Exercices de colle MP* Algèbre bilinéaire

Exercices de colle MP*
Algèbre bilinéaire
Adrien Fontaine
05/02/2014
Exercice 1
Soit qune forme quadratique non nulle sur M2(C)telle que
∀(A, B)∈ M2(C), q(AB) = q(A)q(B)
Montrer que qs’annule sur le complémentaire de GL2(C)puis que qest le déterminant.
On pourra observer qu’une matrice non inversible de M2(C)est semblable à
h0 1
0 0iou h0 0 0λi
puis on pourra montrer que l’application qet l’application déterminant coïncident sur l’ensemble des matrices diagonalisables.
Exercice 2
Pour Pappartenant à l’ensemble des polynômes de degré inférieur à 2, on pose
φ(P) = Z1
−1
P2(t) dt
a) Montrer que φ1/2est la norme associée à un produit scalaire que l’on précisera.
b) Calculer la matrice de la forme quadratique φdans la base canonique.
c) En déduire la forme analytique donnant l’expression de φrelativement à la base canonique.
d) Ecrire
φ(P) = αa2+βb2+γc2
avec α, β, γ ∈Ret a, b, c les coordonnées de Pdans une base à préciser.
Exercice 3
Soit Eun R-espace vectoriel de dimension finie.
a) Soient f, g deux formes linéaires de E. Montrer que q(x) = f(x)g(x)est une forme quadra-
tique.
b) Soient qune forme quadratique et Hun hyperplan. On suppose que pour tout x∈H,
q(x) = 0. Montrer que qest le produit de deux formes linéaires.
Exercice 4
Montrer qu’une forme quadratique positive est une fonction convexe.
1

2
Exercice 5
Soient a1,...an>0et deux à deux distincts.
Pour (x1, . . . , xn)∈Rn, on pose
q(x) =
n
X
i,j=1
xixj
ai+aj
Montrer que qest une forme quadratique définie positive.
On pourra introduire El’espace des fonctions continues de ]0,1] dans Rde carré intégrable, et
Φ : E×E→R
(f , g)7→ R1
0f(t)g(t)dt
et s’intéresser aux fonctions fi=t7→ tai−1/2.
Exercice 6
Montrer que si qest une forme quadratique réelle est définie, celle-ci est positive ou négative.
On pourra montrer que ∀a, b ∈R, q(ab)≥0.
Exercice 7
Soit Eun espace euclidien et u∈ L(E)tel que u◦u= 0. Montrer
Imu= ker u⇔u+u?∈GL(E)
Exercice 8
Pour u∈ L(E), comparer d’une part les espaces
ker uet ker(u?◦u)
et d’autre part les espaces
Imuet Im(u◦u?)