CC de Analyse Numérique
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NOM : . . .. . .. . . PRENOM :. . .. . .. . . E.N.S.E.A 2ème année 2G. . .TD. . . Analyse numérique 30 min Sans documents, ni calculatrice Contrôle de connaissances Vendredi 17 janvier 2014 Répondre directement sur la feuille. 50 1 3 4 1 5 6 5 Question 1. Soit la matrice A définie par 3 6 10 9 . Donner une estimation (grossière) du module de 4 5 9 10 la plus grande valeur propre de A (sans faire le calcul des valeurs propres !). ............................................................................................................ . ............................................................................................................... . ............................................................................................................... Question 2. Choisissez deux thèmes (différents) vus en cours et donnez un exemple concret pour lequel les théorèmes et propriétés vues en cours sont utiles. ............................................................................................................ . ............................................................................................................... . ............................................................................................................... Question 3 (Différences finies). Proposez une méthode qui permette d’approcher le problème continu suivant par un problème matriciel : f 0 (x) = f (x) + x. ............................................................................................................ . ............................................................................................................... . ............................................................................................................... . ............................................................................................................... . ............................................................................................................... . ............................................................................................................... Question 4 (Méthode LU). On souhaite résoudre le système matriciel Ax = b grâce à la méthode LU (évidemment on considère le cas A inversible). 1. Toute matrice carrée A est-elle factorisable en A = LU ? Si non donnez un contre exemple. 2. Expliquez la démarche suivie pour résoudre le système ? 3. Combien multiplications sont-elles nécessaires pour obtenir la valeur de x ? ............................................................................................................ . ............................................................................................................... . ............................................................................................................... . ............................................................................................................... . ............................................................................................................... . ............................................................................................................... Question 5. Expliquez comment on peut observer sur un graphique une convergence linéaire. ............................................................................................................ . ............................................................................................................... . ............................................................................................................... . ............................................................................................................... Question 6 (Conditionnement). 1. Donner la définition du conditionnement 2 d’une matrice A, noté cond2 (A). 2. Donner un exemple d’une matrice mal conditionnée. 3. Quel est le lien entre conditionnement et valeur propre ? 4. Pourquoi est-ce intéressant de connaı̂tre le conditionnement d’une matrice ? ............................................................................................................ . ............................................................................................................... . ............................................................................................................... . ............................................................................................................... . ............................................................................................................... . ............................................................................................................... Question 7. 1. Donner l’algorithme QR qui ermet de trouver les plus grandes valeurs propres d’une matrice. 2. Dans quel cas n’a-t-on pas convergence ? 3. Quelle est la forme de la matrice au bout d’un nombre suffisant d’itérations ? Question 8. Soit f : R2 → R2 définie par f (x, y) = x2 − y 2 . 1. Quels sont les points critiques de f ? 2. De quel type sont-ils ? Question 9. 1. Donner l’algorithme de Newton. 2. A quoi sert-il ? 3. Quelle est sa convergence ? 4. Donner un inconvénient de cet algorithme. Si vous manquez de place, voici de quoi finir de répondre. N’oubliez pas de rappeler le numéro de la question concernée. . ............................................................................................................... . ............................................................................................................... . ............................................................................................................... . ............................................................................................................... . ...............................................................................................................
