PRIX YAHYA OULD HAMIDOUNE

PRIX YAHYA OULD HAMIDOUNE
NIVEAU UNIVERSITAIRE
1` ERE PARTIE
NOUAKCHOTT,MARS 2012
DUR´ EE DE L’´ EPREUVE : 2 HEURES
Aucun document n’est autoris´ e. Les appareils ´ electroniques sont interdits.
La solution du probl` eme devra ˆ etre r´ edig´ ee de mani` ere rigoureuse.
Le jury portera une attention particuli` ere ` a la qualit´ e de la r´ edaction.
Probl` eme (55 points)
Soit fune application lin´ eaire de Rndans Rm(net msont deux entiers sup´ erieurs ou ´ egaux ` a1).
On note Ala matrice associ´ ee ` afrelativement aux bases canoniques, ATla matrice transpos´ ee de
A(not´ ee aussi t A), Ker fd´ esigne le noyau de fet Im fson image. Enfin, h. , . id´ esigne le produit
scalaire usuel et k.kla norme associ´ ee.
1. (a) Montrer que les valeurs propres de la matrice ATAsont r´ eelles et positives. Elles seront
not´ ees (σi)n
i=1 avec la convention
σ1≥σ2≥ ··· ≥ σn≥0.
(b) Dans cette question, on suppose que m=net que la matrice Aest sym´ etrique. ´ Etablir un
lien entre les (σi)n
i=1 et les valeurs propres de la matrice A.
(c) Justifier l’existence d’une base orthonorm´ ee de Rnform´ ee de vecteurs (ui)n
i=1 tels que
ATAui=σiui. Montrer que pour tous entiers iet jcompris entre 1et n, on a
hAui, Auji=0si i6=j,
σisi i=j.
(d) Soit rle nombre de valeurs σistrictement positives.
i. Commenc¸ons par ´ etudier les cas r= 0 et r=n.
r= 0 signifie que σi= 0 pour tout i. Montrer qu’alors fest l’application nulle.
r=nsignifie que σn>0. Montrer qu’alors fest injective.
ii. On suppose que 0< r < n :
σ1≥σ2≥ ··· ≥ σr> σr+1 =··· =σn= 0.
On d´ efinit rvecteurs (vi)r
i=1 par Aui=√σivi.
1

A. Montrer que ATvi=√σiui. Expliquer comment on peut d´ efinir m−rvecteurs
(vi)m
i=r+1 de sorte que la famille (vi)m i=1 forme une base orthonorm´
ee de Rm.
B. Montrer que Im fest engendr´ ee par les vecteurs v1,··· , vr. Montrer que Ker f
est engendr´ e par les vecteurs ur+1,··· , un. Quel est le rang de f?
2. On suppose dans cette partie que r=n.
(a) Expliquer pourquoi m≥n.
(b) On d´ efinit les trois matrices V,Uet Spar
– Les colonnes de Vsont form´ ees des vecteurs vi:V= [v1|v2|···|vm].
– Les colonnes de Usont form´ ees des vecteurs ui:U= [u1|u2|···|un].
– La matrice S∈ Mm,n(R)est diagonale (mais pas carr´ ee si n6=m) :
Si,j =0si i6=j,
√σisi i=j.
Montrer que A=V SUT.
(c) On suppose uniquement pour cette question que m=n. D´ eterminer une matrice or-
thogonale Oet une matrice sym´ etrique d´ efinie positive Htelles que A=OH. Cette
factorisation est elle unique ?
3. On suppose que 0< r ≤net on d´ efinit la matrice S∈ Mm,n(R)par :
Si,j =√σisi i=j= 1,··· , r,
0sinon .
A-t-on encore A=V SUT? Soit pla projection orthogonale sur ( Ker f)⊥et Pla matrice
associ´ ee dans la base canonique. Soit qla projection orthogonale sur Im fet Qla matrice
associ´ ee dans la base canonique. On note B=U∆VT, o` u∆∈ Mn,m(R)est la matrice d´ efinie
par
∆i,j =1
√σisi i=j= 1,··· , r,
0sinon
(a) Montrer que p=b◦fet que q=f◦b.
(b) On d´ efinit l’application h:Rm→Rnde la fac¸on suivante : pour y∈Rmon prend
un x∈Rntel que f(x) = q(y)(justifier l’existence de x), puis on pose g(y) = p(x).
Montrer que gest bien d´ efinie, autrement dit que s’il existe deux vecteurs x1et x2tels que
f(x1) = f(x2) = q(y), alors p(x1) = p(x2). Quelle est la matrice associ´ ee ` a l’application
g(dans la base canonique) ?
4. Soit y∈Rmn’appartenant pas ` aIm f. Il n’existe donc pas de vecteur x∈Rntel que f(x) = y.
On consid` ere le probl` eme suivant : touver ¯x∈Rntel que
kf(¯x)−yk≤kf(x)−yk(∀x∈Rn).
En supposant que le rang de fest ´ egal ` an, montrer que ce probl` eme a une solution ¯x=
g(y). Cette solution est elle unique ? Que peut on dire dans le cas o` u le rang de fest inf´ erieur
strictement ` an?
2