P(X > n).
n≥0
(2n + 1)P(X > n)
n≥0
b. On dispose d’une urne avec N boules numérotées de 1 à N et on effectue n tirages successifs avec
remise. Soit X le plus grand nombre obtenu.
(i) Calculer E(X) et en déterminer un équivalent lorsque n tend vers l’infini (N fixé) puis lorsque
N tend vers l’infini (n fixé).
(ii) Déterminer un équivalent de V(X) lorsque n tend vers l’infini (N fixé) puis lorsque N tend
vers l’infini (n fixé).
(iii) Déterminer la loi de X et retrouver ainsi E(X).
Ex. 2 – Soit X suivant la loi de Poisson de paramètre λ > 0 et Y une variable aléatoire réelle indépen1
dante de X définie par P(Y = 1) = P(Y = 2) = .
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a. Donner la loi de T = X2 + 1 et déterminer son espérance.
b. Calculer P(2X < X2 + 1).
c. Calculer la probabilité que X soit un nombre pair et montrer que X « a plus de chances »d’être
paire que d’être impaire.
d. Soit Z = XY. Calculer la probabilité que Z soit un nombre pair.
Ex. 3 – Soit X une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre λ > 0 et Y une variable
aléatoire indépendante de X.
a. On suppose que Y ∼ B(p) avec p ∈]0, 1[. On pose Z = XY. Déterminer la loi de Z et si elles
existent son espérance, sa variance et la loi conditonnelle de Y sachant (Z = 0).
b. On suppose que Y ∼ G (p) avec p ∈]0, 1[. Calculer la probabilité que X soit égale à Y.
Ex. 4 – Soient X1 , X2 , . . . , Xn 2 à 2 indépendantes où Xi suit la loi de Bernoulli de paramètre pi et
soit S = X1 + X2 + · · · + Xn . Déterminer les pi pour que V(S) soit maximale.
Ex. 5 – Exemple de covariance nulle sans indépendance –Soit X et Y deux VAR de Bernoulli indépendantes et
de même paramètre p ∈]0, 1[. On note U = X + Y et V = X − Y.
a. Déterminer la loi du couple (U, V).
b. Calculer cov(U, V).
c. U et V sont-elles indépendantes ?
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Ex. 6 –
a. Montrer que deux événements A et B sont indépendants si et seulement si A et B̄ le
sont.
b. Prouver que deux variables de Bernoulli sont indépendantes si et seulement si leur covariance est
nulle.
Ex. 7 – Coefficient de corrélation linéaire –Soit X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes d’écart-type
non nul. On appelle coefficient de corrélation linéaire de X et de Y le réel
ρ(X, Y) =
cov(X, Y)
σ(X)σ(Y)
a. Montrer qu’un coefficient de corrélation est toujours compris entre −1 et 1 et déterminer une
condition nécessaire et suffisante pour qu’il soit égal à 1 en valeur absolue.
b. Dans cette question, Ω est fini de cardinal n ≥ 2, muni de la tribu P(Ω) et de la probabilité
uniforme.
(i) Montrer que l’ensemble des variables aléatoires réelles définies sur (Ω, P(Ω), P) muni de
l’application Φ; (X, Y) 7→ E(XY) est un espace euclidien.
(ii) On note C = Vect{1}. X étant une variable aléatoire, quel est le projeté orthogonal de X sur
C ? Quelle est la distance de X à C ?
(iii) Montrer que ∀a ∈ R, E((X − a)2 ) ≥ V(X).
(iv) X étant une variable aléatoire donnée, qui n’est pas une variable certaine, et Y une variable
aléatoire quelconque, déterminer le projeté orthogonal de Y sur Vect{1, X} et la distance de
Y à Vect{1, X} Quel résultat a-t-on redémontré dans ce cas particulier ?
Ex. 8 – Soit X1 , . . . , Xn+m des VAR de même loi et 2 à 2 indépendantes. Soit U = X1 + · · · + Xn et
V = Xn+1 + · · · + Xn+m . Calculer ρ(U, V).
Ex. 9 – Une collection constituée n cartes Gagic the Mathering que l’on peut trouver dans des boîtes
de céréales (on suppose qu’elles y sont placées de manière indépendantes et uniformément). Un collectionneur acharné décide d’acheter des boîtes de céréales jusqu’a rassembler les n cartes de la collection.
Soit Xn la variable aléatoire égale au nombre de paquets achetés.
a. Calculer E(Xn ) et déterminer un équivalent lorsque n → +∞. On pourra introduire la variable
Yk égale au nombre de paquets achetés pour obtenir k morceaux différents et Zk = Yk − Yk−1 .
b. Déterminer V(Xn ) et un équivalent lorsque n → +∞
Ex. 10 – Soit c ∈ N? . Une urne contient initialement des boules rouges et des boules blanches indiscernables au toucher. On effectue des tirages successifs d’une boule, que l’on remet dans l’urne avec c
boules supplémentaires de la même couleur que cette dernière.
a. On suppose initialement que l’urne contient b boules blanches et r boules rouges, où b et r sont
des entiers naturels non nuls.
(i) Quelle est la probabilité d’obtenir une boule blanche au premier tirage ?
(ii) Quelle est la probabilité d’obtenir une boule blanche au second tirage ?
(iii) Si la deuxième boule tirée est blanche, quelle est la probabilité que la première boule tirée
ait été blanche ?
b. Pour tout entiers naturels non nuls n, x, y, on note un (x, y) la probabilité d’obtenir une boule
blanche au n-ième tirage, lorsque l’urne contient initialement x boules blanches et y boules rouges.
(i) En utilisant un système complet d’événements associé au premier tirage, exprimer un+1 en
fonction de un .
(ii) En déduire une expression simple de un (x, y).
c. On suppose que x = y = 1 et c = 1. On note Xn la variable aléatoire égale au nombre de boules
rouges obtenues au cours des n premiers tirages.
(i) Donner la loi de X1 puis celle de X2 .
(ii) Montrer, par récurrence, que Xn suit une loi uniforme dont on donnera l’espérance et la
variance.
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Ex. 11 – On dispose d’une pièce de monnaie donnant Pile avec une probabilité p ∈]0, 1[. On lance cette
pièce, les lancers étant indépendants les uns des autres, et on note N le nombre de lancers nécessaires à
la première apparition de Pile. Quand Pile apparaît au bout de n lancers, on effectue une nouvelle série
de n lancers avec cette même pièce et on note X le nombre de Piles obtenus au cours de cette série.
a.
b.
c.
d.
e.
Quelle est la loi de N ?
Déterminer la loi du couple (N, X) ?
Calculer P(X = 0), puis P(X = j) pour tout j ∈ N? .
Déterminer l’espérance de X.
Montrer que la loi de X est la loi d’un produit de deux variables indépendantes suivant respectivement une loi géométrique et une loi de Bernoulli de même paramètre p 0 que l’on déterminera.
Retrouver ainsi la valeur de E(X), puis calculer V(X).
Ex. 12 – Formule de l’espérance totale et formule de Wald –On se place sur l’espace probabilisé (Ω, T , P). Soit
(Xk )k∈N? une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, définies sur Ω, de même loi et
à valeurs dans N. On considère une variable aléatoire N, définie sur Ω, indépendante des variables Xk
et à valeurs dans N? . On admet que la formule
X
N(ω)
∀ω ∈ Ω,
Y(ω) =
Xk (ω)
k=1
définit une variable aléatoire Y. L’objectif est la détermination de l’espérance et la variance de Y.
a. (Formule de l’espérance totale) Soit (Ai )i∈N un système complet d’événements de probabilités
non-nulles et X une variable aléatoire réelle discrète admettant une espérance.
+∞ X
+∞
X
(i) Montrer que E(X) =
xk PAi (X = xk )P(Ai ).
i=0 k=1
(ii) On définit, sous réserve de convergence absolue, l’espérance conditionnelle de X sachant Ai ,
+∞
X
notée EAi (X) par EAi (X) =
xk PAi (X = xk ). Montrer que X admet une espérance si et
k=1
X
seulement si, quelque soit i ∈ N, EAi (|X|) existe et la série
EAi (|X|)P(Ai ) converge.
(iii) Montrer qu’alors,
E(X) =
+∞
X
EAi (X)P(Ai )
(formule de l’espérance totale)
i=0
b. (Formule de Wald)
(i) On suppose que N et X admettent une espérance (où ∀k, ∈ N? , Xk ∼ X). Montrer que Y
admet une espérance et
E(Y) = E(N)E(X) (formule de Wald)
(ii) On suppose que N et X admettent une variance. Montrer que Y admet une variance que l’on
déterminera en fonction des moments de X et N.
c. (Formule de Wald par les fonctions génératrices) Dans cette question , on suppose que N est à
valeurs dans J1, nK et que les variables (Xk )1≤p≤n sont toutes à valeurs dans J0, `K avec ` ∈ N? .
(i) Déterminer la fonction génératrice GY de Y en fonction de celles de N et de X. (On pourra
utiliser la formule de l’espérance totale)
(ii) En déduire l’expression de l’espérance et de la variance de Y en fonction de celles de N et
de X.
Ex. 13 – Soit X ∼ P(λ) et Y définie par Y =
X
si X est paire et Y = 0 sinon.
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a. Déterminer la loi de Y et vérifier le résultat.
b. Déterminer l’espérance de Y par calcul direct et par fonction génératrice.
c. Déterminer la variance de Y.
Ex. 14 – Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N et G sa fonction génératrice.
+∞
X
P(X > n)tn a un rayon supérieur ou égal à 1.
a. Montrer que H(t) =
n=0
b. Prouver que H(t) =
1 − G(t)
pour |t| < 1.
1−t
Ex. 15 – On a constaté que le nombre de pixels défectueux sur un écran sortant d’une usine est en
moyenne de 4 et on admet que ce nombre suit une loi de Poisson.
a. Calculer la probabilité qu’un écran n’ait aucun pixel défectueux.
b. L’usine doit remplacer tout écran présentant au moins 10 pixels défectueux et fabrique 1000
écrans par jours. Combien doit-elle remplacer d’écrans par jour en moyenne ?
c. Déterminer une fourchette du nombre d’écrans à remplacer de telle sorte que le nombre d’écrans
à remplacer soit compris dans cette fourchette avec plus de 99 chances sur cent.
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