Seconde ROME Feuille d`exercices sur les nombres et les calculs

Seconde ROME
Feuille d'exercices sur les nombres et
les calculs
19/09/2007
Exercice 1 :
Un entier naturel est parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs autres que lui-
même.
Euler, mathématicien suisse du XVIII ième siècle, a prouvé en 1749 que tout nombre
parfait pair est de la forme 2n(2n+1 – 1).
a) Compléter le tableau ci-dessous :
n
1
2
3
4
5
6
2n(2n+1 – 1)
b) Parmi les six nombres précédents, quels sont ceux qui sont parfaits ?
Exercice 2 :
Un satellite en orbite circulaire autour de la Terre a une vitesse V (en m.s-1) donnée
par la formule : V =
GxM
r
où G est la constante de gravitation universelle (
G = 6,67x10-11) M est la masse de la Terre (M = 6x1024 kg) et r est le rayon (en m) de
l'orbite du satellite (Rayon de la Terre : 6 370 km).
Calculer la vitesse du satellite METEOSAT dont l'altitude est de 35 800 km.
Exercice 3 : Le nombre d'or
I) Lien algèbre et géométrie :
a) Tracer un carré ABCD de côté 3 cm
b) On appelle I le milieu de [DC]. Tracer le segment [BI].
Le cercle de centre I et de rayon IB coupe la droite (DC) en E.
Placer le point F pour que AFED soit un rectangle.
c) Calculer la longueur IB. En déduire la longueur DE.
d) Montrer que
DE
AD
=
1 5
2
Ce nombre noté s'appelle le nombre d'or. (On retouve ce nombre dans des domaines
très variés : architecture, biologie, botanique,etc...)
II) Quelques propriétés de :
1) Calculer à la calculatrice et en donner une approximation à 10-4 près.
2) A quel ensemble le plus petit possible semble appartenir ?
3) Montrer que - 1 = -1
4) Montrer que est solution de l'équation x2 = x + 1
5) En déduire 2