Résumé
publicité
SYSTÈMES B-LIBRES: ENSEMBLE DES MESURES
INVARIANTES ET ERGODICITÉ INTRINSÈQUE
MARIUSZ LEMAŃCZYK, UNIVERSITÉ NICOLAS COPERNIC, TORUŃ, POLOGNE
En 2010 P. Sarnak a proposé d’étudier le sous-shift engendré par la fonction de
Möbius µ : N → {−1, 0, 1}. Il a encadré la valeur de l’entropie topologique de
ce système par l’entropie topologique du sous-shift determiné par µ2 , la fonction
caracteristique de l’ensemble des nombres sans carré (square-free numbers), et a
formulé une liste de problèmes ouverts.
P Étant donné B ⊂ N, B = {b1 < b2 < ...},
satifaisant (bi , bj ) = 1 pour i 6= j et i≥1 1/bi < +∞, on dénote par FB l’ensemble
des nombres B-libres :
FB := {n ∈ N : aucun bi ne divise n}.
Par exemple, si B est l’ensemble des carrés des nombres premiers, FB est l’ensemble
des nombres sans carrés.
Je vais présenter la solution du problème des mesures invariantes dans toute la
classe des systèmes B-libres et, en particulier, on va démontrer que de tels systèmes
ont une mesure unique d’entropie maximale (ergodicité intrinsèque). L’exposé
est basé sur mes travaux commun avec J. Kulaga-Przymus et B. Weiss, et avec
H. El Abdalaoui et T. de la Rue.
1
