MAT 1200: Introduction à l’algèbre linéaire Saïd EL MORCHID Département de Mathématiques et de Statistique Chapitre 4: Les espaces vectoriels (partie 2) Références Sous-espaces associés à une matrice (Livre pages 159 et 216) Définitions Exemples Théorèmes L’espace nul ou noyau d’une matrice (Livre pages 160 et 214 ) Définition Exemples Théorème du rang Références: • Notes de cours chapitre 4 (4.6) page 84. • Livre: Section 4.6, pages 159-172, 214-223, 247-256. Sous-espaces associés à une matrice (Livre pages 159 et 216) Définitions Soit une matrice A ∈ Mm,n . On appelle espace des rangées ou lignes de A le sous-espace de IRn engendré par ses rangées, noté Lgn A. On appelle espace des colonnes de A le sous-espace de IRm engendré par ses colonnes, noté Col A ou Im A. Remarque: L’espace des rangées d’une matrice est égale à l’espace des colonnes de sa matrice transposée et inversement. Exemples On considère les matrices 1 A= 2 3 2 6 10 0 −3 −6 1 −1 1 −3 , B= 2 −5 3 3 4 3 8 1 3 −4 1 −2 −1 −7 −7 −3 −4 −3 −8 a) Trouver une base de l’espace des rangées des matrices A et B et en déduire le rang de A et B. b) Trouver une base de l’espace des colonnes des matrices A et B. Lemme Soit A ∈ Mm,n . (a) Si B est une matrice équivalente à A par les rangées, l’espace des rangées de B est le même que celui de A. (b) Les rangées non nulles d’une forme échelon de A forment une base de l’espace des rangées de A. Théorème Soit A ∈ Mm,n . Alors la dimension de l’espace des rangées de A est égale à la dimension de l’espace de ses colonnes est égale au rang r de la matrice A. Exemple Chercher une matrice A telle que le sous-espace W suivant soit égale à l’espace des colonnes de A. Quelle est la dimension de W et quel est le rang de A? 6a − b W = u~ = a + b : a, b ∈ IR −7a Théorème: Pour toute matrice A carrée n × n, les énoncés suivants sont équivalents (i) A est inversible, (ii) A est équivalente suivant les rangées à In , (iii) rang A = n, (iv) les rangées de A sont linéairement indépendantes, (v) les colonnes de A sont linéairement indépendantes. L’espace nul ou noyau d’une matrice (Livre pages 160 et 214) Définition: Soit A ∈ Mm,n . L’espace nul ou noyau de la matrice A, noté Nul (A) ou Ker A, est l’ensemble des toutes les solutions du système homogène A~ x = ~0. C’est à dire n o Nul(A) = KerA = ~ x ∈ IRn |A~ x = ~0 . Exemple : −2 . 1 5 Est ce que le vecteur u~ = 3 appartient à Ker A? −2 Soit A = 1 −5 −3 9 Théorème du rang (Livre page 250) Théorème: Soit A ∈ Mm,n . Alors (i) l’espace Ker A est un sous-espace vectoriel de IRn . Sa dimension est égale au nombre des variables libres dans le système A~ x = ~0. (ii) l’espace des colonnes de A, est un sous-espace vectoriel de IRm . Sa dimension es égale au nombre de colonnes pivots de A. (iii) Théorème du rang: dim Ker A + dim Im A = n. Exemple: Soit la matrice 2 A = −2 3 4 −5 7 −2 7 −8 1 3 6 (i) l’espace Ker A est un sous-espace vectoriel de IRk , que vaut k? (ii) l’espace des colonnes de A est un sous-espace vectoriel de IRk , que vaut k? (iii) Déterminer une base de Ker A, (iv) Déterminer une base de Col A=Im A. Exemple: Pour chacune des matrices A suivantes, donner une base de Ker A et ColA=ImA et vérifier la propriété (iii) du théorème précédent. 1 3 5 0 1) A = ; 0 1 4 −2 1 5 −4 −3 1 1 0 ; 2) A = 0 1 −2 0 0 0 0 0 7 −2 0 −2 0 −5 . 3) A = 0 −5 7 −5 7 −2 Exemple: En utilisant une matrice A et ses espaces Ker A ou Col A=Im A , montrer que les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels a b a − 2b = 4c 4 ∈ IR : (1)W = u~ = c 2a = c + 3d d 2s + 3t r + s − 2t 4 (2)W = u~ = ∈ IR : r , s, t ∈ IR 4r + s 3r − s − t