centrale pc

MATHÉMATIQUES I
Concours Centrale-Supélec 2009 1/6
MATHÉMATIQUES I Filière PC
Les calculatrices sont autorisées.
Le problème porte sur l’étude des séries factorielles, séries de fonctions de la
forme
.
Les parties I et II traitent d’un exemple. Les parties III, IV et V, indépendantes
des deux premières, ont pour objet l’étude de propriétés de la somme d’une série
factorielle convergente sur l’intervalle .
Partie I - Préliminaires
I.A - Pour tout entier naturel non nul, on pose :
,
I.A.1) Montrer que la série est convergente.
I.A.2) On pose :
Calculer .
I.A.3) Pour , et pour quelconque dans ,
exprimer en fonction de et .
I.A.4) En déduire la valeur de en fonction de , pour .
I.B - Soient un entier et un entier naturel .
Donner une majoration du reste
en le comparant à une intégrale.
an
n!
xx 1+()x2+()…xn+()
---------------------------------------------------------------
n0≥
∑
]0 +∞,[
p
n∀IN∗ ∈un p,() 1
nn 1+()…np+()
-----------------------------------------------
=
un p,()
n1≥
∑
σp() un p,()
n1=
+∞
∑
=
σ1()
p2≥nIN∗
un p 1–,()un 1+p1–,()–
n
punp,()
σp() pp2≥
q 2≥N 1≥
RN q,() 1
nq
------
nN1+=
+∞
∑
=

Concours Centrale-Supélec 2009 2/6
Filière PC
MATHÉMATIQUES I Filière PC
Partie II - Un exemple d’accélération de la convergence
II.A -
II.A.1) Montrer par récurrence l’existence de trois suites , et
d’entiers naturels définies pour telles que, pour tout réel strictement
positif et pour tout entier on ait :
II.A.2) Exprimer , et à l’aide de , et .
II.A.3) Montrer que : , .
II.A.4) Calculer , , pour et .
II.B - On désire calculer une valeur décimale approchée de
avec une erreur inférieure ou égale à .
II.B.1) En utilisant I.B, déterminer un entier naturel suffisant pour que
soit inférieur à .
II.B.2) Donner un majorant simple de :
et montrer, à l’aide de tout ce qui précède, comment calculer pour la même
valeur de avec une valeur de moins grande que celle trouvée à la
question II.B.1.
II.B.3) Donner une valeur décimale approchée à près (par défaut) de en
utilisant ce qui précède.
ap () bp () cp ()
p2≥x
p
1
x3
----- ak
xx 1+()…xk+()
--------------------------------------------- bpxc
p
+
x3x1+()x2+()…xp+()
------------------------------------------------------------------
+
k2=
p
∑
=
ap1+bp1+cp1+pb
pcp
p∀2≥bpcp0≥≥
apbpcpp23,=4
ζ3() 1
n3
------
n1=
+∞
∑
=
ε510
5–
⋅=
N
1
n3
------
nN1+=
+∞
∑ε
b4nc
4
+
n3n1+()…n4+()
-------------------------------------------------
nN1+=
+∞
∑
ζ3()
εN
ε ζ 3()

MATHÉMATIQUES I Filière PC
Concours Centrale-Supélec 2009 3/6
Partie III - Séries factorielles
III.A -
III.A.1) Pour tout entier naturel et pour tout réel strictement positif, on
pose :
, , .
Montrer que la série de terme général
, définie pour , est convergente.
III.A.2) En déduire qu’il existe (dépendant de et strictement positif) tel
que :
.
III.B - Soit une suite de complexes et un réel strictement positif.
Montrer que la série est absolument convergente (en abrégé AC) si
et seulement si la série est AC.
III.C - On désigne désormais par l’ensemble des suites indexées par
telles que la série soit AC pour tout réel strictement positif.
Soit un élément de , montrer que :
III.C.1) la fonction définie par :
est continue sur l’intervalle .
III.C.2) la fonction tend vers en .
III.D -
III.D.1) Donner un exemple d’un élément de avec non nul pour tout
entier .
III.D.2) Donner un exemple d’une suite qui ne soit pas un élément de
.
nx
unx() n!
xx 1+()…xn+()
---------------------------------------------
=vnx() 1
n1+()
x
--------------------
=wnx() unx()
vnx()
-------------
=
ln wnx()
wn1–x()
-----------------------
⎝⎠
⎛⎞ n1≥
lx() x
unx()
vnx()
-------------
n+∞→
lim lx()=
an
()
n0≥x
anunx()
n0≥
∑
anvnx()
n0≥
∑
Aan ()
n0≥
IN anunx()
n0≥
∑x
aa
n
()
n0≥
= A
fa
xf
ax() anunx()
n0=
+∞
∑
=a
]0 +∞,[
fa0+∞
a Aan
n
an
()
n0≥
A

MATHÉMATIQUES I Filière PC
Concours Centrale-Supélec 2009 4/6
III.E - Soit un élément de .
III.E.1) Montrer que, pour tout entier la fonction est de classe
sur l’intervalle et que :
,
III.E.2) En déduire que la fonction est de classe sur l’intervalle .
N.B. On dira alors que la fonction est développable en série factorielle (sous-
entendu ici sur et en abrégé DSFA) et on admettra qu’un tel développe-
ment est unique.
Partie IV - Représentation intégrale
IV.A -
IV.A.1) Soit un entier naturel. On pose :
, .
Montrer que les polynômes forment une base de l’espace vectoriel des
polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à .
IV.A.2) En déduire qu’il existe des rationnels indépendants de notés
tels que :
, .
Exprimer en fonction de et .
IV.B - Montrer, pour et entier naturel, l’existence de l’intégrale :
et calculer sa valeur en fonction de et .
IV.C - Montrer que :
, , .
En déduire que, pour tout élément de , on a :
, .
a A
nxu
nx()aC1
]0 +∞,[
x∀0>u′nx() unx()1
x
---ln 1 n
x
---
+
⎝⎠
⎛⎞
+
⎝⎠
⎛⎞
≤
faC1]0 +∞,[
fa
]0 +∞,[
n
k∀0… n=PkXi+()
i0=ik≠,
n
∏
=
PkIR nX[]
n
x
α0α1…αn
,,
x∀0>n!
xx 1+()x2+()…xn+()
--------------------------------------------------------------- αk
xk+
------------
k0=
n
∑
=
αkkn
x0>k
1y–()
x1–k+yd
0
1
∫
kx
x∀0>n∀IN∈1y–()
x1–ynyd
0
1
∫
n!
xx 1+()…xn+()
---------------------------------------------
=
a
A
x∀0>fax() an1y–()
x1–ynyd
0
1
∫
n0=
+∞
∑
=

MATHÉMATIQUES I Filière PC
Concours Centrale-Supélec 2009 5/6
IV.D - Soit un élément de .
IV.D.1) Montrer que la série entière a un rayon de convergence supé-
rieur ou égal à .
On note la fonction définie sur par :
.
IV.D.2) Montrer que la fonction est définie sur ,
DSFA sur ce même intervalle et égale à .
Partie V - Dérivabilité d’une série factorielle
V.A - On reprend les notations des parties III et IV.
V.A.1) Montrer que la fonction est dérivable sur l’intervalle
et que :
, .
V.A.2) Montrer que la fonction : est développable en série
entière sur l’intervalle .
V.A.3) On pose :
, .
Vérifier que et que :
, .
V.B - Soient et . Montrer :
.
V.C - Montrer que, pour tout entier tel que , on a :
.
a A
anyn
n0≥
∑
1
φa01,[[
φay() anyn
n0=
+∞
∑
=
x1y–()
x1–φay() yd
0
1
∫
a]0 +∞,[
fa
xf
ax()a]0 +∞,[
x∀0>f′ax() 1y–()
x1–φay()ln 1 y–()yd
0
1
∫
=
ψayφay()ln 1 y–()a
]—1 1,[
n∀IN∈bn
ψa
n()
0()
n!
-------------------
=
b00=
n∀IN * ∈bn
ap
np–
-------------
p0=
n1–
∑
–=
x0>N1≥
bn
n1+()
x
--------------------
n1=
N
∑ap
1
kk p 1++()
x
----------------------------------
k1=
Np–
∑
⎝⎠
⎜⎟
⎛⎞
p0=
N1–
∑
≤
p0pN1–≤≤
1
kk p 1++()
x
----------------------------------
k1=
Np–
∑1
p1+()
x
---------------------td
tt p 1++()
x
--------------------------------
1
+∞
∫
+≤