Série 8 (Corrigé) - ANMC

Algèbre linéaire pour GM Mardi 4 novembre 2014
Prof. A. Abdulle EPFL
Série 8 (Corrigé)
Exercice 1
(a) Les vecteurs de P3suivants sont-ils linéairement indépendants?
(i) p1= 1 −t2,p2=t2,p3=t.
Sol.: Oui. En effet,
x1p1+x2p2+x3p3=x1(1 −t2) + x2t2+x3t=t2(x2−x1) + x3t+x1≡0ssi
x2−x1= 0
x3= 0
x1= 0
ssi x1=x2=x3= 0.
(ii) p1= 1 + t+t2,p2=t+t2,p3=t2.Sol.: Oui.
(b) Les vecteurs p1,p2,p3dans (ii) sont-ils une base de P3?Sol.: Non, car dim(P3) = 4
et il y a seulement trois vecteurs.
Exercice 2
Soit Vet Wdeux espaces vectoriels, et T:V→Wune transformation linéaire. Montrer
que si U⊂Vest un sous-espace vectoriel, alors l’ensemble image T(U)est un sous-espace
vectoriel de W.
Sol.: On doit prouver (i) si w∈T(U)et αest un scalaire, alors αw ∈T(U)et (ii) si
w1∈T(U)et w2∈T(U)alors w1+w2∈T(U), et (iii) T(U)contient 0.
(i) En effet: w∈T(U)⇔w=T(u)pour un certain u∈U. Ainsi αw =αT (u) =
T(αu)∈T(U). (ii) De même, w1+w2=T(u1) + T(u2) = T(u1+u2)∈T(U). (iii) On a
T(0) = 0, donc 0∈T(U).
Exercice 3
(a) L’ensemble de vecteurs {sin t, cos t}est-il linéairement indépendant dans C[0,1]?
Sol.: Oui: Si c1, c2sont des scalaires tels que c1sin t+c2cos t≡0, alors en prenant
t= 0 puis t=π/6, on obtient c2= 0 (car sin 0 = 0 et cos 0 = 1) puis c1= 0 (car
sin(π
6) = 1 2).
(b) Même question pour {sin t, sin tcos t, sin 2t}.
Sol.: Non: il existe une combinaison linéaire non triviale, sin 2t−2 sin tcos t≡0.
1

Exercice 4
Soit A=
1 2 3 1
1 2 3 0
1 2 3 1 
. Trouver une base de Ker(A)et de Col(A).
Sol.: On note A= (v1, v2, v3, v4)les colonnes de A. Les vecteurs v2et v3sont proportionnels
àv1, donc ils sont superflus pour calculer Col(A). Les vecteurs v1, v4sont linéairement
indépendants, ils constituent une base de Col(A).
L’espace Ker(A)est constitué des vecteurs u=
α1
α2
α3
α4
tels que Au = 0. On a
Au =α1v1+α2v2+α3v3+α4v4= (α1+ 2α2+ 3α3)v1+α4v4
ainsi Au = 0 ssi α4= 0 et α1=−2α2−3α3. Par conséquent, α2et α3sont des vari-
ables libres du système linéaire Au = 0. On obtient une base de Ker(A)en choisissant
successivement α2= 1,α3= 0, puis α2= 0,α3= 1:
−2
1
0
0
,
−3
0
1
0
.
Exercice 5
On considère la transformation T:P2→R2définie par T(p) = p(0)
p(0) !.
(a) Vérifier que Test linéaire.
Sol.: Pour tous p1, p2, p ∈P2et c∈R, on a:
T(p1+p2) = p1(0) + p2(0)
p1(0) + p2(0) != p1(0) p1(0) !+ p2(0) p2(0) !=T(p1) + T(p2).
T(cp) = cp(0)
cp(0) !=c p(0) p(0) !=cT (p).
(b) Trouver une base de Ker T.
Sol.: T(p) = 0 ⇔ p(0)
p(0) != 0 ⇔p(0) = 0. Considérons un polynôme p∈P2de la
forme p=c2t2+c1t+c0. On a p(0) = 0 ⇔c0= 0 ⇔p=c2t2+c1t. Ainsi, une base
de Ker Test {t, t2}.
(c) Trouver une base de Im T.
Sol.: Soit pde la forme p=c2t2+c1t+c0. L’image Im Test l’ensemble des vecteurs
T(p) = p(0)
p(0) != c0 c0!=c0 1 1!. Ainsi, une base Im Test le vecteur 1 1!.
2

Exercice 6
On définit C[a, b] = {f: [a, b]→R, f est continue}
et C1(a, b) = {f: (a, b)→R, f est dérivable sur (a, b)et f0est continue}.
(a) Vérifier que C[a, b]et C1(a, b)sont des espaces vectoriels.
Sol.: Le vecteur nul est bien dans ces deux espaces: la fonction nulle est continue et
continument différentiable. On utilise ensuite le fait que la somme de deux fonctions
continues est continue, et le produit par un scalaire d’une fonction continue est encore
continue. De même pour des fonctions continument différentiables.
(b) Montrer que la transformation T:C[a, b]→C1(a, b)donnée par (T f)(x) = x
R
a
f(t)dt
est bien définie et linéaire.
Sol.: On doit montrer que si f∈C[a, b], alors g=x
R
a
f(t)dt est différentiable pour
a<x<bavec g0continue. En effet, en utilisant le théorème fondamental du calcul
intégral, dg
dx =d dx
x
R
a
f(t)dt =f(x)existe et est continue, d’où g∈C1(a, b).
Pour montrer T(αf) = αT (f)et T(f1+f2) = T(f1) + T(f2)on utilise les propriétés
de linéarité de l’intégration.
Exercice 7
(a) Quelle est la dimension du sous-espace vectoriel Wde R2donné par W= span{v1, v2, v3}
où v1= 1
2!,v2= 1 0!,v3= 0 1!.
Sol.: Deux. En effet, les vecteurs v2, v3sont linéairement indépendant, donc la di-
mension est au moins deux. Elle est inférieure ou égale à 2car c’est un sous-espace
de R2.
(b) Trouver un sous-ensemble Bde {v1, v2, v3}tel que Bsoit une base de W.
Sol.: B={v2, v3}— c’est la base canonique de R2. (Note: {v1, v3}et {v1, v2}sont
aussi possibles).
(c) Agrandir l’ensemble {v1+v2} ⊂ Wpour obtenir une base W.
Sol.: L’espace West de dimension deux, donc n’importe quel vecteur non colinéaire
àv1+v2= 2
2!convient. Par exemple, on peut proposer la base {v1+v2, v1}de
W.
Exercice 8
(a) On considère le vecteur v= 2
3!exprimé dans la base canonique de R2. Trouver
les coordonnées de vdans la base {b1, b2}de R2, où b1= 1
2!et b2= 0 1!.
3

Sol.: Les coordonnées cherchées sont (c1, c2)avec v=c1b1+c2b2:
2
3!= 1 0 2 1 ! c1 c2!, on trouve c1= 2,c2=−1.
(b) Même question pour v=
2
3
1
donné dans la base canonique de R3à exprimer dans
la base {b1, b2, b3}donnée par b1=
1
0
1
,b2=
1
1
0
,b3=
0
0
1
.
Sol.: On résout 
1 1 0
0 1 0
1 0 1 
c1
c2
c3
=vet on obtient c1=−1,c2= 3,c3= 2.
Exercice 9
Soit T:R3→R3l’application linéaire donnée par
x1
x2
x3
→
3x1+x3
2x2+x3
x1+x2
.
Soient Ela base canonique de R3et Bune base de R3donnée par
B=
1
1
0
,
1
0
1
,
0
0
1
.
(a) Donner la matrice Mqui représente Tpar rapport aux bases E(de départ) et B
(d’arrivée).
(b) Même question pour les bases B(de départ) et E(d’arrivée).
(c) Même question pour les bases B(de départ) et B(d’arrivée).
Sol.:
(a) On commence par prendre les vecteurs de la base de départ et de leur appliquer la
transformation T. On obtient
T
1
0
0
=
3
0
1
, T 
0
1
0
=
0
2
1
, T 
0
0
1
=
1
1
0
,
qui sont encore exprimés dans la base canonique E. Il faut maintenant calculer la
matrice de passage de la base Eà la base B. On sait, du cours, que cette matrice est
l’inverse de la matrice de passage de la base Bà la base E. Cette dernière est donnée
par
PEB =
1 1 0
1 0 0
0 1 1
.
4

Pour calculer son inverse, on peut utiliser la méthode vue en cours (avec l’identité à
droite)ou calculer son inverse directement en résolvant PEB P−1
EB =I, où l’on pose
P−1
EB =
a b c
d e f
g h i 
.
On résout 
1 1 0
1 0 0
0 1 1
a b c
d e f
g h i 
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
Comme la matrice PEB contient beaucoup de zéros, il sera plus simple de résoudre
le système d’équations obtenus que d’utiliser la méthode vue en cours. On obtient
facilement que l’inverse est
P−1
EB =
0 1 0
1−1 0
−111
=PBE .
On applique alors PBE aux vecteurs obtenus précédemment. La matrice Mest
M=
0 2 1
3−2 0
−230
.
(b)
T
1
1
0
=
3
2
2
, T 
1
0
1
=
4
1
1
, T 
0
0
1
=
1
1
0
,
qui sont exprimés dans la base canonique. La matrice Mest
M=
3 4 1
2 1 1
2 1 0
.
(c) On applique PBE aux vecteurs obtenus au point précédent et on obtient la matrice M
M=
211
130
1−2 0
.
Exercice 10
Soit A=
1 0 2 3
1 1 1 0
0 0 0 3 
.
5