Résumé

SYST` EMES B-LIBRES: ENSEMBLE DES MESURES
INVARIANTES ET ERGODICIT´ E INTRINS` EQUE
MARIUSZ LEMA ´ NCZYK, UNIVERSIT´ E NICOLAS COPERNIC, TORU´ N, POLOGNE
En 2010 P. Sarnak a propos´e d’´etudier le sous-shift engendr´e par la fonction de
M¨obius µ:N→ {−1,0,1}. Il a encadr´e la valeur de l’entropie topologique de
ce syst`eme par l’entropie topologique du sous-shift determin´e par µ2, la fonction
caracteristique de l’ensemble des nombres sans carr´e (square-free numbers), et a
formul´e une liste de probl`emes ouverts. ´ Etant donn´e B⊂N,B={b1< b2< ...},
satifaisant (bi, bj) = 1 pour i6=jet Pi≥11/bi<+∞, on d´enote par FBl’ensemble
des nombres B-libres :
FB:= {n∈N: aucun bine divise n}.
Par exemple, si Best l’ensemble des carr´es des nombres premiers, FBest l’ensemble
des nombres sans carr´es.
Je vais pr´esenter la solution du probl`eme des mesures invariantes dans toute la
classe des syst`emes B-libres et, en particulier, on va d´emontrer que de tels syst`emes
ont une mesure unique d’entropie maximale (ergodicit´e intrins`eque). L’expos´e
est bas´e sur mes travaux commun avec J. Ku laga-Przymus et B. Weiss, et avec
H. El Abdalaoui et T. de la Rue.
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