Série d’exercices : Exponentielles + équations différentielles +probabilités 1) l’équation différentielle

Série d’exercices :
Exponentielles + équations différentielles +probabilités
Mr :Khammour.Khalil
4èmeSc-exp
Exercice n°1 : Pour chaque question, une seule des réponses proposées est exacte, on demande de la cocher.
1) l’équation différentielle ( E ) : 2 y ' 3 y  0 a pour ensembles de solutions :
3
a) y ( x)  ke 2
3
x
b) y ( x)  e 2
kx
e x 1
.
e x 1
b) f ( x)  e x 1
c) y ( x)  ke
2
 x
3
.
2
2) Soit f la fonction définie par : f ( x ) 
a) lim f ( x)  1
x 1
3) Soit n  IN* et I n = 
ln  n+1
ln  n 
a) I n  0
c) f '( x)  f ( x) .
et
dt .
e t+1
 1
b) I n =ln 1+ 
 n
c)  In  est décroissante.
1 1
4) Si P est une probabilité uniforme sur 0,1 . Alors P  ,  est égale à :
4 2
1
1
a)
b)
c) 1
4
2
5) On note X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètres   0, 04 . On rappelle que pour tout
réel positif t, la probabilité de l’événement (
, notée P (
valeur approchée P(X >5) à
prés par excès est égale à :
a) 0,91
b) 0,18
est donnée par : P (
. La
c) 0,82.
Exercice n°2 :
On dispose de deux urnes U1 et U2.
 L’urne U1 contient 2 billes vertes et 8 billes rouges toutes indiscernables au toucher.
 L’urne U2 contient 3 billes vertes et 7 billes rouges toutes indiscernables au toucher.
Une partie consiste, pour un joueur, à tirer au hasard une bille de l’urne U1, noter sa couleur et remettre la bille dans
l’urne U1 puis de tirer au hasard une bille de l’urne U2, noter sa couleur et remettre la bille dans l’urne U2.
A la fin de la partie, si le joueur a tire deux billes vertes il gagne un PC portable. S’il a tire une bille verte, il gagne lecteur
MP3. Sinon il ne gagne rien.
On note :
A l’événement : « le joueur tire une boule verte dans U1 »
B l’événement : « le joueur tire une boule verte dans U2 ».
Les événements A et B sont indépendants.
1) Montrer, a l’aide d’un arbre pondère, que la probabilité de gagner un PC portable est p = 0,06.
2) Quelle est la probabilité de gagner un lecteur MP3?
3) Vingt personnes jouent chacune une partie. Déterminer la probabilité que deux d’entre elles exactement gagnent un
PC portable.
On justifiera la réponse et on donnera une valeur approchée du résultat à 10-4 prés.
4) On appelle n le nombre de personnes participant a la loterie un jour donne et jouant une seule fois.
On note pn la probabilité que l’une au moins de ces personnes gagne un PC portable.
Déterminer la plus petite valeur de n vérifiant pn >0,99.
Exercice n°3 :
Soit f la fonction définie sur IR et (C) sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
1) Par lecture graphique.
1
a) Déterminer f (1) et f ‘( ).
2
b) Déterminer lim f ( x) ; lim f ( x) et lim
x 
x 
x 
f ( x)
.
x
2) On suppose que f ( x)  1  x  e2 x .
a) Montrer que la courbe (C) admet un point d’inflexion I que l’on précisera.
b) Donner une équation de la tangente T à la courbe (C) au point I.
c) Calculer l’aire de la partie hachurée.
n
3) Pour tout entier naturel non nul n, on pose I n   1  x  e2 x dx .
1
0
2
1
e
 In 
puis calculer lim I n .
n 
n 1
n 1
*
b) Montrer que pour tout n de IN 2I n1   n  1 I n 1 puis déduire lim nI n .
a) Montrer que pour tout n de IN*,
n
Annexe
Exercice n°4 :
Soit f la fonction définie sur IR par : f ( x) 
orthonormé
.
1) a) Calculer lim f ( x) et lim f ( x) .
x 
x 
ex 1
. Soit sa courbe représentative C dans un plan rapporté à un repère
ex 1
b) Montrer que pour tout réel x, on a : f '( x) 
2e x
e
x
 1
2
.
c) Montrer que f est impaire.
d) Dresser le tableau de variation de f .
e) Déterminer une équation cartésienne de la tangente (T) à la courbe C au point O.
1
2) a) Montrer que pour tout réel t, on a : f '(t )  .
2
1
b) En déduire que pour tout réel x  0 on a : f ( x)  x .
2
3) Tracer C et (T) dans le même repère
.
4) a) Soit  un réel strictement négatif. Calculer en cm2 la mesure A    de l’aire de la partie du plan limitée par la
courbe C et les droites d’équations respectives y = 1 ; x =  et x = 0.
b) Calculer lim A    .
 
5) a) Montrer que f réalise une bijection de IR sur un intervalle J que l’on précisera.
b) Expliciter f 1 ( x) pour tout x  J
c) Tracer la courbe représentative de f 1 dans le même repère
.
Exercice n°5 :
Soit (E) l’équation différentielle (E) : y '' y '  e x ; x  IR .
1) Soit f une fonction deux fois dérivable sur IR et solution de (E). Montrer que f est solution de (E) si et seulement
si f ’ est solution de l’équation différentielle (E1) : z ' z  e x .
2) Soit g ( x)  xe x .Vérifier que g est une solution particulière de (E1).
3) Soit (E2) : z ' z  0 .Soit  et h les fonctions définies sur IR par : h( x)   ( x)  g ( x) .
a) Montrer que  est solution de (E1) si et seulement si h est solution de (E2).
b) Résoudre (E2), et en déduire les solutions de (E1) puis la solution f de (E) qui vérifie f (0)= f ’(0)=0.