Inequations degre 1 Cours

Notations : •
<
se lit « est strictement inférieur à ». •
>
se lit « est strictement supérieur à ».
•
≤
se lit « est inférieur ou égal à ». •
≥
se lit « est supérieur ou égal à ».
Définitions :
a
et
b
désignent deux nombres relatifs.
•
a
≤
b
signifie :
a
<
ou
a
=
b
. •
a
≥
b
signifie :
a
>
b
ou
a
=
b
.
Définitions : • L’inégalité
<
0
signifie que le nombre est strictement négatif.
• L’inégalité
≤
0
signifie que le nombre est négatif.
• L’inégalité
>
0
signifie que le nombre est strictement positif.
• L’inégalité
≥
0
signifie que le nombre est positif.
Définitions : • Une inéquation à une inconnue est une inégalité dans laquelle figure un nombre inconnu.
• Résoudre une inéquation d’inconnue , c’est trouver toutes les valeurs que l’on peut donner
à
pour que l’inégalité soit vraie
; ces valeurs sont les
solutions
de l’inéquation.
Propriété : On ne change pas le sens d’une inégalité lorsqu’on additionne (ou lorsqu’on soustrait) le même
nombre aux deux membres de cette inégalité.
Autrement dit :
a
,
b
et
c
désignent trois nombres relatifs.
Si
a
≤
b
alors
a
+
c
≤
b
+
c
et
a
−
c
≤
b
−
c
.
Propriétés : • On ne change pas le sens d’une inégalité lorsqu’on multiplie (ou lorsqu’on divise) par le même
nombre strictement positif les deux membres de cette inégalité.
• On change le sens d’une inégalité lorsqu’on multiplie (ou lorsqu’on divise) par le même
nombre strictement négatif les deux membres de cette inégalité.
Autrement dit : a , b et c désignent trois nombres relatifs.
Si a ≤ b et si  > 0 , alors a × c ≤ b × c et ≤ .
Si
a
≤
b
et si
<
0
, alors
a
×
c
≥
b
×
c
et
≥
.
R A N I NEQUATIONS DU P REMIER D EGRE C OURS
Exemples : 7 = 7 donc on peut écrire 7 ≤ 7 ou 7 ≥ 7 .
5 > 2 donc on peut écrire 5 ≥ 2 .
Exemple : 4 + 7 ≤ 6 + 9 est une inéquation du premier degré d’inconnue .
−2 et 1 sont-ils des solutions de cette inéquation ?
1
er
membre 2
nd
membre 1
er
membre ?
≤
? 2
nd
membre
−
2
4
×
−
2
+
7
=
−
1
6
×
−
2
+
9
=
−
3
Non :
−
1
>
−
3
.
−
2
n’est pas une solution.
1
4
×
1
+
7
=
11
6
×
1
+
9
=
15
Oui : 1
1
≤
15
.
1
est une solution.
1
er
membre
2
nd
membre
Exemples :
−
6
≤
5
−
6
+
≤
5
+
≤
11
+
1
>
9
+
1
−
>
9
−
>
8

Exemples : Résoudre les inéquations suivantes : a. 4 + 7 ≤ 6 + 9
b. 4 + 2 >  + 6
a. 4 + 7 − ! ≤ 6 + 9 − !
−2 + 7 ≤ 9
−2 + 7 − " ≤ 9 − "
−2 ≤ 2
#$%
#&
≥
$
#&
On divise par le nombre négatif −& donc on change le sens de l’inégalité.
 ≥ −1
Les solutions de l’inéquation 4 + 7 ≤ 6 + 9 sont les nombres supérieurs ou égaux à −1 ,
c’est-à-dire l’intervalle
'()'
.
b.     !      !
    &    &
*%
+
,
+
On divise par le nombre positif + donc on ne change pas le sens de l’inégalité.
,
*
Les solutions de l’inéquation sont les nombres strictement supérieurs à
,
*
,
c’est-à-dire l’intervalle -
.
+
()/ .