TD 4 : Espérance, variance et indépendance

TD 4 : Espérance, variance et indépendance
4 mai 2012
Encore des dés
On lance deux dés à six faces équilibrés. On note Xla somme de ces deux
dés et Yle plus grand des deux résultats.
1. La v.a. (X, Y )est discrète, à valeurs dans l’ensemble
E={(x, y)∈J2,12K×J1,6K, y < x ≤2y}.
En effet, les valeurs prises par (X, Y )sont toujours telles que X > Y (car
la plus petite valeur est non nulle) et X−Y≤Y(par définition de la plus
grande valeur). On a facilement |E|= 21. Pour déterminer sa loi, il suffit
donc d’en calculer les poids. On constate que si (x, y)∈E, si y6=x/2il
existe exactement deux tirages des dés (chacun de probabilité 1/36) qui
réalisent l’événement {X=x, Y =y}, à savoir les tirages (y, x −y)et
(x−y, y). Si y=x/2, il n’y a que le tirage (y, y). Ainsi, la loi de (X, Y )
est entièrement déterminée par
P(X=x, Y =y) = (1
18 si y6=x/2,
1
36 si y=x/2.
On peut vérifier que la somme de ces probabilités vaut bien 1. Pour en
déduire les lois marginales, il suffit de sommer sur toutes les possibilités.
Ainsi, on a :
P(X=k) = X
y<k≤2y
P(X=k, Y =y),
ce qui donne
k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(X=k)1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
De même, pour Y, on a
P(Y=k) = X
k<x≤2k
P(X=x, Y =k),
ce qui donne
k 1 2 3 4 5 6
P(Y=k)1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36
1

2. Pour vérifier si Xet Ysont indépendantes, par définition, il suffit de
vérifier si on a P(X=x, Y =y) = P(X=x)P(Y=y)pour tout couple
(x, y)∈E. Or, si on prend par exemple x= 4, y = 2, on voit que
P(X= 4, Y = 2) = 1
36 6=9 362=P(X= 4)P(Y= 2),
donc Xet Yne sont pas indépendantes. Intuitivement, c’est clair : si Y
prend une valeur élevée, Xva avoir tendance à être important lui-même.
3. Il suffit d’appliquer la définition de l’espérance :
E[X] =
12
X
k=2
kP(X=k)=7.
Contrôle qualité
1. Encore une fois, il s’agit de calculer les poids du couple (X, Y ). Ces poids
sont donnés par le tableau de l’énoncé, où il faut diviser chaque fréquence
par le nombre de pièces total, soit 800. On trouve la loi suivante :
X\Y 0 1 2 3
0 0,19 0,15 0,1 0,01
1 0,15 0,25 0,125 0,025
2. Il suffit de sommer les lignes et les colonnes. On trouve :
k 0 1
P(X=k)0,45 0,55
k 0 1 2 3
P(Y=k)0,34 0,4 0,225 0,035
3. Pour calculer la covariance de Xet Y, le plus simple est d’utiliser la
formule Cov(X, Y ) = E[XY ]−E[X]E[Y]. Pour les espérances de Xet Y,
le calcul est facile : E[X]=0,55 et E[Y]=0,955. Pour le calcul de E[XY ],
il faut utiliser le tableau donnant la loi du couple (X, Y )et appliquer la
définition de l’espérance :
E[XY ] =
1
X
k=0
3
X
`=0
k`P(X=k, Y =`)
On trouve E[XY ]=0,575, donc Cov(X, Y )'0,05. La covariance n’est
pas nulle, les v.a. ne sont donc pas indépendantes. La qualité des pièces
n’est pas indépendante du fournisseur. Pour calculer le coefficient de cor-
rélation, on doit calculer les variances de Xet Ypour normaliser la covari-
ance : on trouve V ar(X)=0,2475 et V ar(Y)'0,703. En normalisant,
on obtient :
κX,Y =Cov(X, Y )
pV ar(X)V ar(Y)'0,119.
Ceci indique que la corrélation entre qualité de la pièce et fournisseur, bien
qu’existante, n’est pas très forte.
2

Couple de v.a.
1. Les méthodes sont exactement les mêmes que dans l’exercice précédent.
On trouve
k -1 1
P(X=k)0,5 0,5
k 1 2 3
P(Y=k)0,3 0,4 0,3
On en déduit E[X]=0,V ar(X)=1,E[Y]=2et V ar(Y)=0,6.
2. On calcule E[XY ]grâce au tableau de la loi jointe : E[XY ]=0, ce qui
donne une covariance égale à 0. Les deux v.a. Xet Yne sont donc pas
corrélées. Ceci ne suffit pas pour affirmer qu’elles sont indépendantes ! Si
on prend x=−1et y= 2, on obtient
P(X=−1, Y = 2) = 0,36= 0,5·0,4 = P(X=−1)P(Y= 2).
Les deux v.a. ne sont donc pas indépendantes, bien que non corrélées.
Production industrielle
1. On peut en donner une majoration en utilisant l’inégalité de Markov :
notons Xle nombre de pièces produites la semaine prochaine. Sans rien
savoir d’autre que l’espérance, on peut écrire :
P(X≥75) ≤E[X]
75 = 1/3.
2. La variance donne une information supplémentaire et permet d’estimer ce
genre de probabilités grâce à l’inégalité de Tchebychev :
P(40 ≤X≤60) = P(|X−E[X]| ≤ 10) ≥1−V ar(X)
102= 0,75.
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