CC de Analyse Numérique

NOM : . . .. . .. . . 2G. . .TD. . .
PRENOM :. . .. . .. . .
E.N.S.E.A Analyse num´erique Vendredi 17 janvier 2014
2`eme ann´ee 30 min Sans documents, ni calculatrice
Contrˆole de connaissances
R´epondre directement sur la feuille.
Question 1. Soit la matrice Ad´efinie par
50 1 3 4
1 5 6 5
3 6 10 9
4 5 9 10
.Donner une estimation (grossi`ere) du module de
la plus grande valeur propre de A(sans faire le calcul des valeurs propres !).
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Question 2. Choisissez deux th`emes (diff´erents) vus en cours et donnez un exemple concret pour lequel les
th´eor`emes et propri´et´es vues en cours sont utiles.
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Question 3 (Diff´erences finies).Proposez une m´ethode qui permette d’approcher le probl`eme continu suivant
par un probl`eme matriciel :
f0(x) = f(x) + x.
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Question 4 (M´ethode LU).On souhaite r´esoudre le syst`eme matriciel Ax =bgrˆace `a la m´ethode LU (´evidemment
on consid`ere le cas Ainversible).
1. Toute matrice carr´ee Aest-elle factorisable en A=LU ? Si non donnez un contre exemple.
2. Expliquez la d´emarche suivie pour r´esoudre le syst`eme ?
3. Combien multiplications sont-elles n´ecessaires pour obtenir la valeur de x?
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Question 5. Expliquez comment on peut observer sur un graphique une convergence lin´eaire.
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Question 6 (Conditionnement).
1. Donner la d´efinition du conditionnement 2 d’une matrice A, not´e cond2(A).
2. Donner un exemple d’une matrice mal conditionn´ee.
3. Quel est le lien entre conditionnement et valeur propre ?
4. Pourquoi est-ce int´eressant de connaˆıtre le conditionnement d’une matrice ?
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Question 7. 1. Donner l’algorithme QR qui ermet de trouver les plus grandes valeurs propres d’une matrice.
2. Dans quel cas n’a-t-on pas convergence ?
3. Quelle est la forme de la matrice au bout d’un nombre suffisant d’it´erations ?
Question 8. Soit f:R2→R2d´efinie par f(x, y) = x2−y2.
1. Quels sont les points critiques de f?
2. De quel type sont-ils ?
Question 9.
1. Donner l’algorithme de Newton.
2. A quoi sert-il ?
3. Quelle est sa convergence ?
4. Donner un inconv´enient de cet algorithme.
Si vous manquez de place, voici de quoi finir de r´epondre. N’oubliez pas de rappeler le num´ero de la question
concern´ee.
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