chapitre 17 variables aléatoires discrètes

CHAPITRE 17
VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES
Ex. 1 – On se place sur un espace probabilisé (Ω, T, P).
a. (i) Soit Xune variable aléatoire discrète, à valeurs dans N, montrer que E(X) = X
n≥0
P(X>n).
(ii) De même, démontrer que E(X2) = X
n≥0
(2n +1)P(X>n)
b. On dispose d’une urne avec Nboules numérotées de 1àNet on effectue ntirages successifs avec
remise. Soit Xle plus grand nombre obtenu.
(i) Calculer E(X)et en déterminer un équivalent lorsque ntend vers l’infini (Nfixé) puis lorsque
Ntend vers l’infini (nfixé).
(ii) Déterminer un équivalent de V(X)lorsque ntend vers l’infini (Nfixé) puis lorsque Ntend
vers l’infini (nfixé).
(iii) Déterminer la loi de Xet retrouver ainsi E(X).
Ex. 2 – Soit Xsuivant la loi de Poisson de paramètre λ>0et Yune variable aléatoire réelle indépen-
dante de Xdéfinie par P(Y=1) = P(Y=2) = 1
2.
a. Donner la loi de T=X2+1et déterminer son espérance.
b. Calculer P(2X < X2+1).
c. Calculer la probabilité que Xsoit un nombre pair et montrer que X« a plus de chances »d’être
paire que d’être impaire.
d. Soit Z=XY. Calculer la probabilité que Zsoit un nombre pair.
Ex. 3 – Soit Xune variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre λ>0et Yune variable
aléatoire indépendante de X.
a. On suppose que Y∼B(p)avec p∈]0, 1[. On pose Z=XY. Déterminer la loi de Zet si elles
existent son espérance, sa variance et la loi conditonnelle de Ysachant (Z=0).
b. On suppose que Y∼G(p)avec p∈]0, 1[. Calculer la probabilité que Xsoit égale à Y.
Ex. 4 – Soient X1, X2,...,Xn2à2indépendantes où Xisuit la loi de Bernoulli de paramètre piet
soit S=X1+X2+· · · +Xn. Déterminer les pipour que V(S)soit maximale.
Ex. 5 –Exemple de covariance nulle sans indépendance –Soit Xet Ydeux VAR de Bernoulli indépendantes et
de même paramètre p∈]0, 1[. On note U=X+Yet V=X−Y.
a. Déterminer la loi du couple (U, V).
b. Calculer cov(U, V).
c. Uet Vsont-elles indépendantes ?
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Ex. 6 –a. Montrer que deux événements Aet Bsont indépendants si et seulement si Aet ¯ Ble
sont.
b. Prouver que deux variables de Bernoulli sont indépendantes si et seulement si leur covariance est
nulle.
Ex. 7 –Coefficient de corrélation linéaire –Soit Xet Ydeux variables aléatoires réelles discrètes d’écart-type
non nul. On appelle coefficient de corrélation linéaire de Xet de Yle réel
ρ(X, Y) = cov(X, Y)
σ(X)σ(Y)
a. Montrer qu’un coefficient de corrélation est toujours compris entre −1et 1et déterminer une
condition nécessaire et suffisante pour qu’il soit égal à 1en valeur absolue.
b. Dans cette question, Ωest fini de cardinal n≥2, muni de la tribu P(Ω)et de la probabilité
uniforme.
(i) Montrer que l’ensemble des variables aléatoires réelles définies sur (Ω, P(Ω), P)muni de
l’application Φ; (X, Y)7→E(XY)est un espace euclidien.
(ii) On note C=Vect{1}.Xétant une variable aléatoire, quel est le projeté orthogonal de Xsur
C? Quelle est la distance de XàC?
(iii) Montrer que ∀a∈R, E((X−a)2)≥V(X).
(iv) Xétant une variable aléatoire donnée, qui n’est pas une variable certaine, et Yune variable
aléatoire quelconque, déterminer le projeté orthogonal de Ysur Vect{1, X}et la distance de
Yà Vect{1, X}Quel résultat a-t-on redémontré dans ce cas particulier ?
Ex. 8 – Soit X1,...,Xn+mdes VAR de même loi et 2à2indépendantes. Soit U=X1+· · · +Xnet
V=Xn+1+· · · +Xn+m. Calculer ρ(U, V).
Ex. 9 – Une collection constituée ncartes Gagic the Mathering que l’on peut trouver dans des boîtes
de céréales (on suppose qu’elles y sont placées de manière indépendantes et uniformément). Un collec-
tionneur acharné décide d’acheter des boîtes de céréales jusqu’a rassembler les ncartes de la collection.
Soit Xnla variable aléatoire égale au nombre de paquets achetés.
a. Calculer E(Xn)et déterminer un équivalent lorsque n→+∞. On pourra introduire la variable
Ykégale au nombre de paquets achetés pour obtenir kmorceaux différents et Zk=Yk−Yk−1.
b. Déterminer V(Xn)et un équivalent lorsque n→+∞
Ex. 10 – Soit c∈N?. Une urne contient initialement des boules rouges et des boules blanches indis-
cernables au toucher. On effectue des tirages successifs d’une boule, que l’on remet dans l’urne avec c
boules supplémentaires de la même couleur que cette dernière.
a. On suppose initialement que l’urne contient bboules blanches et rboules rouges, où bet rsont
des entiers naturels non nuls.
(i) Quelle est la probabilité d’obtenir une boule blanche au premier tirage ?
(ii) Quelle est la probabilité d’obtenir une boule blanche au second tirage ?
(iii) Si la deuxième boule tirée est blanche, quelle est la probabilité que la première boule tirée
ait été blanche ?
b. Pour tout entiers naturels non nuls n,x,y, on note un(x, y)la probabilité d’obtenir une boule
blanche au n-ième tirage, lorsque l’urne contient initialement xboules blanches et yboules rouges.
(i) En utilisant un système complet d’événements associé au premier tirage, exprimer un+1en
fonction de un.
(ii) En déduire une expression simple de un(x, y).
c. On suppose que x=y=1et c=1. On note Xnla variable aléatoire égale au nombre de boules
rouges obtenues au cours des npremiers tirages.
(i) Donner la loi de X1puis celle de X2.
(ii) Montrer, par récurrence, que Xnsuit une loi uniforme dont on donnera l’espérance et la
variance.
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Ex. 11 – On dispose d’une pièce de monnaie donnant Pile avec une probabilité p∈]0, 1[. On lance cette
pièce, les lancers étant indépendants les uns des autres, et on note Nle nombre de lancers nécessaires à
la première apparition de Pile. Quand Pile apparaît au bout de nlancers, on effectue une nouvelle série
de nlancers avec cette même pièce et on note Xle nombre de Piles obtenus au cours de cette série.
a. Quelle est la loi de N?
b. Déterminer la loi du couple (N, X)?
c. Calculer P(X=0), puis P(X=j)pour tout j∈N?.
d. Déterminer l’espérance de X.
e. Montrer que la loi de Xest la loi d’un produit de deux variables indépendantes suivant respecti-
vement une loi géométrique et une loi de Bernoulli de même paramètre p0que l’on déterminera.
Retrouver ainsi la valeur de E(X), puis calculer V(X).
Ex. 12 –Formule de l’espérance totale et formule de Wald –On se place sur l’espace probabilisé (Ω, T, P). Soit
(Xk)k∈N?une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, définies sur Ω, de même loi et
à valeurs dans N. On considère une variable aléatoire N, définie sur Ω, indépendante des variables Xk
et à valeurs dans N?. On admet que la formule
∀ω∈Ω, Y(ω) =
N(ω)
X
k=1
Xk(ω)
définit une variable aléatoire Y. L’objectif est la détermination de l’espérance et la variance de Y.
a. (Formule de l’espérance totale) Soit (Ai)i∈Nun système complet d’événements de probabilités
non-nulles et Xune variable aléatoire réelle discrète admettant une espérance.
(i) Montrer que E(X) =
+∞
X
i=0
+∞
X
k=1
xkPAi(X=xk)P(Ai).
(ii) On définit, sous réserve de convergence absolue, l’espérance conditionnelle de Xsachant Ai,
notée EAi(X)par EAi(X) =
+∞
X
k=1
xkPAi(X=xk). Montrer que Xadmet une espérance si et
seulement si, quelque soit i∈N,EAi(|X|)existe et la série XEAi(|X|)P(Ai)converge.
(iii) Montrer qu’alors,
E(X) =
+∞
X
i=0
EAi(X)P(Ai)(formule de l’espérance totale)
b. (Formule de Wald)
(i) On suppose que Net Xadmettent une espérance (où ∀k, ∈N?, Xk∼X). Montrer que Y
admet une espérance et
E(Y) = E(N)E(X)(formule de Wald)
(ii) On suppose que Net Xadmettent une variance. Montrer que Yadmet une variance que l’on
déterminera en fonction des moments de Xet N.
c. (Formule de Wald par les fonctions génératrices) Dans cette question , on suppose que Nest à
valeurs dans J1, nKet que les variables (Xk)1≤p≤nsont toutes à valeurs dans J0, `Kavec `∈N?.
(i) Déterminer la fonction génératrice GYde Yen fonction de celles de Net de X. (On pourra
utiliser la formule de l’espérance totale)
(ii) En déduire l’expression de l’espérance et de la variance de Yen fonction de celles de Net
de X.
Ex. 13 – Soit X∼P(λ)et Ydéfinie par Y=X
2si Xest paire et Y=0sinon.
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a. Déterminer la loi de Yet vérifier le résultat.
b. Déterminer l’espérance de Ypar calcul direct et par fonction génératrice.
c. Déterminer la variance de Y.
Ex. 14 – Soit Xune variable aléatoire à valeurs dans Net Gsa fonction génératrice.
a. Montrer que H(t) =
+∞
X
n=0
P(X>n)tna un rayon supérieur ou égal à 1.
b. Prouver que H(t) = 1−G(t)
1−tpour |t|< 1.
Ex. 15 – On a constaté que le nombre de pixels défectueux sur un écran sortant d’une usine est en
moyenne de 4et on admet que ce nombre suit une loi de Poisson.
a. Calculer la probabilité qu’un écran n’ait aucun pixel défectueux.
b. L’usine doit remplacer tout écran présentant au moins 10 pixels défectueux et fabrique 1000
écrans par jours. Combien doit-elle remplacer d’écrans par jour en moyenne ?
c. Déterminer une fourchette du nombre d’écrans à remplacer de telle sorte que le nombre d’écrans
à remplacer soit compris dans cette fourchette avec plus de 99 chances sur cent.
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