1 Élements de base du calcul des probabiVariance : lités var(X) = E((X − E(X))2 ) = E(X 2 ) − E(X)2 var(aX + b) = a2 var(X) √ Un triplet de probabilité est (Ω, C, P ) avec : Écart type : σ = var Ω : ensemble des résultats d’expérience C ∈ P(Ω) : ensemble des événements Fonction caractéristique : itX P : application probabilité de C dans [0, 1] φX (t) = E(e ) Z P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) P (A) = card(A) card(Ω) φX (t) = eitu p(u)du est la transformée de R Fourier de p. Changements Xde variables : P [Y = yi ] = P [X = xi ] Tirage avec remise dans une urne à deux i|yj =g(xi ) catégories : Théorème : ! n k ΩX , ΩY ⊂ R ouverts, X : VA continue à valeurs P (k succès sur n) = P (1 − Ps )n−k dans ΩX , g : ΩX −→ ΩY difféomorphisme. k s Y = g(X) est une continue de densité VA Probabilités conditionnelles : dx dx P (A ∩ B) Jacobien de g. py (y) = px (g −1 (y)) avec P (A|B) = dy dy P (B) Théorème des probabilités totales : pour tout système complet d’événements {Ai }, 3 X P (B|Ai )P (Ai ) P (B) = Couple de VA réelles : (Ω, C, P ) : espace probabilisé, (Ω0 , C 0 ) : espace probabilisable avec Ω0 ⊂ R2 , C 0 construit à partir de réunions ou intersections finies ou dénombrables de pavés de R2 . Un couple de VA réelles est une application mesurable de Ω dans Ω0 . i∈I Formule de Bayes : P (B|A)P (A) P (A|B) = P (B) 2 Variables aléatoires réelles Variable aléatoire réelle : (Ω, C, P ) : triplet de probabilité, (Ω0 , C 0 ) : espace probabilisable avec Ω0 ⊂ R. Une variable aléatoire réelle est une application mesurable de Ω dans Ω0 : ∀B ∈ C 0 , X −1 (B) ∈ C. Fonction de répartition : F : R −→ R x 7−→ P [X < x] Espérance: E(α(X)) = cas discret : cas continu : cas mixte : L’espérance est linéaire. X Zi∈I R Couples de variables aléatoires réelles α(xi )pi α(u)p(u)du Fonction de répartition : F : R2 −→ R (x, y) 7−→ P [X < x, Y < y] Propriété : X, Y : VA, α, β : R −→ R : application continues. Alors α(X) et β(Y ) sont des VA indépendantes. Réciproque vraie si α et β sont bijectives. Espérance : E(α(X, Y )) = si X et Y VA discrètes : X (i,j)∈I×J Z α(xi , yj )pij somme des deux si X et Y VA continues : R2 α(u, v)p(u, v)dudv Moments centrés et non centrés : mij = E(X i Y j ), i, j ∈ N µij = E((X − E(X))i (Y − E(Y ))j ), i, j ∈ N Covariance et matrice de covariance : cov(X, Y ) = µ11 = E(XY ) − E(X)E(Y ) ! var(X) cov(X, Y ) E[VVT ] = , cov(X, Y ) var(Y ) ! X − E(X) V= Y − E(Y ) Fonction caractéristique : φX,Y (u1 , u2 ) = E(exp(iuT W)), !T ! u1 X u= ,W = u2 Y Coefficient de corrélation : cov(X, Y ) r(X, Y ) = σX σY Espérance conditionnelle : E(α(X, Y )) = EX (EY (α(X, Y )|X)) X Z=q ∼ tn . Y /n Loi de Fischer : X ∼ χ2n , Y ∼ χ2m , X et Y indépendantes. X/n Z= ∼ fn,m . Y /m 5 Convergence et théorèmes limites L Convergence en loi : Xn − −−→ X ⇔ la suite n→∞ des fonctions Fn (x) = P [Xn < x] converge simplement vers F (x) = P [X < x] en tout point où F est continue. Théorème de Lévy : Xn converge en loi vers X ⇔ φ continue en t = 0 et ∀t ∈ R, φn (t) = E(eitXn ) −−−→ φ(t) = E(eitX ). n→∞ P Convergence en probabilité : Xn −−−→ X ⇔ Changements de VA continues de R2 dans n→∞ −−→ 0. R : Loi de U = g(X, Y ) ? On introduit une ∀ > 0, P [|Xn − X| > ] − n→∞ VA intermédiaire V = h(X, Y ) (ex : X). On Convergence en moyenne quadratique : cherche la loi du couple (U, V ) puis la loi marMQ −−→ X ⇔ E((Xn − X)2 ) −−−→ 0. ginale de U . Ou calcul de la fonction de répar- Xn − n→∞ n→∞ tition de U . Ou, si X et Y sont indépendantes, PS Convergence presque sûre : Xn − −−→ X ⇔ fonction caractéristique de U . n→∞ ∀ω ∈ A, P (A) = 1 ⇒ Xn (ω) −−−→ X(ω). n→∞ Loi faible des grands nombres : (Xi )i∈{1..n} : VA indépendantes de même loi de moyenne E(Xk ) = m < ∞. n Vecteur gaussien : 1X P n Xk − −−→ m. X ∈ R suit une loi normale à n dimensions si Xn = n n→∞ k=1 exp − 12 (x − m)T Σ−1 (x − m) q , p(x) = Loi forte des grands nombres : (2π)n/2 det(Σ) (X i )i∈{1..n} : VA indépendantes de même loi x, m ∈ Rn , Σ ∈ S+ (R) définie positive. de moyenne E(Xk ) = m < ∞ et de variance σ 2 < ∞. n 1X Fonction génératrice des moments : MQ Xn = Xk −−−→ m. uT X n→∞ θ(u) = E(e ) n k=1 4 Vecteurs Gaussiens Théorème de la limite centrale : Loi du χ2 : (Xi )i∈{1..n} : VA indépendantes de même loi (Xi )i∈{1..n} : n VA indépendantes de loi N (0, 1). de moyenne E(Xk ) = m < ∞ et de variance n X 2 2 σ 2 < ∞. Y = Xi ∼ χ n . i=1 La VAPcentrée réduite vérifie : n L k=1 Xk − nm √ Loi de Student : Yn = − −−→ N (0, 1). n→∞ 2 nσ X ∼ N (0, 1), Y ∼ χ2n , X et Y indépendantes.