systemes de points materiels

Physique
Mécanique
SYSTEMES DE POINTS MATERIELS
SYSTEMES DE POINTS MATERIELS
Plan
I.
II.
III.
(Cliquer sur le titre pour accéder au paragraphe)
**********************
Théorèmes généraux (en référentiel galiléen). ............................................................................ 1
Cas particulier : système isolé de deux points matériels en interaction. ................................. 6
Choc de deux points matériels. .................................................................................................... 15
**********************
I.
Théorèmes généraux (en référentiel galiléen).
On considère un système de n points matériels Mi de masse mi, en mouvement par rapport à (R)
galiléen.
I.1.
Théorème du centre de masse (TCM).
(R)
•
M1
0
•G
• Mi
• Mn
Le centre de masse (ou d’inertie) G du système est le barycentre des (Mi, mi) :
n
OG =
∑ mi OMi
n
n
1
(m = ∑ mi )
m
(ou : ∑ mi GMi = O )
i =1
1
Appliquons la RFD au point Mi :
mi
dv i
dt
fi (ext)
=
+
∑ fj→i
j≠i
somme des forces
forces exercées
exercées sur Mi
par Mj≠i
par des points
extérieurs au système
En sommant les RFD appliquées à chaque point Mi, on obtient :
n
∑ mi
i =1
dv i
dt
=
n 
n

∑ fi (ext) + ∑  ∑ f j → i 
i = 1 j ≠ i
i =1

m aG
Fext
(résultante des forces extérieures au système)
D’après le principe des actions réciproques :
f j → i = - fi → j
,
donc :
n 

∑  ∑ f j → i  = O
i = 1 j ≠ i

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Ainsi :
m aG = Fext
(TCM ou TCI)
Pour un système isolé : Fext = O ⇒ aG = O : G est en T R U
I.2.
Théorème du moment cinétique.
Le moment cinétique en A du système matériel, évalué dans (R), défini par :
σ (A) = ∑ AMi ∧ mi v i
i
)
(
Alors :
dσ(A)
= ∑ AMi ∧ mi ai + ∑ v i - v A ∧ mi v i
dt
i
i
Avec :
mi ai = fi (ext) + ∑ f j → i
j≠i
fi (int)
On peut montrer que :


∑ AMi ∧  ∑ f j → i  = O
i
j
i
≠


Ainsi :
t
dσ(A)
= m ( A)
dt
(d’après le principe des actions réciproques).
(∑F ) - v
ext
∧ m vG
A
(TMC en A)
En particulier, si A est fixe, ou A=G :
v A ∧ m vG = O
t
dσ(G)
= m (G)
dt
(∑F )
(TMC en G)
ext
Rem. 1 : il faut prendre garde à ne pas écrire : σ(A) = AG ∧ m v G
En effet, si (RG) est le référentiel barycentrique du système :
(RG)
(R)
•
G
vi = vi * + v G
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⇒
σ(A) = ∑ AMi ∧ mi v i + ∑ AMi ∧ mi v G
i
i
AG ∧ m v G
σ * ( A)
σ(G) = σ * (G) = σ * (A) = σ *
σ(A) = σ * + AG ∧ m v G
Donc :
moment cinétique barycentrique
Ce résultat, connu sous le nom de théorème de Koenig pour le moment cinétique, sera très
utilisé en mécanique du solide.
Rem. 2 : d’après la remarque 1 :
dσ *
= m t(G)
dt
(∑F )
ext
(TMC en G dans (RG), appelé aussi TMC
barycentrique).
Rem. 3 : Pour un système isolé :
σ * = cste
et
I.3.
σ(O) = cste , si 0 fixe
Théorèmes énergétiques.
On peut écrire :
mi
dv i
= fi (int + ext)
dt
Somme de toutes les forces exercées sur Mi,
intérieures et extérieures au système
D’où :
mi v i .
dv i
= fi (int + ext). v i
dt
n
∑ mi v i .
i =1
n
n
dv i
= ∑ fi (int + ext). v i
dt
i =1
1
mivi2
2
Or :
EC = ∑
Donc on obtient :
dE C
= P (int + ext)
dt
i =1
(TPC)
Puissance de toutes les forces (int + ext) exercées sur le système
dEC = δW (int + ext)
∆EC = W (int + ext)
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(TEC)
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Enfin, en posant :
Em = EC + EP (int + ext)
Energie potentielle dont dérive toutes
les forces exercées sur les divers Mi
dEm = δWNC (int + ext)
(TEM)
1
m vG2
2
Rem. 1 : il faut prendre garde à ne pas écrire que EC =
(RG)
(R)
En effet, si (RG) est le référentiel
barycentrique du système :
•
0
•
•
•
•
G
vi = vi * + v G
Donc
1
1
mi vi2 = ∑
2
i 2
EC = ∑
1
1
m vG2 + ( ∑ mi v i * ). v G
mi vi2* +
2
2
i
⇒
(v * + v )
EC = ∑
i
2
i
G
EC*
Finalement :
EC = EC* +
m vG * = O
1
mvG2 : ce résultat, connu sous le nom de théorème de
2
Koenig pour l’énergie cinétique, sera très utilisé en mécanique du solide.
Rem. 2 : pour un système de n points :
Σ F (int) =
O
,
mais
δW (int) ≠ 0
En effet, pour 2 points i et j :
δW (int) = fi → j . v j dt + f j → i . v i dt
fi → j = - f j → i
,
donc :
δW (int) = fi → j .( v j - v i ) dt ≠ 0
I.4.
Exemple : couplage par inertie de deux pendules élastiques
0z
K
K
•
M1
(m)
•
G
(M)
x
M2
m
M2 •
F1
•
Equilibre
Page 4
y
x1 > 0
•
M1
•G
↑θ
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X2 < 0
F2
Mouvement
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•
TCM au système {M1, M2}, en projection sur x :
oo
(2 m + M) x G = - K x1 – K x2
(Les poids compensent les tensions à l’équilibre, et n’interviennent pas dans l’équation du
mouvement, si on compte x1 et x2 par rapport à l’équilibre).
x + x2
, on obtient la 1ère équation :
Avec xG = 1
2
oo
oo
-K
(x1 + x2)
m + M/2
x1 + x2 =
•
(1)
TMC barycentrique au système {M1, M2}, en projection sur y
dσ z *
= ( GM1 ∧ F1 + GM2 ∧ F2 ). z
dt
= - K x1
l
l
cos θ + K x2
cos θ
2
2
σ * = ( GM1 ∧ m v 1 * ) + ( GM2 ∧ m v 2 * )
Avec :
2
ml 2 o
l o
σz * = 2 m   θ =
θ
2
2
sin θ =
De plus :
x1 - x 2
l
Pour de petites oscillations du système :
cos θ ≈ 1
sin θ ≈ θ
ml
2
Ainsi :
oo
Soit :
Posons
Alors :
oo
oo
( x 1 - x 2 ) ≈ - K (x1 – x2)
oo
x1 - x2 =
ω12 =
K
m + M/2
et
l
2
-K
(x1 – x2)
m
ω22 =
K
m
x1 + x2 = A1 cos (ω1t + ϕ1)
x1 - x2 = A2 cos (ω2t + ϕ2)
D’où :
x1 = α1 cos (ω1t + ϕ1) + α2 cos (ω2t + ϕ2)
x2 = α1 cos (ω1t + ϕ1) - α2 cos (ω2t + ϕ2)
o
o
α1, α 2, ϕ1 et ϕ2 sont donnés par les conditions initiales x10, x20, x 10 et x 20 .
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On voit donc que x1 et x2 sont des combinaisons linéaires de 2 « modes propres » d’oscillation,
l’un à la pulsation ω1, l’autre à la pulsation ω2.
ω1 et ω2 sont appelées pulsations propres du système couplé.
•
o
o
Si x10 = x20 = x0 ; x 10 = x 20 = 0
On trouve :
x1(t) = x2(t) = x0 cos ω1t ,
∀t
Les 2 éléments oscillent en phase à la pulsation ω1.
•
o
o
Si x10 = - x20 = x0 ; x 10 = x 20 = 0
On trouve :
x1(t) = - x2(t) = x0 cos ω2t ,
∀t
Les 2 éléments oscillent en opposition de phase à la pulsation ω2.
II.
Cas particulier : système isolé de deux points matériels en interaction.
II.1.
Etude générale.
(R) galiléen
-F
•
0
+F
r
• M2
(m2)
u
M1
(m1)
On considère le système {M1, M2} isolé.
Système isolé
On pose M1M2 = r ; M1M2 = r = r u
On suppose que les deux points sont en interaction par l’intermédiaire d’une force ne dépendant
que de r :
F1 → 2 = F (r) = F(r) u
F2 → 1 = - F (r)
(F(r) > 0 : répulsion ; F(r) < 0 : attraction)
Soit G le centre d’inertie du système.
Il est défini par :
m1 GM1 + m2 GM2 = O
Par application du TCM au système, dans (R) galiléen, on a :
(m1 + m2) aG = ∑ Fext = O
Donc
v G = cste
:
(RG) est alors galiléen
L’étude du système se fera alors dans (RG).
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Soit un point M, appelé « mobile fictif » (ou « particule réduite ») tel que :
GM = M1M2 = r
M a pour masse µ =
m1m2
m1 + m2
(masse réduite)
M est soumis à F = F(r) u
Dans (RG), M est donc soumis à la force centrale F . Toutes les propriétés vues dans le chapitre
VIII s’appliquent alors.
En particulier, si la force est newtonienne, M décrit dans (RG) une conique dont G est un foyer,
selon la loi des aires.
y
yG
(R)
(RG)
eθ
F
θ
•
M2
(m2)
G
M1
(m1)
u = er
M
(µ)
•
x
0
•
xG
r = GM = M1M2
Par application de la RFD, ou du TEM, on connaît donc GM = r .
Puis :
m1 GM1 + m2 GM2 = 0
GM = M1M2 = GM2 - GM1
⇒
GM1 = GM2 =
m2
r
m1 + m2
m1
r
m1 + m2
La connaissance de GM permet donc ensuite de déterminer GM1 et GM2 (trajectoires de M1 et
M2 dans (RG)).
Mais nous avons vu en VII que les équations du mouvement de M dans (RG) font intervenir 2
grandeurs constantes, déterminées par exemple à l’aide des conditions initiales :
σ * (M) = σO*
moment cinétique barycentrique du point M
E* = EO*
énergie barycentrique du point M
Montrons que :
σ * (M) = σ * {M1 + M2 }
EC*(M) = EC* {M1 + M2 }
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Ainsi, la trajectoire de M dans RG dépendra de conditions initiales imposées aux points M1 et M2.
On a en effet :
σ * (M1 + M2) = GM1 ∧ m1 v 1 *
v1 *
⇒
=
v1
-
vG
v2 *
;
σ * (M1 + M2) = GM1 ∧ m1 v 1
+
=
v2
-
+
GM2 ∧ m2 v 2 *
vG
GM2 ∧ m2 v 2
-
(m1 GM1 + m2 GM2 ) ∧ v G
O
Soit :
σ * (M1 + M2) = - µ r ∧ v 1 + µ r ∧ v 2 = µ r ∧ ( v 2 - v 1 )
Comme
v 2 - v1 =
On a bien :
σ * (M1 + M2) = + µ r ∧ v * (M) = σ * (M)
•
EC*(M1 + M2) =
Avec :

 d GM 

d
 =  d GM  = v * (M)
( M1M2 ) = 
 dt 
 dt 
dt
RG

R

1
1
m1 v*12 +
m2 v*22
2
2
 d GM
1
v1 * = 
 dt

v2 * =

m2
 =v * (M)

m1 + m2
R
m1
v * (M)
m1 + m2
2
D’où :
EC* (M1 + M2) =
2
m1m2
m2m1
1
1
v *2 +
v *2
2
2 (m1 + m2 )
2 (m1 + m2 )2
On a donc bien également :
EC* (M1 + M2) =
1
µ v *2 = EC*(M)
2
Energie potentielle « efficace » (ou « effective »)
Une méthode possible pour la détermination de la trajectoire de M dans (RG) est la méthode
énergétique :
EC*(M) + EP = cste = EO*
Avec aussi :
o
σ* = cste = µr2 θ
On peut donc écrire :
2
2
o
o
1
µ ( r + r2 θ ) + EP(r) = EO*
2
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o
En éliminant θ à l’aide de σ*, on tire :
1 o
µr
2
Avec :
2
= EO* - EPeff (r)
EPeff (r) = EP(r) +
σ *2
2 µr 2
Cette énergie potentielle « effective », ou « efficace » permet de se ramener au cas d’un
mouvement unidimensionnel pour le point M : tout se passe comme si M avait une trajectoire
o
rectiligne de vitesse r , à condition de remplacer EP par EPeff .
On peut alors discuter graphiquement la nature de la trajectoire en représentant EPeff (r) :
o2
r ≥ 0 impose EPeff (r) ≤ EO*
(cf 2) et 3))
Cas particulier : m1 >> m2
G ≈ M1
Alors :
M ≈ M2
µ ≈ m2
et, on étudie le mouvement de M2 autour de M1.
II.2.
•
Cas où F(r) = - kr
Discussion graphique :
EP(r) =
1
kr2
2
EPeff (r) =
σ *2
1
kr2 +
2
2 µr 2
EPeff (r)
EPeff (r)
•
1 o
ur
2
2
rmin
•
EO*
rmin
rmax
∞
∞
EO*
r
r
k < 0 (répulsion)
k > 0 (attraction)
-
•
Si k > 0, on dit que l’état est « lié » car r = M1M2 reste borné (la trajectoire de M est en fait
une ellipse de centre G ; cf 7.2 ).
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-
Si k < 0, on parle d’état « diffusif », car r n’est pas borné : M, venant de l’infini, s’approche
de G à rmin, puis « diffuse » à l’infini (la trajectoire de M est ici une branche d’hyperbole de
centre G ; cf 7.2 ).
•
Exemple : système de 2 masses ponctuelles liées par un ressort de raideur k, glissant sans
frottement sur un plan horizontal (système « pseudo-isolé »).
M1
M2
k
M1
G F M2
-F
•
u
M
•
r > l0
l0
F(r) = - k (r - l 0 ) = - kr’
En supposant le mouvement rectiligne selon u :
2
EO* =
1 o
1
µ r' +
kr'2 = cste
2
2
Il s’agit de l’équation d’un oscillateur harmonique :
GM = r = A cos (ω0 t + ϕ) u
Puis :
GM1
=-
GM
=+
2
, ω0 =
k
µ
m2
r
m1 + m2
m1
m1 + m2
r
Les valeurs de A et ϕ dépendent des conditions initiales :
à t = 0,
r = r0 : r(t) = r0 cos ω0t
o
r= 0
Alors
GM1 = -
GM
2
m2
r0 cos ω0t
m1 + m2
: dans (RG) ,
m1
=
r0 cos ω0t
m1 + m2
M1 et M2 oscillent en opposition de phase à la pulsation ω0.
II.3.
•
Cas où F(r) = -
k
r2
(force newtonienne)
Discussion graphique
EP(r) = - k
r
σ *2
EPeff (r) = - k +
r
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2 µr 2
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EPeff (r)
EPeff (r)
•
1 o
µr
2
EO* > 0
EO*
2
rP
r0 • •
r
rmin
r0
rA
2
k < 0 (répulsion)
-
k 2µ
2 σ *2
r
•
EPO < E O * < 0
•
= EPO
k > 0 (attraction)
-
Si k < 0, on a un état diffusif, la trajectoire de M est une branche d’hyperbole dont G est un foyer
(cf 7.3).
Si k > 0, la nature de la trajectoire dépend du signe de l’énergie.
EO* ≥ 0 : état diffusif (parabole ou branche d’hyperbole dont G est un foyer)
EO* < 0 : état lié (ellipse dont G est un foyer)
Rem. 1 : pour EO*< 0, k > 0, on peut déterminer graphiquement rmin = rP, et rmax = rA (périhélie
et aphélie) ; de plus r0 est le paramètre p.
σ *2
.
Rem. 2 : pour EO* = EPO : r = r0 : la trajectoire est circulaire de rayon r0 =
kµ
o
Comme σ* = µ r02 θ = µr0v0, on retrouve :
r0 =
On retrouve aussi
•
(r0 v 0µ)2
kµ
EO* = -
k 2µ
2σ*
v02 =
⇒
2
=-
k
µr0
k
2 r0
(énergie pour le MCU)
Exemple 1 : Planètes du Système Solaire
On fait, en cours, les hypothèses simplificatrices suivantes :
Système {Soleil + 1 Planète} isolé
F
MP << MS ⇒
G ≈ S, centre au Soleil
(RG) ≈ (RS) référentiel héliocentrique
M ≈ P, centre de la Planète
Le Soleil est à symétrie sphérique
u
•
•
P
Planète
r
S
Soleil
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Alors :
F
=-g
MSMP
r
2
u
=-
k
r2
u
(Ce résultat nécessite en fait le théorème de Gauss – cf IX, et l’hypothèse de symétrie sphérique
pour le Soleil).
D’après VII, le centre P de la Planète décrit donc une conique dont S est un foyer, dans le
référentiel de Copernic.
Compte tenu des « conditions initiales » (à la formation du Système Solaire), E0 < 0, et cette
conique est une ellipse dont S est un foyer (1ère loi de Képler).
Cette ellipse est décrite selon la loi des aires (2e loi de Képler).
Sa période est :
T= 2Π
MP a3
=2Π
k
a3
g MS
(3e loi de Képler : T2 proportionnelle à a3)
Rem. 1 : les ellipses décrites par les 9 Planètes du Système Solaire le sont quasiment dans le
même plan (plan de l’écliptique), et sont voisines de cercles (la plus excentrique est celle décrite
par Mercure : e ≈ 0,2).
T2
4 Π2
Rem. 2 : En prenant en compte MP, on trouve que : 3 =

M 
a
g MS 1 + P 
MS 

MP
(légère correction à la 3e loi de Képler ;
≤ 10-3 (pour Jupiter)).
MS
Rem. 3 : en prenant en compte l’influence des autres Planètes, et la non-sphéricité du Soleil :
EP(r) = -
k
 k' 
+ - 3 
r
 r 
Terme correctif dit « quadrupolaire »
On montre alors que l’axe focal de l’ellipse décrite par une Planète tourne lentement dans le
même sens que la Planète : c’est le phénomène « d’avance du périhélie » (le périhélie P
semble « avancer » lentement sur l’ellipse au cours du temps).
Ce phénomène est le plus marqué pour Mercure : δ θ ~ 10’ arc/siècle.
On peut noter qu’il existe aussi une contribution due à la Relativité Générale (43" arc/ siècle) ;
cette contribution, en accord remarquable avec les observations astronomiques, conforta le
succès et la validité de la théorie einsteinienne.
*Exemple 2 : satellites artificiels terrestres. On fait des hypothèses simplificatrices analogues à
celles faites pour les Planètes :
Système {Terre + Satellite} isolé
MS << MT ⇒
G ≈ T, centre de la Terre
(RG) ≈ référentiel géocentrique
M ≈ S, centre d’inertie du satellite
La Terre est à symétrie sphérique
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On étudie donc le mouvement d’un satellite autour
de la Terre, dans le référentiel géocentrique.
• S
F
u
•
Satellite
r
T
Terre
F
=-g
M T MS
r
2
(et EP(r) = - g
u
k
=-
r2
M T MS
r
u
=-
k
r
)
- Si E0 < 0, la trajectoire du satellite est donc une ellipse dont T est un foyer, décrite selon la loi
des aires, avec la période :
T0 = 2 Π
M S a3
=2Π
k
a3
g MT
- Si E ≥ 0, la trajectoire est parabolique ou hyperbolique, il y a « libération » (état « diffusif »).
La vitesse initiale critique délimitant les 2 types de trajectoire est appelée vitesse de libération.
Elle correspond à :
E0 = 0 =
g MSM T
1
MS v02 2
r0
(r0 = r (t = 0))
Donc :
vlib =
2 g MT
r0
Problème du lancement d’un satellite
Le lancement du sol est impossible :
-
v0 < vlib (sol) =
2 g MT
= 11,2 kms-1 :
R
∞
v0 > vlib
(E0 > 0)
v0
M0
le satellite retombe sur terre
-
v0 < vlib (E0 < 0)
•
•
•
v0 > vlib (sol) :
T
Terre
le satellite échappe à l’attraction terrestre et part à l’infini
R
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Physique
Mécanique
SYSTEMES DE POINTS MATERIELS
Il faut donc emmener le satellite à une altitude z (fusée Ariane…) et le lancer à cette altitude à
une vitesse v0 < vlib.
Rem. : on lance les satellites de bases proches de l’équateur (Kourou) pour « profiter » de la
rotation terrestre et minimiser l’énergie à apporter pour le lancement (et la masse de propergols
consommée).
Problème du changement d’orbite
A
diminutions
de
vitesse
∆v
(effectués au périhélie ou à
l’aphélie de la trajectoire).
∆v
!
•
•
•
T
"
•
P
•P •
T
•
∆v
Passage " → ! :
Diminution de vitesse ∆V en P
Cas du satellite circulaire
•
!
"
Le passage d’une orbite elliptique
à une orbite circulaire se fait
à l’aide de moteurs auxiliaires
permettant des accroissement ou
S
F
EO = -
g M T MS
2 r0
EP = -
g M T MS
r0
EC =
g M T MS
= - EO
2 r0
v0 =
v
g MT
= lib
r0
2
•
T
r0
Passage " → ! :
Accroissement de vitesse ∆V en A
3
r0
g MT
TO = 2 Π
Cas du satellite circulaire géostationnaire
ω
Le satellite est immobile pour un
observateur terrestre (application
aux télécommunications, GPS… ).
•
•
Soit
S
R0 cos λ
•
λ
T
Plan trajectoire
Plan équatorial
Terre
(RG) le référentiel géocentrique « absolu »
(R’) référentiel terrestre « relatif »
v = v ’ + ve
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A
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Pour le satellite géostationnaire, on veut :
v’ = O
v = ve
En particulier :
trajectoire absolue ≡ trajectoire d’entrainement
cercle de rayon r0 cos λ
cercle de rayon r0
cos λ = 1
Il faut donc :
La trajectoire doit être dans le plan équatorial.
De plus :
g MT
r0
v = v0 =


2Π
2Π
ve = ω r0  ω =
=
s -1 
Jsid 86164


ω r0 =
Ainsi :
g MT
r0
1/3
gM 
r0 =  2T 
 ω 
v0 = (ω g MT)1/3
⇒
A.N. :
r0 ≈ 42000 km
(z0 = r0 – R ≈ 36000 km)
v0 ≈ 3 kms-1
III.
Choc de deux points matériels.
On considère un système isolé de deux points matériels, sans interaction autre que le choc, qui a
lieu à t = 0.
Dans (R) galiléen, on connait leurs vitesses v 1 et v 2 juste avant le choc (t = 0-).
On cherche à déterminer leurs vitesses v'1 et v'2 juste après le choc (t = 0+).
v'1
(R)
v'2
choc
v1
M1 •
(m1)
v2
• M2
(m2)
Le système est isolé : il y a conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement totale :
E1 + E2 = E'1 + E'2
P1 + P2 = P'1 + P'2
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Pour une particule : E = EP + EC + U, où U est son énergie interne (cf cours de Thermo).
Nous supposerons que la seule énergie potentielle à prendre en compte est celle de pesanteur.
Le choc étant très bref :
EP = E'P
Nous nous limiterons de plus au cas d’une collision élastique, pour laquelle :
U = U'
(Le choc conserve l’énergie interne de la particule, on néglige donc tout terme dissipatif
provoquant un échauffement, donc une modification de U). Un choc élastique conserve donc
l’énergie cinétique du système.
1
1
1
1
m1v12 +
m2v22 = m1v'12 +
m2v'22
2
2
2
2
On aura alors :
m1 v 1
+
m2 v 2
=
m1 v'1
+
m2 v'2
On voit que le problème est indéterminé (6
équations).
Nous nous limiterons donc à 2 cas simples.
inconnues v’1x, v’1y, v’1z, v’2x, v’2y, v’2z et 4
III.1. Choc élastique direct : toutes les vitesses sont colinéaires :
v i = vi x : v i ’ = v’i x
v1
v2
•
m1
•
x
m2
m1v1 + m2v2 = m1v’1 + m2v’2
1
1
1
1
m1v12 +
m2v22 =
m1v’12 +
m2v’22
2
2
2
2
Alors :
ou encore :
⇒
On obtient ainsi :
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(vi, v’i > 0 ou < 0)
(1)
(2)
m1(v1 – v’1) = m2(v’2 – v2)
(1)
m1(v12 – v’12) = m2(v’22 – v22)
(2)
m1(v1 – v’1) = m2(v’2 – v2)
(1)
v1 + v’1 = v2 + v’2
(2)
1
v’1 =
(m1 - m2 ) v 1 + 2 m2 v 2
m1 + m2
v’2 =
2 m1 v 1 + (m2 - m1 ) v 2
m1 + m2
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Cas particuliers :
•
v2
= O ((1) « projectile », (2) « cible »)
v’1 =
v’2 =
m1 - m2
v1
m1 + m2
V1
•
(1)
•
(2)
2 m1
v1 > 0
m1 + m2
m1 > m2 : v’1 > 0 (Si m1 >> m2 : v’1 ≈ v1 ; v’2 ≈ 2 v1)
m1 < m2 : v’1 < 0 (Si m1 << m2 : v’1 ≈ - v1 ; v’2 ≈ 0)
m1 = m2 : v’1 = 0
« carreau »
v’2 = v2
•
m2 >> m1 :
v’1 ≈ -v1 + 2 v2
v’2 ≈ v1
III.2. Choc élastique sur une paroi fixe (m2 >> m1).
n
•
On a ici :
v2 = v’2 = 0
m2 = M >> m1 = m
m
v'1
m
•
v1
i
i'
Par conservation de l’énergie cinétique :
P
v1 = v’1
M
Par conservation de la quantité de mouvement :
m v 1 = m v'1 + P
P1
P'1
n
P est la quantité de mouvement reçue par la paroi pour un choc.
Donc :
P = m ( v 1 - v'1 )
i
Nous admettrons que, pour un choc élastique, la force subie
•
par la paroi est une force de pression : P est donc normale à
la paroi, ce qui implique i’ = i (loi de Descartes pour
la « réflexion » de la particule (1)).
i
m v1
Alors :
P
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− mv'1
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P = - 2 mv1 cos i n
Application : « pression de radiation »
Considérons un faisceau lumineux se réfléchissant sur un métal parfait sous incidence i.
Avec le modèle corpusculaire, cette réflexion correspond à des chocs élastiques de photons. Un
hυ
.
photon possède une énergie E = hυ et une quantité de mouvement p =
c
p'
Pour le choc d’un photon, la paroi reçoit la
quantité de mouvement :
n
i
p1
i
p1 = - 2
 hυ 
  cos i n
 c 
p
Photon
Miroir
Si le faisceau lumineux possède une densité de photon n, le nombre de photons choquant un
élément de surface dS du miroir pendant dt est :
Cdt
d2N = n (c dt dS cos i)
dS
dτ
Le transfert de quantité de mouvement
associé est :
dτ
d2 p = d2 N p1 = - 2 nhυ cos2 i dS dt n
i
La force d F subie par dS est donc :
dF =
d2 p
= 2 nhυ cos2i dS (- n )
dt
Il s’agit bien d’une force de pression, cette pression est appelée pression de radiation :
P = 2 (nhυ) cos2i
Comme nhυ = u, énergie volumique du faisceau incident, on a finalement :
P = 2 u cos2i
(P proportionnelle à u)
On voit que P est maximale sous incidence normale (i = 0), et nulle sous incidence rasante
(i = Π/2).
Cette pression est négligeable pour les sources lumineuses usuelles, très importante pour le
rayonnement solaire par exemple (orientation de la queue des comètes en sens opposé du
rayonnement solaire, voiles solaires…).
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