Les inégalités

Les inégalités
Manipuler les inégalités
Lorsque l’on représente les nombres comme les points d’une droite ho-
rizontale, dire que x < y, c’est dire que le point associé au nombre xest
à la gauche de celui associé au nombre y. Les inégalités entre les nombres
obéissent aux lois suivantes quant à leurs rapports avec les opérations de
l’arithmétique :
si x < y, alors x+z < y +z. (1)
si x<y et si z > 0alors xz < yz. (2)
si x<y et si z < 0alors xz > yz. (3)
Attention à cette dernière règle : quand on multiplie une inégalité par
un nombre négatif, on change son sens.
si 0< x < y alors xn< yn.(4)
si 0< x < y alors x1/n < y1/n.(5)
La valeur absolue |x|d’un nombre xest égale à xsi x > 0et est égale
à−xsi x≤0. Par exemple, |7|= 7 et | − 3|= 3. La distance entre
deux nombres xet yest, par définition, le nombre positif |x−y|. L’inégalité
suivante, dite inégalité du triangle, est très souvent utilisée :
|x−y|≤|x−z|+|z−y|.(6)
Un intervalle borné est un ensemble de nombres défini par deux inégalités
(elles peuvent être strictes ou larges). Par exemple,
[0,1] = {x|0≤x≤1},
et
]1,2[= {x|1<x<2}
sont des intervalles bornés (on écrit aussi (1,2) pour ]1,2[). aest l’extrémité
gauche de l’intervalle [a, b]et best son extrémité droite ; (a + b)/2 est son
1

centre et (b - a) est sa longueur. Un intervalle non borné est défini par une
seule inégalité. On utilise les symboles ±∞ (lire : plus ou moins l’infini) pour
dénoter les extrémités de tels intervalles. Par exemple,
[0,+∞[= {x|0≤x}
et
]− ∞,−3/2[= {x|x < −3/2}
sont des intervalles non bornés.
Comme l’inégalité |x−a|< c est satisfaite si et seulement si les deux
inégalités x−a<cet a−x<csont toutes les deux satisfaites, l’inégalité
|x−a|< c définit un intervalle de centre aet de longueur 2c:]a−c, a +c[.
Exercices
Vrai ou faux ?
1. Si a<b, alors 3a < 4b.
2. Si a<b, alors |c|a < |c|b.
3. Si a<b, alors a−c < b −c.
4. Si 0<a<1, alors a2< a.
5. Si 0<a<1, alors a1/2< a.
6. Si |x|<1et |y−1|<1, alors |x−y|<2.
Pour en savoir plus
?http://noe-education.org/D1114.php3
?http://fr.wikipedia.org/wiki/Portail:Mathématiques
Réponses
1. Vrai 2. Vrai 3. Vrai 4. Vrai 5. Faux 6. Faux
2