Calcul d`Ito sans probabilités

S ÉMINAIRE DE PROBABILITÉS (S TRASBOURG )
H ANS F ÖLLMER
Calcul d’Ito sans probabilités
Séminaire de probabilités (Strasbourg), tome 15 (1981), p. 143-150
<http://www.numdam.org/item?id=SPS_1981__15__143_0>
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1979/80
Séminaire de Probabilités XV
CALCUL D’ITO SANS PROBABILITES
par H. Föllmer
Le but de cette note est de montrer
d’Itô
« trajectoire
cela,
Pour
tion de
par
un
comme
exercise
j F’(X
d’analyse
après,
s-
sur
à variation quadratique. Nous allons
en
sens
allons traiter la formule d’Itô, y
nous
l’intégrale stochastique
Riemann,
dans le
trajectoire»,
faire le calcul
qu’on peut
probabilités seulement
stochastiques (les
de
vérifiant que pour certains processus
trajectoires appartiennent
Soit
x
une
gauche.
~X~ _ (Xt)2
=
telle que
" , tk ~ ,
sur
une
tout intervalle
tique suivant
(1)
03BEn =
si les
où
[x,x]
partie
désigne
continue.
toute suite finie
et nous
T =
poserons’
Nous dirons que
mesures
x(t) ,
(to,...,tk)
~° ,
x~
x
=
0 .
vers
est à variation
0
quadra-
ponctuelles
vers
une mesure
de Radon ~
est donnée par les sauts
[x,x] -
(2)
=
(xti+1-xti)2~ti
convergent vaguement
partie atomique
xt
suite de subdivisions dont le pas tend
compact.
(Tn)
continue à droite et
[0,oo[ ,
.
appellerons subdivision
(Tn)n=1,2, " ,
sur
Nous utilisons la notation
Nous
Soit
presque toutes
à cette classe.
fonction réelle
pourvue de limites à
~Xt
de
sommes
classe de fonctions réelles
une
semimartingales, les processus à énergie finie, ...)
les
la construc-
compris
à l’aide de
)dX s
parler
strict du terme.
sur
quadratiques
[0,°°[ ,
de
dont la
x :
[x,x]t +
la
fonction de répartition de 03BE,
et
sa
144
THÉORÈME.
Soit
à variation quadratique suivant
x
C2
fonction de classe
une
Alors
IR .
sur
a
on
et sait
(Tn) ,
F
la formule d’Itô
t
(3)
F(x o)
F(x t) -
F’
+
(x s- )dx s
+
1
2
o
E [F
SSt
+
où
on
(xs) -
F
(x s- )
F’ (x
-
s-
J
]O,t]
F" (x
s-
)d[x,x] s
1
F" (x
) 0394xs
) 0394x2ss ] ,
s
2
s-
pose
t
F’ (xs-) dxs
(4 )
lim
=
s
s
n
T
n
o
et
où
i
(xt .i ) (x t1+1 xt . i) ’
la série est absolument convergente.
(2) ,
REMARQUE. D’après
sous
E
F’
~t.~t
peut écrire les deux derniers
on
termes de
(3)
la forme
1
(5)
F" (x
2
s-
)d[x,x]cs
E [F
s5t
+
(x s) -
F
(x s- )
-
F’ (x
s-
) dx s ]
,
0
et
on
a
t
t
F"
(6)
(x
F"
)d[x,x] -
est
x
une
Démonstration. Soit
F
1)
en
est
x
t
>
la continui té à droite de
D’après
0.
- lim 03A3 s t [ F (xt . i+1 )
t.
n
clarté,
une
càdlàg.
fonction
(xt) - F (xo)
Pour gagner
simple où
)d[x,x]
0
0
puisque
(x
nous
i
-
F
x
a
on
(xt . ) i ] ’
traitons d’abord le
cas
fonction continue. La formule de
particulièrement
Taylor permet
d’écrire
[F (xt.
E
)
F
i+1
~
n
(xt.i)]
-
E F’
(xt.i) (xt.1+1 xt. i)
i
+2
E F"
-
(x ti ) (x ti+1 x ) ti
2
+
E
r
(x ti , x ti+1 )
,
145
où
(7)
r(a,b) ~
fonction croissante
/p ( . )
la seconde
n t
[ 0, ~[ , cp (c)
sur
à droite tend
somme
f
12
la continuité de
qui
1
(
-
0
de la limite
2) Passons
cas
au
[O,t]
sur
classe
x t1 1 3t. (xti+1
Soit
e >
la sommation
contient
lim 03A31 [F (xt.
D’autre part,
-
,
séparons
CI = Cl(~,t) ,
s2 .
E
les sauts de
.
et
x
une
Ecrivons
sEC2
]t. ,
03A3
Nous
classe finie
une
telle que
indique
03A3 2 [F(xti+1
(2) .
(3) .
0 .
)-F(xti)] = 03A3l[F(xti+l)
valle
noter que
vertu de
On obtient ainsi l’existence
la formule d’Itô
général.
C2 =
03A31
)2
-
est continue.
x
deux classes:
en
03A [F(xti+l
où
(~n) ;
en
T
L
puisque
(4) , et
vers
ponctuelles
[x,x],
est dominée par
T
tend
mesures
donne la continuité de
x
La troisième somme,
03C6
Lorsque
]0,t]
la convergence vague des
d’après
c -~ 0 .
lorsque
f
12
[O,t]
0
-~
vers
)]
-F(xti
F’(xti)
(xti+1
les
sur
tels que l’inter-
saut de la classe
un
) F (xt . )
la formule de
)
-F(xti)] + 03A32[F(xti+l-F(xti)]
]
03A3
On
a
[F (xs) F (xs-) ]
’
Taylor permet d’écrire
=
- xti)
+ 1 203A3
(xt i+1 _ x ) ti + 1 2
F"(xti)(xti+1
- xti)2
) (x ti+1 - x ) ti 2 j + E 2r (x t . ’xt , + ) .
146
On
va
montrer ci-dessous
que la deuxième
(9)
somme
à droite tend
vers
1 2 F"(xs-)d[,]
]0,t]
La troisième somme tend vers
n fi
lorsque
[ F’ (x s- ) bx s
E
D’après
(0 ~
xs
+ 12 F" (x
)Ax~].
s
.
s-
F"
la continuité uniforme de
s s
(8)
t) ,
sur
l’ensemble borné des valeurs
et cela entraîne
(7) ,
peut supposer
on
)
lim sup 03A32 r(xt,i ,xt.
"i+1)
.
"
"
n
Faisons tendre e
vers
(8)
alors
[F(xs)-F(xs-) - F’(xs-)0394x
03A3
tend
0 :
vers
la série dans
tend
s]
0,
vers
- 1 2 03A3
et
F"(x
s-)0394x2s
la série est absolument convergente
(3) ;
puisque
|F
s~t
d’après
3)
"
Taylor.
(3) .
que
tiSt f (xt . ) i (xt . i+1 xt . ) i
lim
pour toute fonction continue
la fonction de
zu"
On
~ const 0394x2s
~
On obtient ainsi l’existence de la limite
et la formule d’Itô
Montrons
(9)
""
~
la formule de
(4) ,
en
(xs) - F (xs-) - F’ (xs-)0394xs|
répartition
E
=
f
)’==
sur IR.
]p,t] f (xs-)
Soit
d ( x’ x] s
~ >
0,
pour les sauts dans la classe
~xs
et notons
z
C1 = C1(s,t):
(u Z 0) .
a
(10)
pour tout
lim
E
uz 0.
f (xt, )(zt.
Notons 03B6n
zt. ) 2 et
~n
les
E
mesures
~xs
ponctuelles associées
147
à
~n
à la manière de
et à y = x - z
z
convergent vaguement
vers
la
(1) .
mesure
D’après
ponctuelle
(10) ,
les
mesures
Z
03B6 =
Comme la dernière
somme
de
03A3(xti+l-xti)2 =
+ 203A (yti+l-yti)(zti+l-zti)
03A3(yti+1 - yti)2 + 03A3(zti+1 - zti)2
tend
11
les
0,
vers
mesures
dont la partie
- ~ - r~ ,
fonction
f ox
continue de
~,
et cela
03A3
(9),
suivi de
près
une
la démonstration
est
REMARQUES. 1) Soit
x
à valeurs dans
(T)
l’usage
=
Combinant
« classique » :
(xl,...,xn)
Or la
et
( 11 ) ,
’
on
Soulignons qu’on a
Meyer [4]. Le seul
voir
qui permet d’en
fonction
une
càdlàg
xi + xj
sur
quadratique suivant
(1 ~ i , j ~ n)
le sont
notons
1 2 ~[xi +x~ ~
[xyx7 ] t 0394xis 0394xjs
03A3
= [xi,xj]ct +
a
(10)
est à variation
x
si toutes les fonctions réelles
on
E2 .
analytique.
Disons que
_
Alors
mesure
rapport à la partie
de la convergence vague,
version purement
Dans ce cas,
totale S
et cela achève la démonstration.
nouveau
la
vers
-yti)2 ~ f(xs-)d~| ~ ~f~t~2 ,
0 s s s t } .
obtient
donner
une masse
implique
f(xti) (yti+1
=
élément
atomique
a
est presque sûrement continue par
lim sup |
(11)
convergent vaguement
r~n
.
la formule d’Itô
t
(12)
t
s-
s
i ~
o
+
s-
s
0
Z
s~t
[F (x ) - F (x ) - E DiF (xs_)
s
~
]
148
pour toute fonction
(13)
D F(xs-)dxs =
2)
des notations
C~ .
sur
]Rn,
Précisément: si
alors
F
(Tn) ,
=
y
pose
- xti>
même,
lourdes.
plus
suivant
quadratique
on
La démonstration est la
La classe des fonctions à variation
opérations
où
(xti) , xti+1
]Rn).
scalaire dans
~tn ,
sur
DF
lim 03A3
to
«.;> = produit
avec
C2
de classe
F
x =
quadratique
pour les
est à variation
(x ,...,x )
fonction continûment différentiable
une
est à variation
F o x
est stable
quadratique
suivant
(Tn) ,
avec
toDiF(xs
(14) [y,y]t = 03A3
C’est la version
gales :
[4]
voir
Passons
gale. Alors,
(15)
+
d’un résultat de Meyer
analytique
359. La démonstration est
p.
aux
)DjF(xs)d[xi,xj]cs
processus
t ~ 0 ,
pour tout
03A3
S,t =
stochastiques.
les
03A 0394y2s .
sur
les semimartin-
à la
analogue
Soit
précédente.
une
semimartin-
sommes
-xti)2
(xti+1
1
convergent
en
probabilité
[X,X]t
lorsque le pas de
Meyer [4] p. 358.
telle que,
+
= xc,xc>t
tion
0394X2s
la subdivision
Pour toute
T
tend
suite, il y
vers
a
donc
0
sur
une
[O,t];
voir
sous-suite
(Tn)
[X,X]t
n
STn
~t
t
rationnel. Cela
=
toires sont à variation
d’Itô
03A3
presque sûrement,
lim
pour tout
vers
(16)
(3) ,
"
implique que presque
quadratique suivant (Tn) ;
est valable pour tout
appliquée trajectoire
t >-_
par
toutes les
en
plus,
trajecla rela-
d’après (9). La formule
trajectoire, ne dépend pas de
0,
149
la suite
té des
(Tn) ;
particulier,
en
de Riemann
sommes
obtient la convergence
on
(4)
en
vers
probabili-
en
l’intégrale stochastique
rt
le pas de
lorsque
o F’ (X ) dX ,
tend
T
REMARQUES. 1) Pour le mouvement brownien, et
subdivisions
En
(Tn) .
trajectoires
fait,d’après le théorème
2)
l’argument ci-dessus,
à
en
variation quadratique
semimartingales:
tion
A
tique
est
0
énergie
que
un
forme
tout intervalle com-
de
Lévy
on
quadratique
(16)
a
sans
processus croissant
(2) .
sommes
[X,X]
La classe de ces
processus
est, bien entendu, plus large que la classe des
qu’à prendre
un
processus déterministe à varia-
n’est pas à variation bornée. Citons aussi les
finie
X
où
=
M
est
martingale locale
une
sont à variation
trajectoires
suivant les subdivisions
Pour les
limite de
vers
processus dont les
un
dans l’étude
3)
n’a
on
quadratique qui
processus à
où
sur
il faut seulement savoir que les
probabilité
trajectoires sont de la
convergent
dont les
suite arbitraire de
sous-suites.
passage
(15)
[O,t] .
sur
sont à variation
aux
Pour
une
0
vers
toutes les
pact, presque
suivant
dont le pas tend
(Tn)
0
vers
dyadiques.
et
quadra-
Ces processus interviennent
probabiliste des espaces de Dirichlet:
voir Fukushima
[3] .
semimartingales, on sait construire l’intégrale stochasti(H càdlàg adapté) trajectoire par trajectoire comme
de Riemann, dans
sommes
presque sûrement
voir Bichteler
en
[1].
ce
dehors d’un ensemble
H
=
fox
(f
l’ensemble exceptionnel à l’avance,
du
préciser qu’une
H:
pour les besoins
de classe
indépendemment
aller au-delà de la classe
convergent
sommes
exceptionnel qui dépend de
On vient de montrer que,
liers du calcul d’Itô où
trajectoire »
que les
sens
traitement
on
de
H.
particupeut choisir
On
peut
par
trajectoire par
temps local. Mais pas trop: Stricker [5] vient de
extension
un
aux
«
fonctions continues n’est
possible
que
pour les processus à variation finie.
REFERENCES.
[1]
BICHTELER,
K.:
Stochastic
Integration and
gales. Technical report
[2]
No.
5,
U.
Lp-theory
of Texas
DELLACHERIE,C., et MEYER, P.A.: Probabilités
des
Martingales.
Hermann
(1980).
et
of semimartin-
(1979).
Potentiel; Théorie
150
[3]
FUKUSHIMA, M.: Dirichlet forms and Markov processes. North Holland
(1980).
[4]
MEYER, P.A.: Un
LN 511
[5]
cours
sur
les
intégrales stochastiques. Sém.Prob.X,
(1976).
STRICKER, C.: Quasimartingales et variations. Sém.Prob.XV (1980).