Seconde ROME Feuille d'exercices sur les nombres et 19/09/2007 les calculs Exercice 1 : Un entier naturel est parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs autres que luimême. Euler, mathématicien suisse du XVIII ième siècle, a prouvé en 1749 que tout nombre parfait pair est de la forme 2n(2n+1 – 1). a) Compléter le tableau ci-dessous : n 1 2 3 4 5 6 2n(2n+1 – 1) b) Parmi les six nombres précédents, quels sont ceux qui sont parfaits ? Exercice 2 : Un satellite en orbite circulaire autour de la Terre a une vitesse V (en m.s-1) donnée par la formule : V = GxM où G est la constante de gravitation universelle r ( G = 6,67x10-11) M est la masse de la Terre (M = 6x1024 kg) et r est le rayon (en m) de l'orbite du satellite (Rayon de la Terre : 6 370 km). Calculer la vitesse du satellite METEOSAT dont l'altitude est de 35 800 km. Exercice 3 : Le nombre d'or I) Lien algèbre et géométrie : a) Tracer un carré ABCD de côté 3 cm b) On appelle I le milieu de [DC]. Tracer le segment [BI]. Le cercle de centre I et de rayon IB coupe la droite (DC) en E. Placer le point F pour que AFED soit un rectangle. c) Calculer la longueur IB. En déduire la longueur DE. d) Montrer que DE AD = 1 5 2 Ce nombre noté s'appelle le nombre d'or. (On retouve ce nombre dans des domaines très variés : architecture, biologie, botanique,etc...) II) Quelques propriétés de : 1) Calculer à la calculatrice et en donner une approximation à 10-4 près. 2) A quel ensemble le plus petit possible semble appartenir ? 3) Montrer que - 1 = -1 4) Montrer que est solution de l'équation x2 = x + 1 5) En déduire 2