1 S Exercices sur les formules d`addition et de duplication Réponses

1ère S Exercices sur les formules d’addition et de duplication
1 Soit x un réel quelconque.
Développer cos
4
x et sin 3
x
.
2 Soit x un réel quelconque. Réduire les expressions suivantes :
cos 3 cos 5 sin 3 sin 5
A x x x x
;
cos cos 2 sin sin 2
B x x x x
cos 7 sin 6 sin 7 cos 6
C x x x x
;
cos 3 sin 2 cos 2 sin 3
D x x x x
.
3 Soit x un réel qui n’est pas un multiple entier de
2
. Calculer l’expression
sin 3 cos 3
sin cos
x x
A
x x
  .
4 Soit x un réel quelconque. Calculer les expressions :
2 4
cos cos cos
3 3
A x x x et
2 4
sin sin sin
3 3
B x x x .
5 Soit x un réel tel que
3
cos
3
x  . Calculer cosi
cos 2
x
.
6 On note a le réel de l’intervalle
0 ;
2
tel que
2 3
cos 2 a .
Calculer cos 2a ; en déduire la valeur de a.
7 Soit x un réel quelconque. Démontrer les égalités :
1°)
1 2cos cos 2 2cos 1 cos
x x x x
    2°)
1 2sin cos 2 2sin 1 sin
x x x x
    .
8 Donner une factorisation des expressions
1 cos 2 sin
A x x
et
1 cos 2 sin 2
B x x
.
9 Soit x un réel quelconque. Démontrer les égalités suivantes :
1°)
2
cos sin 1 sin 2
x x x
   2°) 2 2
4 cos 2 sin 3 cos 2
x x x
   3°) 4 4
cos sin cos 2
x x x
  .
10 Soit x un réel quelconque qui n’est pas un multiple entier de
2
.
1°) Simplifier
1 cos 2
sin 2
x
x
.
2°) A l’aide du 1°), calculer
tan
8
et
tan
12
.
11 Soit x un réel quelconque.
Exprimer cos 4x en fonction de cos 2x ; en déduire
cos 4
x
en fonction de cos x.
12 Soit x un réel quelconque.
En écrivant 3 2
x x x
, exprimer cos 3x en fonction de
cos
x
et sin 3x en fonction de sin x.
Réponses
1 On utilise les formules d’addition du cosinus et du sinus.
On utilise les valeurs de cosinus et de sinus de valeurs remarquables
(
2
cos
4 2
 ;
2
sin
4 2
 ;
1
cos
3 2
;
3
sin
3 2
)
2
cos 2
A x
;
cos 3
B x
;
sin
C x
;
sin 5
D x
3
2
A
(on utilise la formule
a c ad bc
b d bd
  )
4
0
A B
Méthode :
On développe les expressions avec les formules d’addition et on utilise :
2 1
cos
3 2
;
2 3
sin
3 2
 ;
4 1
cos
3 2
;
4 3
sin
3 2
Les lignes trigonométriques de
4
3
se lisent directement sur le cercle trigonométrique.
On peut aussi écrire :
4
cos cos cos
3 3 3
4
sin sin sin
3 3 3
5
1
cos 2
3
x
6
3
cos 2
2
a ;
12
a  (il faut justifier précisément avec l’intervalle) 7 8
sin 2 sin 1
A x x ;
2 sin sin cos
B x x x
9 2°) On change l’expression du 1er membre ; on change l’expression du second membre et on montre que les
deux expressions sont égales.
On exprime toutes les deux en fonctions de
2
cos
x
.
2 2 2 2 2
4 cos 2 sin 4 cos 2 1 cos 2 cos 2
x x x x x
2 2
3 cos 2 3 2cos 1 2 2cos
x x x
3°)
4 4 2 2 2 2 2 2
1
cos sin cos sin cos sin cos sin cos 2
x x x x x x x x x
 .
Attention à ne pas compliquer inutilement.
Exemple de complication inutile :

2 2 1 cos 2 1 cos 2 2cos 2
cos sin cos 2
2 2 2
x x x
x x x
On directement la formule qui nous donne cos 2x.
10 1°) 1 cos 2
tan
sin 2
x
x
x
 2°)
tan 2 1
8
;
tan 2 3
12
11
2
2
2 2 4 2
cos 4 2 cos 2 1 2 cos 2 1 2 2cos 1 1 8 cos 8 cos 1
x x x x ... x x
On a bien exprimé cos 4x en fonction de cos 2x (même si en fait, on a exprimé cos 4x en fonction de 2
cos 2
x
).
Méthode du changement de variable :
2
X x
.
2
cos 2 2 cos 1
X X
12 3
cos 3 4 cos 3 cos
x x x
  ;
3
sin 3 3 sin 4 sin
x x x
Il est conseillé de retenir ces formules. Grâce à elles, on peut retrouver le résultat de l’exercice 2 .
3
cos 3 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin 4 cos 3 cos
x x x x x x x ... x x
Ecrire
sin 2 2sin cos
x x x
puis
2 2
sin 1 cos
x x
  .
Solutions détaillées
7 Démonstrations d’égalités
Méthode (pour l’exercice présent) :
Partir du membre de gauche pour arriver au membre de droite.
Il est assez pratique de donner un nom au membre de gauche (A, B …).
10 1°)
22
1 1 2sin
1 cos 2 2sin
tan
sin 2 2sin cos 2sin cos
x
x x
x
x x x x x
2°)
Calculons
tan
8
.
On applique l’égalité du 1°) pour
8
x
.
1 cos 2
8
tan 8sin 2 8
1 cos
4
sin
4
2
1
2
2
2
2 2
2
2
2
2 2
2
2 2 2
2 2
2 2 2
2
2 2 1
2
2 1
tan 2 1
8

Calculons
tan
12
.
On applique l’égalité du 1°) pour
12
x .
1 cos 2
12
tan12 sin 2
12
1 cos
6
sin
6
3
1
2
1
2
2 3
2
1
2
2 3
2
2
1
2 3
tan 2 3
12
11 Expression de cos 4x en fonction de cos x.
Exprimons cos 4x en fonction de cos 2x.
Méthode du changement de variable :
2
X x
.
2
cos 2 2 cos 1
X X
cos 4 cos 2 2
x x
2
2 cos 2 1
x
2
2 cos 2 1
x
On a bien exprimé cos 4x en fonction de cos 2x (même si en fait, on a exprimé cos 4x en fonction de 2
cos 2
x
).
Déduisons-en cos 4x en fonction de cos x.
2
2
cos4 2 2cos 1 1
x x
2 2
2 4cos 4cos 1 1
x x
4 2
8 cos 8 cos 1
x x
12 Expressions de cos 3x en fonction de cos x et sin 3x en fonction de sin x.
3
cos 3 4 cos 3 cos
x x x
  ;
3
sin 3 3 sin 4 sin
x x x
Il est conseillé de retenir ces formules. Grâce à elles, on peut retrouver le résultat de l’exercice 2 .
cos 3 cos 2
x x x
(astuce de départ)
cos 2 cos sin 2 sin
x x x x
(formule d’addition du cosinus)
2
2cos 1 cos 2sin cos sin
x x x x x
    (formule de duplication du cosinus et du sinus)
2 2
2cos 1 cos 2cos sin
x x x x
2 2
2cos 1 cos 2cos 1 cos
x x x x
     (on utilise la formule 2 2
cos sin 1
x x
)
3 3
2 cos cos 2cos 2 cos
x x x x
3
4 cos 3cos
x x
3
cos3 4 cos 3 cos
x x x
sin 3 sin 2
x x x
(astuce de départ)
sin2 cos cos2 sin
x x x x
(formule d’addition du sinus)
2
2sin cos cos 1 2sin sin
x x x x x
     (formule de duplication du cosinus et du sinus)
2 3
2sin cos sin 2sin
x x x x
    (on développe)
2 3
2sin 1 sin sin 2sin
x x x x
    (on utilise la formule 2 2
cos sin 1
x x
)
3 3
2 sin 2sin sin 2 sin
x x x x
3
3sin 4sin
x x
3
sin3 3sin 4sin
x x x