entiers nombre "en particulier"

Chapitre III: Raisonnement par récurrence
et compléments sur les suites
Terminale S
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Chapitre III : Raisonnement par récurrence
et compléments sur les suites
I. Raisonnement par récurrence
1. Principe du raisonnement par récurrence
Axiome de
récurrence
P(n) est une propriété qui dépend d’un nombre entier naturel n
et n0 désigne un nombre entier naturel.
Si la propriété P(n) vérifie les deux conditions suivantes :
 Initialisation : P(n0) est vraie
 Hérédité : Si P(k) est vraie pour un nombre entier
naturel k ≥ n0 alors P(k+1) est vraie
Alors la propriété P(n) est vraie pour tout n ≥ n0
2. Exemples
i. Soit la suite définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n, un+1 = 2un + 1.
Montrer par un raisonnement par récurrence que pour tout n entier naturel,
un = 2n+1 – 1
Soit P(n) : «un = 2n+1 – 1»
On va montrer que la propriété P(n) est vraie pour tout n ≥ 0 par récurrence
 Initialisation : On a
112u 10
0 
et donc P(0) est vraie
De même
312u
31121u2u
0
11
1
01
et donc P(1) est vraie
 Hérédité : On suppose que la proposition est vraie pour un entier k
(hypothèse de récurrence) , c'est-à-dire que pour un entier k, on a
k
u
= 2k+1 – 1
On a
1u2u k1k 
1122 1k  
par hypothèse de récurrence
12
122
2k
11k
Finalement la propriété est vraie au rang (k+1)
En conclusion : la propriété P(n) est vraie pour tout n ≥ 1

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ii. Montrer par un raisonnement par récurrence que
61n21nn
k
n
0k
2
Propriété
Pour tous réels
n21 x,...,x,x
, on a
n
1
n21 x
x
x...xx e....ee 
Preuve :
Soit P(n) : «
n
1
n21 x
x
x...xx e....ee 
»
On va montrer que la propriété P(n) est vraie pour tout n ≥ 1 par
récurrence
 Initialisation : On a
11 xx ee 
et donc P(1) est vraie
De même
2121 xxxx eee 
et donc P(2) est vraie
 Hérédité : On suppose que la proposition est vraie pour un
entier k (hypothèse de récurrence) , c'est-à-dire que
pour k réels
k21 x,...,x,x
, l’égalité
k
1
k21 x
x
x...xx e....ee 
est vraie
Soient
1kk21 x,x,...,x,x 
(k+1) réels, on a alors
1kk211kk21 xx...xxxx...xx ee   
1k
xX
e
avec
k21 x...xxX 
1k
x
Xee 
car P(2) est vraie
1kk21 xx...xx ee 
1kk
1xx
xee....e
d’après l’hypothèse de
récurrence
Finalement la propriété est vraie au rang (k+1)
En conclusion : la propriété P(n) est vraie pour tout n ≥ 1
II. Limite de le suite (qn)
1. Comportement à l’infini de la suite (qn)
Propriété
Inégalité de Bernoulli
a désigne un nombre réel strictement positif
Pour tout nombre entier naturel n,
na1a1 n
Preuve :
Soit P(n) : «
na1a1 n
»
On va montrer que la propriété P(n) est vraie pour tout n ≥ 0 par
récurrence.

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 Initialisation : On a
1a1 0
a01 
a01 
et donc P(0) est vraie
 Hérédité : On suppose que la proposition est vraie pour un
entier k (hypothèse de récurrence) , c'est-à-dire que
pour un entier naturel k ≥ 0,
ka1a1 k
a1a1a1 k1k  
Or d’après l’hypothèse de récurrence, on a
ka1a1 k
Donc
a1ka1a1 1k  
Mais,
2
kakaa1a1ka1
2
ka1ka1 
Or
a1k1kaa1k1 2
car
0ka2
On en déduit donc
 1k a1
a1k1kaa1k1 2
Autrement dit
 1k a1
a1k1 
Et finalement la propriété est vraie au rang (k+1)
En conclusion : la propriété P(n) est vraie pour tout n ≥ 0
Propriété
q désigne un nombre réel.
 Si q > 1 alors
n
nqlim
 Si q = 1 alors
1qlim n
n
 Si -1 < q < 1 alors
0qlim n
n
 Si -1 > q alors la suite (qn) n’a pas de limites
Preuve :
Cas où q > 1
q > 1 donc il existe un nombre réel a > 0 tel que q = 1 + a
Alors qn = (1 + a)n ≥ 1 + na d’après l’inégalité de Bernoulli
Comme
 an1lim n
alors d’après les propriétés de
comparaison, on a
n
nqlim
Les autres cas de figure sont admis.
2. Limite d’une suite géométrique
La limite en + ∞ d’une suite géométrique dépend de son premier terme u0 et de sa
raison q.

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Exemples :
i. Soit u la suite géométrique de raison q = 4 et de premier terme
u0 = -7. Donc pour tout n entier naturel, on a
n
n47u 
On a
n
n4lim
car 4 > 1
Donc
 n nulim
ii. Soit v la suite géométrique de raison
5
2
q
et de premier terme
u0 = -1. Donc pour tout n entier naturel, on a
n
n5
2
1v 
On a
n
n5
2
lim
car
1
5
2
1
Donc
0vlim n
n
III. Suites majorées, minorées, bornées
1. Vocabulaire usuel sur les suites
Définitions
Soit (un) une suite de réels. Soient m et M deux réels.
 u est une suite minorée s’il existe un réel m tel que pour tout
n,
mun
On dit que m est un minorant de la suite u.
 u est une suite majorée s’il existe un réel M tel que pour tout n,
Mun
On dit que M est un majorant de la suite u.
 u est une suite bornée si elle est à la fois minorée et majorée.
Exemple :
Soit u la suite définie sur IN* par
n
2
1un
 Pour tout n ≥ 1 , on a
1
n
1
car la fonction inverse est
décroissante sur IR+*

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donc
2
n
2
et donc pour tout n ≥ 1 ,
3
n
2
1un
La suite u est donc majorée par M = 3
 Pour tout n ≥ 1 , on a
0
n
2
donc
1
n
2
1un
La suite u est donc minorée par m = 1
La suite u est minorée et majorée, elle est donc bornée
Pour tout n ≥ 1,
3u1 n
Remarques :
 Une suite a une infinité de minorant et de majorant, par exemple, la
suite
n
2
1un
est majorée par 3, mais aussi par 4 ou encore par
5,76.
 Il existe des suite non minorée et non majorée, par exemple la suite
n
n2v 
 Toute suite croissante u est minorée par son premier terme
En effet pour tout n, on a
...uu....uuu 1nn210  
 Toute suite décroissante est majorée par son premier terme
En effet pour tout n, on a
012n1n uuu....uu...  
Propriété
Si une suite est croissante et converge vers L alors la suite est
majorée par L
Preuve :
Raisonnement par l’absurde :
Soit u une suite croissante qui converge vers L
On suppose qu’il existe un entier p tel que up > L
Comme la suite est croissante alors pour tout n ≥ p, un ≥ up (1)
De plus on sait que L > L – 1 et L < up L donc l’intervalle
I = ] L – 1 ; up[ est un intervalle ouvert contenant L.
Or on sait que la suite u converge vers L, donc tout intervalle ouvert
qui contient L contient aussi tous les termes de la suite à partir d’un
certain rang. En particulier, l’intervalle I contient tous les termes de la
suite à partir d’un certain rang. Or ceci est en contradiction avec
l’inégalité (1)
Donc pour tout n entier,
Lun
Propriétés
i. Si une suite u est majorée par M et converge vers le
nombre réel
alors
M
ii. Si une suite u est minorée par m et converge vers le