Exercices de colle MP* Algèbre bilinéaire Adrien Fontaine 05/02/2014 Exercice 1 Soit q une forme quadratique non nulle sur M2 (C) telle que ∀(A, B) ∈ M2 (C), q(AB) = q(A)q(B) Montrer que q s’annule sur le complémentaire de GL2 (C) puis que q est le déterminant. On pourra observer qu’une matrice non inversible de M2 (C) est semblable à h 0 0 i 1 0 ou h 0 0 0 λ i puis on pourra montrer que l’application q et l’application déterminant coïncident sur l’ensemble des matrices diagonalisables. Exercice 2 Pour P appartenant à l’ensemble des polynômes de degré inférieur à 2, on pose φ(P ) = Z 1 P 2 (t) dt −1 a) Montrer que φ1/2 est la norme associée à un produit scalaire que l’on précisera. b) Calculer la matrice de la forme quadratique φ dans la base canonique. c) En déduire la forme analytique donnant l’expression de φ relativement à la base canonique. d) Ecrire φ(P ) = αa2 + βb2 + γc2 avec α, β, γ ∈ R et a, b, c les coordonnées de P dans une base à préciser. Exercice 3 Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie. a) Soient f, g deux formes linéaires de E. Montrer que q(x) = f (x)g(x) est une forme quadratique. b) Soient q une forme quadratique et H un hyperplan. On suppose que pour tout x ∈ H, q(x) = 0. Montrer que q est le produit de deux formes linéaires. Exercice 4 Montrer qu’une forme quadratique positive est une fonction convexe. 1 2 Exercice 5 Soient a1 , . . . an > 0 et deux à deux distincts. Pour (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , on pose q(x) = n X xi xj i,j=1 ai + aj Montrer que q est une forme quadratique définie positive. On pourra introduire E l’espace des fonctions continues de ]0, 1] dans R de carré intégrable, et Φ : E (f × , E g) → 7 → R1 0 R f (t)g(t)dt et s’intéresser aux fonctions fi = t 7→ tai −1/2 . Exercice 6 Montrer que si q est une forme quadratique réelle est définie, celle-ci est positive ou négative. On pourra montrer que ∀a, b ∈ R, q(ab) ≥ 0. Exercice 7 Soit E un espace euclidien et u ∈ L(E) tel que u ◦ u = 0. Montrer Imu = ker u ⇔ u + u? ∈ GL(E) Exercice 8 Pour u ∈ L(E), comparer d’une part les espaces ker u et ker(u? ◦ u) et d’autre part les espaces Imu et Im(u ◦ u? )