TD 4 (fonctions dérivables)

Exercice 1. Soit f une fonction définie sur R vérifiant
|f (x)
f (y)|  (x
y)2 ,
Est-ce que f est continue, dérivable sur R ?
x, y 2 R.
Exercice 2. Soient I un intervalle réel, a 2 I et f une fonction définie sur I.
(1) On suppose que f est dérivable en a. Montrer qu’alors limh!0
est finie.
f (a+h) f (a h)
2h
(2) La réciproque est-elle vraie ?
Exercice 3.
1) Montrer que la fonction f : x 7! sin(x) sin(1/x) est prolongeable par continuité
en 0.
⇢
xf (x) si x 6= 0
2) La fonction g : x 7!
est-elle dérivable sur R ? Calculer g 0 (x)
0
si x = 0
en tout point x où g est dérivable.
Exercice 4. Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
✓
◆
q
exp(1/x) + 1
1 + sin x
x 7! 1 + x2 sin2 (x), x 7!
, x 7! ln
, x 7! cos(xsin x ).
exp(1/x) 1
1 sin x
Exercice 5. Soit f : x 7! x + ex .
(1) Montrer que f est une bijection de R sur R. On note g sa réciproque.
(2) Montrer que g est deux fois dérivable. Calculer g(1), g 0 (1) et g 00 (1).
Exercice 6. Soient x, y, z des réels tels que 0 < y < z.
(1) Montrer qu’il existe c 2]y, z[ tel que z x
(2) Résoudre l’équation 10
x
x
7
x
y x = x(z
y)cx
1
.
x
5 + 2 = 0.
Exercice 7. Soit f une fonction dérivable sur R vérifiant f (0) = 0.
(1) Montrer qu’il existe c 2]0, 1[ tel que f (c) = (1
c)f 0 (c).
(2) Montrer qu’il existe c 2]0, ⇡/2[ tel que f (c) tan(c) = f 0 (c).
Exercice
p 8. (Examen Janvier 2009) Soit f la fonction définie sur [0, ⇡/2] par
f (x) = sin(x) + x.
(1) Montrer que f définit une bijection de [0, ⇡/2] sur un intervalle que l’on
précisera.
(2) Justifier que f 1 est continue sur cet intervalle, et que cette fonction est
dérivable sur un intervalle que l’on déterminera.
(3) Calculer (f
1 0
) (1 + ⇡/2).
3
Exercice 9. Soit f la fonction définie par f (x) = x6 +
(un ) en posant u0 = 0 et un+1 = f (un ) pour n 2 N.
x
3
+ 13 . On définit la suite
(1) Montrer que la suite (un ) est croissante. Montrer que l’on a f (3/4) < 3/4 et
en déduire que, pour tout n 2 N, un < 3/4.
(2) Montrer que (un ) admet une limite l telle que l = f (l) et 0  l  3/4.
1
2
(3) Montrer que, pour tout n 2 N, on a 0  l
l’encadrement 0  l un  (2/3)n .
un+1  2/3(l
un ). En déduire
(4) Comment peut-on choisir l’entier n pour que un soit une valeur approchée
de l à 10 2 près ?
(5) Soit le polynôme P = X 3
dans l’intervalle [0, 1].
4X + 2. Montrer que l est la seule racine de P
Correction 1. Soit x\neq y.
|
f (x) f (y)
x y
f (a
y| ! 0 donc f est continue et dérivable et de dérivée nulle.
|| x
x!y
Correction 2. 1)
h) f (a)
) ! f 0 (a)
h
f (a+h) f (a h)
2h
=
f (a+h) f (a)+f (a) f (a h)
2h
= 12 ( f (a+h)h
f (a)
+
h!0
2) La fonction valeur absolue en a = 0 vérifie que ce taux d’accroissement est nul
mais n’est pas dérivable en 0.
Correction 3. 1) sin(1/x) est borné et sin(x) tend vers 0 donc f a pour limite
0 en 0 on peut la prolonger par continuité.
2) f est dérivable sur R⇤ donc g aussi. En
donc g est dérivable en 0 et g 0 (0) = 0.
En a 6= 0 g 0 (a) = f (a)
g(x)
x
= f (x) tend vers 0 si x tend vers 0
af 0 (a).
Correction 4. On trouve :
2
p
1
(2x sin2 (x)
1+x2 sin2 x
+ 2x2 sin(x) cos(x))
exp(1/x) x21 (exp(1/x) 1) (exp(1/x)+1) exp(1/x) x21
(exp(1/x) 1)2
1 sin(x) cos(x)(1 sin(x)) (1+sin(x))(
1+sin(x)
(1 sin(x))2
cos(x))
sin(xsin(x) )xsin(x) (cos(x) ln(x) +
=
=
exp(1/x) x21
1)2
2 (exp(1/x)
2 cos(x)
1 sin(x)2
sin(x)
x )
Correction 5. 1) f est continue et dérivable sur \mathbb{R} et sa dérivée
vérifie f’(x)=1+e^x qui est strictement positive.
Alors f est strictement croissante et est donc bijective.
2) De plus comme f’ ne s’annule pas alors g est dérivable et g 0 (1) =
1
1
1+e0 = 2 .
f 0 (f
1
1 (1)
=
De plus g’ est dérivable (comme quotient et composée de fonctions dérivables) et
g 00 (x) =
eg(x) g 0 (x)
(1+eg(x) )2
Et donc g 00 (1) =
1
2
4
=
1
8 .
3
Correction 6. 1)
On pose f (t) = tx = ex ln(t) . Alors f est définie et dérivable sur \mathbb{R}_+^*
et f 0 (t) = xtx 1
f vérifie les hypohtèses du théorème des accroissements finis et on a qu’il existe c
\in ]y,z[ :
f (z)
y)xcx
f (y) = (z
1
C’ets le résultat demandé.
2)
D’après la question précédente, on trouve c\in ]7,10[ et d\in ]2,5[ telque que :
10x
7x
5x + 2x = 3xcx
1
3xdx
1
= 3x(cx
1
dx
1
)
Or si x-1 \neq 0, t\mapsto t^{x-1} est bijective sur \mathbb{R}^*_+ mais c et
d appartiennent à des intervalles disjoints donc les seules valeurs possibles d’annulation sont pour x=0 ou x=1.
Correction 7. 1)
Posons g(x)=(1-x)f(x) alors g est dérivable sur \mathbb{R} et vérifie que g(0)=g(1)=0.
Le théorème de Rolle assure l’existance de c\in ]0,1[ tel que :
g 0 (c) = 0 ,
c)f 0 (c) = 0
f (c) + (1
qui est le résultat demandé.
2)
Posons g(x)=\cos(x)f(x) alors g est dérivable sur \mathbb{R} et vérifie que g(0)=g(\frac{\pi}{2})=0.
Le théorème de Rolle assure l’existance de c\in ]0,\frac{\pi}{2}[ tel que :
g 0 (c) = 0 ,
sin(c)f (c) + cos(c)f 0 (c) = 0 , f 0 (c) = tan(c)f (c)
qui est le résultat demandé.
Correction 8. 1) f est dérivable sur ]0,\frac{\pi}{2}[ et f’(x)=1+\frac{\cos(x)}{2\sqrt{\sin(x)}}
est strictement positif donc f est strictement croissante et est donc bijective sur
[0,\frac{\pi}{2}] à valeurs dans [0,\frac{\pi}{2}+1].
2) Le théorème de la bijection monotone assure que f^{-1} est continue, or f’ ne
s’annule pas donc f^{-1} est dérivable comme f sur ]0,\frac{\pi}{2}].
3) On voit que f
1
(1 + ⇡/2) =
(f
1 0
⇡
2
et donc :
) (1 + ⇡/2) =
1
cos( ⇡
2)
1+ p
2
sin( ⇡
2)
=1
4
Correction 9. 1) On montre par récurrence immédiate que u_n\in \mathbb{R}_+ pour tout n. Or f(\mathbb{R}_+)\subset \mathbb{R}_+ et f est
croissante sur \mathbb{R}_+. Donc u est monotone. u_1=\frac{1}{3}>u_0=0
donc u est croissante.
9
De plus f ( 34 ) = 128
+ 14 + 13 ⇡ 0, 654 < 34 . Donc [0,\frac{3}{4}] est stabilisé par f
et u_n\in [0,\frac{3}{4}] pour tout n.
2) (u_n) est croissante majorée donc admet une limite l. Par passage à la limite
l \in [0,\frac{3}{4}] et par passage à la limite dans l’équation u_{n+1}=f(u_n).
Comme f est continue, on a f(l)=l.
3) Ecrivons que l-u{n+1}=f(l)-f(u_n) et donc par le théorème des accroissements
finis
l-u{n+1}=f(l)-f(u_n)=f’(c)(l-u_n). Or f 0 (x) = x2 /2+ 13 et 0  f 0 (x) 
d’où l’encadrement et par récurrence immédiate :
0  un
l  ( 23 )n (l
27
1
128 + 3
<
2
3
u0 ) < ( 23 )n
4) Oui on peut il suffit que ( 23 )n < 0, 01 donc n > 12.
5) On vérifie que la fonction associée à P est décroissante. elle vaut 2 en 0 et -1 en
1. Donc P a exactement un 0 dans [0,1].
On écrit f (l) = l , l3 /6 + l/3 + 1/3 = l , l3
de P dans [0,1].
Correction 1.
Correction 1.
Correction 1.
Correction 1.
Correction 1.
Correction 1.
4l + 2 = 0 et l est l’unique racine