Outils mathématiques pour scientifiques

Outils mathématiques
pour scientifiques
Cours
Marie-Christine Angonin
2011-2012

Table des matières
1 Les vecteurs 5
1.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Repérage du plan et de lespace : coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Notions dorientation et de plan orienté (2D) . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Repères en 2D : composantes dun vecteur dans un plan . . . . . . 6
1.2.3 Coordonnées cartésiennes et polaires dun vecteur du plan . . . . . 6
1.2.4 Orientation dun plan et dun trièdre (3D) . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.5 Repères en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Opérations sur les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Addition vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 Colinéarité de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.4 Produit scalaire de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.5 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.6 Quelques remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Trigonométrie 13
2.1 Le cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Propriétés des sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Les relations trigonométriques dans un triangle . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Relations entre fonctions trigonométriques dangles di¤érents . . . . . . . 15
3 Les fonctions 17
3.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.2 Calcul de dérivées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4 Etude dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4.1 Propriétés remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4.2 Etude dune fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4.3 Logarithmes et exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4.4 Autres fonctions remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5.1 Développement de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5.2 Cas des polynômes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5.3 Développement de MacLaurin des fonctions usuelles. . . . . . . . 31
3.5.4 Validité du développement de McLaurin. . . . . . . . . . . . . . . . 32

2TABLE DES MATIÈRES
3.5.5 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.6 Di¤érentielle dune fonction dune seule variable . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6.1 Dénition et notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6.2 Représentation graphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.6.3 Expressions remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6.4 Dérivée dune fonction de fonction (composition de fonctions). . . 35
3.6.5 Calculs dincertitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.6.6 Petites variations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

TABLE DES MATIÈRES 3
Préface
Le but du cours est dintroduire et dapprofondir certaines notions ma-
thématiques utilisées dans les cours de physique, biologie ou chimie. Les connaissances de
mathématiques correspondantes seront supposées assimilées pour lexamen.
Dans le présent fascicule nous procédons à de nombreux rappels qui constituent
lessentiel des développements qui suivent. Il est donc fortement conseillé de se reporter
aussi aux cours de mathématiques du lycée.
Symboles de comparaison
 Nous utiliserons parfois le symbole  :=  au lieu de  =.
Par exemple, dénissant laccélération nous écrirons "x:= d2x=dt2". Aucune
loi nest exprimée par cette égalité, elle ne représente pas une équation ni un
résultat. Cest seulement une dénition.
Par contre pour présenter la loi fondamentale de la dynamique (la seconde loi
de Newton) nous écrirons  ! F=m! ":
Ainsi x37 := 0 doit être considéré comme la relation de dénition de x;
tandis que x37 = 0 est une équation à résoudre dont la solution devra être
notée x0par exemple ( Soit x0la solution de léquation x37 = 0 sécrit
x3
07 := 0":):
Lors de démonstrations, nous ferons également usage de  :=  pour souligner
que telle égalité est bien établie et quelle ne fait pas lobjet de la démonstration
en cours (par opposition aux égalités notées  =).
Nous utiliserons le symbole  :=  dans un souci de concision ou de clarication ;
nous nen ferons pas un usage systématique.
 Nous utiliserons le symbole  / pour signier équivalent à... ou varie
comme... ou encore proportionnel à....
Considérons par exemple la fonction F=xn(1 + "(x)) où "(x)décroît vers
0lorsque xtend vers 1:Dans ces condition nous poserons F/xn(on dit
Féquivalent à xn"):Cela ne signie pas que Fxn!0. Pour n= 2 et
"(x) = 1=x il vient F=x2+xet par conséquent Fx2=x! 1 lorsque
x! 1;cependant, dans ces conditions F/x2:
Une grandeur physique P, sexprime en fonction des variables ; T; etc. On écrit
P=F(; T; :::):Supposons que lon ait P=f(T; ::)où fest indépendant
de : On écrira P/(on dit "Pvarie comme "):Bien que le symbole /
puisse prendre des sens di¤érents, aucune ambiguïté nest à redouter dans un
contexte donné.
 Très souvent, nous ne sommes pas intéressés par la valeur précise dune quantité
physique mais par son ordre de grandeur.
Ainsi le rayon terrestre, Rest de lordre de 10 000 km (plus précisément
6 400 km):Nous écrirons R10 000 km:Remarquer que le diamètre terrestre
est du même ordre. Une goutte deau dont le diamètre est d1 mm est 10
ordres de grandeur plus petite que la Terre ((1 mm)=(10 000 km) = 1010):
Nous distinguerons les relations  ' (à peu près égale à) et   (de lordre
de) : par exemple 1254 '1;3 103103: