TD 4 (fonctions dérivables)

Exercice 1.Soit fune fonction définie sur Rvérifiant
|f(x)f(y)|(xy)2,x,y2R.
Est-ce que fest continue, dérivable sur R?
Exercice 2.Soient Iun intervalle réel, a2Iet fune fonction définie sur I.
(1) On suppose que fest dérivable en a. Montrer qu’alors limh!0f(a+h)f(ah)
2h
est finie.
(2) La réciproque est-elle vraie ?
Exercice 3.
1) Montrer que la fonction f:x7! sin(x)sin(1/x)est prolongeable par continuité
en 0.
2) La fonction g:x7! ⇢xf(x)si x6=0
0si x=0 est-elle dérivable sur R? Calculer g0(x)
en tout point xoù gest dérivable.
Exercice 4.Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
x7! q1+x2sin2(x),x7! exp(1/x)+1
exp(1/x)1,x7! ln ✓1+sinx 1sin x◆,x7! cos(xsin x).
Exercice 5.Soit f:x7! x+ex.
(1) Montrer que fest une bijection de Rsur R.On note gsa réciproque.
(2) Montrer que gest deux fois dérivable. Calculer g(1),g0(1) et g00 (1).
Exercice 6.Soient x, y, z des réels tels que 0<y<z.
(1) Montrer qu’il existe c2]y, z[tel que zxyx=x(zy)cx1.
(2) Résoudre l’équation 10x7x5x+2
x=0.
Exercice 7.Soit fune fonction dérivable sur Rvérifiant f(0) = 0.
(1) Montrer qu’il existe c2]0,1[ tel que f(c)=(1c)f0(c).
(2) Montrer qu’il existe c2]0,⇡/2[ tel que f(c) tan(c)=f0(c).
Exercice 8.(Examen Janvier 2009) Soit fla fonction définie sur [0,⇡/2] par
f(x)=psin(x)+x.
(1) Montrer que fdéfinit une bijection de [0,⇡/2] sur un intervalle que l’on
précisera.
(2) Justifier que f1est continue sur cet intervalle, et que cette fonction est
dérivable sur un intervalle que l’on déterminera.
(3) Calculer (f1)0(1 + ⇡/2).
Exercice 9.Soit fla fonction définie par f(x)= x3
6+x 3+1 3.On définit la suite
(un)en posant u0=0et un+1 =f(un)pour n2N.
(1) Montrer que la suite (un)est croissante. Montrer que l’on a f(3/4) <3/4et
en déduire que, pour tout n2N,un<3/4.
(2) Montrer que (un)admet une limite ltelle que l=f(l)et 0l3/4.
1

2
(3) Montrer que, pour tout n2N,ona0lun+1 2/3(lun).En déduire
l’encadrement 0lun(2/3)n.
(4) Comment peut-on choisir l’entier npour que unsoit une valeur approchée
de là102près ?
(5) Soit le polynôme P=X34X+2.Montrer que lest la seule racine de P
dans l’intervalle [0,1].
Correction 1. Soit x\neq y.
|f(x)f(y)
xy||xy|!
x!y0donc fest continue et dérivable et de dérivée nulle.
Correction 2. 1) f(a+h)f(ah)
2h=f(a+h)f(a)+f(a)f(ah) 2h=1 2(f(a+h)f(a) h+
f(ah)f(a)
h)!
h!0f0(a)
2) La fonction valeur absolue en a=0vérifie que ce taux d’accroissement est nul
mais n’est pas dérivable en 0.
Correction 3. 1) sin(1/x)est borné et sin(x)tend vers 0donc fapourlimite
0en 0on peut la prolonger par continuité.
2) fest dérivable sur R⇤donc gaussi. En g(x)
x=f(x)tend vers 0 si x tend vers 0
donc g est dérivable en 0et g0(0) = 0.
En a6=0g0(a)=f(a)af0(a).
Correction 4. On trouve :
1
2p1+x2sin2x(2xsin2(x)+2x2sin(x) cos(x))
exp(1/x)1
x2(exp(1/x)1)(exp(1/x)+1) exp(1/x)1 x2
(exp(1/x)1)2=2exp(1/x)1
x2
(exp(1/x)1)2
1sin(x)
1+sin(x)
cos(x)(1sin(x))(1+sin(x))(cos(x))
(1sin(x))2=2 cos(x) 1sin(x)2
sin(xsin(x))xsin(x)(cos(x)ln(x)+ sin(x)
x)
Correction 5. 1) f est continue et dérivable sur \mathbb{R} et sa dérivée
vérifie f’(x)=1+e^x qui est strictement positive.
Alors f est strictement croissante et est donc bijective.
2) De plus comme f’ ne s’annule pas alors g est dérivable et g0(1) = 1
f0(f1(1) =
1
1+e0=1 2.
De plus g’ est dérivable (comme quotient et composée de fonctions dérivables) et
g00(x)= eg(x)g0(x)
(1+eg(x))2
Et donc g00 (1) = 1
2
4=1 8.

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Correction 6. 1)
On pose f(t)=tx=exln(t). Alors f est définie et dérivable sur \mathbb{R}_+^*
et f0(t)=xtx1
fvérifieleshypohtèsesduthéorèmedesaccroissementsfinisetonaqu’ilexistec
\in ]y,z[ :
f(z)f(y)=(zy)xcx1
C’ets le résultat demandé.
2)
D’après la question précédente, on trouve c\in ]7,10[ et d\in ]2,5[ telque que :
10x7x5x+2
x=3xcx13xdx1=3x(cx1dx1)
Or si x-1 \neq 0, t\mapsto t^{x-1} est bijective sur \mathbb{R}^*_+ mais c et
dappartiennentàdesintervallesdisjointsdonclesseulesvaleurspossiblesd’annu-
lation sont pour x=0 ou x=1.
Correction 7. 1)
Posons g(x)=(1-x)f(x) alors g est dérivable sur \mathbb{R} et vérifie que g(0)=g(1)=0.
Le théorème de Rolle assure l’existance de c\in ]0,1[ tel que :
g0(c)=0,f(c)+(1c)f0(c)=0
qui est le résultat demandé.
2)
Posons g(x)=\cos(x)f(x) alors g est dérivable sur \mathbb{R} et vérifie que g(0)=g(\frac{\pi}{2})=0.
Le théorème de Rolle assure l’existance de c\in ]0,\frac{\pi}{2}[ tel que :
g0(c)=0,sin(c)f(c) + cos(c)f0(c)=0,f0(c) = tan(c)f(c)
qui est le résultat demandé.
Correction 8. 1) f est dérivable sur ]0,\frac{\pi}{2}[ et f’(x)=1+\frac{\cos(x)}{2\sqrt{\sin(x)}}
est strictement positif donc f est strictement croissante et est donc bijective sur
[0,\frac{\pi}{2}] à valeurs dans [0,\frac{\pi}{2}+1].
2) Le théorème de la bijection monotone assure que f^{-1} est continue, or f’ ne
s’annule pas donc f^{-1} est dérivable comme f sur ]0,\frac{\pi}{2}].
3) On voit que f1(1 + ⇡/2) = ⇡
2et donc :
(f1)0(1 + ⇡/2) = 1
1+ cos( ⇡
2)
2psin( ⇡
2)
=1

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Correction 9. 1) On montre par récurrence immédiate que u_n\in \ma-
thbb{R}_+ pour tout n. Or f(\mathbb{R}_+)\subset \mathbb{R}_+ et f est
croissante sur \mathbb{R}_+. Donc u est monotone. u_1=\frac{1}{3}>u_0=0
donc u est croissante.
De plus f(3
4)= 9 128 +1 4+1 3⇡0,654 <3 4.Donc[0,\frac{3}{4}]eststabiliséparf
et u_n\in [0,\frac{3}{4}] pour tout n.
2) (u_n) est croissante majorée donc admet une limite l. Par passage à la limite
l\in[0,\frac{3}{4}]etparpassageàlalimitedansl’équationu_{n+1}=f(u_n).
Comme f est continue, on a f(l)=l.
3) Ecrivons que l-u{n+1}=f(l)-f(u_n) et donc par le théorème des accroissements
finis
l-u{n+1}=f(l)-f(u_n)=f’(c)(l-u_n). Or f0(x)=x2/2+ 1
3et 0f0(x)27 128 +1 3<2 3
d’où l’encadrement et par récurrence immédiate :
0unl(2
3)n(lu0)<(2 3)n
4) Oui on peut il suffit que (2
3)n<0,01 donc n>12.
5) On vérifie que la fonction associée à P est décroissante. elle vaut 2 en 0 et -1 en
1. Donc P a exactement un 0 dans [0,1].
On écrit f(l)=l,l3/6+l/3+1/3=l,l34l+2=0 et l est l’unique racine
de P dans [0,1].
Correction 1.
Correction 1.
Correction 1.
Correction 1.
Correction 1.
Correction 1.