ln(x) x xln(x)=0 .

TS5
Contrôle de mathématiques n°7
1h30
Exercice 1 (2 points) : On admet que
lim
x →+∞
ln( x)
= 0. Démontrer que lim xln( x )=0 .
x
x→ 0
Exercice 2 (8 points) :
Partie A Soit u la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : u(x) = x 2 − 2 + ln (x).
1. Étudier les variations de u sur ]0;+∞[ et préciser ses limites en 0 et en +∞.
2.
a. Montrer que l’équation u(x) = 0 admet une solution unique sur ]0;+∞[.
On note α cette solution.
b. A l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10-2 de α.
3. Déterminer le signe de u(x) suivant les valeurs de x.
4. Montrer l’égalité : ln α = 2 − α2.
Partie B On considère la fonction f définie et dérivable sur ]0 ; +∞[ par :
f (x) = x 2 + (2 − ln (x))2.
On note f ′ la fonction dérivée de f sur ]0 ; +∞[.
1. Exprimer, pour tout x de ]0 ; +∞[, f ′( x) en fonction de u(x).
2. En déduire les variations de f sur ]0 ; +∞[. Dresser le tableau de variations complet de f (avec les limites et la valeur
exacte de son extremum (pensez à utiliser le A) 4. !)
Exercice 3 (10 points) :
Une entreprise fabrique des billes en bois sphériques grâce à 2 machines de production A et B.
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A : Une étude du fonctionnement des machines a permis d’établir les résultats suivants :
• 96% de la production journalière est vendable.
• La machine A fournit 60% de la production journalière.
• La proportion de billes vendables parmi la production de la machine A est 98%.
On choisit une bille au hasard dans la production d’un jour donné. On définit les événements suivants :
A : « la bille a été fabriquée par la machine A » ; V : « la bille est vendable ».
1. Déterminer la probabilité que la bille choisie soit vendable et provienne de la machine A.
2. Justifier que P( Ā ∩V ) = 0,372 et en déduire la probabilité que la bille choisie soit vendable sachant qu’elle
provient de la machine B.
3. Un technicien affirme que 70% des billes vendables proviennent de la machine A. A-t-il raison?
Partie B : Les billes vendables passent ensuite dans une machine qui les teinte de manière aléatoire et équiprobable en
blanc, noir, bleu, jaune ou rouge. Après avoir été mélangées,les billes sont conditionnées en sachets. La quantité
produite est suffisamment importante pour que le remplissage d’un sachet puisse être assimilé à un tirage successif avec
remise de billes dans la production journalière. Une étude de consommation montre que les enfants sont
particulièrement attirés par les billes de couleur noire.
1. Dans cette question seulement, les sachets sont tous composés de 40 billes.
On choisit au hasard un sachet de billes. On arrondira les résultats à 10−3. Justifier !
a. Déterminer la probabilité que le sachet choisi contienne exactement 12 billes noires.
b. Combien en moyenne un sachet contient-il de billes noires ?
c. Les sachets sont vendus 5 € s’ils contiennent moins de 10 billes noires, 8 € s’il y a entre 11 et 15 billes noires
et 10 € sinon. On note Y la variable aléatoire donnant le prix d’un sachet.
Déterminer la loi de probabilité de Y. Si l’entreprise vend 1 000 sachets, quel bénéfice, arrondi à l’€, peut-elle
espérer ?
2. Si l’entreprise souhaite que la probabilité d’obtenir au moins une bille noire dans un sachet soit supérieure ou égale à
99%, quel nombre minimal de billes chaque sachet doit-il contenir pour atteindre cet objectif ?
Correction :
1
1
1
1
1
= +∞, donc lim xln(x )=lim ×ln( )=lim − ×ln( ) .
1
1
x
x→ 0 x
x→ 0
x→ 0 1
x→0
x
x
x
ln ( y)
lim
=0. Par composée, lim xln( x )=0 .
y
x→ 0
y→+∞
Ex 1 : lim
Or
Ex 2 :
Partie A :
1. u est dérivable sur D = IR+* comme somme de fonctions dérivables.
u’(x) = 2 x + 1/ x
Pour tout x de D, x > 0, donc u’(x) > 0.
u est croissante sur D.
lim x 2 − 2 = −2 et lim ln x = −∞ . Par somme lim u x = −∞ .
()
lim ln(x )= +∞.
x →0 +
x →0 +
lim x 2 −2 = +∞ et
x →+∞
x →+∞
()
lim u(x )= +∞.
x →0 +
Par somme
x →+∞
2. a. Sur D, u est continue et strictement croissante.
De plus, 0 ∈ u( ]0 ; +∞[) = ]-∞ ; +∞[ = IR.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation u(x) = 0 admet une unique solution α
dans D.
b. 1 < α < 2
1,3 < α < 1,4
1,31 < α < 1,32
3. u est croissante sur ]0 ; +∞[ et u(α) = 0, donc :
u(x) < 0 sur ]0 ; α[
u(x) > 0 sur ]α ; +∞[
4. u (α ) = 0 ⇔ α2 - 2 + ln (α) = 0 ⇔ ln α = 2 − α2.
Partie B :
1. f (x) = x 2 + (2 − ln x)2.
f est dérivable sur D = IR+* comme somme de fonctions dérivables.
4 −2ln(x) 2x2 −4 +2ln(x) 2 u(x)
f ’(x) = 2 x + 2 × (-1/ x) × (2 – ln(x)) = 2x −
=
=
x
x
x
2. Pour tout x de D, x > 0 et 2 > 0, donc f ’(x) est du signe de u(x) sur D.
X
Signe f ’(x)
Variations
de
f
α
0
0
-
+∞
+
+∞
+∞
α2 + α4
()
(
)
(
)
lim x 2 = 0 et lim+ 2 −ln x = +∞, donc lim 2 −ln(x ) = +∞.
+
+
x→0
()
x →0
x →0
2
Par somme
lim f x = +∞ .
x →0 +
()
lim x 2 = +∞ et lim 2 −ln x =−∞, donc lim 2 −ln(x ) =+∞
x →+∞
x → +∞
x →+∞
2 2
2
f (α) = α2 + (2 - lnα)2 = α2 + (2 - 2 + α ) = α + α4 .
2
()
f x = +∞.
Par somme x lim
→+∞
Ex 3 :
Partie A : On peut construire un arbre pour s’aider.
L’énoncé nous donne : P (V) = 0,96
P (A) = 0,6
PA (V) = 0,98
1. P (A ∩ V) = P(A) × PA (V) = 0,6 × 0,98 = 0,588.
2. A et Ā forment une partition des billes. D’après la formule des probabilités Totales,
P(V) = P (A ∩ V) + P( Ā ∩V ) ⇔ P( Ā ∩V ) = 0,96 – 0,588 = 0,372.
P Ā (V ) =
̄ ∩V ) 0,372 0,372
P( A
=
=
=0,93
P( ̄A )
1−0,6
0,4
P( A∩V ) 0,588
=
≃0,6125
P(V )
0,96
Le technicien a tort : c’est environ 61 %.
3. Il faut calculer
PV ( A) =
Partie B :
1. On répète 40 fois de manière identique et indépendante l’épreuve de Bernoulli « choisir une
bille » de succès « elle est noire », qui a une probabilité de 1/5 = 0,2.
La variable aléatoire X qui compte le nombre de billes noires par sachet suit donc la loi binomiale
de paramètres n = 40 et p = 0,2.
a. P (X = 12) ≈ 0,044
b. E(X) = np = 8
En moyenne, un sachet contient 8 billes noires.
c. P (Y = 5) = P (X ≤ 10) ≈ 0,839
P (Y = 8) = P (11 ≤ X ≤ 15) = P (X ≤ 15) – P (X ≤ 10) ≈ 0,997 – 0,839 = 0,158
P (Y = 10) = P (16 ≤ X ≤ 40) = P (X ≤ 40) – P (X ≤ 15) ≈ 1 – 0,997 = 0,003
E (Y) ≈ 5 × 0,839 + 8 × 0,158 + 10 0,003 = 5,489
En moyenne, l’entreprise vend un sachet 5,489 €, donc si elle en vend 1 000, elle peut espérer un
bénéfice de 5 489 €.
2. On répète n fois de manière identique et indépendante l’épreuve de Bernoulli « choisir une bille »
de succès « elle est noire », qui a une probabilité de 1/4 = 0,2.
La variable aléatoire X qui compte le nombre de billes noires par sachet suit donc la loi binomiale
de paramètres n et p = 0,2.
On cherche le plus petit entier n tel que P (X ≥ 1) ≥ 0,99 ⇔ 1 – P (X = 0) ≥ 0,99
⇔ P (X = 0) ≤ 0,01 ⇔ 0,8n ≤ 0,01 ⇔ n ln(0,8) ≤ ln (0,01)
⇔ n ≥ ln(0,01)/ln(0,8)
car ln(0,8) < 0
Or ln(0,01)/ln(0,8) ≈ 20,63.
Donc à partir de n = 21.