DM1 Corrigé

Université Joseph Fourier - MAT 231 - 2009-2010
Devoir à la maison n◦1
Ce devoir est à rendre en TD la semaine n◦40 (du lundi 28 septembre au vendredi 2 octobre).
Exercice 1 Soit Ple sous-espace vectoriel de R3d’équation x+2y−z= 0 et soit Dle sous-espace
vectoriel de R3d’équations x+y= 0
y+z= 0 .
1. Trouver une base de Pet une base de D.
2. Montrer que Pet Dsont supplémentaires.
3. Notons pla projection de R3sur Pparallèlement à Det sla symétrie de R3par rapport à
Pparallèlement à D(on rappelle que s= 2p−IdR3). Calculer les matrices de pet sdans la
base canonique de R3.
4. Comment pourriez-vous vérifier matriciellement les relations p◦p=pet s◦s=IdR3?
Exercice 2 Soit fl’application linéaire de R3dans R3qui à tout (x, y, z)∈R3associe
f(x, y, z) = (−x+y+z, −6x+ 4y+ 2z, 3x−y+z).
1. Ecrire la matrice Ade fdans la base canonique de R3(C= (e1, e2, e3)).
2. Montrer l’égalité f◦f= 2f. En déduire que si v∈Im(f), f (v) = 2v.
3. Montrer que Ker(f)et Im(f)sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de R3.
4. Trouver une base E= (ǫ1, ǫ2, ǫ3)de R3dont le premier vecteur appartient à Ker(f)et les
derniers à Im(f). Ecrire la matrice de fdans la base E.
5. En déduire An, pour tout n∈N: on donnera une expression de Anfaisant intervenir une
matrice inversible Pet son inverse (que l’on calculera).
Exercice 3 Soit A=a b
c d une matrice de M2(R)et soit fl’application définie de M2(R)
dans M2(R)par f(M) = AM −MA.
On rappelle que la base canonique de M2(R)est B={E11, E12 , E21 , E22}, avec
E11 =1 0
0 0 , E12 =0 1
0 0 , E21 =0 0
1 0 , E22 =0 0
0 1 .
Dans la suite, on notera Ila matrice identité d’ordre 2(I=E11 +E22 ).
1. Montrer que fest un endomorphisme de M2(R)et donner sa matrice Fdans la base B.
2. Soit Cl’ensemble des matrices qui commutent avec A:
C={M∈ M2(R), AM =MA}.
– Montrer que Cest un espace vectoriel, qui de plus est stable pour le produit des matrices.
– Montrer que si Aest une matrice d’homothétie (A=aI, a ∈R), alors C=M2(R).
– Montrer que le rang de Fest inférieur ou égal à 2(pour toute matrice A).
– Calculer le rang de Florsque An’est pas une matrice d’homothétie. En déduire que si A
n’est pas une matrice d’homothétie, alors dim C= 2.
3. Soit Vle sous-espace vectoriel de M2(R)engendré par la famille {An, n ∈N}.
– Vérifier que V ⊂ C.
– Montrer que A2= (a+d)A−(ad −bc)I.
– En déduire que V=V ect{I, A}, puis que dim V ≤ 2.
– Montrer que V=Csi et seulement si An’est pas une matrice d’homothétie.
Préciser une base de Cdans ce cas.