TD 4 : Espérance, variance et indépendance

TD 4 : Espérance, variance et indépendance
4 mai 2012
Encore des dés
On lance deux dés à six faces équilibrés. On note X la somme de ces deux
dés et Y le plus grand des deux résultats.
1. La v.a. (X, Y ) est discrète, à valeurs dans l’ensemble
E = {(x, y) ∈ J2, 12K × J1, 6K, y < x ≤ 2y}.
En effet, les valeurs prises par (X, Y ) sont toujours telles que X > Y (car
la plus petite valeur est non nulle) et X − Y ≤ Y (par définition de la plus
grande valeur). On a facilement |E| = 21. Pour déterminer sa loi, il suffit
donc d’en calculer les poids. On constate que si (x, y) ∈ E, si y 6= x/2 il
existe exactement deux tirages des dés (chacun de probabilité 1/36) qui
réalisent l’événement {X = x, Y = y}, à savoir les tirages (y, x − y) et
(x − y, y). Si y = x/2, il n’y a que le tirage (y, y). Ainsi, la loi de (X, Y )
est entièrement déterminée par
(
1
si y 6= x/2,
P(X = x, Y = y) = 18
1
36 si y = x/2.
On peut vérifier que la somme de ces probabilités vaut bien 1. Pour en
déduire les lois marginales, il suffit de sommer sur toutes les possibilités.
Ainsi, on a :
X
P(X = k) =
P(X = k, Y = y),
y<k≤2y
ce qui donne
k
P(X = k)
2
1/36
3
2/36
4
3/36
5
4/36
6
5/36
7
6/36
8
5/36
De même, pour Y , on a
P(Y = k) =
X
P(X = x, Y = k),
k<x≤2k
ce qui donne
k
P(Y = k)
1
1/36
2
3/36
1
3
5/36
4
7/36
5
9/36
6
11/36
9
4/36
10
3/36
11
2/36
12
1/36
2. Pour vérifier si X et Y sont indépendantes, par définition, il suffit de
vérifier si on a P(X = x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y) pour tout couple
(x, y) ∈ E. Or, si on prend par exemple x = 4, y = 2, on voit que
1
9
6= 2 = P(X = 4)P(Y = 2),
36
36
P(X = 4, Y = 2) =
donc X et Y ne sont pas indépendantes. Intuitivement, c’est clair : si Y
prend une valeur élevée, X va avoir tendance à être important lui-même.
3. Il suffit d’appliquer la définition de l’espérance :
E[X] =
12
X
kP(X = k) = 7.
k=2
Contrôle qualité
1. Encore une fois, il s’agit de calculer les poids du couple (X, Y ). Ces poids
sont donnés par le tableau de l’énoncé, où il faut diviser chaque fréquence
par le nombre de pièces total, soit 800. On trouve la loi suivante :
X\Y
0
1
0
0,19
0,15
1
0,15
0,25
2
0,1
0,125
3
0,01
0,025
2. Il suffit de sommer les lignes et les colonnes. On trouve :
k
P(X = k)
k
P(Y = k)
0
0,34
0
0,45
1
0,4
1
0,55
2
0,225
3
0,035
3. Pour calculer la covariance de X et Y , le plus simple est d’utiliser la
formule Cov(X, Y ) = E[XY ] − E[X]E[Y ]. Pour les espérances de X et Y ,
le calcul est facile : E[X] = 0, 55 et E[Y ] = 0, 955. Pour le calcul de E[XY ],
il faut utiliser le tableau donnant la loi du couple (X, Y ) et appliquer la
définition de l’espérance :
E[XY ] =
3
1 X
X
k`P(X = k, Y = `)
k=0 `=0
On trouve E[XY ] = 0, 575, donc Cov(X, Y ) ' 0, 05. La covariance n’est
pas nulle, les v.a. ne sont donc pas indépendantes. La qualité des pièces
n’est pas indépendante du fournisseur. Pour calculer le coefficient de corrélation, on doit calculer les variances de X et Y pour normaliser la covariance : on trouve V ar(X) = 0, 2475 et V ar(Y ) ' 0, 703. En normalisant,
on obtient :
Cov(X, Y )
κX,Y = p
' 0, 119.
V ar(X)V ar(Y )
Ceci indique que la corrélation entre qualité de la pièce et fournisseur, bien
qu’existante, n’est pas très forte.
2
Couple de v.a.
1. Les méthodes sont exactement les mêmes que dans l’exercice précédent.
On trouve
k
-1
1
P(X = k) 0,5 0,5
k
P(Y = k)
1
0,3
2
0,4
3
0,3
On en déduit E[X] = 0, V ar(X) = 1, E[Y ] = 2 et V ar(Y ) = 0, 6.
2. On calcule E[XY ] grâce au tableau de la loi jointe : E[XY ] = 0, ce qui
donne une covariance égale à 0. Les deux v.a. X et Y ne sont donc pas
corrélées. Ceci ne suffit pas pour affirmer qu’elles sont indépendantes ! Si
on prend x = −1 et y = 2, on obtient
P(X = −1, Y = 2) = 0, 3 6= 0, 5 · 0, 4 = P(X = −1)P(Y = 2).
Les deux v.a. ne sont donc pas indépendantes, bien que non corrélées.
Production industrielle
1. On peut en donner une majoration en utilisant l’inégalité de Markov :
notons X le nombre de pièces produites la semaine prochaine. Sans rien
savoir d’autre que l’espérance, on peut écrire :
P(X ≥ 75) ≤
E[X]
= 1/3.
75
2. La variance donne une information supplémentaire et permet d’estimer ce
genre de probabilités grâce à l’inégalité de Tchebychev :
P(40 ≤ X ≤ 60) = P(|X − E[X]| ≤ 10) ≥ 1 −
3
V ar(X)
= 0, 75.
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