TS 2, Contrôle no 5

TS 2, Contrôle no 5
Jeudi 29 mars 2012
Exercice no 1
2 heures
Amérique du Sud, 16 novembre 2011
8 points
On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : g (x) = x 2 (1 − ln x).
Partie A Étude de la fonction : g
1. Déterminer la limite de g en +∞.
2. Déterminer la limite de g en 0.
3. Étudier les variations de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
4. En utilisant les résultats précédents, étudier le signe de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
Partie B : Représentation graphique et aire sous la courbe
Soit C la courbe représentative de la fonction g .
1. Tracer C dans le repère orthonormal ayant pour unité graphique 4 cm.
2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe C au point A d’abscisse 1. La tracer sur le graphique.
¶
µ
1 3
1
3. Soit G la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par G(x) = x ln x − . Calculer G0 (x).
3
3
4. Calculer l’aire en unités d’aire du domaine délimité par la courbe C , l’axe des abscisses et les droites
d’équations respectives x = 1 et x = e.
Exercice no 2
Nouvelle-Calédonie, mars 2012
12 points
Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par f (x) = xex .
On désigne par C la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthogonal (O ;~ı ; ~).
Soit a un nombre réel appartenant à l’intervalle [0 ; 1].
Sur la courbe C , tracée en annexe, on a placé les points A et B d’abscisses respectives a et 1. On a tracé les
segments [OA] et [AB]. On a hachuré la partie du plan délimitée par les segments [OA] et [AB] et la courbe
C . On a placé les points A0 (a ; 0) et B0 (1 ; 0).
Le but de l’exercice est de déterminer la valeur du nombre réel a pour laquelle l’aire de la partie du plan
hachurée en annexe est minimale.
1
PARTIE A
1. Soit φ la fonction définie par : φ(x) = xex − ex . Calculer la dérivée de φ. En déduire que
2.
1
Z
0
xex dx = 1.
a) Donner l’aire du triangle OAA0 .
¢
1¡ 2 a
−a e + aea − ae + e .
2
1
b) En déduire que l’aire de la partie du plan hachurée est égale à (aea − ae + e − 2).
2
Montrer que l’aire du trapèze ABB0 A0 est égale à
PARTIE B
Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par [g (x) = x (ex − e) + e − 2.
1. Soit g 0 la fonction dérivée de la fonction g . Calculer g 0 (x) pour tout réel x de [0 ; +∞[.
Vérifier que la fonction dérivée seconde g 00 est définie sur [0 ; +∞[ par g 00 (x) = (2 + x)ex .
2. En déduire les variations de la fonction g 0 sur [0 ; +∞[.
3. Établir que l’équation g 0 (x) = 0 admet une solution unique α dans l’intervalle [0 ; +∞[.
Déterminer une valeur approchée de α à 10−1 près.
4. En déduire les variations de la fonction g sur [0 ; +∞[.
5. En utilisant les réponses aux questions des parties A et B, montrer qu’il existe une valeur de a pour
laquelle l’aire de la partie du plan hachurée est minimale. Donner cette valeur de a.
Annexe
CETTE PAGE N’EST PAS À RENDRE AVEC LA COPIE
y
3
B
2,5
2
1,5
1
A
0,5
A0
0
0
0,2
0,4
a
B0
0,6
0,8
1
x
Contrôle no 5, Correction
On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par
g (x) = x 2 (1 − ln x).
Partie A Étude de la fonction : g
1. Limite de g en +∞ :
lim g (x) = −∞, car lim x 2 = +∞ et lim 1 − ln x = −∞
x→+∞
x→+∞
x→+∞
2. Limite de g en 0 : On a g (x) = x 2 − x 2 ln x.
¡
¢
lim x 2 − x × x ln x = 0, car lim x = lim x 2 = 0 et lim x ln x = 0
x→0
x→0
x→0
x→0
3. Variations de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; +∞[ :
g est dérivable sur ]0 ; +∞[, car produit de sommes de fonctions dérivables sur ]0 ; +∞[ et sur cet
intervalle :
µ
¶
1
g (x) = 2x(1 − ln x) + x × − = 2x − 2x ln x − x = x − 2x ln x = x(1 − 2 ln x)
x
2
0
g 0 (x) est du signe de 1 − 2 ln x puisque x est positif.
p
1
1
> ln x ⇐⇒ e 2 = e > x
2
p
1
1
0
g (x) < 0 ⇐⇒ 1 − 2 ln x < 0 ⇐⇒ 1 < 2 ln x ⇐⇒ < ln x ⇐⇒ x < e 2 = e
2
g 0 (x) > 0 ⇐⇒ 1 − 2 ln x > 0 ⇐⇒ 1 > 2 ln x ⇐⇒

¤ p £

la fonction est croissante

 Sur 0 ; e
¤p
£
Sur
e ; +∞ la fonction est décroissante


p

Pour x = e
C possède une tangente horizontale
x
p
e
0
g 0 (x)
+
+∞
−
0
1
2e
g (x)
e
0
0
−∞
4. Signe de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; +∞[ :
¤ p £
Sur 0 ; e , g est croissante, donc g (x) > 0 et ne s’annule donc pas.
¤p
£
1
Sur e ; +∞ , g est décroissante et continue de e vers −∞.
¤p
£
¤2
£
Elle réalise donc une bijection de e ; +∞ sur −∞ ; 12 e 3 0. Elle s’annule donc une seule fois.
g (x) = 0 ⇐⇒ x 2 (1 − ln x) = 0 ⇐⇒ 1 − ln x = 0 (puisque x 6= 0) ⇐⇒ 1 = ln x ⇐⇒ x = e
Conclusion : la fonction g est positive sur ]0 ; e[ et négative sur ]e ; +∞[.
Partie B : Représentation graphique et aire sous la courbe
Soit C la courbe représentative de la fonction g .
1. Voir l’annexe 1.
2. Équation de la tangente à la courbe C au point A d’abscisse 1.
On a g (1) = 12 (1 − ln 1) = 1.
Le cœfficient directeur de la tangente à la courbe C au point d’abscisse 1 est le nombre dérivé f 0 (1) =
1(1 − 2 ln 1) = 1.
Une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 1 est donc :
M(x ; y) ∈ (T) ⇐⇒ y − g (1) = g 0 (1)(x − 1) ⇐⇒ y − 1 = x − 1 ⇐⇒ y = x
3. Dérivée de G(x) :
¶
µ
1
1
1
G (x) = x ln x − + x 3 × = x 2 ln x
3
3
x
2
0
Une primitive de x → x 2 ln x est donc G(x).
4. Aire en unités d’aire du domaine délimité par la courbe C , l’axe des abscisses et les droites d’équations
respectives x = 1 et x = e :
On a vu que la fonction g est positive sur ]0 ; e[, donc sur ]1 ; e[.
L’aire, en unités d’aire de la surface délimitée par la courbe C , l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x = 1 et x = e est donc égale à l’intégrale :
A=
A=
·
x3
3
¸e
Exercice no 2
1
− [G(x)]e1 =
·
x3
3
e
Z
1
x 2 (1 − ln x) dx =
¸e
·
−
1
e
Z
1
x 2 dx −
e
Z
x 2 ln x dx
1
¶¸
¶ µ 3µ
¶
µ ¶¶
µ
µ 3
e
1
1
1
e3 − 4
1 3
1 e
e
1
1− − −
=
x ln x −
=
− −
3
3 1
3 3
3
9
3
3
9
Nouvelle-Calédonie, mars 2012
12 points
Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par f (x) = xex .
On désigne par C la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthogonal (O ;~ı ; ~).
Soit a un nombre réel appartenant à l’intervalle [0 ; 1].
PARTIE A
1. Soit φ la fonction définie par : φ(x) = xex − ex .
Dérivée de φ :
φ0 (x) = ex + xex − ex = xex
Donc la fonction φ est une primitive de xex . Ainsi :
1
Z
0
2.
£
¤1
xex dx = xex − ex 0 = (e − e) − (0 − 1) = 1
µ
¶
base × hauteur
a) Aire A1 du triangle OAA ,
:
2
0
La base a pour longueur a, la hauteur, aea ; l’aire est donc : A1 =
a 2 ea
.
2
¶
(petite base + grande base) × hauteur
:
2
La petite base AA0 a pour longueur aea , la grande base BB0 , e, la hauteur A0 B0 1 − a ; l’aire est
¢
(aea + e) × (1 − a) 1 ¡ 2 a
donc : A2 =
= −a e + aea − ae + e .
2
2
Aire A2 du trapèze ABB0 A0
µ
b) Aire A de la partie du plan hachurée :
Si l’on note A3 l’aire comprise entre la courbe C , l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la
Z 1
xex dx = 1 .
droite d’équation x = 1, on a : A3 =
0
Ainsi :
¢
¢
a 2 ea 1 ¡ 2 a
1¡
+ −a e + aea − ae + e − 1 = aea − ae + e − 2
2
2
2
A = A1 + A2 − A3 =
PARTIE B
Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par
¡
¢
g (x) = x ex − e + e − 2.
1. Calcul g 0 (x) pour tout réel x de [0 ; +∞[ :
g 0 (x) = (ex − e) + xex
Calcul de la fonction dérivée seconde g 00 :
g 00 (x) = ex + ex + xex = ex (x + 2)
2. Variations de la fonction g 0 sur [0 ; +∞[ :
lim g 0 (x) = +∞ et g 0 (0) = 1 − e < 0
x→+∞
g 00 (x), dérivée de g 0 , est du signe de x + 2 > 0 sur [0 ; +∞[.
x
0
e
g 00 (x)
+∞
+
+∞
g 0 (x)
1−e
0
3. Solution de l’équation g 0 (x) = 0 dans l’intervalle [0 ; +∞[. :
La fonction g 0 est une fonction continue et strictement croissante sur [0 ; +∞[. Elle réalise donc une
bijection de [0 ; +∞[ sur [1 − e ; +∞[3 0. 0 possède un unique antécédent α.
Valeur approchée de α à 10−1 près :
(
g 0 (0, 5) ' −0, 2452 < 0
g 0 (0, 6) ' 0, 1971 > 0
=⇒ 0, 5 < α < 0, 6
4. Variations de la fonction g sur [0 ; +∞[ :
(
Sur ]0 ; α[
x < α =⇒ g 0 (x) < g 0 (α) = 0
Sur ]α ; +∞[
g 0 (x) > g 0 (α) = 0
x
la fonction g est décroissante
Sur ]α ; +∞[ la fonction g est croissante



Pour x = α
C possède une tangente horizontale
α
0
g 0 (x)
g (x)
=⇒



 Sur ]0 ; α[
−
0
+∞
+
+∞
e−2
g (α)
5. Valeur de a pour laquelle l’aire de la partie du plan hachurée est minimale.
1
Nous avons A = g (a). L’aire A est donc minimale pour a = α.
2
Annexe
y
3
B
2,5
2
1,5
1
A
0,5
A0
0
0
0,2
0,4
a
B0
0,6
0,8
1
x
0
1
y
0
A
1
2
Annexe 1
e
3
x