contrôle continu (corrigé) de mai 2009

Université de Pau et des Pays de l’Adour
Département de Mathématiques
Algèbre IV Année 2008-2009
Contrôle continu du 05-05-2009, Temps disponible :1,5 heures.
Exercice 1 (Questions de cours).Soit Eun espace vectoriel de dimension
finie sur un corps K, et ϕune forme bilinéaire symétrique ou antisymétrique
sur E.
(1) Soit Aune partie de E. Donner la définition de l’orthogonal A⊥par
rapport à ϕ.
(2) Montrer que A⊥est un sous-espace vectoriel de E.
(3) Soit Ble sous-espace vectoriel de Eengendré par A. Montrer A⊥=
B⊥.
(4) Montrer que A⊂(A⊥)⊥.
(5) Donner une condition suffisante sur ϕpour que B= (B⊥)⊥.
(6) Montrer que, si ϕest antisymétrique et a∈E, alors a∈ {a}⊥.
Exercice 2. Soit E=R5,λ, µ ∈Ret soit ql’application sur Edéfinie par :
q(x1, . . . , x5) = −3x1x2+ 5x2
2+λx2x3+µx4x5.
(1) Montrer que qest une forme quadratique.
(2) Écrire la matrice de qdans la base canonique Bde R5.
(3) Calculer la signature et le rang de qselon les valeurs de λ, µ.
(4) Soit µ= 0. Calculer le noyau E⊥.
(5) Soit µ > 0. Trouver un sous-espace Pde Ede dimension 3tel que
q|Psoit positive. Est-ce que q|Pest définie positive ?
Exercice 3. Soit El’espace des polynômes p(t) = a2t2+a1t1+a0à coef-
ficients complexes dans la variable t, de degré au plus 2. Soit ql’application
définie sur Epar :
q:E→C, q(p) = p(0)p(1) + Z1
−1
p2(t)dt.
(1) Donner l’expression de l’application ϕqassociée à q, et montrer qu’elle
est bilinéaire symétrique.
(2) Calculer la matrice de ϕqdans la base B= (1, t, t2).
(3) Calculer le rang de q.
(4) Donner la matrice de la restriction de qau sous-espace Fde Een-
gendré par les deux vecteurs (t, 3t−4).
(5) Peut-on compléter (t, 3t−4) à une base orthogonale (t, 3t−4, v)de
E? Si oui, trouver v.

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Corrigé 1. Les réponses sont contenues dans le cours.
(1) La définition :
A⊥={u∈E|ϕ(a, u)=0,∀a∈A}.
(2) Soit λ1, λ2∈K,u1, u2∈A⊥et a∈A. Alors :
ϕ(a, λ1u1+λ2u2) = λ1ϕ(a, u1) + λ2ϕ(a, u2) = 0,
donc λ1u1+λ2u2∈A⊥.
(3) Il est clair que B⊥⊂A⊥puisque ϕ(b, u)=0,∀b∈Bimplique
ϕ(a, u) = 0,∀a∈A, étant donné que A⊂B. L’inclusion inverse se
démontre en remarquant que n’importe quel élément bde Bs’écrit
b=Pλiaiavec ai∈A, pour certains λi∈K. Donc, si u∈A⊥, on a
u∈B⊥puisque ϕ(b, u) = Pλiϕ(ai, u) = 0 vu que u∈A⊥.
(4) Soit a∈Aet u∈A⊥. Alors ϕ(u, a) = ±ϕ(a, u) = 0 puisque u∈A⊥
donc a∈(A⊥)⊥.
(5) Puisque Best un sous-espace de E, une condition suffisante est que
ϕsoit symétrique non dégénérée.
(6) Si ϕest antisymétrique alors ϕ(a, a) = −ϕ(a, a)donc ϕ(a, a)=0et
aappartient à {a}⊥.
Corrigé 2. Une fois qu’on aura montré que qest une forme quadratique, on
utilisera la méthode de Gauss.
(1) Pour n’importe quel choix de λ, µ l’expression de qest un polynôme
homogène de degré 2en x1, . . . , x5. Donc qest une forme quadratique
par le critère vu en cours.
(2) Voici la matrice de q:
MB(q) = 
0−3/2 0 0 0
−3/2 5 λ/2 0 0
0λ/2 0 0 0
0 0 0 0 µ/2
0 0 0 µ/2 0
.
(3) Posons x= (x1, . . . , x5). La valeur de q(x)est égale à :
5x2−3
10x1+λ 10x32
−53
10x1−λ 10x32
+µx4x5=
= 5`1(x)2−5`2(x)2+µ1
4(x4+x5)2−µ1 4(x4−x5)2=
= 5`1(x)2−5`2(x)2+µ1
4`3(x)2−µ1 4`4(x)2,
où on a posé :
`1(x) = x2−3
10x1+λ 10x3,
`2(x) = 3
10x1−λ 10x3,
`3(x) = x4+x5,
`4(x) = x4−x5.

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Donc pour n’importe quelle valeur de λon a :
sgn(q) = (2,2),si µ6= 0,
(1,1),si µ= 0.
Autre méthode pour arriver au même résultat : se souvenir que fg =
1/4(f+g)2−1/4(f−g)2, et l’utiliser pour q(x) = x2(−3x1+ 5x2+
λx3) + µx4x5, donc pour f=x2,g=−3x1+ 5x2+λx3.
(4) Depuis la question précédente, si µ= 0 on trouve :
E⊥=`1(x)=0
`2(x)=0
(5) Si µ > 0on pose :
P=`2(x)=0
`4(x)=0
Cet espace a bien dimension 3puisque `2et `4sont libres (ce qui est
évident à partir de leurs expressions). De plus :
q|P(x)=5`1(x)2+µ1
4`3(x)2≥0,
donc q|Pest positive. Cette forme n’est pas définie positive car elle a
rang 2.
Corrigé 3. On note p(t) = a2t2+a1t1+a0,r(t) = b2t2+b1t1+b0.
(1) On utilise la formule :
ϕq(p, r) = 1
2(q(p+r)−q(p)−q(r)) .
On en obtient :
ϕq(p, r) = 1
2(p(0)r(1) + p(1)r(0)) + Z1
−1
p(t)r(t)dt.
On vérifie facilement que :
ϕq(λ1p1+λ2p2, r) = λ1ϕq(p1, r) + λ2ϕq(p2, r)
ϕq(p, λ1r1+λ2r2) = λ1ϕq(p, r1) + λ2ϕq(p, r2),
ϕq(p, r) = ϕq(r, p),
pour tout p, p1, p2, r, r1, r2∈E, et tout λ1, λ2∈C. Donc ϕqest
bilinéaire symétrique.
(2) On écrit la matrice par en calculant ϕq(ei, ej), avec ei=ti,i= 0,1,2.
On en obtient :
MB(q) = 
3 1/2 7/6
1/2 2/3 0
7/6 0 2/5
.
(3) Le rang est trois puisque le déterminant de la matrice ci-dessus est
non-nul.

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(4) Soit C= (t, 3t−4) une base du sous-espace F. La matrice de la
restriction est :
MC(q|F) = 0 1 0
−4 3 0 !
3 1/2 7/6
1/2 2/3 0
7/602/5
0−4
1 3
0 0
=
= 2/3 0
0 42 !.
(5) La matrice ci-dessus est diagonale donc on peut compléter Cà une
base de E. Pour cela il suffit de trouver un vecteur vnon-nul dans
F⊥. Soit X= (x, y, z)les coordonnées de vdans la base B. Alors
v∈F⊥si :
0 1 0
−4 3 0 !
3 1/2 7/6
1/2 2/3 0
7/602/5
x
y
z
= 0.
Un vecteur vqui satisfait l’équation ci-dessus est :
v=−4+3t+ 9t2.
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