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MATHÉMATIQUES I
Filière PC
MATHÉMATIQUES I
Les calculatrices sont autorisées.
Le problème porte sur l’étude des séries factorielles, séries de fonctions de la
forme
n!
-.
∑ an -------------------------------------------------------------x ( x + 1 ) ( x + 2 )… ( x + n )
n≥0
Les parties I et II traitent d’un exemple. Les parties III, IV et V, indépendantes
des deux premières, ont pour objet l’étude de propriétés de la somme d’une série
factorielle convergente sur l’intervalle ]0, +∞ [ .
Partie I - Préliminaires
I.A - Pour tout entier p naturel non nul, on pose :
1
∀n ∈ IN∗ , u(n, p) = ----------------------------------------------n ( n + 1 )… ( n + p )
I.A.1)
I.A.2)
Montrer que la série
On pose :
∑ u(n, p)
est convergente.
n≥1
+∞
σ( p) =
∑ u(n, p)
n=1
Calculer σ(1) .
I.A.3)
Pour p ≥ 2 , et pour n quelconque dans IN∗ ,
exprimer u(n, p – 1) – u(n + 1, p – 1) en fonction denp et u(n, p) .
I.A.4)
En déduire la valeur de σ( p) en fonction de p , pour p ≥ 2 .
I.B - Soient q un entier ≥ 2 et N un entier naturel ≥ 1 .
Donner une majoration du reste
+∞
R( N , q ) =
1
-----qn = N + 1n
∑
en le comparant à une intégrale.
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Partie II - Un exemple d’accélération de la convergence
II.A II.A.1) Montrer par récurrence l’existence de trois suites ( a p ) , ( b p ) et ( c p )
d’entiers naturels définies pour p ≥ 2 telles que, pour tout réel x strictement
positif et pour tout entier p on ait :
1
----3- =
x
II.A.2)
II.A.3)
II.A.4)
p
bpx + cp
ak
- + ----------------------------------------------------------------∑ -------------------------------------------3
x ( x + 1 )… ( x + k )
x ( x + 1 ) ( x + 2 )… ( x + p )
k=2
Exprimer a p + 1 , b p + 1 et c p + 1 à l’aide de p , b p et c p .
Montrer que : ∀ p ≥ 2 , b p ≥ c p ≥ 0 .
Calculer a p , b p , c p pour p = 2, 3 et 4 .
II.B - On désire calculer une valeur décimale approchée de
+∞
ζ(3) =
1
-----3n
n=1
∑
–5
avec une erreur inférieure ou égale à ε = 5 ⋅ 10 .
II.B.1) En utilisant I.B, déterminer un entier naturel N suffisant pour que
+∞
1
-----3- soit inférieur à ε .
n = N + 1n
∑
II.B.2)
Donner un majorant simple de :
b4 n + c4
-----------------------------------------------3
n = N + 1 n ( n + 1 )… ( n + 4 )
+∞
∑
et montrer, à l’aide de tout ce qui précède, comment calculer ζ(3) pour la même
valeur de ε avec une valeur de N moins grande que celle trouvée à la
question II.B.1.
II.B.3) Donner une valeur décimale approchée à ε près (par défaut) de ζ(3) en
utilisant ce qui précède.
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Partie III - Séries factorielles
III.A III.A.1) Pour tout entier naturel n et pour tout réel x strictement positif, on
pose :
u n( x)
n!
1
.
u n( x) = --------------------------------------------- , v n( x) = -------------------- , w n( x) = ------------x
v n( x)
x ( x + 1 )… ( x + n )
(n + 1)
Montrer que la série de terme général
wn ( x )
ln ⎛ -----------------------⎞ , définie pour n ≥ 1 , est convergente.
⎝ w n – 1 ( x )⎠
III.A.2) En déduire qu’il existe l ( x ) (dépendant de x et strictement positif) tel
que :
lim
n → +∞
u n( x)
------------- = l ( x ) .
v n( x)
III.B - Soit ( a n ) n ≥ 0 une suite de complexes et x un réel strictement positif.
Montrer que la série
∑ an un ( x )
est absolument convergente (en abrégé AC) si
n≥0
et seulement si la série
∑ an vn ( x )
est AC.
n≥0
III.C - On désigne désormais par
IN telles que la série
∑ an un ( x )
A
l’ensemble des suites ( a n ) n ≥ 0 indexées par
soit AC pour tout réel x strictement positif.
n≥0
Soit a = ( a n ) n ≥ 0 un élément de A , montrer que :
III.C.1) la fonction f a définie par :
+∞
x a f a( x ) =
∑ an un ( x )
n=0
est continue sur l’intervalle ]0, +∞ [ .
III.C.2) la fonction f a tend vers 0 en +∞ .
III.D III.D.1) Donner un exemple d’un élément a de A avec a n non nul pour tout
entier n .
III.D.2) Donner un exemple d’une suite ( a n ) n ≥ 0 qui ne soit pas un élément de
A.
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III.E - Soit a un élément de A .
1
III.E.1) Montrer que, pour tout entier n la fonction x a u n(x) est de classe C
sur l’intervalle ]0, +∞ [ et que :
1
n
∀ x > 0 , u′ n( x) ≤ u n( x) ⎛ --- + ln ⎛ 1 + ---⎞ ⎞
⎝x
⎝
x⎠ ⎠
1
III.E.2) En déduire que la fonction f a est de classe C sur l’intervalle ]0, +∞ [ .
N.B. On dira alors que la fonction f a est développable en série factorielle (sousentendu ici sur ]0, +∞ [ et en abrégé DSFA) et on admettra qu’un tel développement est unique.
Partie IV - Représentation intégrale
IV.A IV.A.1)
Soit n un entier naturel. On pose :
n
∀k = 0… n , P k =
∏
( X + i) .
i = 0, i ≠ k
Montrer que les polynômes P k forment une base de l’espace vectoriel IRn [ X ] des
polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à n .
IV.A.2) En déduire qu’il existe des rationnels indépendants de x notés
α 0, α 1, …α n tels que :
n!
∀ x > 0 , --------------------------------------------------------------- =
x ( x + 1 ) ( x + 2 )… ( x + n )
n
αk
.
∑ -----------x+k
k=0
Exprimer α k en fonction de k et n .
IV.B - Montrer, pour x > 0 et k entier naturel, l’existence de l’intégrale :
1
∫0 ( 1 – y )
x–1+k
dy
et calculer sa valeur en fonction de k et x .
IV.C - Montrer que :
∀ x > 0 , ∀n ∈ IN ,
1
x–1 n
∫0 ( 1 – y ) y d y =
En déduire que, pour tout élément a de A , on a :
+∞
∀ x > 0 , f a( x) =
1
n!
--------------------------------------------- .
x ( x + 1 )… ( x + n )
∑ an ∫0 ( 1 – y )
x–1 n
y dy .
n=0
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IV.D - Soit a un élément de A .
n
IV.D.1) Montrer que la série entière ∑ a n y a un rayon de convergence supén
≥
0
rieur ou égal à 1 .
On note φ a la fonction définie sur [ 0, 1 [ par :
+∞
φ a( y) =
∑ an y
n
.
n=0
IV.D.2)
Montrer que la fonction x a
1
∫0 ( 1 – y )
x–1
φ a( y) d y est définie sur ]0, +∞ [ ,
DSFA sur ce même intervalle et égale à f a .
Partie V - Dérivabilité d’une série factorielle
V.A - On reprend les notations des parties III et IV.
V.A.1) Montrer que la fonction x a f a ( x ) est dérivable sur l’intervalle ]0, +∞ [
et que :
∀ x > 0 , f ′a ( x ) =
1
∫0 ( 1 – y )
x–1
φ a( y)ln ( 1 – y ) d y .
V.A.2) Montrer que la fonction ψ a : y a φ a( y)ln ( 1 – y ) est développable en série
entière sur l’intervalle ]—1, 1[ .
V.A.3) On pose :
(n)
∀n ∈ IN , b n
ψa ( 0 )
= ------------------.
n!
Vérifier que b 0 = 0 et que :
n–1
∀n ∈ IN* , b n = –
∑
p=0
ap
------------- .
n– p
V.B - Soient x > 0 et N ≥ 1 . Montrer :
N
N–1
N–p
bn
⎛
⎞
1
------------------≤
a
- .
⎜
∑ ( n + 1 ) x ∑ p ⎝ ∑ k--------------------------------x⎟
⎠
n=1
p=0
k = 1 (k + p + 1)
V.C - Montrer que, pour tout entier p tel que 0 ≤ p ≤ N – 1 , on a :
N–p
+∞
dt
1
1
---------------------------------x- ≤ --------------------- + ∫ -------------------------------x- .
x
1
t(t + p + 1)
( p + 1)
k = 1 k(k + p + 1)
∑
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V.D - Montrer que :
N–p
1
1
1
ln ( p + 1 )
---------------------------------x- ≤ ----------------------- + ⎛ 1 + ---⎞ --------------------x- .
x
⎝
x⎠ ( p + 1 )
k
(
k
+
p
+
1
)
(
p
+
1
)
k=1
bn
V.E - En déduire que la série de terme général ------------------- est AC pour x > 0 .
x
(n + 1)
V.F - Montrer enfin que la fonction f ′ a est DSFA sur l’intervalle ]0, +∞ [ et que :
∑
+∞
∀ x > 0 , f ′a ( x ) =
∑ bn un ( x ) .
n=0
V.G - Exemple
Montrer que la fonction x a f ( x ) = --1- est DSFA sur ]0, +∞ [ et calculer les coeffix
cients notés a′ n et a″ n pour les fonctions f ′ et f ″ pour n = 0, 1, 2, 3, 4 .
Vérifier qu’on retrouve ainsi les calculs faits en seconde partie.
••• FIN •••
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