Inequations degre 1 Cours

INEQUATIONS
RAN
DU
PREMIER DEGRE
COURS
Notations : • < se lit « est strictement inférieur à ».
• ≤ se lit « est inférieur ou égal à ».
• > se lit « est strictement supérieur à ».
• ≥ se lit « est supérieur ou égal à ».
Définitions : a et b désignent deux nombres relatifs.
• a ≤ b signifie : a < ou a = b .
• a ≥ b signifie : a > b ou a = b .
Exemples : 7 = 7 donc on peut écrire 7 ≤ 7 ou 7 ≥ 7 .
5 > 2 donc on peut écrire 5 ≥ 2 .
Définitions : • L’inégalité
• L’inégalité
• L’inégalité
• L’inégalité
< 0 signifie que le nombre
≤ 0 signifie que le nombre
> 0 signifie que le nombre
≥ 0 signifie que le nombre
est
est
est
est
strictement négatif.
négatif.
strictement positif.
positif.
Définitions : • Une inéquation à une inconnue est une inégalité dans laquelle figure un nombre inconnu.
• Résoudre une inéquation d’inconnue , c’est trouver toutes les valeurs que l’on peut donner
à
pour que l’inégalité soit vraie ; ces valeurs sont les solutions de l’inéquation.
Exemple : 4 + 7 ≤ 6 + 9
er
1 membre 2
nd
est une inéquation du premier degré d’inconnue
.
membre
−2 et 1 sont-ils des solutions de cette inéquation ?
−2
1
1er membre
2nd membre
1er membre ? ≤ ? 2nd membre
4 × −2 + 7 = −1
6 × −2 + 9 = −3
Non : −1 > −3 .
−2 n’est pas une solution.
4 × 1 + 7 = 11
6 × 1 + 9 = 15
Oui : 11 ≤ 15 .
1 est une solution.
Propriété : On ne change pas le sens d’une inégalité lorsqu’on additionne (ou lorsqu’on soustrait) le même
nombre aux deux membres de cette inégalité.
Autrement dit :
Exemples :
a, b et c désignent trois nombres relatifs.
Si a ≤ b alors a + c ≤ b + c et a − c ≤ b − c .
+1 > 9
+1− > 9−
>8
−6≤5
−6+ ≤5+
≤ 11
Propriétés : • On ne change pas le sens d’une inégalité lorsqu’on multiplie (ou lorsqu’on divise) par le même
nombre strictement positif les deux membres de cette inégalité.
• On change le sens d’une inégalité lorsqu’on multiplie (ou lorsqu’on divise) par le même
nombre strictement négatif les deux membres de cette inégalité.
Autrement dit :
a, b et c désignent trois nombres relatifs.
Si a ≤ b et si > 0, alors a × c ≤ b × c et ≤
.
Si a ≤ b et si
.
< 0, alors a × c ≥ b × c et ≥
Exemples : Résoudre les inéquations suivantes :
a. 4 + 7 ≤ 6 + 9
b. 4 + 2 > + 6
a. 4 + 7 − ! ≤ 6 + 9 − !
−2 + 7 ≤ 9
−2 + 7 − " ≤ 9 − "
−2 ≤ 2
#$%
#&
$
≥ #&
On divise par le nombre négatif −& donc on change le sens de l’inégalité.
≥ −1
Les solutions de l’inéquation 4 + 7 ≤ 6 + 9 sont les nombres supérieurs ou égaux à −1,
c’est-à-dire l’intervalle '− ; +∞'.
b. 4 + 2 − ! >
+6−!
3 +2>6
3 +2−&>6−&
3 >4
*%
+
>
>
,
+
,
*
On divise par le nombre positif + donc on ne change pas le sens de l’inégalité.
Les solutions de l’inéquation 4 + 2 >
c’est-à-dire l’intervalle
.
- + ; +∞/.
+ 6 sont les nombres strictement supérieurs à
,
*
,