Equations autonomes en dimension 1 - IMJ-PRG

ÉQUATIONS AUTONOMES EN DIMENSION 1
MARC CHAPERON
Proposition 1. Soit gune fonction continue réelle définie et partout non nulle
sur un intervalle ouvert J.
i) Pour tout x0∈J, l’équation
(1) dx
dt =g(x)
admet une unique solution maximale1γx0:Ix0→Jtelle que γx0(0) = x0;
elle s’obtient comme suit :
– l’intervalle ouvert Ix0est l’image de Jpar l’application x7→ Rx
x0g(s)ds,
qui définit un difféomorphisme strictement monotone hx0de Jsur Ix0;
– la solution γx0est la bijection réciproque h−1
x0.
ii) Pour tout (t0, x0)∈R×J, l’équation (1) admet une unique solution maximale
¯γt0,x0telle que ¯γt0,x0(t0) = x0; elle est définie sur t0+Ix0et donnée par
¯γt0,x0(t) = γx0(t−t0).
iii) Toute autre solution de (1) prenant la valeur x0pour t=t0est la restriction
de ¯γt0,x0à un intervalle contenu dans t0+Ix0et contenant t0.
Bref, les solutions de (1) s’obtiennent suivant la bonne vieille recette : on « sépare
les variables » en écrivant (1) sous la forme dx
g(x)=dt, d’où la solution générale
t=Zdx
g(x),
où le second membre désigne la primitive (définie à une constante près) de 1
g(x); la
constante d’intégration est déterminée par la valeur x0de la solution au temps t0.
Démonstration. Comme Jest un intervalle, il résulte du théorème des valeurs inter-
médiaires que gest soit strictement positive en tout point, soit strictement négative
en tout point. Nous traiterons le cas g > 0, l’autre étant entièrement analogue.
Dans ce cas, toute solution γ:I→Jde (1) telle que γ(0) = x0a une dérivée
γ0=g◦γcontinue et, d’après notre hypothèse sur g, strictement positive ; une
telle solution est donc C1, strictement croissante, et le théorème d’inversion locale
s’applique en tout point de son intervalle de définition ; la fonction γ, vue comme
application de γ(I)dans I, est une bijection dont l’inverse h:γ(I)→Iest C1et
a pour dérivée2
h0(x) = 1
γ0h(x)=1
gγh(x)=1
g(x).
Comme la relation γ(0) = x0s’écrit h(x0)=0, on a donc
h(x) = Zx
x0
du
g(u),
1C’est-à-dire, rappelons-le, définie sur un intervalle aussi grand que possible.
2Puisque l’identité γ◦h(x) = xdonne par dérivation h0(x)γ0◦h(x)=1
1

2 MARC CHAPERON
ce qui montre que hest la restriction de hx0à un intervalle contenu dans Jet conte-
nant x0. Je laisse le lecteur s’assurer (toujours en utilisant la formule de dérivation
d’une fonction composée) que la bijection réciproque h−1
x0est bien solution de (1)
et en déduire le reste de la proposition. 
Un exemple de non-unicité. Lorsque gs’annule, sa continuité ne suffit pas à
assurer l’unicité au sens de la proposition 1. Considérons en effet l’équation diffé-
rentielle
(2) dx
dt =p|x|.
Les hypothèses de la proposition 1 sont satisfaites par (2) sur J−= ]−∞,0[ et la
solution γx0obtenue pour x0<0est alors (exercice)
γ−
x0(t) = −√−x0−t
22
, t ∈I−
x0=−∞,2√−x0;
de même, les hypothèses de la proposition 1 sont satisfaites par (2) sur J+= ]0,∞[
et la solution γx0obtenue pour x0>0est alors (exercice)
γ+
x0(t) = √x0+t
22
, t ∈I+
x0= ]−2√x0,+∞[.
Le problème est que quand t→2√−x0(resp. quand t→2√x0) la fonction γ−
x0(t)
(resp. γ+
x0(t)) et sa dérivée tendent vers 0; on peut donc raccorder les solutions
précédentes à la solution nulle de (2) et obtenir le résultat suivant :
Proposition 2. Pour tout t0∈R, il existe une infinité de solutions de (2) définies
sur Rtout entier et nulles au point t0. Elles sont données par
γ(t) = 
−1
4(t−a)2pour t < a,
0pour a≤t≤b
1
4(t−b)2pour t > b,
où les constantes aet bvérifient −∞ ≤ a≤t0≤b≤+∞.
Le résultat suivant montre que le problème ne se serait pas posé si l’on avait pris
|x|au lieu de p|x|dans (2) :3
Proposition 3. Soient gune fonction réelle continue sur un intervalle ouvert J
et aun point de Joù g(a)=0. Si de plus il existe des réels δ > 0et C > 0tels que
(3) ∀x∈J|x−a|< δ =⇒ |g(x)| ≤ C|x−a|,
alors toute solution de (1) qui prend la valeur aest constante et égale à a.
Démonstration. Si γ:I→Jest une telle solution, l’ensemble γ−1(a)est fermé
dans Iet il est non vide par hypothèse ; comme Iest connexe (c’est un intervalle),
il suffit donc de montrer que γ−1(a)est ouvert dans Ipour prouver qu’il est égal à
I, c’est-à-dire que γ(t) = apour tout t∈I.
Étant donné t0∈γ−1(a), comme γest continue (elle est solution de (1), donc
dérivable), il existe η > 0tel que
∀t∈I|t−t0|< η =⇒ |γ(t)−a|< δ
et donc, d’après (1) et (3),
(4) ∀t∈I|t−t0|< η =⇒ |γ0(t)| ≤ C|γ(t)−a|.
3Ce que l’on peut évidemment voir en résolvant l’équation.

ÉQUATIONS AUTONOMES EN DIMENSION 13
– Pour tout t∈Ivérifiant t0≤t<t+η, on a donc
|γ(t)−a|=
Zt
t0
γ0(s)ds
≤Zt
t0|γ0(s)|ds =: f(t);
la fonction fainsi définie est de classe C1et vérifie d’après (4)
f0(t) = |γ0(t)| ≤ C|γ(t)−a|
≤Cf(t) ;
la fonction t7→ e−Ctf(t)a donc une dérivée ≤0pour t0≤t<t+η; comme
elle est à valeurs ≥0et que f(t0)=0, on en déduit que e−Ctf(t)=0pour
t0≤t<t+η, et l’inégalité |γ(t)−a| ≤ f(t)donne donc
∀t∈I t0≤t < t +η=⇒γ(t) = a.
– De même, pour tout t∈Ivérifiant t−η < t ≤t0, on a
|γ(t)−a|=
Zt
t0
γ0(s)ds
≤ Zt
t0|γ0(s)|ds
=−f(t)
et donc, d’après (4)
f0(t) = |γ0(t)| ≤ C|γ(t)−a|
≤ −Cf(t) ;
la fonction t7→ −eCtf(t)a donc une dérivée ≥0pour t−η < t ≤t0; comme
elle est à valeurs ≥0et que f(t0)=0, on en déduit que −eCtf(t)=0pour
t0≤t<t+η, et l’inégalité |γ(t)−a|≤−f(t)donne donc
∀t∈I t0≤t<t+η=⇒γ(t) = a.
Nous avons donc prouvé que γ(t) = apour tout t∈Ivérifiant |t−t0|< η ; il en
résulte bien que γ−1(a)est ouvert. 
Remarque. Ce que nous venons de faire pour « intégrer les inéquations différen-
tielles f0≤ ±Cf » est une des bases de la théorie des équations différentielles.