Syst`emes linéaires, matrices et déterminants - math.univ

Universit´e de Tours Ann´ee 2016-2017
Licence L1 de Math´ematiques, Informatique et Sciences de la Mati`ere - S1
CHAPITRE 6
Syst`emes lin´eaires, matrices et d´eterminants (14h)
Dans tout ce qui suit :
m,n,p,qet rsont des entiers naturels non nuls ; K=Rou Cet ses ´el´ements sont appel´es des
scalaires.
I. Syst`emes lin´eaires
1. D´efinitions
Le syst`eme lin´eaire (S) de m´equations `a ninconnues de coefficients (ai,j )1≤i≤m, 1≤j≤net
(bi)1≤i≤ms’´ecrit :
(S)
a1,1x1+a1,2x2+. . . +a1,nxn=b1
.
.
..
.
..
.
..
.
..
.
.
ai,1x1+ai,2x2+. . . +ai,nxn=bi
.
.
..
.
..
.
..
.
..
.
.
am,1x1+am,2x2+. . . +am,nxn=bm
o`u les ai,j et bisont des scalaires fix´es et les xjsont les inconnues.
— Le syst`eme (S) est homog`ene si bi= 0 pour tout i∈ {1,· · · , m}(second membre nul).
— Le syst`eme (S) est triangulaire sup´erieur (resp. triangulaire inf´erieur) si ai,j = 0 pour tout
(i, j) tel que i>j(resp. tels que i<j).
— Une solution de (S) est un n-uplet de scalaires (x1, x2,· · · , xn)∈Knv´erifiant
simultan´ement les m´equations de (S) et r´esoudre (S) c’est trouver l’ensemble Sde ses
solutions.
— Le syst`eme (S) est compatible s’il admet au moins une solution (S 6=∅), et incompatible
sinon (S=∅).
Un syst`eme homog`ene est compatible puisqu’il admet au moins la solution nulle : (0,0,· · · ,0).
— Deux syst`emes sont ´equivalents s’ils ont les mˆemes solutions.
2. R´esolution d’un syst`eme lin´eaire par la m´ethode du pivot de Gauss
Les op´erations suivantes sur les ´equations (les lignes) de (S) s’appellent op´erations ´el´ementaires :
- ´echanger deux ´equations (deux lignes) du syst`eme, que l’on code : Lp↔Lqavec p6=q;
- multiplier une ´equation (une ligne) par un scalaire λ6= 0, que l’on code : Lp←λLp;
- ajouter `a une ´equation un multiple d’une autre ´equation, que l’on code : Lp←Lp+λLqavec
p6=q.
On prouve que par des op´erations ´el´ementaires on passe d’un syst`eme `a un syst`eme qui lui est
´equivalent.
La m´ethode du pivot de Gauss est un algorithme qui consiste `a transformer, au moyen des
op´erations ´el´ementaires, le syst`eme lin´eaire initial (S) en un syst`eme triangulaire sup´erieur (un
syst`eme ´echelonn´e) ´equivalent (S0)(donc facile `a r´esoudre par remont´ee ).
On prouve qu’un syst`eme lin´eaire admet : 0, 1 ou une infinit´e de solutions.
1

3. Interpr´etations d’un syst`eme lin´eaire
— Lorsque K=Ret n= 2 (resp. n= 3) la r´esolution du syst`eme lin´eaire (S) de la premi`ere
page peut s’interpr´eter g´eom´etriquement comme la recherche de l’ensemble des coordonn´ees
des points d’intersection de mdroites du plan (resp. de mplans de l’espace).
— Dans tous les cas, la r´esolution de (S) peut s’interpr´eter comme la recherche de l’ensemble
des ant´ec´edents de b= (b1, b2, ..., bm) par l’application (lin´eaire) fde Kndans Kmd´efinie
par :
f(x1, x2, ..., xn) = (
n
X
j=1
a1,j xj,
n
X
j=1
a2,j xj, ...,
n
X
j=1
am,j xj).
Par exemple : r´esoudre (S)2x−3y+z= 1
x−4y+z=−2dans R3c’est chercher :
- l’ensemble des coordonn´ees des points d’intersection des deux plans de l’espace d’´equations
respectives : 2x−3y+z= 1 et x−4y+z=−2 ;
- l’ensemble des ant´ec´edents de b= (1,−2) par l’application (lin´eaire) fde R3dans R2
d´efinie par : f(x, y, z) = (2x−3y+z, x −4y+z).
II. Matrices
1. D´efinitions
Une matrice Ade format (de taille ou de type) (m, n) `a coefficients dans Kest un tableau
rectangulaire de scalaires (c-`a-d : d’´el´ements de K) `a mlignes et ncolonnes :
A=
a1,1a1,2. . . a1,n
a2,1a2,2. . . a2,n
.
.
..
.
..
.
..
.
.
am,1am,2. . . am,n
.
Chaque coefficient de Aest rep´er´e par son indice de ligne (toujours donn´e en premier) et
son indice de colonne : ai,j est le scalaire situ´e `a l’intersection de la i-`eme ligne et de la j-`eme
colonne du tableau.
De mani`ere plus concise, on ´ecrira : A= (ai,j )1≤i≤m
1≤j≤n
ou encore plus simplement A= (ai,j )
lorsque son format est connu.
On note Mm,n(K) l’ensemble des matrices de type (m, n) `a coefficients dans K.
Puisque R⊂C, on a : Mm,n(R)⊂ Mm,n(C) (toute matrice r´eelle est une matrice complexe).
Deux matrices A= (ai,j ) et B= (bi,j ) sont ´egales si, et seulement si, elles sont de mˆeme type
et leurs coefficients sont ´egaux (ai,j =bi,j pour tout (i, j)), ce qui se note : A=B.
2. Matrices particuli`eres
— Dans Mm,n(K), la matrice nulle est celle dont tous les coefficients sont nuls ;
on la note Om,n ou Olorsque son format est connu.
— Une matrice ligne est un ´el´ement de M1,n(K), une matrice colonne un ´el´ement de Mm,1(K),
—Mn,n(K) est l’ensemble des matrices carr´ees (m=n) d’ordre net se note plus simplement
Mn(K).
On peut identifier M1(K) et K.
— Lorsque A= (ai,j ) est une matrice carr´ee d’ordre n, sa diagonale est le n-uplet (a1,1, ..., an,n)
de ses coefficients diagonaux.
— Une matrice diagonale est une matrice carr´ee Adont tous les coefficients sont nuls, sauf
´eventuellement ceux de sa diagonale : ai,j = 0 pour tout (i, j) tel que i6=j.
2

— La matrice identit´e d’ordre nest la matrice diagonale de Mn(K), not´ee Inou I, de diagonale
(1, ..., 1) : In= (δi,j )1≤i,j≤n, o`u δi,j est le symbole de Kronecker d´efini par :
δi,j = 1 si i=jet δi,j = 0 sinon.
— Une matrice triangulaire sup´erieure (resp. triangulaire inf´erieure) d’ordre nest une matrice
Ade Mn(K) dont tous les coefficients au-dessous (resp. au-dessus ) de sa diagonale
sont nuls : ai,j = 0 si i>j(resp. si i<j).
3. Op´erations sur les matrices
Addition
Soient A= (ai,j ) et B= (bi,j ) des matrices de mˆeme type (m, n).
La matrice somme de Aet Best la matrice S= (si,j ) de type (m, n) d´efinie par : si,j =ai,j +bi,j
pour tout (i, j)∈ {1, ..., m}×{1, ..., n}. On ´ecrit : S=A+B.
La somme matricielle A+Bn’existe que si Aet Bont la mˆeme taille.
Cette addition dans Mm,n(K) a les mˆemes propri´et´es que dans K(on effectue m×nadditions
dans K) : ∀(A, B, C)∈(Mm,n(K))3,
A+B=B+A(commutativit´e) ; A+ (B+C) = (A+B) + C(associativit´e) ;
Om,n +A=A+Om,n =A(Om,n est l’ ´el´ement neutre) ;
Aadmet une matrice oppos´ee, not´ee −A, celle dont les coefficients sont les oppos´es
de ceux de A.
La diff´erence B−Aest la matrice de Mm,n(K) ´egale `a B+ (−A) = (bi,j −ai,j ).
Multiplication par un scalaire
Soient A= (ai,j )∈ Mm,n(K) et λ∈K.
La matrice not´ee λ.A ou λA est la matrice de Mm,n(K) d´efinie par : λA = (λai,j ).
En particulier : −1.A =−A; 0.A =Om,n et 1.A =A.
Produit matriciel Soient A= (ai,j )∈ Mm,p(K) et B= (bi,j )∈ Mp,n(K).
La matrice produit de Aet B(pris dans cet ordre) est la matrice P= (pi,j ) de type (m, n) o`u :
pi,j =
p
X
k=1
ai,kbk,j pour tout (i, j)∈ {1, ..., m}×{1, ..., n}.
On l’´ecrit : P=A×Bou P=A.B ou P=AB.
Remarques aide-m´emoire :
pi,j est le produit scalaire de la i-`eme ligne de Apar la la j-`eme colonne de Bet
(m, p)×(p, n)=(m, n)
Le produit AB n’existe que si le nombre de colonnes de A´egale le nombre de lignes
de B
Par exemple : si A∈ M3,2(K) et B∈ M4,3(K), BA existe et appartient `a M4,2(K) mais
AB n’existe pas.
Si A∈ Mm,p(K) alors, AB et BA existeront simultan´ement si, et seulement si, B∈ Mp,m(K)
et dans ce cas, AB ∈ Mm(K) et BA ∈ Mp(K) ; mais, mˆeme lorsque p=m, en g´en´eral AB 6=BA :
le produit matriciel est non commutatif.
Ult´erieurement, vous verrez que ce produit biscornu a ´et´e construit pour repr´esenter la
composition de certaines applications : les applications lin´eaires.
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R`egles de calcul
∀(A1, A2, B1, B2, C1)∈(Mn,p(K))2×(Mp,q (K))2× Mq,r(K) ; ∀λ∈K,
a) In.A1=A1.Ip=A1
b) Om,n.A1=Om,p et A1.Op,m =On,m
c) λ(A1B1)=(λA1)B1=A1(λB1)Attention au format des matrices
d) (A1+A2)B1=A1B1+A2B1
e) A1(B1+B2) = A1B1+A1B2
f) (A1B1)C1=A1(B1C1)
Le plus souvent, les calculs matriciels s’effectueront dans Mn(K).
Si Aet Bappartiennent `a Mn(K) alors, A+B, AB et BA existent et appartiennent `a Mn(K) :
l’addition et le produit sont des lois de composition interne dans Mn(K).
Inest l’´el´ement neutre du produit : a),
celui-ci est associatif : f),
distributif `a droite : d) et `a gauche : e) par rapport `a l’addition.
Attention `a ne pas oublier que d`es que n>2, le produit matriciel n’est pas commutatif
(c-`a-d : on n’a pas toujours AB =BA) et que l’on peut avoir :
AB =Onavec A6=Onet B6=On.
Puissances d’une matrice carr´ee
Soit A∈ Mn(K).
La suite des puissances de A, (Ap), se d´efinit comme suit par r´ecurrence :
A0=Inet ∀p∈N∗, Ap=Ap−1.A =A.Ap−1.
Par exemple : ∀p∈N;∀λ∈K,Ip
n=Inet (λIn)p=λpIn
Lorsque A, B ∈ Mn(K)commutent (c-`a-d : AB =BA), pout tout p∈N∗, on a :
- (A+B)p=
p
X
k=0 p
kAkBp−k(formule du binˆome) ;
- (AB)p=ApBp;
-Ap−Bp= (A−B)(
p−1
X
k=0
AkBp−1−k) (´egalit´e de Bernoulli) .
λIno`u λ∈Kcommute avec toute matrice de Mn(K) : (λIn).A =A.(λIn) = λA.
Par exemple : (A+λIn)p=
p
X
k=0 p
kλp−kAket Ap−In=Ap−Ip
n= (A−In)(
p−1
X
k=0
Ak)
4. Transposition
Soit A= (ai,j )∈ Mm,n(K).
La transpos´ee de Aest la matrice (αi,j ) de type (n, m), not´ee tA, o`u :
αi,j =aj,i pour tout (i, j)∈ {1, ..., n}×{1, ..., m};
autrement dit, la matrice dont la i-`eme ligne est la i-`eme colonne de A.
La transposition v´erifie les propri´et´es suivantes :
∀(A, B, C)∈(Mm,n(K))2× Mn,p(K); ∀λ∈K:
a) t(A+B) = tA+tB;
b) t(λA) = λtA;
c) t(tA) = A;
d) t(AC) = tCtAAttention au changement d’ordre des facteurs .
4

Une matrice Ade Mn(K) est dite sym´etrique lorsque : tA=A;
antisym´etrique lorsque : tA=−A.
Par exemple : Inest sym´etrique, Onest (la seule matrice) sym´etrique et antisym´etrique,
1 2
3 4n’est ni sym´etrique ni antisym´etrique.
Les coefficients diagonaux d’une matrice antisym´etrique sont tous nuls.
La transpos´ee d’une matrice colonne (resp. ligne) est une matrice ligne (resp. colonne).
Pour toute matrice Ade Mm,n(K), tA.A et A.tAexistent (tA.A ∈ Mn(K) et A.tA∈ Mm(K))
et ces deux matrices sont sym´etriques d’apr`es c) et d), mais g´en´eralement :
tA.A 6=A.tAmˆeme lorsque m=n.
5. Ecriture matricielle d’un syst`eme lin´eaire
En posant :
A=
a1,1a1,2. . . a1,n
a2,1a2,2. . . a2,n
.
.
..
.
..
.
..
.
.
am,1am,2. . . am,n
∈ Mm,n(K), B=
b1
.
.
.
bm
∈ Mm,1(K) et X=
x1
.
.
.
xn
∈ Mn,1(K)
le syst`eme (S) de la premi`ere page peut s’´ecrire sous la forme matricielle : A.X =B.
Aest la matrice de ses coefficients, Bla matrice-colonne second membre et Xla matrice-colonne
des inconnues.
III. D´eterminants
1. D´efinition
Le d´eterminant d’une matrice carr´ee Ad’ordre n(un d´eterminant d’ordre n) est le scalaire,
not´e det(A) ou det Aou |A|, d´efini par r´ecurrence (vous en verrez d’autres d´efinitions)
comme suit :
a) n= 1 et n= 2
det(a) = a; det a b
c d=
a b
c d
=ad −bc
b) n>3
Soit A= (ai,j )∈ Mn(K).
On note Ai,j la matrice de Mn−1(K) obtenue `a partir de Aen supprimant sa i-`eme ligne et sa
j-`eme colonne et ci,j le scalaire d´efini par : ci,j = (−1)i+jdet(Ai,j ) que l’on appelle le cofacteur de
ai,j .
Avec ces notations :
det(A) =
n
X
i=1
ai,j ci,j : d´eveloppement suivant (par rapport) `a la j-`eme colonne de A
det(A) =
n
X
j=1
ai,j ci,j : d´eveloppement suivant (par rapport) `a la i-`eme ligne de A
Cette d´efinition est consistante car on prouve que le r´esultat d’un tel d´eveloppement est
ind´ependant de la ligne ou colonne choisie. De cette mani`ere, le calcul d’un d´eterminant d’ordre n
n´ecessite le calcul de nd´eterminants d’ordre n−1, chacun d’eux le calcul de n−1 d´eterminants
d’ordre n−2 et ainsi de suite jusqu’`a n!/2 calculs de d´eterminants d’ordre 2.
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