corrige - Muriel Ney

INSA Lyon 2004-2005 Filière FSA
Muriel Ney
CORRIGE
N ( x)
D( x)
Où N est un polynôme de degré n et D un polynôme de degré d.
Ecrire une méthode générale pour déterminer la limite de Q(x) quand x tend vers +∞.
Soit une fonction rationnelle Q( x) =
La limite à l’infini d’une fraction rationnelle est égale à la limite du quotient simplifié de ses
termes de plus haut degré :
N ( x) = a n x n + a n −1 x n −1 + .... + a1 x + a0 et D( x) = bd x d + bd −1 x d −1 + .... + b1 x + b0
an x n
lim Q( x) = lim
x → +∞
x → +∞ b x d
d
pour le vérifier, il suffit de mettre en facteur le terme de plus haut degré pour chacun des deux
polynômes :
1
1
1
1
N ( x) = a n x n (1 + a n −1 + .... + a1 n −1 + a 0 n ) idem pour D(x) puis utiliser le fait que lim p = 0
x
→
+∞
x
x
x
x
Conclusion :
Si n > d alors la limite est +∞ ou –∞ selon le signe de
Si n = d alors la limite est finie égale à
an
bd
an
bd
Si n < d alors la limite est 0 (par valeur supérieures ou inférieures, selon le signe de
an
)
bd
Exercices de traduction en langage mathématique
3)
En présence d’un frottement, une masse subit une résistance à sa chute qui est d’autant plus
élevée que sa vitesse est élevée. Dans le modèle du frottement laminaire, la force de frottement est
directement proportionnelle à la vitesse de la masse. Dans ce cas la vitesse est donnée par
µ
µ
− t
− t
mg
v(t ) = v0 e m +
(1 − e m )
µ
Si le temps de la chute est suffisamment long, la vitesse va-t-elle s’annuler ?
µ
1. La vitesse est donnée à tout instant par v(t ) = v0 e
− t
m
+
mg
µ
µ
(1 − e
− t
m
)
On peut connaître en particulier la vitesse atteinte lors d’une chute de longue durée.
(Optionnel : pour s’en faire une idée, on pourra calculer v(t) pour t grand, par exemple 103s)
Une étude de fonction permettrait de la tracer la courbe et de voir son comportement à tout instant, en
particulier lorsque t est long.
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Muriel Ney
Ici on peut se contenter de calculer la limite quand t tend vers l’infini.
µ
− t
mg
2. On obtient
, en utilisant le fait que lim e m = 0 (car µ / m est positif).
µ
t → +∞
3. Donc si le temps est suffisamment long, la vitesse va s’approcher d’une valeur seuil de mg / µ,
valeur qui sera d’autant plus faible que le coefficient de frottement µ est élevé.
4)
Lorsqu’un objet de température initiale T0 est plongé dans un milieu de température constante
Ta, l’évolution de sa température est donnée par
T (t ) = Ta + (T0 − Ta )e − kt
La température de l’objet va-t-elle finir par atteindre celle du milieu ou une valeur intermédiaire ?
1. traduire l’énoncé en termes mathématiques : calculer la limite de T(t) quand t tend vers l’infini
2. faire le calcul : e − kt tend vers 0 quand t tend vers l’infini car k >0 donc T(t) tend vers Ta
3. conclure : Si on attend un temps suffisamment long, la température de l’objet va atteindre celle du
milieu.
5)
La loi de Michaelis et Menten donne la vitesse d’une réaction enzyme-substrat
V0 c
V (c ) =
c + Km
où Km est la constante de Michaelis et Merten, V0 une constante propre à la réaction et c est la
concentration en substrat.. Montrer que l’écart entre les vitesses V et V0 peut être rendu arbitrairement
petit par le choix d’une concentration c suffisamment élevée.
1. calculer la limite de V quand c tend ver l’infini
2. C’est une fraction de polynômes en c, on prend les termes de plus haut
Vc
degré : lim V (c) = lim 0 = V0
c → +∞
c → +∞ c
3. V(c) s’approche aussi près que l’on veut de V0, il suffit de prendre une concentration c assez grande.
6)
La force d’attraction entre deux masses m1 et m2 distantes de r mètres est donnée par la loi de
Newton F(r)= Gm1m2/r2 où G est une constante universelle. Peut-on en déduire qu’un satellite
suffisamment éloigné de la terre ne subira plus son attraction ?
1. il faut calculer la limite de F quand r tend vers l’infini
2. C’est une fraction de polynômes… à la limite où r tend vers l’infini, la force d’attraction tend vers 0.
3. Même si d’un point de vu mathématique la valeur 0 n’est pas atteinte pour une valeur finie de r,
d’un point de vue physique le satellite ne sera plus soumis à l’attraction de la terre s’il s’en éloigne
trop (attraction par les autres masses etc).