Sur la méthode de WEYL dans la théorie des nombres. I

Mathematics. - Sur la méthode de WEYL dans la théorie des nombres.
By J. G. VAN DER CORPUT . (Première communication).
(Communicated at the meeting of September 25, 1937.)
§ 1. Lïnégalité fondamentale.
1. Dans cette communication je déduirai au moyen de la méthode
de WEYL quelques résultats utiles pour la théorie analytique des nombres.
A la base de cette méthode se trouve l'inégalité de CAUCHY-SCHWARZ.
Cette inégalité apprend que, pour tout choix des nombres réels
BI' .. . t Bn t bl, • • • , bn,
L'inégalité de CAUCHY-SCHWARZ est évidente , car si dIe ne se réalisait
pas , Ie discriminant
(a~ + . .. + a~) (b~ + ... + b~) -(al bI + .. ' + an bn )2
de l'équation du second degré
serait négatif. de telle sorte que cette équation aurait deux raeines réelles
distinctes,
ce qui est impossible.
Le cas spéeial bI = ... = bn = 1 donne
( al + . ~ . + an y oe=: a~ + . ~ . + a~ ,
c'est~à~dire que Ie carré de la moyenne arithmétique d'un certain nombre
de valeurs réelles est inférieur ou égal à la moyenne arithmétique des
carrés de ces mêmes valeurs .
Par applications répétées de cette inégalité, on voit d'abord que la
quatrième puissance de la moyenne arithmétique est inférieure ou égale
à
la moyenne arithmétique des quatrièmes puissances. ensuite plus
généralement,
que
( al + . ~. + an)L oe=: af + . ~ . + a~ • (1)
si L désigne une puissance positive et entière de 2. 1)
1) 11 n'est d'aucun intérêt pour la méthode de WEYL que cette inégalité soit valable
pour tout L ::> I.

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De I'inégalité de CAUCHY-SCHWARZ je déduirai la suivante. que
j' appelIe l' inégalité fondamentale :
Si A et X sont des nombres naturels tels que A -:: X. si Pest
entier et si 1 uxl-:: 1. alors
P+X A-I P+X-a
A21 .I uxl2 < 4AX2 + 4XR I (A-a) .I Ux+a üx•
x=P+ I .=1 x=P+ I
w désignant la valeur complexe conjugée de w. et Rw dé&ignant la
partie réelle
de w.
Je peux. sans troubler la généralité. supposer Ux = 0 pour x> P+ X
et pour x-:: P. ces valeurs n'apparaissant tout de même pas dans
l'inégalité qu'il faut démontrer. Done
P+X P+X x+A-I P+X+A-I A-I
A I Ux = .I Ux I 1 I I Uy-a.
x=P+ I x=P+ I y=x
y=P+I a=O
ce qui donne. en vertu de l'inégalité de CAUCHY-SCHWARZ.
P+X P+X+A-I A-I
A 21 I Ux 1
2
-:: (X + A-I) I I.I Uy_ a 1
2
x=P+ I y=P+ I a=O
P+X+A-I A - I A-I
=(X+A-l).I I Uy-h.I Üy-I
y=P+I h=O 1=0
P+X+A-I
= (X + A-I) .I I I .I + .I I + .I .I I.
y=P+ I h=1 h<1 h>1
ou
A-I A-I
.I.I = .I Uy-hÜy-h= I IUy_hI2 -::A.
h=1 h=O h=O
Les deux som mes doubles .I I et I .I sont eonjuguées; leur somme
h<1 h>1
est done 2 R .I. Par eonséquent
h<1
P+X P+X+A-I
A21 .I uxI2 -==A(X+A-1)2+2(X+A-1)R I
x=P+I y=P+I
A-I A-I
I .I Uy-h Üy_1 .
h=O 1=0
h < 1
Les quantités Ux étant nulles pour x> P + X et pour x-:: P. il n'apparaît
dans eette somme triple que des term es de la forme Ux+a üx• avee
P+1-::x-::P+X. P+1-::x+a-::P+X. l-::a-::A-l.
Chaeun de ces termes apparaît exactement A -a fois. du fait que Ie
système
y-h=x+a. y-I=x.
0-== h < 1-:: A-I
a exactement A -a solutions entières (k. Z. y) . Ces solutions sont
h=O.1. ...• A-a-1; l=h+a;

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Par eonséquent
P+X A-I P+X-a
A21 ~ uxI2 -=:A(X+A-l)2+2(X+A-l)R ~ (A-a) ~ ux+aiîx.
x=P+ I a=1 x=P+I
Le membre de droite est donc =- O. En multipliant ce membre par
2X
Ie facteur X + A -1' qui est supérieur à 1. et en I'augmentent ensuite
du terme positif 4 A X2 -2 A X (X + A-I), on obtient l'inégalité
fondamentale.
De cette inégalité, il est facile de tirer des autres, que j'appellerai des
inégalités fondamentales généralisées et dont je donnerai deux exemples.
Ces deux exemples contiennent une fonerion f(x, y) de deux variables
x et y. Si I'on pose dans Ie premier exemple Y= 1 et f(x,y)=f(x),
on obtient l'inégalité généralisée à une fonction f(x) d'une seule variabIe x.
Les inégalités fondamentales généralisées à une fonction de plus de deux
variables sont évidentes, si l'on connaît ceJles à une fonction de deux
variables.
Première inégalité fondamentaTe généralisée.
Soit E un ensemble de points (x, y) à coordonnées entières situés dans
Ie rectangle
P et Q désignant des nombres entiers, X et Y des nombres natUl·els.
Je suppose: si {'ensemble E contient deux points à une même abscisse, il
contient tous les points à coordonnées entières situés entre ces
deux points.
Si I, AI •... , AI sont des nombres naturels tels que AI + ... + AI-=: X,
alors, pour toute fonction réelle f(x, y) définie pour tous les points (x. y)
de E, on a
Q+Y
X-I y-l ~ I I
(2)
y=Q+I x
(x,y)dansE
T=r
l
y-I All ... All ~ I I ~ e2" i{(a) (x,y) I; (3)
(a) y x
(x,
y)dan. E(a)
la somme I est étendue à tous les systèmes al' a2' ... , al de nombres
(a)
naturels tels que al -=: AI, ... , al-=: AI: ensuite E(a) est {'ensemble des
points (x.
y) de E tels que (x + al + ... + al, y) appartienne également
à E, et finalement
8,-1 81-1
tia) (x, y) = I ... ~ 6: f(x + al + ... + al, y}. (4)
",,=0 "'1=0
I) Nous désignons par Max (AI> A2 ..... An) Ie plus grand des nombres AI> A2 ..... An

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Des conditions il suit que pour tout point (x, y) de E(a) chaque terme
6: f(x + al + ... + al, y) de la somme en question est défini.
Pour la démonstration j'applique d'abord l'inégalité de CAUCHY -
SCHW ARZ. Ainsi je trouve que Ie membre de gauche de (2), élevé au
carré, est tout au plus égal à
Q+Y
X-2 y-I I I e2 "if(x,y) 12•
y=Q+I x
(x,y)dan.E
En vertu de l'mégalité fondamentale non généralisée, cette expression
est inférieure à 4 Ai
l + 4 1 V
I, ou
A,-I
V = X-I y-I Ai
2 I (AI -
ad I I e2 "/(f(x+a"y)-f(x,y)) ,
y x
(x,y)donsE.,
Eo, désignant l'ensemble des points (x, y) de E tels que (x + al' y)
appartienne à E. Donc Ie membre de gauche de (2), élevé au carré,
est inférieur à Max(25Ai
l, 5 1
VI), de sorte que Ie membre lui~même
est inférieur à Max(5A;-l,V51 Vil). En outre
A,-I
I V I-=:: X-I y-I Ai
l I I I I e2
"i(f(x+o"Y)-f(x,y)) I .
81 ==1 Y Je
(x,y)dan,E
o,
L'inégalité à démontrer est donc déjà vériflée pour [= 1, car
81- 1
f(x+al,y)-f(x,y)= I 6tf(x+ol'Y)·
cx
1==0
Par conséquent je peux supposer [:=- 2 et admettre que l'inégalité est
démontrée pour [- 1 au lieu de l. En vertu de (1) on a donc
I VI
21
-1 -=:: X-
21
-1 y-2
1-1
Ai
l
A:,ill I I e2ndf(x+aby)-f(x,Y))121-1
al=O Y x
(x, y) dans Ea,
21-1 _2
1
-2 _21-3 -I
= 5 Max (A2 , A3 , ... ,AI , T).
ou
A,
W
=X-I y-I A-I A-I
a, 2 ••• 1 I
AI
I 1 I I e2nifio) (X,Y) I.
82==1 01=0 Y x
(x,y)dan.E(a)
Donc
I I I I
VSI VI
2 < 5
Max(A~4, ... , A~21, T
21
),
d'ou suit l'inégalité qu'il faut démontrer.

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Deuxième inégalité fondamentale généralisée.
Soit E un ensemble de points (x. y) à coordonnées entières situés
dan3 Ie rectangle
p< x-=: P+ X. Q< y-=: Q + Y.
P et Q désignant des nombres entiers. X et Y des nombres naturels.
Je suppose: si l'ensemble E contient deux points ayant une même abscisse
ou une même ordonnée. il contient tous les points à coordonnées entières
situés entre ces
denx points.
Si I et r sont entiers =- O. 1+ r> 0 et si AI •...• AI. BI •...• B, sont
des nombres naturels tels que
alors. pour toute fonction réelle f(x. y) définie pour tous les points de
E. on a
I I I I I
X-I Y-II I I e2"'if(x.!lII< 12Max(A-:2 ..... A~1.B~2i. ..... B~re.Ure).
!I x
(x.!/)da ... E
ou À = 21 ; e = 2' et
u=X-
1
y-I Aïl ... Ai
l
BIl ... B;I I I I I e2 "'i
f
(s.bl(x) I ;
(a . b) 9 x
(".y)d .... E(s. b)
la somme I est étendue à tous les systèmes al ••..• al. bI •...• br de
(a.b)
nombres naturels tels que
ensuite
E(8.b) est l'ensemble des points (x. y) de E tels que
appartiennent à
E. et finalement
8,-1 .1-1 b,-I b,-I
f{a.bdx.y)= I ... I ~ ... I .6: .62f(x+al+ .. ·+
a
l.y+,8I+"'+,8,).
"', =0 "'1=0 13 ,=0 13, =0
ou
Chaque terme .6~ .6; f(x + al + ... + a,. y + PI + ... + P,) paraissant
dans la dernière 50mme est défini pour tout point (x. y) de E(8.b).
Si t = 0 (done e = 1 et U = T). l'inégalité à demontrer déeoule
immédiatement
de la première inégalité fondamentale généralisée. Si
1= O. il suffit de ehanger I et r. x et y. A et B. Done je peux supposer