DM1 Corrigé

Université Joseph Fourier - MAT 231 - 2009-2010
Devoir à la maison n◦ 1
Ce devoir est à rendre en TD la semaine n◦ 40 (du lundi 28 septembre au vendredi 2 octobre).
Exercice 1 Soit P le sous-espace
vectoriel de R3 d’équation x + 2y − z = 0 et soit D le sous-espace
x+y =0
vectoriel de R3 d’équations
.
y+z =0
1. Trouver une base de P et une base de D.
2. Montrer que P et D sont supplémentaires.
3. Notons p la projection de R3 sur P parallèlement à D et s la symétrie de R3 par rapport à
P parallèlement à D (on rappelle que s = 2p − IdR3 ). Calculer les matrices de p et s dans la
base canonique de R3 .
4. Comment pourriez-vous vérifier matriciellement les relations p ◦ p = p et s ◦ s = IdR3 ?
Exercice 2 Soit f l’application linéaire de R3 dans R3 qui à tout (x, y, z) ∈ R3 associe
f (x, y, z) = (−x + y + z, −6x + 4y + 2z, 3x − y + z).
Ecrire la matrice A de f dans la base canonique de R3 (C = (e1 , e2 , e3 )).
Montrer l’égalité f ◦ f = 2f . En déduire que si v ∈ Im(f ), f (v) = 2v.
Montrer que Ker(f ) et Im(f ) sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de R3 .
Trouver une base E = (ǫ1 , ǫ2 , ǫ3 ) de R3 dont le premier vecteur appartient à Ker(f ) et les
derniers à Im(f ). Ecrire la matrice de f dans la base E.
5. En déduire An , pour tout n ∈ N : on donnera une expression de An faisant intervenir une
matrice inversible P et son inverse (que l’on calculera).
a b
une matrice de M2 (R) et soit f l’application définie de M2 (R)
Exercice 3 Soit A =
c d
dans M2 (R) par f (M ) = AM − M A.
On rappelle que la base canonique de M2 (R) est B = {E11 , E12 , E21 , E22 }, avec
1 0
0 1
0 0
0 0
E11 =
, E12 =
, E21 =
, E22 =
.
0 0
0 0
1 0
0 1
1.
2.
3.
4.
Dans la suite, on notera I la matrice identité d’ordre 2 (I = E11 + E22 ).
1. Montrer que f est un endomorphisme de M2 (R) et donner sa matrice F dans la base B.
2. Soit C l’ensemble des matrices qui commutent avec A :
C = {M ∈ M2 (R), AM = M A}.
–
–
–
–
Montrer que C est un espace vectoriel, qui de plus est stable pour le produit des matrices.
Montrer que si A est une matrice d’homothétie (A = aI, a ∈ R), alors C = M2 (R).
Montrer que le rang de F est inférieur ou égal à 2 (pour toute matrice A).
Calculer le rang de F lorsque A n’est pas une matrice d’homothétie. En déduire que si A
n’est pas une matrice d’homothétie, alors dim C = 2.
3. Soit V le sous-espace vectoriel de M2 (R) engendré par la famille {An , n ∈ N}.
– Vérifier que V ⊂ C.
– Montrer que A2 = (a + d)A − (ad − bc)I.
– En déduire que V = V ect{I, A}, puis que dim V ≤ 2.
– Montrer que V = C si et seulement si A n’est pas une matrice d’homothétie.
Préciser une base de C dans ce cas.