entiers nombre "en particulier"

Chapitre III : Raisonnement par récurrence
et compléments sur les suites
I. Raisonnement par récurrence
1.
Principe du raisonnement par récurrence
Axiome de
récurrence
P(n) est une propriété qui dépend d’un nombre entier naturel n
et n0 désigne un nombre entier naturel.
Si la propriété P(n) vérifie les deux conditions suivantes :

Initialisation : P(n0) est vraie

Hérédité :
Si P(k) est vraie pour un nombre entier
naturel k ≥ n0 alors P(k+1) est vraie
Alors la propriété P(n) est vraie pour tout n ≥ n0
2.
Exemples
i.
Soit la suite définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n, un+1 = 2un + 1.
Montrer par un raisonnement par récurrence que pour tout n entier naturel,
un = 2n+1 – 1
Soit P(n) : «un = 2n+1 – 1»
On va montrer que la propriété P(n) est vraie pour tout n ≥ 0 par récurrence

Initialisation : On a u0  2 0 1  1  1 et donc P(0) est vraie
u 1  2  u 0  1  2  1  1  3
 et donc P(1) est vraie
u1  2 11  10  3

On suppose que la proposition est vraie pour un entier k
(hypothèse de récurrence) , c'est-à-dire que pour un entier k, on a
u k = 2k+1 – 1
De même

Hérédité :
On a u k 1  2  u k  1


 2  2 k 1  1  1
2
k 11
par hypothèse de récurrence
21
 2 k 2  1
Finalement la propriété est vraie au rang (k+1)
En conclusion : la propriété P(n) est vraie pour tout n ≥ 1
1
Chapitre III: Raisonnement par récurrence
et compléments sur les suites
Terminale S
n
ii. Montrer par un raisonnement par récurrence que
k
2
k 0

nn  12 n  1
6
Propriété
Pour tous réels x1 , x2 ,..., xn , on a e x1  x2 ... xn  e x1  ....  e xn
Preuve :
Soit P(n) : « e x1  x2  ... xn  e x1  .... e xn »
On va montrer que la propriété P(n) est vraie pour tout n ≥ 1 par
récurrence
x
x
 Initialisation : On a e 1  e 1 et donc P(1) est vraie
De même e x1  x2  e x1  e x2 et donc P(2) est vraie
 Hérédité :
On suppose que la proposition est vraie pour un
entier k (hypothèse de récurrence) , c'est-à-dire que
pour k réels x1 , x2 ,..., xk , l’égalité
e x1  x2  ... xk  e x1  .... e xk est vraie
Soient x1 , x2 ,..., xk , xk  1 (k+1) réels, on a alors
e x1  x2  ...xk  xk  1  e  x1  x2  ...xk  xk  1
 e X  xk  1
avec
X  x 1  x 2  ...x k
car P(2) est vraie
 e X  e xk  1
x1  x2  ...xk
xk  1
e
e
x1
 e  .... e xk  e xk  1 d’après l’hypothèse de
récurrence
Finalement la propriété est vraie au rang (k+1)
En conclusion : la propriété P(n) est vraie pour tout n ≥ 1
II. Limite de le suite (qn)
1.
Comportement à l’infini de la suite (qn)
Propriété
Inégalité de Bernoulli
a désigne un nombre réel strictement positif
n
Pour tout nombre entier naturel n, 1  a   1  na
Preuve :
Soit P(n) : « 1  a   1  na »
On va montrer que la propriété P(n) est vraie pour tout n ≥ 0 par
récurrence.
n
2
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et compléments sur les suites
Terminale S


Initialisation : On a 1  a   1
 1 0a
 1  0  a et donc P(0) est vraie
0
Hérédité :
On suppose que la proposition est vraie pour un
entier k (hypothèse de récurrence) , c'est-à-dire que
k
pour un entier naturel k ≥ 0, 1  a   1  ka
1  a k  1  1  a k  1  a 
Or d’après l’hypothèse de récurrence, on a 1  a   1  ka
k
Donc 1  a 
 1  ka   1  a 
k 1
1  ka   1  a   1  a  ka  ka 2
 1  ak  1  ka 2
Or 1  k  1a  ka 2  1  k  1a car ka 2  0
k 1
On en déduit donc 1  a   1  k  1a  ka 2  1  k  1a
k 1
Autrement dit 1  a   1  k  1a
Mais,
Et finalement la propriété est vraie au rang (k+1)
En conclusion : la propriété P(n) est vraie pour tout n ≥ 0
Propriété
q désigne un nombre réel.
n
 Si q > 1 alors lim q  
n
 
Preuve :
lim q n  1

Si q = 1 alors

Si -1 < q < 1 alors

Si -1 > q
n
 
lim q n  0
n  
alors la suite (qn) n’a pas de limites
Cas où q > 1
q > 1 donc il existe un nombre réel a > 0 tel que q = 1 + a
Alors qn = (1 + a)n ≥ 1 + na d’après l’inégalité de Bernoulli
Comme lim 1  an    alors d’après les propriétés de
n
  
comparaison, on a
lim q n   
n
  
Les autres cas de figure sont admis.
2.
Limite d’une suite géométrique
La limite en + ∞ d’une suite géométrique dépend de son premier terme u0 et de sa
raison q.
3
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Terminale S
Exemples :
i. Soit u la suite géométrique de raison q = 4 et de premier terme
u0 = -7. Donc pour tout n entier naturel, on a un  7  4 n
On a
Donc
lim 4 n    car 4 > 1
n
  
lim un   
n
  
ii. Soit v la suite géométrique de raison q  
2
et de premier terme
5
 2
u0 = -1. Donc pour tout n entier naturel, on a v n  1    
 5
n
n
2
 2
On a lim       car  1    1
n
  
5
5
Donc lim v n  0
n
  
III.Suites majorées, minorées, bornées
1.
Vocabulaire usuel sur les suites
Définitions
Exemple :
Soit (un) une suite de réels. Soient m et M deux réels.

u est une suite minorée s’il existe un réel m tel que pour tout
n, un  m
On dit que m est un minorant de la suite u.

u est une suite majorée s’il existe un réel M tel que pour tout n,
un  M
On dit que M est un majorant de la suite u.

u est une suite bornée si elle est à la fois minorée et majorée.
Soit u la suite définie sur IN* par un  1 

Pour tout n ≥ 1 , on a
1
1
n
2
n
car la fonction inverse est
décroissante sur IR+*
4
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Terminale S
2
2
 2 et donc pour tout n ≥ 1 , un  1   3
n
n
La suite u est donc majorée par M = 3
donc

2
2
 0 donc un  1   1
n
n
La suite u est donc minorée par m = 1
Pour tout n ≥ 1 , on a
La suite u est minorée et majorée, elle est donc bornée
Pour tout n ≥ 1, 1  un  3
Remarques :

Une suite a une infinité de minorant et de majorant, par exemple, la
2
suite u n  1  est majorée par 3, mais aussi par 4 ou encore par
n
5,76.
 Il existe des suite non minorée et non majorée, par exemple la suite
n
vn   2 
 Toute suite croissante u est minorée par son premier terme
En effet pour tout n, on a u0  u1  u 2  ....  u n  u n1  ...
 Toute suite décroissante est majorée par son premier terme
En effet pour tout n, on a ...  u n1  u n  ....  u 2  u1  u0
Propriété
Si une suite est croissante et converge vers L alors la suite est
majorée par L
Preuve :
Raisonnement par l’absurde :
Soit u une suite croissante qui converge vers L
On suppose qu’il existe un entier p tel que up > L
Comme la suite est croissante alors pour tout n ≥ p, un ≥ up (1)
De plus on sait que L > L – 1 et L < up L donc l’intervalle
I = ] L – 1 ; up[ est un intervalle ouvert contenant L.
Or on sait que la suite u converge vers L, donc tout intervalle ouvert
qui contient L contient aussi tous les termes de la suite à partir d’un
certain rang. En particulier, l’intervalle I contient tous les termes de la
suite à partir d’un certain rang. Or ceci est en contradiction avec
l’inégalité (1)
Donc pour tout n entier, un  L
Propriétés
i. Si une suite u est majorée par M et converge vers le
nombre réel  alors   M
ii. Si une suite u est minorée par m et converge vers le
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et compléments sur les suites
Terminale S
nombre réel  alors   m
Preuves :
i. Raisonnement par l’absurde :
On suppose que   M
On note I l’intervalle ouvert qui contient  et qui est inclus dans
l’intervalle ]M ;+∞[.
Or u converge vers  donc l’intervalle I contient tous les termes de
la suite à partir d’un certain rang N.
On a donc pour tout n ≥ N, un  I , autrement un  M ce qui est
en contradiction avec le fait que le suite u soit majorée par M.
Finalement l’hypothèse de départ est erronée donc   M
ii. On démontre cette affirmation de la même manière
2.
Théorèmes de convergences
Théorèmes

Si une suite est croissante et majorée alors elle est
convergente
 Si une suite est décroissante et minorée alors elle est
convergente
Preuve :
Admis
Remarque :
Attention ! Ce théorème permet de prouver la convergence d’une suite
mais ne fournit pas explicitement sa limite
En d’autres termes, ce n’est pas parce qu’une suite u est croissante et
majorée par 5 que cette suite converge vers 5. On sait juste d’après les
théorèmes de convergence que la suite u converge
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Chapitre III: Raisonnement par récurrence
et compléments sur les suites
Terminale S
Corollaires
i. Une suite croissante non majorée tend vers + 
ii. Une suite décroissante non minorée tend vers - 
Preuves :
i. Soit A un réel quelconque.
(un) est une suite non majorée, donc il existe N tel que u N  A
Or u est une suite croissante donc si n > N alors un  u N
Autrement dit, si n > N alors un  A
Finalement à partir du rang N, tous les termes de la suite sont dans
l’intervalle ] A;[ et lim un   
n
  
ii. On démontre cette affirmation de la même manière
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