TS spécialité DS1 3/10/11 TS spécialité DS1 3/10/11

TS spécialité DS1 3/10/11
Exercice 1 :
Trouver tous les entiers qui, divisés par 5, donnent un quotient entier égal à 3 fois le reste.
Exercice 2 :
Démontrer par$disjonction$des$cas$que , pour tout entier naturel n , n(n+1)(2n+1) est divisible par 3.
Exercice 3 :
Pour quelles valeurs de l’entier relatif n la fraction n+8
2n –5 est-elle elle-même un entier ?
Exercice 4 :
1)Vérifier$que$(n+1)3$=$n2(n+3)$+$3n$+$1$
2)Pour$$n$∈$IN$*$on$pose$a$=$$(n+1)3$$$$$et$$$$b$=$n²$$
Pour$quelles$valeurs$de$n$,$$le$reste$de$la$division$de$a$$par$$b$$$estCil$$$3n+1$?$
Quel$est$le$reste$dans$les$autres$cas$?$
Exercice 5 :
Déterminer$tous$les$entiers$$naturels$$x$et$y$vérifiant$:$$$9x2$=$y2$+$20$
$
TS spécialité DS1 3/10/11
Exercice 1 :
Trouver tous les entiers qui, divisés par 5, donnent un quotient entier égal à 3 fois le reste.
Exercice 2 :
Démontrer par$disjonction$des$cas$que , pour tout entier naturel n , n(n+1)(2n+1) est divisible par 3.
Exercice 3 :
Pour quelles valeurs de l’entier relatif n la fraction n+8
2n –5 est-elle elle-même un entier ?
Exercice 4 :
1)Vérifier$que$(n+1)3$=$n2(n+3)$+$3n$+$1$
2)Pour$$n$∈$IN$*$on$pose$a$=$$(n+1)3$$$$$et$$$$b$=$n²$$
Pour$quelles$valeurs$de$n$,$$le$reste$de$la$division$de$a$$par$$b$$$estCil$$$3n+1$?$
Quel$est$le$reste$dans$les$autres$cas$?$
Exercice 5 :
Déterminer$tous$les$entiers$$naturels$$x$et$y$vérifiant$:$$$9x2$=$y2$+$20$

TS#spé#CORRIGE#DS1#
Exercice 1 :
Les nombres cherchés sont les nombres n tels que n = 5×3r + r et 0 ≤ r < 5 (car le quotient est q = 3r)
Il en résulte que n = 16r avec r = 0 ou r = 1 ou r = 2 ou r = 3 ou r = 4 .
Les solutions sont donc 0 ; 16 ; 32 ; 48 ; 64 .
Exercice 2 :
Posons a = n(n+1)(2n + 1)
Il s’agit de prouver que a = 3k avec k ∈ZZ
Or tout entier naturel n s’écrit n = 3q ou n = 3q +1 ou n = 3q + 2 avec q ∈ZZ (car le reste de la division euclidienne
de n par 3 est soit 0 , soit 1 , soit 2)
Si n = 3q alors a = 3q(3q+1)(6q +1) et q(3q+1)(6q +1) ∈ ZZ donc 3/ a
Si n = 3q + 1 alors a = (3q+1)(3q + 2)(6q +3) = 3(3q+1)(3q + 2)(q + 1)
et (3q+1)(3q + 2)(q + 1) ∈ ZZ donc 3 / a
Si n = 3q + 2 alors a = (3q + 2 )(3q + 3)(6q + 7) = 3(3q + 2 )(q + 1)(6q + 7)
et (3q + 2 )(q + 1)(6q + 7) ∈ ZZ donc 3 / a .
Exercice 3 :
n+8
2n –5 est entier ⇔ 2n – 5 divise n + 8
Or , 2n – 5 / 2n – 5 donc, si 2n – 5 / n + 8 , alors,
d’après la propriété fondamentale avec u = –1 et v = 2 on obtient : 2n – 5 / – (2n – 5)+ 2 (n + 8) = 21
donc 2n – 5 / 21
Or , D(21) = { – 21 ; – 7 ; – 3 ; – 1 ; 1 ; 3 ; 7 ; 21}
On a : 2n – 5 = –21 ⇔ n = –8 Ou 2n – 5 = – 7 ⇔ n = – 1
Ou 2n – 5 = –3 ⇔ n = 1 Ou 2n – 5 = – 1 ⇔ n = 2
Ou 2n – 5 = 1 ⇔ n = 3 Ou 2n – 5 = 3 ⇔ n = 4
Ou 2n – 5 = 7 ⇔ n = 6 Ou 2n – 5 = 21 ⇔ n = 13
Ainsi S = { – 8 ; 1 ; 3 ; 6 ; –1 ; 2 ; 4 ; 13 }
Vérification : pour toutes les solutions, on calcule n+8
2n –5 et c’est un entier !
Exercice 4 :
1)(n+1)3$$=$n3$+$3×n²$×1$+$3×1²×n$$+$$13$=$n3$+$3n²$+$3n$+$1$$$
$$$$$n2(n+3)$+$3n$+$1$=$n3$+$3n²$+3n$+$1$donc$$(n+1)3$=$n2(n+3)$+$3n$+$1$

2)$(n+1)3$=$n2(n+3)$+$3n$+$1$
Si$$$0$≤$$3n$+$1$<$n²$$$,$alors$le$reste$de$la$division$euclidienne$de$(n$+$1)3$$par$$$n²$$est$3n$+$1.$
Or$$0$≤$$3n$+$1$<$n²$$⇔$$3n$+$1$<$n²$$$$$(car$n$∈$IN*$$donc$3n$+$1$est$positif$)$
$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$⇔$$n²$–$3n$–$1$>$0$$
Soit$P(x)$=$x²$$–$3x$–$1$$$$$$Δ$=9$+$4$=$13$$$x1$$=$3$+$ 13
2$$≈$3,3$$$$$x2$=$3$–$ 13 2$ $≈$–0,3$
On$a$$$P(x)$>$0$⇔$x$∈$]$–$∞$;$x2$[$U]$x1$;$+$∞[$
On$en$déduit$que$:$$n²$–$3n$–$1$>$0$⇔$n$≥$4$
Donc$le$reste$de$la$division$de$a$par$b$est$$3n$+$1$pour$tout$$$n$≥4$$.$
$Pour$n$=$$
On$a$:$(n$+$1)3$=$$
Et$$$$$n²$=$$
Le$reste$est$:$
$1$
8$
1$
0$
2$
27$
4$
3$
3$
64$
9$
1$
n$=1$le$reste$est$$
Exercice 5 :
9x2$=$y2$+$20$⇔$(3x$–$y)($3x$+$y)$=$20$
$Les$entiers$3x$–$y$$et$3x$+$y$$sont$des$diviseurs$associés$positifs$de$20(car$x$∈IN$et$y$∈IN$donc$3x$+$y$∈IN)$;$de$plus$
on$peut$remarquer$que$3x$–$y$<$3x$+$y.$
Or$$D(20)$=${1$;$2$;$4$;$5$;$10$;$20}$
Les$systèmes$possibles$sont$les$suivants$:$
'
(
)
$3x$–$y$=$1
3x$+$y$=$20$$$$$$$$$$$$ou$$$$$$$$$$$$'
(
)
$3x$–$y$=$2
3x$+$y$=$10$$$$$$$$$$ou$$$$$$$$$$$$$$$$$$$'
(
)
$3x$–$y$=$4
3x$+$y$=$5$
⇔$$$$$$$$$'
(
)
$6x$=$21$
3x$+$y$=$20$$$$$ou$$'
(
)
$6x$=$12$
3x$+$y$=10$$$ou$$$'
(
)
$6x$=$9$
3x$+$y$=$10$$
⇔$$$$$$$impossible$dans$IN×IN$$$ou$'
(
)
$x$=$2
y$=$4$$$$ou$$$$impossible$dans$IN×IN$
$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$Donc$S"=${(2$;$4)}$
$
$
$
$