Examen

Licence de mathématiques AN3 2010-2011
Examen
(15 décembre 2010, durée 2h)
Documents et calculatrices sont interdits
Questions de cours (2,5 points)
1) Énoncer le théorème des valeurs intermédiaires.
2) Soit fune fonction définie sur un intervalle I. Donner la définition de « fest unifor-
mément continue sur I».
3) Soit Eune partie de R. Donner la définition de « Eest dense dans R».
4) Donner le développement limité de (1 + x)1/3à l’ordre 4 en 0. On écrira les coefficients
sous forme de fractions rationnelles irréductibles.
5) Donner le développement limité de ln(1 + x)à l’ordre 5 en 0.
Exercice 1. (2 points)
Dans cet exercice on utilisera la définition de la limite à gauche (avec les ,∃,...) (ou sa
caractérisation séquentielle, mais ce n’est plus simple ici).
Soit fune fonction croissante définie sur R. Montrer que, pour tout x∈R,fa une limite
à gauche en x.
Exercice 2. (2,5 points)
Dans cet exercice on utilisera uniquement la définition de la limite d’une fonction en
l’infini (avec les ,∃,...).
Soient fet gdeux fonctions définies sur R. Supposons que f(x)tend vers le nombre réel
llorsque xtend vers +∞, que g(x)tend vers le nombre réel l06= 0 lorsque xtend vers
+∞. Montrer qu’il existe M∈Rtel que, pour tout x≥M, le quotient f(x)/g(x)est
défini. Montrer que le quotient f(x)/g(x)tend vers l/l0lorsque xtend vers +∞.
Exercice 3. (3 points)
Donner le développement limité des deux fonctions suivantes aux points et ordres indi-
qués :
ln(1 + sin(x))
cos(x)
en 0 à l’ordre 4 et
x3/2
en 4 à l’ordre 3.
Exercice 4. (5 points)
On considère une fonction fdéfinie sur R, de classe C2sur R, croissante sur ]− ∞,0],
décroissante sur [2,+∞[telle que f(0) = f(2) = 1,f(1) = −1.
1) Montrer que fs’annule au moins deux fois.
2) Montrer que f0s’annule au moins trois fois.
3) On suppose, de plus, que fa un maximum local en 0. Montrer que f00(0) ≤0et que,
si f00 ne s’annule pas sur R−, alors ftend vers −∞ en −∞.
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Licence de mathématiques AN3 2010-2011
Exercice 5. (5 points)
Considérons Gun sous-groupe additif de Rc’est-à-dire une partie de Rcontenant 0telle
que si xet yappartiennent à Galors x−yaussi.
1) Montrer que si
∀δ > 0∃y, x ∈Gt.q.0< y −x<δ
alors Gest dense dans R(on pourra calquer la démonstration sur celle de la densité de Q
dans R; mais attention les éléments de Gne sont pas forcément des nombres rationnels).
La négation de la phrase logique précédente est
∃δ > 0∀y, x ∈G(0 < y −x⇒δ < y −x)(1)
Dans toute la suite de l’exercice Gest toujours un sous-groupe additif de Ret on suppose
la condition (1) satisfaite. On désignera par δun nombre strictement positif tel que
∀y, x ∈G(0 < y −x⇒δ < y −x)(2)
et par El’ensemble {x∈G / x > 0}.
2) Donner un exemple de sous-groupe de Rpour lequel Eest vide.
On suppose désormais que En’est pas vide.
3) Justifier l’existence de m= inf E.
4) Soit (xn)une suite d’éléments de Econvergeant vers m. Écrire la définition de « (xn)
converge vers m».
5) Écrire l’implication contraposée de (0 < y −x⇒δ < y −x).
6) Montrer que (xn)est constante, égale à m, à partir d’un certain rang (utiliser la
propriété (2)). En déduire que mest le plus petit élément de E.
7) Montrer que Eest l’ensemble des multiples entiers positifs de m.
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