MAT2005-20 Hiver 2017 Théorèmes principaux de l`algèbre linéaire

MAT2005-20
Hiver 2017
Théorèmes principaux de l’algèbre linéaire
Théorème 1 (p.15, Unicité de la forme échelonnée réduite)
Chaque matrice est équivalente selon les lignes à une seule matrice échelonnée réduite.
Théorème 2 (Existence et unicité des solutions)
1. Un système linéaire est compatible si et seulement si une forme échelonnée
de la matrice augmentée n’a aucune ligne de la forme [ 0 . . . 0 | b ] avec b ≠ 0
(c.-à-d. ⇔ la colonne plus à droite de la matrice augmentée ne contient pas un pivot).
2. Si un système linéaire est compatible, alors l’ensemble des solutions contient
soit (i) une solution unique (lorsque il n’existe pas des variables libres),
soit (ii) une infinité de solutions (lorsque il existe au moins une variable libre).
Théorème 3 (p. 39)
Soit A une matrice m x n, dont les colonnes sont a1, a2, … an, et soit b un vecteur de ℝn.
Alors l’équation matricielle Ax = b, l’équation vectorielle x1a1 + x2a2 + … + xnan = b, et le système linéaire
représenté par la matrice augmentée [ a1, a2, … an | b ] ont toutes le même ensemble de solutions.
Théorème 4 (p. 40, 4 propriétés fondamentales équivalentes)
Soit A une matrice de taille m x n. Alors les propriétés suivantes sont logiquement équivalentes (elles sont soit
toutes vraies ou toutes fausses) :
(a) Pour tout vecteurs b ∈ ℝm, l’équation Ax = b est compatible.
(b) Chaque vecteur b ∈ ℝm est combinaison linéaire des colonnes de A.
(c) Les colonnes de A engendrent/génèrent ℝm.
(d) Il existe un pivot dans chaque ligne de A.
Théorème 5 (p. 42, propriétés du produit matrice-vecteur Ax)
Soit A une matrice de taille mxn, u et v des vecteurs de ℝn et c un scalaire quelconque. Alors :
(a) A(u + v) = Au + Av;
(b) A(cu) = c(Au).
Théorème 6 (lien entre solution d’un système compatible est sa contrepartie homogène)
Supposons que l’équation Ax = b est compatible pour un vecteur b donné, et soit p une solution de cette équation
(ou A est mxn, et x, b, et p sont des vecteurs tels que cette équation est bien définie).
Alors l’ensemble des solutions de Ax = b consiste de l’ensemble de tout vecteurs de la forme w = p + vh, ou vh
est une solution particulière quelconque de l’équation homogène correspondant Ax = 0.
Théorème 7 (p. 63, Caractérisation d’un ensemble de vecteurs linéairement dépendants)
Un ensemble de k vecteurs, E = {v1, . . . , vk}, (ou k > 2) est linéairement dépendant si et seulement si au moins
l’un des vecteurs s’exprime comme une combinaison linéaire des autres dans l’ensemble. Plus précisément, si E
est un ensemble linéairement dépendant, alors il existe un indice j > 1 tel que vj soit combinaison linéaire des
vecteurs v1, . . . , vj-1.
Théorème 8 : (p. 64, Dépendance linéaire des ensembles contenant «trop» de vecteurs)
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Tout ensemble { v1, . . . , vp } ⊂ ℝn où p > n est linéairement dépendant.
Théorème 9 : (Dépendance linéaire du vecteur nul)
Un ensemble de vecteurs S = { v1, . . . , vp } ⊂ ℝn contenant le vecteur nul est linéairement dépendant.