Semi-normes et ensembles convexes dans un espace vectoriel sur

Séminaire Choquet.
Initiation à l’analyse
J EAN -P IERRE C ARPENTIER
Semi-normes et ensembles convexes dans un espace vectoriel
sur un corps valué ultramétrique
Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse, tome 4 (1964-1965), exp. no 7, p. 1-68
<http://www.numdam.org/item?id=SC_1964-1965__4__A6_0>
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s
1)
7-01
Séminaire CMOQUET,
Initiation à l’Analyse,
4~ année~ 1964/65, n° 7e, 24 p.
28 janvier 1965
SEMI-NORMES ET ENSEMBLES CONVEXES DANS UN ESPACE VECTORIEL
SUR UN CORPS
VALUÉ ULTRAMÉTRIQUE
par Jean-Pierre CARPENTIER
Premièrepartie
Semi-normes dans un
Cette
des résultats
première partie développe
dans la suite à l’étude des
pliqués
Après un premier paragraphe
rème d’Ingleton, analogue
de
espace vectoriel
sur
au
convexes
généralités,
on
les semi-normes
sens
de MONNA
trouvera
au
qui seront
ap-
’
[6J (*).
2 le théo-
paragraphe
théorème de Hahn-Banach. Ce théorème est l’instrument
au
1,’ étude de la "séparation" des convexes. La partie essentielle e.st
paragraphe 3, qui donne un théorème de représentation des semi-normeso Ce théorème est rapproché des théorèmes analogues déjà,connus, et il fournira, dans la
de MONNA pour
le
deuxième partie, des résultats
I.1.
Notations
et
sur
la structure des
définitions.
ultramétriques. ultramétrique si
1.1.1. Ecarts
d
sera
On
démontre facilement, si
d~X ~ Y) ~ d(y , z)
-
triangle
convexes.
est isocèle
d
est
implique
et,
Soit
(E, d)
ultramétrique,
d(x , z) =
s’il n’est pas
un
ensemble muni d’un écart
d;
que ;
y) , d(y , .~))
équilatéral,
la base est le
("tout
plus
court
-
.
-
Tout point d’une boule peut
-
Toute boule, fermée
ou
en
ouverte,
être
pris
comme
centre ;3
est à la fois ouverte et fermée pour la
topolo-
’
gie9
-
Si deux
..
boules ont une intersection non vide, l’une est incluse dans
Une valeur absolue
un
corps
valué,
sur un
seront dites
corps
K ,
une
ultramétriques
semi-norme dans
si les écarts
(*) Les chiffres entre crochets renvoient à la
la troisième partie.
un
l’autre.
espace vectoriel
associés, le
bibliographie placée
sur
sont. Ainsi:
à la fin de
J.-r. CARPENTIER
.(Il , v)
est
Nous noterons
ultramétrique
corps
le plus
(E , p)
Si
vn
si
K
applique
v
R+
dans
et que
v(x) =x l
souvent
.
ultramétrique, p n’étant pas
(K, v) est nécessairement ultramétrique. (E ~ p) est un
semi-norme ultramétrique si p applique E dans R+ tel que
est un espace vectoriel semi-norme
identiquement nulle,
espace vectoriel
Il est immédiat que, si
K :
propre maximum de
Bi
1
=
sont ’,.8S
A
des entiers de
anneau
x E
[x(
=
A, et le corps
p(x) ~ 1 l~
E ,
sous-À-modules de
T_’
k
1} ,
K ,,
x E
K. Si 2 =
L x ~(
A
est
~x~
K ,
x ~t
x E
p(x)
E ,
de
un sous-anneau
1~,
est l’idéal
ci
est dit corps résiduel de
=
et
x E
1. ~ ,
B~
K . Si
et
BQ
..
I.1.2. - Soit K un corps value commutatif, non nécessairement ultramétrique, la valeur absolue triviale n’etant pas exclue. Soit
On
==
immédiatement :
-
1
e
-
J
c
-
Si
fini,
À (v)g
Ài (v) et
03B1n e À iv)
on
OE OE
a
Ù
Q $
OE
-» p
et que
il
tend
J’ (v) ;
vers
OE
.
non
nul,
lorsque
À (v)...
sup À(v) , pris dans R . On voit que:
)0 £f , et 03C6v= + «. : ce cas se produit si et
ultramétrique,
ou
-à(v.) )0 , M) , et 03C6v M; mais alors u vM est
posons
-
ou
À(v)
=
v
.v
-
=
=
-
équivalente
tend vers l’in-
n.
à
=
v
et
gnu
=
=
seulement si
une
est
valeur absolue
1 .
D’après un théorème connu, on sait que:
i
est isomorphe à un
(K , v) ou w
=
sous-corps valué de
C ,
absolue ordinaire.
Soient maintenant
v
(E , p)
un
espace semi-normé
sur
(K , V) ,
avec
la valeur
SEMI-NORMES ET ENSEMBLES CONVEXES
Connue
-
ou
-
ou
ci-dessus,
B(p) = )0-*( , et p e st ultrametrique,
B(p) = )C , M) , et ~, P _ 1: .
p ~ 0,
Si
on
voit facilement
est fini et vaut
1
.
p~’~ est
M ,
seml-nonne dans
une
v H)
sur (K ,
E
,
0
P
un
espace vectoriel semi-normé
la
propriété
de Hahn-Banach
il existe
une
vérifiant
forme linéaire
f
sur
f
+
(K ,
K
et
K
complet,
p
comme
complet).
tait pas
té , de Hahn-Banach,
Nous dirons que
tout
dans
k
prolongeant
f,y
-E
de
et
et telle que
k
e
Tr ,
il est facile de le voir
D’autre
car
(K,
si
part,
alors
f =
p
0 ,
E ,y p)
la
a
(K ,
v ,y
serait
ce
E , p)
prendre
propriété de
la propriété
a
encore
(K , v , E , p)
et il suffit de
a
v ,
(mais
= 0 ,
R+ , (H , v , ~ , kp)
PROPOSITION ï. - ùi
ce
F
F
R+ et que (K , v , E , p) vérifie Hahn-Banach, il en
E , kp) : on peut construire un contre-exemple avec
est finie et
complet. Par contre, la propriété est vraie si
Il est faux que, si
=
pour tout sous-espace vectoriel
si,
sur
soit de même de
c~v
corps. On dit que
sur ce
F
toute forme linéaire
(K , v) un corps value, (d , p
(K, v, E, p) vérifie
de Hahn-Banach. - Soient
riété
1.1.3.
f -
n’ é-
K
proprié-
0 .
Hahn-Banach forte
si,
pour
de Hahn-Banach.
propriété
la
faux si
vérifie la
de Hahn-Banach
forte,
on a
03C8p .
Si,
outre, p ~ 0 ,
en
on
a 03C8p = 03C6v .
(K ,
Les mêmes conclusions sont valables si
té de Ha,lxn-Banach et si
Si
E , p)
a
seulement la
proprié-
est dense dans
v(K)
n’est pas dense dans
R+ ,
sur
(K , v) tel que (K ,
v ,
norme
~..-p
v(K)
v ,
il existe
E , p)
(E , p) espace vectoriel semipropriété de Hahn-Banach, et
y
ait
la
c~v .
.
Démonstration. - Soient
Soient
F
fi r.t
f (x
la droite
+
y) =
x
engendrée
1 . On
a
par
x +
et
y
y , et
e
f
E ,
et supposons
la forme linéaire
p(X
sur
0 .
+
F
véri-
J.-P. CARPENTIER
E , p) a la propriété
E , prolongeant f , telle que
Si
sur
On
en
tire
p‘~ (x
et
1 =
f(x
y) = f(x
+
y) ~ p‘~ (x)
+
y) = 1(x)
+
p~(y) , inégalité
+
+
f , définie
forte, il existe
de Hahn-Banach
v ,
,
f (y) , et, puisque
E
A(v) ,
p(x
+
y) =
est évidente si
qui
0 .
Donc,
p~ 0,
Si
9
on
déjà
sait
donc
,
on
a ~v - ~~rp
.
E , ~~) - vérifie Hahn-Banach et v(K) dense, construisons
À E v (K) - { 0~ , et ~ ‘ p(x + y) :
f
’
Si
(K ,
v ,
y
comme
ci-dessusSoient alors
Posons g = 03BBf ,9
a|g(z)| p ( _ ) . pour z E F9 donc il existe g , forme linéaire sur E prolongeant g ,9 vérifiant pour z E :r
|g(z)|l p(z) . Posons
f _ prolonge f
+
03B 03B1 p03B1
+ y) , or
p(x
rifiant 03BB
f = 1 03BB g :
on
enti re
puisque v(K)
valuation est triviale
’
Si
Hahn-Panach,
maintenant p
choisir
k
dans
la semi-norme
la semi-norme
R.
partie, construisons
p
=
~p ~1
dans
et,
K
x
pourtant 03C6v
1 ,
.
R~ - (0~
dans
Alors
et vé-
z
E
On achève de même.
o
v(K)
et
E .
v(K) - { 0}
pour tout
quelconque
3
Pour démontrer la dernière
?,vec
1 03BB p(z)
étant
A
et,
5
est dense dans
valuation discrète
vérifie
vérifie | f(z)|
et
(x)
est
F
K,
+
=
encore
pour que
définie par
n ~ Z)
p
0153
u
un
~0)
=:
1 ,
ultramétrique, 03C6v
2 "p
x2))
p ~ 1 ; si
comme on
=
1 . Unissons
=
+
p
la
1 ,
=
x~)
défini par
et
étant à
K
contre-exemple.
avec
+
le voir.
peut
co ,
alors
et l’on
E
=
K
peut
x
K
et notons
de
q
SEMI-NORMES ET ENSEMBLES CONVEXES
On
q(z) ~ p(~~) ~ 2 ~k q(~) ,
a
a
la
~f{z)
a
la
_i(~) ‘ Piz)
’
plus petit
que
z~
pour
p(z) .
f
Soit
q(z)
0 :d
forme li-
une
p(z) pour
K , vérifiant |f(z)|1
loin
(K , v , E , q)
que
F ;
plus
déduitf { z ) ~ ,~ q(z) .
E telle que
f
à
f
il
3e
existe
donc
prolongeant
propriété
entraîne
ce
z
donc
qui
(K,v,E,p)
E ,
pour
~1 ‘
~f (z) ~ ~ p(z) ,
+
et
k , comme on peut le
propriété de
dans
z
p(z)
donc ~
plus grand élément de
néaire définie sur un sous-espace
est le
F
.le
er
on
K
x
On
.
verra
=
=
~
calculer.
(PROPOSITION 2). - Si (Ls , v) est ultramétrique, (K , v , r , p)
propriété de Hahn-Banach forte, entraîne :i p est ultramétrique.
COROLLAIRE
vérifie la
-
Exemple s .
o
-
(K, v)
Si
ultramétrique,
est
vérifie pas Eahn-Banach
ne
v (_Ï)
et
=
car ù
1
E
dense dans
K
=
x
K ,
.
,
_
-
Dans
R R ,9
x
B
v :r
.
=
l
v(x)
(R ,
1 ,,
1.2. Le
x2) = 2|x1| +2|x2|
( j ) désignant
9
E , p)
v ,
ne
,
une
semi-norme
sur
la valeur absolue
usuelle) ;
comme
munie de
R
et
= 2
cp
vérifie pas Hahn-Banach.
théorème d’Ingleton.
(K, v)
Dorénavallt,
est
9
un
D’autre part,
le préciser.
DEFINITION. -
le
cas
v ,
J , .p) ,
en ;e
y
est dit
complet
p-boules fermées
d’un corps
(~~ , v) ,
non
p-sphérique,
vides
a une
complets,voir Ï 3~ ,
ou
ultrametriques
maximalement
à
partir
non
à
£.
sans
complet,
vide.
la
de
a
le. pro-
complet,
équivalente
qui
ce
au cas
intersection
cette définition est
tion habituelle des corps maximalement
ou
tenu de
et K
ramenant
considérerons plus que des semi-normes
(~ , p)
si toute chaîne de
si y ’ est fini, 03C8p = 03C6v,
(Il ,
est
nous ne
ultramétrique:: compte
corps value
été dit, il est facile de voir que,
(Dans
est
défini-
quoi
on
p,y
E
achèvera facilement la démonstration de l’
Remarques
o
-
3i
(E, p)
-
Si
E
est
complet p-sphérique, (E,y p) est complet.
quasi-compact pour la topologie définie par
est localement
complet p-sphérique.
es1
J. -P. CARPENTIER
Dans la définition 1,
-
fermees :
et
an
+ oo ;9
p
limiter à des suites
tend
an
chaîne de boules
une
vers
en
p
décroissantes
fermées, soient
décroissant, quand
on
,
B
a
-- ?03B1n
n
p
=
inf
tend
définition,
p,
f
vers
(E , p)
Si
complet p-sph0rique
est
et
R+ , (E , kp)
ke
ou
’
prendre
-
de boules
.
peut aussi supprimer la précision boules fermées dans la
des boules ouvertes, avec des suites, ou des chaînes.
On
-
se
est
alors,
si
car
suite telle que
une
peut
on
B03B1 = B (x03B1,p)
si
est aussi
com-
kp-sphérique.
plet
(PROP03ITION 3). -
(1)
(2)
Les deux
propriétés
suivantes sont
(E p) e st complet p-sphérique.
(E , p) a la propriété de l’ intersection
équivalentes :t
9
binaire pour les boules
mées :
Si
famille de boules
une
__.
vérifie
B
_Ci.
Démonstration.
(1)
__>
~ 03B1 , G
E
(B ) ,
(z) . Car,
(B )03B1~A
a,
B03B1 B03B2 ~ Ø ,
A ,
est
si
on
n
chaîne et
une
une
famill e de boules fermées telle que
B03B1 ~.B03B2 ,
c
B03B2 Pa ,
ou
B03B1 ~ Ø .
H
et par suite
>(1 ) . Evident.
-
Nous allons démontrer maintenant
Pour
de
pour tout
si,
sion
V ~ ? ~
et pour
x
Dour
f ,
est
ou
dans
{F , q)
une
propo sition plus générale
(F , p)
dira ques
espace vectoriel semi-normé
sur
que le théorème
propriété
{K , v) ’
application linéaire de v dans E tel le que
il
existe f ,y application linéaire de F dans
ü ,
p {f {x) ) q(x)
pour
x
dans
°
e
{E , p)
{E , p)
est
a
la
p-sphérique.
propriété d’extension.
complet
d’ extenpour tout
p {f (x) ) ~ q{x)
E
prolongeant
sont
équivalen-
F .
d’ Ingleton (PROPOSITION 4) . - Les propriétés suivantes
tes :
{1)
(2)
vérifie la
f
et vérifiant
THEOREME
cela,
on
SEMI-NORMES ET ENSEMBLES CONVEXES
,-,(.’B
(i)
2) Four
i,,>,i propriétés m,iv*n:;;i; i,,=rt ,J;,ilval:ixtes :
fi) . - _
__ _ ___ _ , . , . , -----~
L~ ’i’l
’,}
t >’,i,’
~’,B-
J.Ut’B-.lB."
1.1
1,
(
-
"
.
st
: ;> :;iç> 1 et .
t
t
B
(,
’.
l
B,
(
.
.(
1
f’ .
’te’
de Hahn-Fenach.
Le corollaire n’est ,i’à"Ji’,-. traduction du
(E , ç.)
=
(i)
-=-
( ..v) .
Cn
en
dans le
cas
particulier
ie
." = ’J >,
i"
h
q
1>:,1 ,
’1’
,....
àe
o’-
xj, l
;;
,i.-:
r
t..
i,-=;=,,
>t
n+-
{x0}
le
ramené à
r:n
est la droite
,1"’B
sera
alors :
particulier, pour tout x e V .
Soit donc la famille des boules de
.
S~
x :
et
x~
donc:
x~
ou x1 ~ Bx2
,ou
z
pour
f(x
si
Alors,
=
x..e
.
?uc~)
=
lemme,
f
B
dans
Posons, pour
_.
=
si
0 , et,
soit
~
y..
prolonge
B / 0 ~
f ;
H
de
Bx .
plus~
la démonstration.
~
.
est linéaire et
si
-
(E , p) ,
il existe
soit
la suite des centres des boules
Bn .)
Bx ~ Ø ,
r
L
vides, dont l’intersection
une semi-norme qui consiste "à placer" x0 =
xn ~
l’unie par :
>
non
(~~)~N
;/
~ . x ~ ~ : ~~2 / / .
f(x) ~ Ay~ ,
p(f(z))
(1 ) . Si,
-*>
~ar s , ~1 :
’
x +
qui achève
(2)
+
(E , p) ,
;
sor~t
-~
.
ce
On va
"":Ir""
Pour tout
-
-.
(z» . Mcyennant une opplication
propriété quand
..
démontrer li
engendrée
theorème,
ii,
_.
x + 03BBx0
vide,
on
(4 , i )
B .
fermées
suite de boule3
une
E _ E
introduit dans
dans
Bn
(En fait,
il
suffit.
avec
E
et
x ~
03BB
~
x
K
Soit
.
de
prendre
K ,
.
J.-P. CARPENTIER
q
e st
semi-norme ;
une
Cependint l’application
linéaire de
tout entier
si cela
on
suite,
F dans E, qui
f , ayant la propriété
eât l’
~
identité,
ne
p(f(z)) ~ q(z) ,
se
car
aurait
aurait f(x0)
on
en
E
et
Bn
E
~ ~
nE~
= {|p(x)| |(
PROPOSITION 6. - Si Mp
stationnaire tend Vers
ment si E. est complet
0
non
°
l’hypothèse.
E} vérifie : "Toute suite décroissante
est complet p-sphérique
si et seule-
x E
(E , p )
",,
contrairement à
Brl
.
la
’.%i>
précédente,
Démonstration.
Np
comme
- ’
--
-
au
plus,
est
-
la condition
--
particulrer quand 0 ,
.
de boules fermées est :
0,
en
_
point d’accumulation de
de’
ou
la proposition
stationnaire,
est
vérifiée,
une
suite
de diamètre tenda;nt
vers
il e st immédiat.
en particudiscrète", et il
manière générale, la
Remarques. - La_ condition de la proposition 6 n’ est pas nécessaire ;
lier,
dans
vn
équivalente
corp s9 elle e st
existe des corps maximalement
condition
ne
par
à valuation dense. De
03C1 ~
0
que si ’
(K ’ v)
est à valuation dis-
le, cas de
(en
Zr
valua.tion triviale), il est facile .de voir qu’elle est équivalente ~à "dans
1
~ [03C1 , 1] toute suite décroissante est stationnaire", donc à " N
crète. Alors si
la
complets
peut être vérifiée
à. "être à valuation
p
est
N
= {03C1n
(
r_ E
N} ~ {0} ,
~
où 0
c
p
1
.
p n [03C1 ,
bien ordonné pour l’ordre
SEMI-NORMES ET ENSEMBLES CONVEXES
La proposition suivante va nous permettre de construire des exemples d’espaces
complets sphériques où la condition n’est pas vérifiée*
PROPOSITION 7. -
(K , v) ,
sur
~°°~’°~
,
,
des
q(x)
p.(x.)
si
y
si
x
~ ~"
où
si
=
donc
y
xi
i~j,
projection canonique
(xi)iEI
et
y~ Par
z ,
suite,
outre,
si
y
=-
tout
i ,
on en
déduit que
on a
y.
u
(yi)i~I
~ F,
B
appartient
iEI
avec
a E
Pour
i
V
i ,
~r~J (B) .
est
fixe,
(Ei , p1),
de
de centre
xi = 0
entraine
p
p ’ et si
y=
q(y -
et
z
p ,
t)
et
Ei
vérifie
p.(x. -
yi)
pour
p
Alors si
B~
est
chaine de boules de
une
F
a ,
Réciproquement,
F
~
f!
une
car
Î~
=
-
à
B
a
z)
p~ (x~ n~ (y) =
Soit
E..
sur
p . On
vérifie
y
~
En
F
q(x -
et
yi
vérifie
z
de
et de rayon
B ,
.
n~ (B) .
z E
201420142014
i . Si
pour tout
B, et
E
la
ni
"
Alors,
=
est dans
p
~
+
de centre
F
=
q(xi - yi)
yi
’
,
,
sup
i~I
Démonstration. - Soit
boule fermée de
car
ensemble
un
~
tels que
sup
=
une famille d’ espaces vectoriels semi-normés
I . Soit F le sous-ensemble de
h E.
iel .
co , et soit, sur F , la semi-norme :
(Ei , pi)i~I
Soit
indexée par
si
complet
(E etp~ de) , rayon
On
a
==>
complet
est
de centre
xi
i~j.
chaîne de boules de
pi-sphérique
(F , q)
si
une
z
,
(F , q)
définies par
p;
x~
=
Ca..
soit
donc :
q-sphérique .
complet
q-sphérique,
et rayon
(E1 , pi) ,
une
chaîne
de
boule;
considérons les boules de
{xi) iEI
où
x~ _
z
et
J.-P. CARPENTIER
D’après
ia
proposition 3 ,
a=G îi
st
B03B1 / yJ ,
donc
(B03B1)
}
:. . "F ’ . î
e
. -sphérique.
complet ppi-sphérique.
est
On peut aussi démontrer
Remarques. -
l’équivalence
/o:
=
propriété
par la
passant
en
d ’ extension
o
Si
~ R+
1.-
_
est
donné,
vérifie
F
diat que
X
(E p ) x
soit
C
q
est
, et
Q
où
,
x
il
Ex
=
1%
et
px
complet sphérique
si
=
xv .
Îi
Il est immé-
l ’ est,.
représentation des semi-normes.
1 .3 .
Le but essentiel de
due à MONNA dans le
ce
cas
est de
paragraphe
généraliser
la
et à FLEISHER dans le
séparable,
8
proposition
cas
ci-dessous,
général ((1 ], [4)
et
j~ j) ~
Si
est
(E , p)
une
est
un
espace normé
sur
est l’ ensemble ordonné des
on
0
qu’vn.e
parties fermées
f i ltre ~ , ~ ei
i~I
(E , p~
est
(E , p)
I
et
J
E
un
des
03A3 I ez
03A6, quand cette
complémentaires
complet
p(e_ j
et si
des
tend
existe estx
p(ei)
part3es finies de
vers
,Si
(K , v)
espace normé tel qua
0
Np
est à valuation discrète et
ait
au
plus
0
{en particulier sl Np Nv ), il existe dans F une
xi
1E1 ; tout x E E s’ écrit de manière unique 03A3
ie I
=
comme
"base
.
pl~~
(e. ) ’ i ieI
I
o
le
existe .
THÉORÈME (PROPOSITION 8) a -tion
de
condition nécessaire pour que
suivant le filtre F
si
est
et si
_
Il est immédiat
vers
w
noter;
limite existe.
tend
(K , z+)
le corps valué
(E , p) ,
famille de vecteurs de
où
point
complet,
si
d’accumula-
orthogonale"
xi E K , et de
SEMI-NORMES ET ENSEMBLES CONVEXES
Nous
ne
démontrerons pas
résultat maintenant puisque nous obtiendrons comme
un résultat un peu plus général, qui peut d’aildémontrer par une méthode analogue à celle de FLEISHER.
corollaire de la
leurs aussi
se
ce
10
proposition
On déduit immédiatement de la
8 le corollaire
proposition
suivant [10] :
COROLLAIRE (PROPOSITION 9). - Si (K , v) est complet à valuation discrète, si
(E , p) est un espace normé complet sur (K, v) tel que Np Nv ’ il existe un
des applications d’un ensemble _ I
isomorphisme de (E , p) avec l’ espace
filtre
des
le
I~
vers
tendant
complémentaires des parties fi0
,
suivant
dans
J
=
s
nies de
muni de la
I ,
norme
Voici maintenant le théorème
.
(PROPOSITION 10). - Soit (K, v)
THEOREME
malement
Soit
un
y
M
un
sous-A-module de
Alors il existe
1°
un
t
et, pour tout
vérifiant
espace vectoriel
ensemble
une
Tf.
2° Pour
vérifiant
E
T
B..
de vecteurs de
projection n.
de
E
semi-normes
sur
non
la droite
nulles de
engendrée
projection orthogonale, c’est-à-dire que, pour
t’ ~, alors t e Ker n., .
p(x) ’ Si
et
tout x dans E ~ p(x)
sup
est
une
E ,
t ,
par
teT
vide et fini pour
et il existe
tout
x
dans
=
201420142014
non
A
s
S ?
est
corps value
ultramétrique, maxi=(x j| x E K,
1) .
semi-normé sur (K, v) , et
un
dont l’anneau de s entiers e st
complet,
(F p)
Soient
généralô
une
partition
"
2014
x~0.
de
T
en
deux ensembles
T.
et
Tp
éventuellement
vide telle que
Démonstration. - La première étape consiste à se ramener au cas où
(F y q) est
espace nonne. Supposons donc le théorème c.’.1 quand
un
nonne.
(E ~ p)
un
espace
est
’
J , _p . CARPENTIER
(E , p)
Soient
est
semi-normé,
espace
N
et
=(x
une
c~ (E ) - ~ , ~ (L~) _
Posons
(F, q) .
ce
.
F
gnons
par ~ t ,
dans
F,
la
sur
un
t
dans
est
un
N
espace vectoriel
dé-
sur
chaque
classe
d’équivalence.
une
module
au
M .
ensemble de
représentants des éléments de T . DésiT , l’application de la droite engendrée par t
droite engendrée par t dans E ; p
est injection canoniengendrée par t, dns F
pour
que de la droite
T
p(x) = 0) .
E,
respectivement les boules unités ferr7I, hI est un A-module de F et
partie T et des projections 03C0t réa-
lisant les conclusions du théorème relativement
Prenons alors pour
E/N
sont
Si
Il existe donc dans
B0 ~ M ~ E1
x E
sur
3
mées et ouvertes de
)1
F =
sait que
est l’application canonique de E
norme sur
F ~ puisque p est constant
norme :
finit
un
9
sous-espace vectoriel de E . On
un
..
Posons alors
p , et vérifions que les conclusions du théorème
~rt ~
sont réalisées :i
p (t) _, q(;~(t) ) q(t) ~ 0 pour t E T ...
~rt est une projection, car TTt applique E sur la droite engendrée par t,
et
t
’~-~ ,~ __ ,~, i~
p(x) .
03C6)(x)) q(03C6(x))
03C0t
3i t / t’ , alors t f- t’ , puisque T est une famille de représentants de T.
=
-
-
C ~
-
0
°
=
°
o
=
-
~
,
Alors
y
°
.Si alors
Par
suite;,
x
si
Q / et P
B
M
mêmes
= ~ (H)
est dans
r ,
~(c~(x) ) -
tE?’q(~r~(~
sont
en
on
a
"
or_
a
bijection. Ce.qui achève
relations montrent que,
(résultant
(x) ) ) ,
du fait que
le ?? .
03C6-1(B1) ,
puisque
r ~~ ,
=
(B0) ,
sont des sous-groupes
‘
le
BQ
.
,
’
.
contenant
SEMI-NORMES ET ENSEMBlES CONVEXES
Enfin si
de
T
T :
admet la
partition
et
on a
T~
et
T1
en
(E , p)
Nous pouvons done supposer maintenant que
Nous dirons
qu’une partie
On
fini,
a
(a)
a
est
propriétés immédiates
a la propriété (rr),
0
=
0
pour tout
pour tout
(b)
une
tous nuls sauf
et
suivantes
un nom-
s
de K ,
p
étant
tous nuls sauf
On
sorte
Quels
X
parties
de
... ,
0,
~C~
E -
(Tr) ,
T
une
a
la
propriété (~7),
e ~ , ... , en E Xi
en} ,
propriété (n)
l’axiome de
maximale
une
propriété équivalente
d’orthogonalité (cf. [4] et [5]).
peut donner
de
différent de
x
vérifiant là
E
partie
d’abord déterminer
Tl ’ puis
Tl
queso ient
{ eZ ,
et
une norme
indépendante : si
un nombre fini, et
c’est manifeste. Donc l’ensemble des
vérifiant
allons
nous
partie
x -
s
partie
Remarque. -
e E
K
propriété (n)
propriété (rr) est U-inductif, et, d’après
ainsi que
Une
x ;
L’union d’une chaîne de
pour toute
prime
E
que
on
x .
fie aussi la
fiant la
espace normé.
un
elle est linéairement
famille d’éléments
unP
p(À x x)
Àx
A~
est
lapropriété (r) , si :
E -
Si X
(03BBx)x~X
=
partition correspondante
on a
les deux
donc
de
X
famille
Pour toute
bre
soit la
~T~ ,
s
si
.
Zorn,
il
existe,
la contenant. C’est
T
de l’énoncé.
à la
propriété (rr), qui
r
l ~ ~ ... , 1n
on a
véri-
parties véri-
E
K ~
et
ex-
J.-P. CARPENTIER
En
(n)
effet,
(0)
(n) . -
==>
Sinon,
soit
nuls sauf
Soit
tel
est
évident.
famille
une
( ~x) xE~ ;
xp)
que
si tous les
soit maximum
nombre fini. On voit alors que
un
l’égalité qui
d’où
(0)
==>
(0),
On voit que
y
nuls,
sont
Àx
ona
x) , qui
parmi les
sont
.
démontre
(rr),
donc
entraîne immédiatement que
X
est
topologiquement
sur
le corps résiduel
libre .
k
(PROPOSITION Il). est un espace
M/BO est un sous-espace vectoriel de
tion
canonique de
sembliste)
Bl
vérifie
B1,B0 ,
sur
(n),
sous-ensemble
X ~
B, - FO (différence
est linéairement
si et seulement si
Démonstration. -
Soient 3 =x. l
l’application canonique
de
est évidemment
un
A
x
est le
B1 --~ F~
est nulle sur J
x
B1
et
à
en-
indépendante
et la
produit de
A
x
B0 ,
A
x
Bl
-
dans
et
T
=
désignera
qui définit
obtenue A
x
Bi
~"’
factorise de manière unique :s
se
le
produit
k
x
est immédiate.
applique
Bl
k
produit, considérons
L’application
et par suite
Ce
x
1) ,
groupe. Pour définir le
vérification des axiomes
Comme
K,~xjl
x E
A~~ .
sur
A x
A
un
est
Si 03C3
k ...
sur
où
vectoriel
K .
de
A
x
M
dans
I~ ,
étant manifestement
k
applique
x
un
sous-groupe, est
un
espace vectoriel.
Soit alors
tels que
2XEX
X ~
hX
"
B1 - Bp
a(x) =
vérifiant
0 . Par suite
(n).
Soit
hx x)
XEX
E
1 , puisque
k
avec
sous-
SEMI-NORMES ET ENSEMBLES CONVEXES
Or
x)
(rr) , donc, pour tout x ,
1 , donc
( ~ 1 pour tout x , et
linéairement indépendante.
vérifie
X
on a
est
Réciproquement,
°
sauf
~
linéairement
Soit
Xx
=
comme
0
x E
Àx
ne
sont pas
Bl 7~x sont nuls
un
B x~G tel
nuls,
soit maximum.Alors
)
x :
X C
et où tous les
si tous les
B1 _
pour tout
indépendante (et
où
Considérons,
nombre fini.
un
que
o(x)
supposons
On a
’
1 , et,
=
A
L ’T
XEX
( ~%
0,
XO
et par suite
,
~
L’égalité p ~, ~ ~ x) =
x).
sup
est d’autre
part évidente quand
A~ _ 0
.
pour tout
x,y donc
Nous choisirons pour
=
a (M)
sur
Tl
Tl
k :
F
qui achève
ce
famille de
une
la démonstration du lemme.
I-i
représentants dans
(n). Soit
vérifie donc la propriété
les ensembles vérifiant
par
(n),
vérifie
X
et contenant
le sous-espace vectoriel de
E
Posons
T~ .
engendré
T2
T :
par
T -
=
T
d’une base de
T
maximal parmi
et
Tl ’
est donc
désignons
une
base de
F .
Définissons maintenant les projections
engendrée par t , défini par
Soit d’abord
r,.rt (t ) -
dans la droite
si
x E
F
s’écrit
= l
Àt"
~t (x) _ Àt
x
t , où
teT
famille
finie,
on a
t . Par
Àt
"
E
K ,
avec
y
appliquant
0
t,y
tous les
Àt"
si
F
t’ ~
nuls sauf
t~
une
suite,
pour tout x dans F . K étant supposé complet
de dimension 1 ~ le sont aussi, en particuvectoriels
sphérique, tous les espaces
Il
s’ensuit
t
.
la
droite
lier
qu’il existe une application rtt de
engendrée par
On
a
E
dans la droite
donc
pour tout
x
dans
engendrée
E . Il
par
ne
t , prolongeant
reste
t
plus qu’à vérifier
et vérifiant
les conclusions du théorème:
J . -P . CARPENTIER
1° Nous venons de
dans
les
E ,
nt, (t) _
propriétés
2°
(avec
Puisque
At
et
un
Si
Àx
qu’il existe
t :
est
nt
une
ou
x
une
T
u
~xs
vérifie
p(x) ;
est
Àt
non
nul).
Donc
l’inégalité supposée
9
(rr),
dès que
0 , donc x ~ 0 .
+ L Àt t donné, envisageons
t)
sinon
finie) entraînant :
famille
nombre fini de
y
deux
x
vérifie cette
inégalité :
cas :
t~T
-
pour tout
projection ayant
t
tel que
t
a, pour tout
on
Montrons que
>
p(x)
telle que
pour tout
tous nuls sauf
(puisque seul
absurde,
p(x)
construire nt
t’ ~ t ,
pour
voulues.
Nous allons montrer
.
0
pour tout
t,
et
alors,
si À
=
0 ~y
on a
est
SEMI-NORMES ET ENSEMBLES CONVEXES
et l’on
-
a
l’égalité,
ou
t) ,
sup
p(( 1 7tt t)
alors
t)
=~ sup
et
d’après l’égalité ultramétrique...
T
u
comme
t ,
~x~
est
partie
partie vérifiant . (n)a
un;
maximale vérifiant
est absurde :a il existe
Montrons
que seul
Sinon, pour
un
E
T
l’hypothèse p(x)
que p(x) =
tel
y
des
Àt
nuls
nombre
un
fini,
correspondant à
p( ~ - ~ J~t t) > p (x) ,
tET
il s’ ensuivrait que
et
pour tout
>
et par suite
p (rrt (x) ) - p (x)
réalise
t
tous nuls sauf
toujours
T
ceci contredit la définition de
donc
nombre fini de
tout
et il y aurait
t
(~r) ,
des
donc,
quand
on
aurait
t
tels que
comme
x ,~
0 .
ci-de.ssus,9 que
"
vérifierait
3°
(n) ;3
donc il n’existe
Bi = ~x1
simplement ;
x E
qu’un
1 ,9
E,
la même relation entraîne
tandis que si
V t
E T ,
à l’un des
Enfin montrons
que’
nombre fini de
V t
E
T~
t
E
T
tels que
résulte de
r
1 ,
on a
p(x)
1 , puisque
p(x) est égal
J.-P. CARPENTIER
~
(avec toujours
tous nuls sauf
fini),
nombre
un
et
comme
1
1
on a
pour
car
t
T2 ;
p {x) ~ 1 ô
soient
t
=
T~ .
1
qu’un
t, ,
tn
... ;
t E
pour
nombre fini de
t
1
et
Tl
p{nt{x3~ _ 1 ,
tels que
Tl
E
éléments de
ces
,
t p t. ,
pour tout
et que, pour
E
tel que
E
il n’existe
E
puisque,
t
pour
Soit maintenant
t i
y
n
Si
-
(x) ,
x - ~
y =
Nous allons
ye
"
1
1=1
p (ti) _
puisque
on a
en
dans la deuxième
1,
tl
OE
M
entraîne
M ,y
et
x E
Hi ,,
~1" tl~ avec
~rt , (x) =
comme
1
ce
qui achève
démonstration.
la
déduire le corollaire suivant (d’autres corollaires seront donnés,
partie,
en
utilisant
i~i ) .
module
un
>
(PROPOSITION 1~) . - Soient (K , v) un corps value complet, à
discrète, et (E , p) un espace vectoriel norme sur (Kv)) tel qv,e
COROLLAIRE
tion
suite strictement
une
valua-
toute
y
base
x
logie
de
vers
0 p alors il existe dans
de vecteurs
x = 03A3 x, e.
p)
.
tend
N
tende
orthogonale, c’est-à-dire une famille
~ E
s’ écrive de manière unique
tout
complet
décroissante
de
où
xi
e
2014 i
K ,
avec
0
outre
2014201420142014201420142014201420142014
si et seulement sis
vers
en
"
Z x1 e1
p(x) =
au
sens
p(x, e.) . De
sup
iEI
existe" est
~
suivant le filtre de Fréchet de
(somme
i
i
E
telle que
de la topo-
est
E
plus,
2014
20142014201420142014
équivalent
à
"
p(x, e.)
~
~
I ".
.
Démonstration. - Nous allons reprendre partiellement la démonstration de la pro-
position
de
E
10.
sur
Ayant choisi T ,
nous
vectoriel
l’espace
plet p-sphérique.
allons choisir la
T
famille
des
projections mt
de la manière suivante : soit
engendrées
fermé engendré
par
t
par
T , d’après la proposition 6,
Soit alors
une
les droites
;~
e
"pro j ection orthogonale"
de
E
F
sur
F
est
F :
SEMI-NORMES ET ENSEMBLES CONVEXES
x
si x E F , et p(cp(x)) ‘ p(x) pour tout x E E . Définissant
~t comme
précédemment, on pose : 03C0t 03C0t 03BF co :i 03C0t est une projection de E sur ?-a droite engendrée par t, prolongeant
~t et vérifiant p (rrt (x) ) ~ p (x) pour tout
x e E . Ce qui a été dit précédemment reste vrai, et il en résulte que
c~(x) _
=
0
e T ,
F = E
injective, donc
est
cp
~> b t
p(x) =
==->
et
0
===> x
=
0;
est total.
T
Le corollaire résulte alors du lemme suivant :e
(PROPOSITION 13). - Soit (E , p)
espace vectoriel norme
un
(K, v)
sur
y
complet et- ultramétrique. Si T est un système total, vérifiant (~r)
de E, T est une base orthogonale. Réciproquement, une base orthogonale est un
système total vérifiant (rr) . De plus pourque E , admettant une base orthogonale,
corps value
.
soit
complet,
il faut et il
de Fréchet de
entraine
"
T
suffit que
’s
201420142014201420142014
201420142014201420142014201420142014
~
tET
Démonstration. - Soit
t)
" p(03B t
htt
tend
engendré
E
étant libre, on peut définir dans F la projection t~t
r
étant le symbole de Kronecker. On a, pour x E F,
~
x = 03A3 03C9t(x)
te T
.
part,
définie
nombre
étant complet et
K
D’autre
en
un
sur
E On
e
entrons que pour
E ,y
F
a encore
on a
=
E
F
tel que
~t(~) ~
Il
en
et
(1 )
et
0 . Pour
résulte
9
p(x - y)
t
dans
e .
E ,
on
(2) entraient
vérifiant
T
x = l
Soit
>
E
"
l’ensemble
des
’
T ,
~ ,~ donc
i
que, si
T ,
0
T’
fini,’
t
de
y
T
somme
où
continuité
p(x)
Soit
o
t ,y
(n),
peut prolonger par
que :t
pour
~
par continuité
tET
y
et
fini,
T
par
r~t (t’ ) _ ~ t
par
&t
tous les termes sont nuls sauf
suivant le filtre
2014201420142014
le sous-espace vectoriel de
F
0
vers
existe".
t
fixe,
T
pour
x E
il existe
tels que -
E.
J.-P. CARPENTIER
représentation
La
mais, si p(x)
T
de
0 ,
=
tel que
est
x
on a
unique,
i’
car
3
(_L - ~
p
si
x
= ~
~.
p(x) ~ 0 ,
tandis que si.
p (x)
9
~+(x)
t ,
-=
t .
À.
Enfin,
T’
il existe
fini,
dcnc
tE T’
et l’on
l’égalité.
encore
a
Il est évident
pendant
propo sition
déjà
On sait
"
traîne
qu’une
base
orthogonale
est
système maximal vérifiant (n)
16.)
un
y
t
03A3 Àt
t)
complet, "
existe". Supposons que"
que, si E
système
un
(n). (Ce-
total vérifiant
n’est pas nécessairement totals voir
est
tend
t)
tend
suivant S
0
vers
vers
0
Cauchy
de
"
en-
suivant S "
L
.
entraîne
" 03A3
t
At
médiat que
est
qui
t
Soient
pour tout
t i
on
t
complet
T’t
0
>
fixé,
est
un
t~
‘?-’
suite de
suite de
n ,
xt
m
’rr.(x~)) ~ e .
’’
voit que
une
une
vecteur
tel que
N
Cauchy qui
entraîne aussi
vers
T’
n ~f soit
pour
suivant F ,
m
N
12 est
On
mais tout
x e
E ,
démontrée,
existe) ;
t)~ e .
donc
1
aux
notations
p(x) = ~’~ ,
et à identifier
de la semi-norme nulle, et le
toujours.
près,
avec
la famille
peut évidemment énoncer une proposition analogue
revient à appliquer la proposition ci-dessus à
marque est valable pour d’ autres
pas
On a,
tel que
.
t
existe.
T
comme
~-
Remarques.. =~x ~
fini,
>~ T~ ~y
donc que
plus,
y
dans ~t ,
puisque 03A3 03C0t(xn)
£
0
converge
p(xn - x~) ~. e .
entraîne
> T~j
Fixons
,
tend
E . Il est im-
t .
(c’est possible,
entraîne
proposition
i~~
et
t e Ts
démontre que
De
fixé,9
K,vers
comme
x
et soit
existe",
"
teT
produit
propositions
E
à
x
paragraphe)
et
E
semi-
est
norme,
où
où
N
de la semi-norme
du
pour
"âupt’ . Cette
nous ne
re-
la ferons
SEMI-NORMES ET ENSEMBLES CONVEXES
La
_
condition, portant
triviale, à ~i
luation
n
Np
équivalente, quand (K, v)
est
N,
sur
y
(p , 1)
est bien ordonné. Les
n’est pas à
va-
propositions ~ et 9
conséquences immédiates de la proposition 12. Les conditions données ne
sont pas.nécessaires 3 nous allons établir l’existence de bases orthogonales dans
d’autres cas (voir cependant les remarques à la fin du paragraphe). Les propositions 14 et 15 sont dues à MONNA ([4] , [5]), mais nous avons remplacé dans 15
l’hypothèse "séparable" par "admet un système total dénombrable" qui est seule
utile, et n’est équivalente à la première que si K est séparable.
sont des
PROPOSITION 14. -
norme
sur
(K , v)
Soient (K , v)
n
telle que si
x
=
201420142014201420142014201420142014
Il
en
résulte
maximalement
finie ;9 alors
de dimension
avec
i=l Ai
~ ei~- , 201420142014~i~
(E, p)
est
y
=
p (x - ~ ~ r~ (x) ) _
complet p-sphérique.
0,
et l’on
a
x
.
suite,
pourra,
en
déduire
ce
sauf la dernière
résulte, elle
9
E
E ,y
ce
assertion, résulte de
proposition 7, avec
une
.
qui démontre
la
de la
dernier résultat pour
de la propo-
T
t e Tt
T
que
"
t ~
La dernière assertion
système
le
e
x
1
=
teT "
E . La
E :t
2014201420142014
Démonstration. - On prend pour e , e~ ,
y
10, qui, étant libre, est finio Pour tout
engendre
base de
Kon ait
sition
donc
une
~
~.
que
(E, p) un espace
complet,
il existe
semi-norme. On
proposition 13.
(On
E. = Ke..
peut aussi voir
di-
est maximalement
complet, et E de dimension finie, toute
suite emboitée de A modules non vide de E, a une intersection non vide : on
raisonne par récurrence sur la dimension de E , et on projette sur un hyperplan.)
rectement que, si
K
y
Remarque. F
Si
supplémentaire
(E, p)
de
N
est seulement
dans
en
de
Le résultat suivant est
une
une
base
J +
~
... ,
E ,
N
on
semi-normé,
trouve
une
telles que
généralisation :s
x E
base
en
appliquant
e~ , ....
E s’écrive
,,
x
le résultat à
ej
F
de
= 1-1
~ ~1
e~
-
et
et
J.-P. CARPENTIER
15. - Si (K, v) est maximalement complet, et si (E, p) est un
normé sur (K, v) admettant un système total dénombrable, alors
famille de vecteurs_de E ,
( e.. i ) 1EN , telleque tout x de E
PROPOSITION
espace vectoriel
il existe
une
s’ écrive
x
on
= 1
unique, avec
de manière
x. e.,
p (x)
=
sup p
la même condition nécessaire et suffisante pour que
a
proposition
{xi e1). ’
En
soit complet qu’à
E
la
12.
Démonstration. - Puisque
E
admet
201420142014201420142014201420142014
système
un
dénombrable,
total
on a
.E
=
.
où
est
E
sous-espace vectoriel de dimension’ finie de
un
Nous allons construire
Soit donc
i
la
n -
Tn-1 est
des
T ,base
1 ,
base de
T1
E. ,
peut prendre_ pour
on
est par suite
T
s
de
Tn
une
~
base
{~r), puisque
cette
et par suite
un
les
résultats des
Exemple. une
base
T
03A9p, étant
orthogonale
la clôture
Q.
sur
a
On
algébrique
ne
pour
1 ....n - 2 .
=
démonstration de
(n)
de
et
L’existence de la suite
= UT;9
T
T
est
On
est
un
un
ensemble
système
total
peut alors appliquer
le théorème.
Qluiest
peut cependant
’
’
construite
propriété est U-inductive.
système vérifiant {~r) maximal.
propositions 10 et 13, ce qui démontre
U
~ En
n
En+1 ~ E .
T .
ensemble maximal vérifiant
~
E ,
dans
de manière que
orthogonale.
-
vérifiant
,
avec
E ;
un
est donc démontrée par récurrence. Soit
T
,
E,
i
1 pour
$ revenant à la
avec
(rr)
ensemble vérifiant
un
proposition 10,
contenant
orthogonale deE
orthogonale de
Supposons
base
9
1 , . CI.,
=
Alors
outre,’
séparable,
appliquer
la
donc admet
proposition
12.
Remarque. - Nous allons voir, qu’en quelque sorte, les résultats obtenus
positions 6
pas
toujours, même
Pour
.
et 12 sont les meilleurs
cela,
si
(K , v)
remarquons d’abord que si
S C
il existe des espaces vectoriels normés
{ 0~ ’
Pour tout
on
aux
pro-
même temps, qu’il n’existe
est à valuation discrète, de base orthogonale.
possible, et,
R
est
(E, p)
définit
en
(Es , p s)
donné, vérifiant
tels que
comme
Np
étant
Nv S ~ S ,
S .
=
K
muni de la
norme
.
p~
=
pour
sv ;$
on
considère dans
lequel p
(x )
tend
Es
0)
~
vers
0
q(x)
E
S
’F
des
suivant le filtre de Fréchet
et que
F
S
=
rm
de 3 - (0) . Pour
~
.
~~
a~’- ~
Il est évident que
,
le sous-ensemble
N.
.
B
SEMI-NORMES ET ENSEMBlES CONVEXES
PROPOSITION! 16w -
étant maximalement complet)
K
on a
l’équivalence
des
pro-
suivantes
priétés
(1) Dans S, toute suite strictement décroissante tend vers 0 J
(2) Tout (E , p) complet, tel que Np = S , est complet p-sphérique ;
(3 ) Tout (E , p) , tel que N 3 admet une base orthogonale.
=
(2)
(3)
(1)
(1)
====>
Pour
achever,
===>
LEMME
est la
est la
nous
proposition 6.
proposition 12.
utiliserons le lemme suivant :
(PROPOSITION 17). et telle que
(E, p)
Si
S = N
orthogonale,
n’estpas conplet p-sphérique.
démonstration * - Soit
2014’~~"*~~~~**~~2014-
on
peut
~
ne
p
est
la base
~
supposery
croit strictement
(1)
n’étant pas
sans
tendre
un
espace
norme, admettant
vérifie pas la condition
orthogonale.
une
base
(1 ) ci-dessus,
E
Comme
vérifiée, que I :~ I~ et
0 , en remplaçant s’il
vers
que
dé-
le faut les
pa.r
des vecteurs colinéaires.
la boule fermée de centre
De
B
P (en+1 )
. Il est évident que
est emboitée.
Supposons
x
n=1
s’écrira
P ten+1 ~ ~
p(n-
égalité qui
ne
et de rayon
et que la ?uite des boules
pour
x
f
tend pas
montre que
on
déduite
e st vraie pour tout
vers
tl
0
k ,
par
n
projection
sur
Bn = Ø :
n’ est pas
pour
k ~ n ,
étant arbitraire. On vo it que
suivant le filtre ,de Fréchet de
E
Kek ,
T ,
ce
Bn
B ,
p(Ai e1)
et
qui est absurde,
complet p-sphérique.
Revenons à la démonstration de la proposition 16 ::~
non
(Math.
(I )
==>
non
(2} , puisque l’espace
construit ci-dessus tel que
Nq
=
S
J.-P. CARPENTIER
admet manifestement
une
base
plication canonique
de
E
Pour montrer que
S et
s
non
E
orthogonale formée des images de
Il
E00 .
1
e
E ,
l’ap-
par
dans
.
(1 )
==>
(3) ,
non
(E, p)
il suffit de construire
tel
y
E
n’admet-
lemme,
complet p-sphérique ; d’après
orthogonale. (Ce problème est lié à celui de la recherche d’un
sur-espace vectoriel complot sphérique d’un espace donné. Ce dernier peut être
traité par des méthodes analogues à celles utilisées par KAPLANSKY pour les corps,
mais qui n’ont pas été développées à ma connaissance et qu’il serait trop long
d’exposer ici. Il suffirait alors d’appliquer les résultats obtenus à (F, q)
Np
que
=
que
soit
le
tra pas de base
ci-dessus. )
construit
norme par
X
p(x) = sup
~x ~} x e E , p(x) e
=
On
(x ) .
pS
y
y
F ~ E
a
p(x) = q(x)
et
s
F
on a
~-
X ~ E . Soient alors
x E
pour
H
un
F . Si
espace vecto-
H -- X , et r la restriction de p à H ;3 on a
maximale vérifiant
S =
S =
S
,
donc
Nr . Montrons que (H , r) est complet r-sphérique,
Nr ~
démonstration. Supposons le contraire, soit une suite de boules
qui achèvera,
fermées emboîtées B
de H , telle que
= ~ . Bn étant de centre xn et
n
riel
.
~
de rayon
s.
Bn
soit
r ,
= Hr
Bn
n
et,
sphérique,
il existe
il existe
n
constant
On
en
H ~ H
sur
comme
x0
E
d’après
n=i F~ .
tel que
0 ~ Bn
Én
ce
+
V.r,
+
X ,
H
+
proposition 7, (E , p)
y dans H ,
y Par
o
suite,
on
a
aussi
est
n=J,Bn~
0 ~ Bn
+
complet
+
p-
y = jB ;
y , et
p
donc
est
qui entraîne
déduit que, pour tout B
+
la
Pour tout
Kx0 ~
H ,
K
et
qui
est
dans
ce
y
dans
absurde,
H ,
H
+
y)
e
S
et que
étant maximal.
Remarquons enfin que la condition (1 ) ~ donc les autres, ne peut être vérifiée
que quand K est a valuation discrète, pour un S tel que l~v S ~ S . De la pro(compléposition 17 et de l’exemple suivant la proposition 15, on tire que
p
.
tion de la clôture
algébrique de Q )
n’est pas maximalement
complet.
(Math. Semin. , 1 )
Séminaire
Initiation à l’Analyse,
4e année, 1964/65, n° 7b, 33 p.
11
SEMI-NORMES ET
février 1965
CONVEXES DANS UN ESPACF VECTORIEL
VALUE ULTRAMÉTRIQUE
SUR UN CORPS
par Jean-Pierre CARPENTIER
Deuxième partie
Ensembles
Cette deuxième
notion de
convexes
partie est consacrée
convexe
dans
un
dans
un
espace vectoriel
propriétés algébriques des convexes. La
sur un corps value ultramétrique a été
est d’exposer, de généraliser,parfois de
aux
espace vectoriel
introduite par MONNA [6] (*) . Notre but
rectifier les résultats donnés par MONNA, et d’en
apporter quelques autres.
le § II.1 une définition équivalente à celle de MONNA. Nous
§ II .2, le problème des jauges des convexes, et les résultats
obtenus sont appliqués, dans le § II .J , à l’étude de la structure des convexes.
Dans le § II.4 sont définies les notions d’enveloppe convexe, de segment, de sépa~
ration de deux points par un hyperplan, tandis que le § II.5 donne des théorèmes
algébriques de séparation des convexes. Une troisième partie abordera l’étude des
convexes dans un espace vectoriel topologique.
Nous donnons dans
étudions,
dans le
première partie :
ultramétrique.
Notations. - Ce sont celles de la
(K, v) désigne
-
A ~ ~ x ~(
{ xi
-
- ~
x E
un
corps valué
v (x) ~ 1 s
v(x) 1 ~
K,
=
est le corps résiduel de
E ~ ~i’ désignent
-
II.1
nous
espace
sont
ceux
l’espace
des entiers.
K9 l’indice de
K
sur
est
A,
et
k
=
A/~
card k .
K...
convexes.
limitons dans
ce
qui
suit à définir et à
K. On définirait et
étudierait
étudier les
convexes
dans
un
peine les convexes dans
affine, mais ce serait alourdir inutilement l’exposé puisque ces convexes
de l’espace vectoriel obtenu en choisissant une origine arbitraire dans
espace vectoriel
un
son anneau
est l’idéal propre maximum de
des espaces vectoriels
Définitions des
Nous
est
sur
sans
affine.
(*) Les chiffres entre crochets renvoient à la bibliographie placée à la fin de
la troisième partie.
De plus, les références aux propositions 1 à 17 renvoient à la première partie.
J.-P. CARPENTIER
C ~ ~’
pour tout entier
est convexe si,
n
,
,Bz ,
Ann
... ,
~ A
vérifiant
201420142014201420142014
2_
i=1
et
n
x~ xz
n
1 , on
03BBi
i =
201420142014
i=1
03BBii xii
E
E
...
C~
C .
Exemples.
Toute sous-variété affilie est
Toute boule d’ une semi-norme
convexe.
ultramétrique
e st
si
convexe :
n
pour
x1 ,
... ,
4
xnn
E
B1 (resp. 1! )
et
f
linéaire
03BB1 ,
¿
Àn ~
... ,
vérifiant 03A3
A
03BBi
J. = 1 ,
on a :
En
x
de
particulier, si
E, vérifiant
est
une
r
forme
E , l’ensemble des éléments
sur
i f (x) ~ ‘ r ),
(resp.
est
convexe.
PROPOSITION 18 .
(a)
(b)
L’intersection d’une famille de
convexes
est
convexe.
La. réunion d’une famille filtrante croissante de convexes est convexe.
La démonstration est évidente.
Soient
E
F
et
des espaces vectoriels
sur
K ,
et
de E dans F .
PROPOSITION 19.
(a)
(b)
Si
E
Si
F
Démonstration.
est convexe,
est convexe,
f(Cl)
est
convexe.
est convexe.
f
une
application
affine
SEMI-NORMES ET ENSEMBLES CONVEXES
n
n
étant
CI
03A3
et
convexe
E
hi xi
on
a
E
C~
03A3
03BBi yi
=
f(C1) ;p
f (C, )
est
con-
vexe.
qui est élément
de
f(x.)
puisque
pour tout
et que
i ,
est
Cz
con-
vexe.
(PROPOSITION
COROLLAIRE
C
On
aC
et
+~ x
applique
sont
le
20). - Si C ~
E
est convexe,
K , alors
x E
conv exe s .
(a)
de la
proposition précédente
à
une
translation
ou
à
une
homo-
thétie..
PROPOSITION 21.
(a)
Si
Ci est
dans
Ei .
(b) Si C~ et C2
convexe
dans
alors
vectoriel
l’espace
fiC,
est convexe
tel
sont
C~ + C2
dans E ,
convexes
est
convexe
dans E
°
Démonstration.
(a)
t!~
En effet
C1
19.
(b) Ci
(x , y)
+
est
C~
x +
---~
y . 0n
PROPOSITION 22. - Si
c’est
un
l’image
C ~ E
Démonstration. -
Si
C
est
x.
un
de
C1
et
0
x
applique
les
l’application
proposition 19.
C~
par
et la
C
C ,
e
on
est
convexe
propositions
de
E
x
E
18 et
dans
E :t
si et seulement si
E .
est
C , puisque
convexe
C,
E ,
donc
et
et si
1 - A~ - À2
sous-A-module de
est élément de
et
y
applique (a)
sous-A-module de
donc élément de
= n
iE I
E
pour
C
est
A
et
x1 ,,
a
7~1 , 7~z E A ,
y
on a :
Àl + A2 + (1 - ~1 - ~~) - 1 .
n E C et 03BB1 , ..., 03BBn ~ A ,
°
... ,
fortiori
convexe.
J . -P . CARPENTIER
(PROPOSITION
COROLLAIRE 1
E
A-module de
Démonstration. - Soit
donc
un
donc
x
2 3 ) . - ,Si
,
dans
x
un
C
C
dans
x
x
l~I
=
C
Si alors
.
E
=
un
vide, il
convexe non
C -
C ;$
sous-A-module, etC = x +
- x’ + î~_
î‘I’, x - x’ + 0
est
x’
=
existe
un sous-
M’ ,,
x+M=x’
on a
x’ =
x +
0,
+M" ~,
.
toutes celles définies
unique :s
n’est pas
contenant
un convexe
+
rZ - NI -
et
,
Remarques. - La translation convenant
par
est
dont il est le translaté.
N,
unique,
conviennent.
.
,
On voit que les
sur
convexes
présentent
se
des sortes de
comme
COROLLAIRE 2
A
~3
avec
soit
(PROPOSITION 24). - Pour que
de
C
,
et
x~ , x3 .éléments
x.
=
i=1 1
1 ,
f
ait
on
convexe, il faut et il
Réciproquement,
si
car
xl x2
par
soient
y 1 Y2
,
E
E
x0
et
est élément
et
E
(Voir
aussi
9
A ,
?-I - C -
II.4.)
propriété.
cette
a
est un sous-A-module de
M
xO.
a
on
est
z
Remarque. - A.
priété exprimée
celle que
nous
élément de
[6]
C ,
et
cas
proposition
archimédien que dans le
est
un
corps value et si 03B1
Si
E
est
un
espace vectoriel
E R+
sur
(co
Àn
vérifiant
Z À. =
i=1
1
et
cas
>
(K,v) ,
est convexe, si : Pour tout
K
.
convexe
C de
E9
M .
la pro-
Cependant, l’intérêt
de
donnée est d’être la traduction immédiate d’une définition
K
E
i
appartient à
A~ y2
22.
donne
Si
... ,’
+
définition d’un
avons
I.1.1),
À1 y~
comme
valable tant dans le
où
x2 -
’
par le corollaire 1 de la
F. MONNA
=
y2
et
‘
suite,
Àl ’
E
~~ , AZ
C .
2014
est convexe, il
C
éléments
7~1 ~ ~2 _~ À3
élément de
x.
la définition.
Démonstration. - En effet, si
E ,
3~ .
i=1 1 1
proposition précise
Cette
affines"
k .
l’anneau
suffit que, pour tout
de
"sous-espaces
n,
et
ul tramétrique .
0),
a
=
posons, pour 03BB1 ,
cpv
(voir 1ère partie,
C ,
... ,
N (~ hi~ ) ~
1 ,
... ,03BBn ~
on a
et
K:>
SEMI-NORMES ET ENSEMBLES CONVEXES
C’est
effet manifestement notre définition dans le
en
il est manifeste que cette notion
part,
ne change pas si
on
équivalente
positifs,
or
si
cas
K
sur
l Ai ~ _
1 ,
difficulté à la définition
sans
est
K
un
A
discret,
corps
ultramétrique. D’autre
topologie de K : elle
que de la
v
et l
1
=
enfin que, si
Remarquons
la valeur absolue
remplace
qui ramène
ce
dépend
ne
une
par
valeur absolue
réels et
sont
les
connue.
K ,
=
et les
sont
convexes
seulement les variétés affines.
La
suivante décrit les
proposition
et par suite
K ,
l’importance
au
ceux
boule
est
qui
est
une
un
contenant
convexe
(ouverte
boule
espace vectoriel
comme
1
dont. nous
sur
verrons
Enfin,
ou une
boule,
Liaison entre
Voir C ~,~ .
c’est
une
’
K , ~ ,
sont
convexes
C
0 ,
est
d’après
comme
A-module,
un
union de boules
est différent
C
convexe;9 c’est-:t
II.2
si, et seulement si,
est convexe
K .
fermée)
ou
si
K
K
la remarque sui-
convexes.
entier.
c’est
K
ou
fermées,
ou
vant la définition des
C
de
partie
fermée, ou ’/J,
ou
Les boules ouvertes
Si
de
Il.4.
PROPOSITION 25. - Une
ouverte
convexes
des espaces vectoriels de dimension
ou
semi-normes et
donc
C
=
A.C
concentriques,
=
U xA
x6C
sauf si
il est translaté d’un tel
K .
convexes :
Jauges
des
convexes.
~
,
.
DEFINITION. - Si
de
E ,9
il existe
est contenu dans
B
I~:
tel
PROPOSITION 26. - Si
0
et engendre
On
a vu
cette
que pour tout
est convexe,
À
C
est absorbant
B
vérifiant ) A ~1
absorbant est
si, pour tout x:.
~. N ,, on ait x E ~.A .
équivalent
à
C
contient
E .
précédemment
triques étaient
C
E ,
que les boules ouvertes
convexes.
Les résultats
proposition. Remarquons
qui
fermées des semi-normes ultramé-
ou
suivent vont donner des
que les. boules ouvertes
ou
réciproques
fermées de rayon
non
sont absorbantes.
THEOREME (PROPOSITION 27). il existe au moins
une
Pour tout
semi-norme
C
convexe
ultramétrique
p
contenant
telle
0
et
de
nul
absorbant,
J.-P. CARPENTIER
et
l’ensemble
ment minimum
(J)
fiant
des semi-normes vérifiant (J) possède un élément maximum et un élé(pour l’ordre déduit de celui de R ). Toutes les semi-normes véri-
équivalentes.
sont
,
DEFINITION. -
,
étant
C
un convexe
absorbant,
C
de
appelle jauge
on
toute semi-
ultramétrique vérifiant (J). (En particulier, il y aura une jauge maximum
jauge minimum d’après le théorème, pour un convexe absorbant donné.)
et
norme
une
Pour étudier
Remarque. -
opérant
absorbant,
en
dérant
comme
C
un convexe
d’abord
partie
~x 1
p(x) ~
,
)
C ~
1 p(x)
sup{|03BB||1 x ~ 03BBC}
sont des semi-normes
engendré par
tive], on a
~
-
valeurs
(0
prises
p(~-) ~ 1,
on a
Çf
on aura vu
et si
x E
et
x
ÀC
et
Alors si
a
x E
7~C
est
pl
AC~
pour À
une
sont donnés
y
y E ~C ,
on a
et
y
E
XC ,
donc
e
K
C
est
consi-
p(x) ~ jB) .
.
>
et donc
1
que
K
est
dense,
de
K*
sur
dans
le groupe
y
en
surjecremarquant que
Or,
p1 (x) >
E
multiplicatif
groupe étant
ce
a
o
avec
p~ (x) _
on a
définissent une "coupure" sur l’ensemble des
(cf. proposition 22). Il suffit donc toujours
semi-norme.
x +
est à valuation
K
donc
Ces deux résultats s’obtiennent
~~ j[
en
-
1) [l’application
p
par
où
(J).
on a
C ,
qui vérifient (J).
etj.)~ )~
de vérifier que
au cas
C ~ puis
..
p2(x) _
x E
~
BC} .
est à valuation discrète à valeurs
K
p
vérifiant
si
x =
Remarquons alors que si la valuation de
tandis que si
0
p
démontré quand
sera
ramènera
semi-norme
1) ,
Puisque
Le théorème
une
1} ,
C c
Puisque
on se
l’espace vectoriel qu’il engendre.
de
Démonstration. - Soit donc
Par suite :
quelconque,
translation pour obtenir
une
XC ,
Pl (y)
par
exemple pour
À
E
K
tel que
donc :
discrète, pour 03BB
tel
que
f
=
pl (x)
,
on
SEMI-NORMES ET ENSEMBLES CONVEXES
Si
est à valuation
K
et facilement alors
Comme la valuation est
C
x e
car
car
si
x e
C .
De
dense,
~C ,
pour tout x
dense,
à la limite
x E
entraîne
y
pl (x) ~1 ~Î
p.(x) 1 ~
un
XC ,
E
=
1
quelxl
tel
on
pi (x) ,
on a
)~J
obtient :a
.
1
tel que
À
>
donc
et
x e
ÀC ,y
donc aussi a fortiori
même,
~
‘ x ~ i~~ ~ > 1 .
car
si
car
si
~ x ~ ~C~
toutes les
sont
x E
C,
on a
jauges,
c’est que
1 ,
x E
1 .C ’= C . Enfin
p1
donc
et
équivalentes.
Le théorème est donc démontré. En outre :s
COROLLAIRE 1
bant
possède
(PROPOSITION 28). -
une
COROLLAIRE 2
(PROPOSITION 29). -
P2
=
est è. valuation
dense,
Si
K
est à valuation
discrète, pour
on a
{x | p1 (x) 1}
C ={x | p2 (x) 1 }
et
K
absor-
jauge unique.
ex_F1:?ant C ,
C
un convexe
Si
où p1
=
où
En outre il existe des
Démonstration. - Puisque
p2
=
e st
la jauge maximum de C ,
p2 est la jauge
jauges
on a
minimum de
p., telles que
C !
tout
con-
J.~p. CARPENTIER
tés du corollaire. Si enfin
Dans le
Remarque. k
avec
(p , 1 ~
E
k
p
pour
et
1 ,
d’une valuation
cas
sont des
jauges différentes de
des
(J)
tenu des relations
facilement, compte
Ce
jauges.
et
p~
et
p1
kp ,
p =
sont pas les seules
p , vérifiant
On
peut voir que, dans le
il existe des
jauges
p ,
C
où
cas
telles
a it
NP
que
P~i~~)>
,
Nv .
Np
contenant
=
est
(On peut
pas
K
d’espace
d’autres points
x
K,
une
voir
d’hyperplan.)
de codimension
contient pas
ne
Il existe
ainsi dans
N N:
si
kpl
général.
en
=
C =(~ ~ w} ~1
P(n ~ w) _
~w~ :
j auge de C , différente de pll et p2 et telle que
qu’il en est ainsi pour tous les convexes non vides ne
.égali-
obtient les
toutes les fonctions
discrète,
ne
p~ ,
on
immédiatement
on a
finie,
d’accumulation que
0 ...
Si
p
maximum
est
une
seni-norme et si
pl
de
C
sont des
pl
Si
N = ;vv ,de
,
On
une
de
C .
p
est
lajauge maximum
sa
boule unité ouverte.
de
sa
À
E
K ,
x E
ï.C~ , ~ ~ ~1
boule de centre
0 : c’est
~
en
E
x ~ AC~ .
K ,
effet
un
en
résulte
E
semble des valeurs absolues de
Pour
préciser davantage
K,
K , d’où
la relation
en
A-module de
K
(
X
second
la coupure dont
(J) quand
K
à
jauge
p9
p
et
et aussi la
deux ensembles :
ces
ensembles est
de manière
E
immédiate.
sont
K ,
inférieurement,
on a
dans l’en-
parlé).
est à valuation
1 AEK,
allons devoir faire intervenir la structure
de
K
fermée,
Le second de
x E
p , la
équivalente
p ,
boule unité
~C~ et
le
!’satL?ré"
(le
supérieurement,
premier
disjoints
Il
unité fermée de
de
utilisé dans la démonstration la partition de
a
~À ~Î
régularisée
une
jauges
jauge minimum
est la boule
C
sorte de
est
xe
dense,
~C~
nous
avec
plus
précision.
DÈFINITIONS.
Un convexe
de
K
~x ~1
Un
convexe
à-dire {x|
de
m-ouvert
estdit
1
1x-
K
est dit
|x - x0|
r}
J
si c’est vide,
r) pour xo E K et
m-fermé si c’est vide,
pour
xo
E
K
et
r
K
ou une
r E
K
boule ouverte
R+ convenables).
ou une boule fermée (c’estconvenables)...
SEMI-NORMES ET ENSEMBLES CONVEXES
Il est alors évident que les
transformés
de définir les
qui permet
m-ouverts
(respectivement
(resp. m-fermés)
m-ouverts
en
m-ouverts
paramétrage affine par transport
du paramétrage. Alors :
par les
sont
K . Ce
bijections affines de
m-fermés d’une droite à l’aide d’un
les
ou
m-fermés)
les
de structure : le résultat obtenu
ne
dépend
pas
DEFINITIONS.
Un
F
de
convexe
intersection
est dit
(resp. m-fermé)
m-ouvert
toute droite
avec
passant par
ce
point
autour d’un
point
si
son
m-ouverte (resp. m-fermée)
est
dans cette droite.
Un
Remarques. fermé si r ~
ouvert,
1
~x-
En effet
E,
de dimension
ni
m-ferme. Il
et
"
K ,
supérieure
en
est
D
ou
D
fermé)
n
une
C ~ f~ .
D -
dans
dans D. Or
"
C
étant
x,. si,
(D n C) -
m-ouvert
(resp. m-fermé)
Démonstration. 0 ,
Alors, pour
Xo e.
D -
x0 .
C
soit
D
ou
D
Ce
K ,
avec
x
m-ouvert et
mm-
un
convexe
la valuation de
peut n’être ni
dense, de
m-
est
K
"
n
(resp. m-fermé) autour de 0.
m-ouvert (resp. m-fermé),
qui
C) - x0 sera m-ouvert (resp. mC est m-ouvert (resp. m-fermé)
m-ouvert
est
n
C ~3 (D
si, D
qui achève
Un convexe m-ouvert,
Pour tout
être à la fois
suite, les propriétés
et seulement
donc s’écrit :
E
E , peut
r~ est
n
n
(D (D - x0) n (G de
autour
m-fermé)
(D 0,
(resp,
sur
PROPO3ITION 31. -
contenant
quelconque :
Soit alors
avec
E,
Par
m-ouvert autour d’un
droite
intersection
son
m-ouvert (resp. m-fermé) autour d’un point,
"m-ouvert" (resp. " nm-fermé
autour
d’un pointu) sont
point’’ (resp.
de
convexe
et
deux,
ou
ainsi, quand
(resp. m-fermé).
si
cette droite.
alors :i
on a
Démonstration. - Supposons que
.Soit
sur
de Ø
Nv .
m-ouvert
fermé")
(resp. m-fermée)
Un convexey même différent
PROPOSITION 30. - Un
est
(resp. m-fermé)
m--ouvert
m-ouverte
m-fermé. Ainsi dans
ouvert et
Dans
est dit
L
de
convexe
toute droite est
dans
~X )i
| |[ >1
r,
x0)
C
car
x0 E Cg
est
m-ouvert
la démonstration.
contenant
0 ,
L , ~ ~ ~( ~x E C];
i r) pour un r
on a
n
x E
C .
est absorbant.
est
E
une
R .
boule ouverte
J . -P . CARPENTIER
PROPOSITION 32. tout
est à valuation
K
Si
discrète,
tout
m-fermé ;3
est
convexe
m-ouvert.
absorbant est
convexe
Démonstration. - En effet, toute boule de K est une boule fermée, donc tout
est m-fermé. Toute boule de K non réduite à un point est m-ouverte. Si
convexe
C
absorbant, (X[
est
C
K .
ouvert dans
X
est
E
K ,
Xx
E
C)
est
m-ouvert autour de
non
réduit à
donc
0 ,
{ 0~ ,
donc est
K
à valua-
p
telle que
est
m-ouverte
Les résultats qui suivent sont par suite triviaux pour
Remarque. -
m-
m-ouvert.
tion discrète.
(PROPOSITION 33)
(a)
(b)
ce
Pour toute
Si
les
semi-nùrme,
boulés
m-ouvèrt contient
un convexe
soitx j|
convexe
.
p (x)
1~
ouvertes sont
m-ouvertes.
il existe
0,
une
semi-norme
.
Démonstration.
(a)
0 .
’autour de
p(x) = 0 ,
Si
et c’est donc
si
Or,
si
rons une
LEMME
(a)
la démonstration de la
caractérisation des
) A )~
>
I(
(J),
1
si
et seulement
et que
A l’aide de
>
B
K
j~j l~p (x) ~
1
9
m-ouvert.
27. Nous allons montrer que,
proposition
C =
donné,
p? (~~)
l) .
Ce résultat est
et
est à valusaion
dense,
nous
déjà
utilise-
m-ouvert
si,
et seulement
tel que, pour
3~
E
si, pour tout
avec
K
1
+
da.ns
E (x) ,on
x
e
si,
1
x
pour
C .
E
(b) En particulier
ouvert
R+ ,
m-ouverts.
(PROPOSITION 34).
convexe absorbant est
existe E (x)
~LX
E
y
est
B
est à valuation discrète. Si
K
r
p (x) ~ 0 ,
K:
0 ,
où
r~
K ~ si
boule ouverte de
C
il
ait
1 p(x)
m-ouvert et contient
connu
C ,
B
=
cet ensemble est
une
(b) Reprenons
C
si
0
Il suffit de montrer que toute boule ouverte de centre
et
7~x
E
C
si,
on
avec
C
est à valuation
pour tout
so it dans
lemme,
ce
Àx
K
x
dans
J ,
convexe
il existe
absorbant est
À
dans
K
m-
tel que
’
C .
voit que, si
p (Ax) _ ~ ~ ~(
démontre le théorème.
remontrons maintenant le lemme.
>
x e
C
1 ,
ce
1 , il existerait ÀEK,
et, compte tenu de
et
p2 (x) _
qui
est absurde
SEMI-NORMES ET ENSEMBLES CONVEXES
(a)
est
C
Si
est
si
y
est
te à
r(x)
boule ouverte de rayon
une
Réciproquement,
C
absorbant et
convexe
m-ouvert.
C
est
convexe
Pour
x E
F. ,~
a
e(x) = r(x) -
Xx
K,
E
E
C~
est
(à
moins que
Si la valua tion est dense et que cet ensemble est
E il
l’ existence
tel que
( = r est absurde : alors
||
0
>
(
et
>
Si~,
ce
r ,
~ ~~.
dense,
qui est
K ,
E
Axe
E
Wx
soit
où
et il exis-
C,
~( x) , 03BB x soit dans C . Soit alors,
A tel que
est dans C
=~ j/ E )1 , 1 + s. (~, (x) ) ~ ;
bsurde. Donc, ~i~ ~
~~
~
t
(
r} .
x~
‘J~, ‘
~
1 r) où r E R~ , il n’y a rien à démon-
tel que, pour
la valuation étant
ce ne
~h, r)
~~ ~(
K ).
1 .
propriété ci-dessus,
une boule non rédui-
absorbant et vérifie la
~ ~1
C ,
x E
il suffit de poser
1 ;
donc ouverte si la valuation est discrète
point,
un
>
m-ouvert pour tout
1
+
.
trer.
(b)
applique (a),
On
en
remarquant qu’il existe effectivement B
E
K ,
’
jBi
)1 ,
e
C
1
convexe
Et
si,
+
E(x))
pour obtenir :t
absorbant
pour tout
m-ouvert
C ,
x
s (x) _ ~). Î - 1 , et,
d’appliquer (a).
(a)
(b)
que
Si
C
=
un
~x I
K ,
E
s (x) _ ~t~) ,
+
,
C’est
l’analogue
>
absorbant
C
est
m-fermé,
1
>
Àx
et
1
Àx
on a
du théorème
les boules fermées sont
semi-norme,
convexe
1
K,?~ ~1
x E
il existe B
pour~, ~
(PROPOSITION 35 ). Pour toute
V
==>
E
E
et
~x
E
C ,
on
pose
C .
*
C . Il suffit
précédent.
m-fermées.
il existe
une
semi-normé
telle
p
p(x) ~. 1~ .
.
Démonstration.
(a)
.
Il suffit de montrer qu’une boule de centre
si
0 .
Or,
Si
p(x) = 0 ,
~~ ~ ~
(b)
E
x E
K ,
est
m-fermée autour de
E ,
K9 si
cet ensemble est
~A~ ~
p(x)
est
c’est donc toujours
Nous allons montrer que
est à valuation discrète.
tel
0
Supposons
nul,
un
m-fermé.
1 pl (x) 1
C
K
que
c’est l’ensemble :
non
résultat déjà
soit à valuation
dense,
C~ est m-fermé, donc
1
unité, puisque ~~~1
=~~~~ K,
que p.(x) =
disque fermé. De plus il contient le disque ouvert
traîne p(xx)
1 , donc xx E C ; B peut donc être considéré
1 . Alors
B
E
~x
E
connu
et soit
de centre
si
K
x E
E
est
un
en-
0,
et
J.-P. CARPENTIER
supérieur ou égal à tout
, pour l-7~ ~(
1 ; la valuation étant
supérieur ou égal à 1 ;3 donc|03BB| 1 entraîne 03BBx E C . En parti.
est dans C , et, compte tenu de (J), le théorème est démontré.
rayon est
son
il est
dense,
culier
x
Achevons
paragraphe
ce
PROPOSITION 36. - Si
tenu dans
est
F,y
quelques propriétés
avec
f :
E 2014
est
F
application affine,et
une
(resp. m-fer!1lé), f-1 (C)
m-ouvert
m-fermés.
m-ouverts et
des
si
(resp.
m-ouvert
est
m-
fermé).
Démonstration. - Si
p
f 1 (C)
F ,
sur
po f.
:
boule ouverte
(resp. fermée)
(resp. fermée) pour
E
une
est
une
une
boule ouverte
pour le. semi-norme
la semi-norme
sur
,
PROPOSITION
f :
37. - Si
tenu
E
est
Ainsi,si
C
est un
sont des
C
est
un convexe
conv exe s
convexe
-
F
est
m-ouvert,
f(C)
m-ouvert,
C
+
application affine,
est
convexe
un
x , où
x e
et
con-
f(E) .
K - {0},
m-ouvert dans
xx , ou 03BB
E ,
C
si
E
m-ouverts.
Démonstration. - La proposition
précédente permet de conclure que C + x , J~C
quand C l’est. On peut alors supposer que 0 E C ~ donc
C est absorbant dans F;, et
suite f(C) absorbant dans f(E) . Si K
à valuation discrète, f(c) est m-ouvert. Si K est à valuation dense, ap-
(~. ~ 0)
que
est
m-ouverts
sont
pliquons
le lemme
Il existe À
PROPOSITION
est
~ h ~(
>
1 ,
~.x E
03A0 c.
m-ouvert
est
un
E . Si
de
y
pour
C ,
Ci
est
soit
7~y
e
p. ,
Il
i~I
1 I C.
est la
boule
on
suppose
0
unité ouverte de
+
38,
x ,
~C ,
pour les
et seulement
fermé :
un
n’est pas
sont des
convexes
m-fermés,
si,
C
+
m-fermés,
E
Ker f
est
en
général m-fermée,
=
sup p.
i~I
mais
m-fermé. Si
on a
et
C. ,
est faux. Il est facile
sous-espace vectoriel est
y = f (x) .
tel que
est m-ouvert.
C
E,
Cl
Ei’
C2
+
I
03A0E..
i~I
précédente,
Nous ferons encore les remarques suivantes : Si
C
C
m-ouvert de
Démonstration. - Compte tenu de la proposition
trer la seconde assertion. Si
x E
f(C) .
m-ouverts de
convexes
un convexe
m-ouvert de
convexe
i~I
f(C) ,
E
donc
sont deux
38. - Si C1 et C~
un convexe
fini :
(proposition 33) :
K ,
E
semi-norme
p
03A0I Ei
sur
.
i~I
C
est
un convexe
m-fermé,
l’analogue des propositions 37 et
de voir ~ue f(C) est m-fermé si,
f
m-fermé. La
cependant
C.
il suffit de démon-
boule unité ouverte de
est
injectif,
somme
de deux
f(C)
est
convexes
le résultat suivant :
m-
m-fermés
SEMI-NORMES ET ENSEMBIES CONVEXES
PROPOSITION 39. -
finie,
C~
0
Supposons
étant contenu dans
C1
est
C~
+
est maximalement
K
convexes m-fermés,
E
0
y
C2 .°,
E
si
complet,
remarque d’abord que
on
ramène à remontrer la propriété quand
soient
’
et
C
qui montrera
mée. Posons
ce
c’est
On
C2 .
+
z e
C.i
E
que
C.I
et
C~ ~
E
une
C1
ainsi que
~
suite de
+
Àn
on
,
est :
C~)
Dn = Cn1 03BB .
De
existe
.
alors
hnn
z =
tel que :
y
y
À
+
E
x
n+1ln
resulte, K étant
e
03BBn+1
y
hn
et Àn+1n ln
y
maximalement
complet.
et
x E
x E
aussi
K ,
ou
t
K ,
E
a
plus
E
ou une
C
+
car
n
z
par
=
y
CZ . ~
boule fer-
D ,
n+
’’1 ’ 03BBn+1
C1 , donc
1 ’ espace engendré
croissant
Àz
;?
1 , que
somme
ou un
n
x E
dimension
(voir II.3), ce qui
module monogène.
fini
type
droite,
A~
7~z
K ,
boule fermée de C1 ,
vne
+
estune
montrer que
va
sont des
est alors la
Ci
directe d.’un sous-espace vectoriel et d’un module de
Dans les deux cas,
etCZ
Ci
sous-espace vectoriel de
m-fermé.
convexé
un
un
+
si
x3
Il
x E
Dn .
C1
de dimension
en
n=l
ce.
Soit
x0
i) n
E
1
hn i
..
Soit 3lors
03BBx0
E
C2
étant
Il
v E C2
m-fermé, .A (z -
~ | 03BB|
tel
,
C1
étant
m-fermé et
que z = À n x., + yn ,
CZ
03BBn x0
~
C1 ,
on a
.
J~ (z -
aussi -et
on a
C2 .
°
proposition que, si Ker f est de dimension finie et K
complet, l’image d’un m-fermé par f est m-fermee. Par contre, si
m’est pas complet sphérique pour la jauge de C,y supposé absorbant, ceci
plus vrai. Nous allons en donner un exemple.
de cette
maximalement
Ker f
n’est
Reprenons
rayons des
(2) ==>
le
Bn;
g
si
la boule fermée de
xC
+
E ,
E
donc
f(c) :
PROPOSITION
n
Ci
est
un
(1 )
de la proposition 4 du 1.2. Soit r le "inf" des
l’application canonique de F sur F/E = G , et C
centre 0 et de rayon r dans F,y elle ne rencontre pas
et
+ E n
f(C) . Pourtant, pour tout À 1 ,~
f
r(c)
40. - Si (Ci)i~I
convexe
est
n’est pas fermé.
est
une
alors
famille de convexes, tous
m-fermé. Il existe donc
un
plus petit
convexe
m-fermé
’
J.-P. CARPENTIER
contenant une partie donnée. Si C est un convexe absorbant, on voit que le plus
m-fermé contenant C pst
1 pi (x) ~ I~ .
petit
d’une famille filtrante de convexes m-ouverts est
Je manière analogue, l’union
m-ouverte (appliquer la proposition 33). Le plus ~rand convexe m-ouvert, contenu
13 (il est non
dans un convexe absorbant et contenant G , e st Z x i
seulement maximal à 2voir la propriété, mais maximum).
rI.3. Structure des
dans un espace vectoriel
convexes
~~
trique maximalement complet.i’
Soient
K
vectoriel
corps value
un
espace vectoriel de
sorbant dans
ultramétrique
C
K . Soient
sur
engendré
E
la
et.
F,
~
~
’
’
E
’
’
’"
~~~
complet et E
0, et F
proposition ?,’_,~
C .
dans
F
’
~~’~
un
"
’~~’~"
espace
le sous-
contenant
’)’après la
proposition 27, il existe
par
corps value ultramé-
sur un
’
maximalement
de
convexe
un
"~"’
~
C
une
est ab-
semi-norme
telle que
p
C étant
un
Il existe
A-module,
famille de
une
d’un sous-ensemble
1°
~t(t’) _
0
2°
T
une
vides,
admet
peut
En effet si
XE
C ,
on
Introduisons
de
E
la
cp
sur
engendrée
G
par
soient it
tes
t
proposition
10.
engendrées
par les vecteurs
telle que :
t’
et
.e T ;
deux ensembles
en
exprimer
si
t
E
C .
voit que
pour t~E
ce qui entraîne
,Soient
t ~ t’,
la
les droites
sur
p ~ (0) ,
E -
éventuellement
et
Tl
un
et
i ,
0
on ;a
1
o
si
C
t
E
quand t ~ t’ ,y
1
T2 .
Dans les deux
t
pour tout
e T ,
on
a,
(X) ) ~ ~
(x) ) )
C .~
-
supplémentaire
par
T ,
Inversement, si TTt(X) E
x) E ~1 et, pour t E T.> ._>
projection de E
parallèlement à
u
parallèlement
engendrées
disant :
T1 ,
E
Ent (x) ) )
x E
en
t e
pour tout
1
o
cas,
projections
partition
encore
p(03C0t 03C0t(x))
et
pour
appliquer
telle que
que l’on
ce
de
T ,,
alors
peut
on
pour
t
E
T
t
E
et
G
de
F
dans
E ,
et
une
base
U
de
G .
parallèlement à G , et 03C8 la projection
F . Soit
~ru la projection de G sur la droite
au sous-espace engendré par U - [u) . Enfin,
sur
F
T et u ~. U , les injections canoniques
u eU, dans E . Posons :
des
SEMI-NORMES ET ENSEMBLES CONVEXES
On
peut alors écrire,
ue U ~
V
avec
=
T
u U , puisque
x E
équivaut à
F
0
pour tout
il est
comme
immédiat,
et
On obtient le théorème suivant :
THÉORÈME (PROPOSITION 4.i.) [
ET
sous-ensemble
un
C
~
"
K
est maximalement corplet
est un
ensemble
convexe
de
E ,
dans tous les énonces de
contenant
de E - {0} et une famille d’applications
de
il
0~
E
~
existe
dans
E
s
-~
1°
In
2°
?i
o
=
v
C
3°
soit la droite
03C0v
0
v
On voit que
C
Z ;
x e
{x[
=
v
x E
v
=
E 3
V
On
a
C’
=
C
+
x .
donc le corollaire
On
(x)
C
v’,
v
e
C) .
(x)
? v E
=
C’ :
vy
03BF 03C0 =03C0
v
~
s
particulier du théorème que ’E (C)
convexe quelconque de
E, non vide,
ta de
par
if
et
,’2014
"2014
fx j
=
engendrée
v ~ v’ ,
si
~ 03C0v (E)
C
soit
=
un
C
~ 03C0v
n
(C)}
puisqu’il résulte
Kv . Si alors
convexe
contenant
0
est
et transla-
suivante
le même résul-t,at etc.r.t évident pour
C’
(PROPOSITION -42). - Si C est un ensemble convexe de Ey
un sous-ensemble V de E - (0) et une famille d’applications de E
(03C0v)v~V
telle
1°
Im 03C0v
2°
T~ ~,=0
3°
C
(Math.
que
soit la droite
o
=
{,x ~
Semin.,
1)
engendrée
si v ~ v’ ,
x e
E ~g
V
en
un
a
COROLLAIRE 1
te
C’
par
o
v e
~
v ,’
T~ =~ ,
(x) e ~~ (c)~
=
H
veV
o
V
==
~.
il exisdans
E:t
J . -P . CARPENTIER
te
(PROPOSITION 43) . -- Si C est un
indépendant de
sous-ensemble linéairement
un
(C )
:,n
outrey
C
est
La
*?
C
m-ouvert si,et seulement
est
si,
et
, ,,-v (C ) ,
pose
si,
seulement si, tous les
première partie est
appl i cation linéaire
C _
a
et des
une
dévaluation du corollaire 1 :
définie
:= ,y ~w ,y
dans
e t la vérification de la
cp(-~) ~
Si
û
--.
Si
C
-
Si
(C )03C6~03A6
-
Si
9
associe à
on
chaque 03C0v
par mv(x) _ w(x) .v .
première partie
On
évidente.
est
la situation du corollaire
1 ;
rappeler.
déjà
donc
,
est m-ouvert,
-
sont m-ouverts
C03C6
m-fermés.
sont
utiliserons :Le passage de l’une à 1 ’ autre sans le
On
,
tous les
C
Les deux remarques finales peuvent s’énoncer
noue
E , il exisconvexes de K :
de
convexe
tels que
,
une
ensemble
E* :
G
:; -1 (C )
est
(proposition 3?).
est m-ouvert, pour tout 03C6 ~ 03A6
.
est
(proposition 36).
m-fermé
est
(C- )
C =
~ 03C6-1
est
m-fermé ;3
m-fermé
est
(proposition 40).
Il reste c . vérifier :
C
03C6(C)
est
puisque 03C0:v (C ) -
et est vrai ?.lors
pour tout
- Si,
Le
sE:
ramener au
G ~
un
et
v E
étant
V
F
a
izv (E)
p(03C0
donc
C
e
C . Alors
trivial,
C
v0 ( x) seit
v(E) , nv (C )
~ 03C0v(E) ).
p(03C0v(7 (x) )
I ,y
est
de voir
quand
G
E
C
e st
supposons la valuation dense. On
m-ouvert entraîne
p
E .
m-ouvert dans
sa
C03C6 ~ {0} ,
jauge ~.°, si
x E
(voir proposition 10) .
m-ouvert
de jauge
p
donc
soit
C ,
Tous les
v0
(C03C6)03C6~03A6
v (E)
dans
donc
~
C
est
En
une
boule ouverte.
explicitant
(on écarte
les
03C6
-
C , on peut énoncer le corollaire 2 de la façon suivante
correspondants aux
égaux à K sans inconvénients) :
les
C03C6
C,
(propo sition 40).
K ,
maximum
î
qu’il suffit
ce
m-ouvert dans
est absorbant. Soit
C
m-ouverts .dans
à
O
cas
_î :s
=
tel que
(puisqu’égal
On
n
de la valuation discrète étant
cas
peut
est
$ ,,
03C6 ~
v
SEMI-NORMES ET ENSEMBIES CONVEXES
(PROPOSITION 43’). -
COROLLAIRE 2’
te
deux
R+
de
et
"
..
,Si
C
est
Si
C
est
’20142014"
convexe
une
’
4j~
=
jS , 4l~
de
ces
propositions,
on
existe d’une
regarde;
le
44. - Si
E
part
cas
où
’E
E
Il
u
tement
I2
u
f(X)
E
finie,
et
E,
I3 ,
des éléments
positifs tels
et
séparer
-
-
-
Kv :
- une
d’après
{I4) ,
un
point :t
boule ouverte :
de
une
qui
C
et
une
K , pour
conséquence
une
la
de la
proposition 14,
les cas, suivant que
réduit à
une
et
03B1i
X
soit
f (C)
pour
qu’une partie
ne
certaine famille de
dépend
C ..
que de
convexe
partition
dans
i
E
1
u
E ,
de cette base
part,
il
en
pour
des réels stric-
que1
Démonstration. - C’est
proposition,
en
.
I3 , I4 , d.’ autre
i
$
est de dimension finie.
est de dimension
base de
une
exis-
(r )
soit contenue dans
dont le cardinal n’excède pas la dimension de
f
partition
de
= 4l
fait de faire la vérification pour
en
E ? il
"’
voit que, pour
il faut et il suffit que
C ,
-
de
~ -
on peut
il suffit
f ;
ensemble
de E* ,
"’
"
m-ouvert, on peut assurer :
contenue da_ns
tout
-
conséquence
Conne
(a(DD~$
famille
une
un
éventuellement vides, une famille
) - d’éléments de K , tels que :
ensembles $ et 03A62
20142014 2014
C
Soit
linéairement indépendant $
sous-ensemble
un
TF
V
proposition 41, puisque dans cette
est une base. Il ne reste plus qu’ à
est :
_
{ I3 ) ,
(I2) ,
boule fermée de rayon
Nous terminons par deux
non
nul :t
(Il).
propositions qui
sont les traductions des
propositions
8
et 15.
PROPOSITION 45. - Pour tout a pace vectoriel. E sur un corps K
discrète,et pour tout convexe C de E, contenant 0, il existe
1° Deux espaces vectoriels N et L ,
a° Un ensemble I et un sous-espace vectoriel !il de l’ espace
à valuation
:
des fonctions
J.-P. CARPENTIER
1
de
fonctions à support !’ini.
3° Un isomorphisme
oui amené C sur
partout inférieures
N
L x 03C8
x
des fonctions
sous-ensemble de M
II
I ,
conte-
.
F
de
est le
F
suivant le filtre de Fréchet de
0
tendit
K
dan-
nant les
{0}
x
B , ou
x
égales
ou
a
1
e~
46. - Pour tout espace vectoriel à base dénombrable
complet
j-~
Doux espaces
2° Une
i~~
vectoriels
N
de
partition
de
et une suite
M
3°
et pour tout
L .
et
il
sous-ensemble de
L
x
1.
x
tXn)
~’
2014.-2014.2014--2014~2014-
des
"courrait
Soient ?
’"
N =
{x !1
x e
ur-
Si
;’
L
=
’
à
.
3i
à
’
x
’
/-
=
Supposons
où
c:
base
ment
" :;
B
vides,
’
partout ~
L
maintenant :jue
s.
et
de
E
E
n =
pour
n
un
est le
B
~
201420142014
dans le
cas
1~~ .
générale
engendré
C
L
et
C ,
par
un
norme par
?:
e.
±
,
:L
proposition 4~
que
on
"
(e.)- ~
).
C n M
trou-
avec
onidentifie
a
pour
M
image
démontrée.
soit de dimension dénombrable. Ecrivons
?
peut
y
y
’
est
s
(À,).
1 1(=I
la famille
vérifie
La.
.
et
v
p
I:
C
p .
= ~
n
on a
’
sup-
et
F
dans
M=
U
E ,
de dimension finie. Nous construisons alors par récurrence
et
B et B ,
n
B , où
o/
’
maximum de
discrète,
,B.
~~~
espace de fonctions et
un
x
i
t~
n
’
L
"base orthonont’t.ale" de
propositior’. -~
on
{0}
vectoriel maximum contenu dans
dan’3
1~ val-.Brtion
los fonctions
une
la
i~
~
-o(e.)
1
sectoriel
’L)
, p(x) =
on
~
l’espace
supplemo-.t.’.irc
d’~.~~s la
I
ë
n
x
propositions analogues
"
da’;c
pour
-20142014
N
1 ’
d ’ un c e rt ain r ang ,
partir
sur
et I2 ,
03B1
’ie fonctions bornées.
des
de
0
y
C
I
vides
[03B1 , 1] OÙ
amine
~"./ n
201420142014201420142014 ’
fais-i’Jit
en
qui
un corps
il existe:
..
) ~N avec 03B1n ~
Tuiles
l’esnar’c
sur
sur
y
"
E
de
iso.uo rph i s;.ic
E
contenant 0
ensembles éventuellement
en
réels, (03B1n
designant
convexe
E
de
C
n
une
partition
tels
Que :
-
de cette base
en
deux ensembles éventuelle-
SEMI-NORMES ET ENSEMBLES CONVEXES
de
n+1 B1 n ’
B~~ :
Bn
résulte facilement de la " proposition ’ 44. Si
BLL
,
construits, définissons
comme une
partie
maximale
les
ayant
Bn
et
sont
propriétés :
.
~
-
1
- V
"
e E
p ( e ) --
:
On définit alors
"-
-
B
-
~’n+~
aurait
on
’~ n’t 1 ~
on
r~n ,
e ~
""
et |03BBe| =
donc e
"
B1n+1
,
et |
unité ouverte de
C/D
base de
p(y) 1,
03BB~|p(e)
x
une
base
"orthogonale"
( sinon
~ff
~
e~Bn+103A3
=
03BB
d’après
est dans
e
sur
B2n+ 1
.
~3n
avec e E
Réciproquement,
x
,
indexant par
comme
N,
~
=
~ Bn ,
I.
des indices
Iz
M
U
quand |03BBe|
si
la
qui démontre la proposition puisque
ce
Cn+1
e
proposition 11,
k ; donc, tout x OE C , s’écrit
p ,
et
en
est
puisque
-’
et
=
1 pour e ~
On pose alors 03B1e = 1 p(e)
montre
~n+1
a
).
Enfin il est évident que
e ~
lA ,
proposition 14,
Si
J.
maximale vérifiant :
partie
1~
.
la démonstration de la
.
,
propriété (rr) .
la
n+~
de
:~
E
comme une
P ~ n.
a
e
propriété (~~) (voir 1.3) ’
la
-
et
ï
=
image
a
pour
y
+ 03A3 e
Bn
~
pour
est l a boul e
D
par
e
est une base
C =
En ,
1
rr
une
avec
orthogonale.
; le théorème est dé-
Cn
étant l’ ensemble des indices de
U
B,Z ,
°
n=i
On
remarques. -
Ainsi, si M
ni : D ’après
03B1 , 03B2
non
à
à
A ~
ce
qui précède déduire
espace vectoriel
des
de
ou
il
a
{0} (les sous-A-modules
â ~ 4~ ) . Un tel module est donc
K
ou
c’ est que
T-:’
_ ~ Q~ ..
propriétés algébriques
le corps maximalement
type fini,
proposition ~~, il est isomorphe
des entiers positifs ou nuls et M’
type fini. Comme il est évident
fermés,
sur
est un sous-A-module de
m-fermés
K ,y
de
la
sont
,
peut
de ~ ,,
complet
des
K .
un espace de type fix K~
où
produit ka x
un produit de sous-A-modules
engendre
un
est
m-fermés de
un
quotient
K
sont
isomorphes
donc est de
de
de
K
sont
Quand la valuation n’est pas triviale,
K
n’est pas
que les sous-nndules de
type fini
m-
type fini, donc )
0 , et Hi est isomorphe à A03B1 : c’ est un module m-fermé
contenant pas de droitesg on voit en outre qu’il est libre. Par contre, si C
est un convexe absorbant dans E , et que E est complet pour la jauge de C ,
de
ne
=
J.-P. CARPENTIER
C
n’est pas libre si
et écrire que
Il .4
E
est
L n’ es,t pas de dimension finie (regarder
complet poBir aboutir à une impossibilité).
Enveloppes convexes-segment. Partition définie par
la base de
C
hyperplan.
un
t
DEFINITION. - Si
le plus petit
Cet ensemble
sition
existe,
c(B)
18,
B
convexe
est contenu dan’s
c(p)
E ,
on
appelle enveloppe
convexe
de
B ,
contenant P .
E
cc.r
est
un
convexe
est l’intersection des
contenant
convexes
C
la propo--
et, d’après
E . En
contenant
outre :
n
PROPOSITIO
47. -
de
L’enveloppe convexe
x.i , ... ~ xn
***2014~"201420142014
(ou l’ensemble des 2- A
ZBX
).
~~
~.~ ~
x
où
2014
~ ~.i ~ 1
Àjy dans A ~ vérifiant .*’
... ,
’
~
03BBi xi , où
~~ i i
’
,
2-
est l’ensemble des
I;
’
-
À
~
=
0
sauf pour
un
nombre fini de
x , et
"~
.
=
.
.
xeb r.
et
En particulier, si x
c((x , y}) ,
,
est immédiat que, dans
àe rayon
j x - yi .
contient le segment xy
qui contient le segment
propriété
On
a
.
alors la
proposition
Ky
c ({ x , y})
convexe et si
C
8n
xy
équivalente à
est
sont des éléments
y
de
appelle segment xy ,
E
et :
peut
se
demander
est la boule
x
et
y
fermée de centre
sont éléments de
si, réciproquement,
une
et
x
G
C ,
partie
C ,
des qu’elle contient x et y , est convexe. Cette
la suivante, nommée "faiblement convexe" par MONNA [,9j:
suivante :
PROPOSITION 48.
(a) Si C est convexe, il vérifie (T G ) .
(b) Si E est de dimension 1 , C vérifiant (F C) est nécessairement convexe.
(c) Si l’ indice de K est su.périeur ou égal à 3 , (F C) implique la convexité.
(d) Si E est de dimension supérieure ou égale à 2 , et K d’indice 2 , il
existe des parties de E non convexes et vérifiant (F C).
Démonstration.
(a)
est évident.
(b)
Si
contient
0
C
vérifie (F C) et est
élément de
et, pour B
non
A
C . Alors
vide, soit
et
avec
y
=
x -
ï~ = C -
x~
où
x0
x E
C,
SEMI-NORMES ET ENSEMBLES CONVEXES
puisque
i~i
est
Ax
une
(c)
Si
A
avec
est élément de
C
et
;_;
est
(~ C)
si
,.
!i ,
E
montrer que
J~
+
C . Donc
M =
=
U
et
C . Alors
0~M,
convexe.
vide vérifie
non
Nous montrons que
on va
C
boule et
vérifie
~::
et
(1 -
+
~T,
=
~.~
(F C)
xC où xC E
x2 - xC sont
iv - C -
soit
9
et
xC
__
éléments de C
1 :
i~i
’3t sous-A-module de
Bx
+
~y
e ~t flans
yax
+
E . Soient
_ - Or
.
x
y E i~i ~ ~ ~ ~
E Ay
p
x,y
y
,
E
E
A9
E
A
entraines
et alors pour
y
égal
à
3. , Y ,
vérifie
tel
queY, _ ~
1
et;::~ ~ ~ 1
(d) Puisque
vérifie
et
un
enfin
si
pouvant
(1 - cx)~,’ ~1
+
vexe
indépendants
(F C) :t
1 ,
Àe.
+
au
car il contient
n’est pas dans
Remarque. c3 ents dans
et si
M
=
1
est
au
moins,
soient
=~,
et
el
Q’ ,
supérieur
ou
=2014--~2014Y
G
’
Y
sont dans
.
part,
Donc
x
est dans
mais n’est pas
C
et
-
-
des élé-
e2
un
dans
a
A :
( 7~’ ‘
d’autre
,
seul des nombres
,
plus vaut 1
0, e1 , e2 ’y
|03B103BB
+
C . Mais
,
(1 - 03B1)03BB’|
C
module puisque
et
n’est pas
el
+
con-
e2
C .
Il
n’y
a
A. Ainsi
U
à
K
existe et alors a
+
)j.e~ ,
égal
Il suffit de choisir
E . Soit
de
d’une
être
.
Si l’indice de
.
seul des nombres
Î
.
=
est de dimension 2
E
ments linéairement
est dans
(1 - 03B3)03B2 .
et
bien
C
(1 -
03B = 03B 03B1
03B2 , y , pour que
1.1.,
pas de théorème
un
résultat,
"d’associativité"
tel que, si
des
barycentres
Nil , ~3~ , ... , f1n
sont
à coefficonvexes
J.-P. CARPENTIER
est faux.
PROPOSITION 49. - Soient
application
affine de
(c.) SiSi
B1 ~ E , on a :
(a)
c(f(B1))
(b)
B2 ~ F
Démonstration.
,
on
=
de f(c(B1)) s’
]L
À.
1
=
e st
s. :
Jonc’
f(c(B1)) = c(f(?J)(B2)).
Soit
nir des
=
.
quand ff
quand
=
est
surjective.
él ément
un
À. e A ,
1
y
et
’
évidemment (cf, proposition
=
a :
f (x) _
où
xi
03A3
03B i yi , où
estil ément
de
d’ un même côté de
xy
K ,
yi1
f
est
E
x
B22 ,
f(0) . Alors,
.
.
hyperplan affine de E , d’équation f (x~ _ ~
identiquement nulle, et où 03B1 est élément de
parties de y analogues aux demi-espaces des espaces
si le segment
E
Mais si
E ,
-un
x
19) .
Aii
non
DÉFINITIONS. - Si
et
sont éléments de
y
rencontre
H . Dans le cas
,
où
forme
une
K . Nous allons défi-
vectoriels réels.
E , x et
contraire,
séparés par
y
sont
x
et
un
élément de
y
sont dits
H .
particulier, si x et
(jouant le rôle d’hyperplan
En
or_
est élément de
H
une
donc :
T
linéaire
= c(f-1
f(c(B.)) évidemment (cf. proposition 19)’ Mais
y =- f(x)
où
X. xi , avec x. = By
~-
x
f
et
sur
F .
f-1 (c(B2))
,
‘
des espaces vectoriels
F
~_t
x
où 03BE vérifie f(( , )
H
E
dans
c(~’1 (3~) ) f~1 (c(~~) )
de f-1
(c(B2))
1
’Si
::1
yl fi :i) ,
)
et
,
E
y
sont dans
affine dans
K
K ,
et si cx
}~
x
et
y
est
sont
séparés
par
K
si
SEMI-NORMES ET ENSEMBLES CONVEXES
élément du segment
est
.Y
)x -
et de rayon
..
xyy c’ ûst-à-dire,:
Par
.
suite,
dire que
dans la boule fermée de centre
o’
(y
sépare
et
x
y , c’est dire
que
(ce qui
Revenant
lx - yj :
équivalent a
est
d’un même c8té de 03B1
cas génér21,
au
.
et seulement
si ,
on
a
la
Il s’ensuit que
J x - y|
si,
et
x
sont
y
|x - 03B1|
.
proposition :ô
PROPOSITION 50. - Les propriétés suivantes sont équivalentes :i
(1 ) H, d’équation f {x ) _ ~ , sépare x et y, éléments
(2) c~ sépare f(x) et f(y) ,
(3)
Î f {X) - f(y)1 .
y
y
~
On
également
a
la
proposition :
propriétés
PROPOSITION 51. - Les
(1’)
(2’)
(3 ’ )
x
De
ce
et
sont
f(x) et i’(y)
qui
a
~~
sont d’un même côté
,
I
p
o
été dit résulte que
( 1. ’ ) implique {2’ ) ,
sont équivalentes :
(c([x , y}) n H =
de c~
{c ({ f {x) ,
suivantes
d’un même côté de
y
(2)
est
équivalent
à
(3), (2’ )
à
(3’)
.car
que 03B1 ~ f(c({x , y})) .
et
(2’) implique (l’)~
9
et que
H
n
car
9
f (y) ~ ) _ ~
a ~ c((f(x) , f(y)}) .
négations (1) et (2) sont équivalentes.
résulte de
Donc, (l’ ) est équivalent à (2’), et
propositions sont donc démontrées.
leurs
i
Les
Fixant alors
dans
x~
soient d’un même côté de
E , cherchons
les
points
E
E
de
tels que
x
et
;x~
.
On voit que la condition nécessaire et suffisante
f(x)
x
H .
>
sur
x
est
boule ouverte de centre
f(xO)
et de
J . -P . CARPENTIER
- 03B1| . Or deux boules
rayon |f(x0)
e
de
|y1 - 03B1|)
K ,
sont
,|y2 -~..
03B1|)
p = B(y2
,c
confondues :
si
et
est élément de
z
~*
r ~B
~T ; - ~ I)
de
et,
n
~. (~% z
_.
s
,~ I )
~
a :
on
même,
établit le fait
Ce
tion de
Si l’on
K .
(On regarde
envisage alors
forme
blé de
,
e
h.
r.nfin,
est dar.s la classe de la
x
résulte que "être d’un même
dans
lation "être
DÉFINITION. -
et
x
une
Les
une
même classe" pour
classes
Ceci est cohérent
est
avec
de la
la
x..
de
K
par
:ie
rapport à
ce
:’ul
{0} .
précèdei
Ce cardinal
parti-
une
la famille des
.)
B
c ett. e
partition ( sou s -en sem-
c’ est
une
d’équivalence,
partition
que
H
x~ .
il
si,
Il
en
c’ est la
car
de
E
de
partition
re-
E .
sont les côtés de
H .
"être d’un même coté".
1,3 c:.:-linal I( l’ensemble des cotes
resuite facilement
forment
sont d’un même côté de
certaine
partition autre
terminologie
non
partition qui contient
relation
une
{03B1}
et
et
l’iu". réciproque par f de
des f-1
(By) et do f 20141 ({03B1}) ),
dont l’une des classes est
et seulement
B(y )y - 03B1|),
les
les sous-ensembles de
ne
dépend
que de
Ky
comme
il
c’ est le cardinal del’ensemble des côtés
ne
peut être fini
que si
est à valua-
K
tion triviale et fini.
et Y sont des parties de H s
est d’un seul côté de H si X est contenue dans un côté de
- X et Y sont séparées par H s’il existe deux côtés différents
les contiennent.
o
PROPOSITION 52.
(a) Les côtés de F sont les convexes maximaux disjoints de
(b) Les côtés sont m-ouverts.
(c) Tout convexe ne rencontrant pas H est d’un seul côté de
d’un seul côte de H ,
(d) Si X
c (X) aussi.
il .
H .
a
H .
de
H
qui
SEMI-NORMES ET ENSEMBLES CONVEXES
(a)
(b).
et.
ouvertos par
Les côté~; sont
c ((x , y}) ~ H
est
y
H . Un
.
maximal
convexe
(c).
C
Si
tout
Donc
H
est
donc
C
de
E
disjoint
est
est
c ( { x.., , x))
C ,
y
est dans le côte de
x
est
côté de
un
convexe
un
côté de
11
n
est
à
images réciproques de boules
H, et
car
un
rapport
par
x~
C
maximal
ne
rencontrent pas
(c).
résulte de
I’
rencontrant pas
un convexe ne
de
x
3i
0
non vide,
m.-ouverts,
convexes
application
une
et
vide,
H , et
non
vide,
9
soit
dans
x~
C
contenu dans
car
n
H .
est d’un seul côté de
C
..
(i)
immédiat, puisque
est
On
Remarque. -
convexes.
même mieux puisque le côté
a
maximum disjoint
les côtés sont
et contenant
H
de
contenant
étudions l
Il .5 Séparation
séparation
aes
des
ensembles
53. - Soient
vectoriel
Alors il
est donc
convexes.
Dans la
suite,
convexes.
convexes. -
K
et le convexe
x0.
Sénarer des parties revient à séparer leurs enveloppes
nous
x0
~~~ .
Voir
o
corps value maximalement
un
complet, E
un espace
K ,, C un convexe de E , et a un point de E en dehors de C .
Existe un hyperplan affine de E ,contenant a et disjoint c?e elle
intersection des classes d’équivalence par rapport aux hyperplans de E ,
sur
o
s
le contiennent.
Démonstration. - L’énoncé est
a~
C
Alors
H
{nv{û) )
=
est
(PROPOSITION
sont des
convexes
des restes de
qui sépare
a
et
de la
proposition
42
puisque
dans
pas
K
un
est
contenant
a
et
disjoint
si
maximalement
de
Cii
C .
et
C2
k , corps
il existe un hyperplan affine de F , H ,
espace vectoriel sur
Z/(2) ,
K ,
C2 .
*
H
procède
en
K . On
hyperplan,
54) . - Si
K , n’ est
Ci
un
disjoints
Démonstration. E
conséquence immédiate
et
défini
sera
deux
par
une
équation :
f(x) =
x , où
temps :
1° Trouver
f
pour que
2° Choisir
a
pour
f (C~ )
et
qu’il sépare,
f(e2)
dans
K ,
soient
f {C~ )
disjoints3
et
f(C~) .
f E E*
et
J . -P . CARPENTIER
1°
Puisque
et
C1
étant disjoints,
et
disjoint
et
0~
donc
k ~ ~ ~~) ,
donc
sépare
G’
:x
et
I
et
C~
contenant
E ~9
0
K . Soient
cx~
soit a
B2 ;3
u
f (CZ) - ~ . ,
f (C1 ) , a2 f(C~) ,
e
E
fermée de centre
et de rayon
B fi B~
on a
f_ {C~ ) - f(C2)
de
r =
la boule ouverte de centre
Si
hyperplan
et
C~
convexe.
de
la’proposition 53 :
f(C ) et f (C~ ) sont des boules
~a~ - ~2~ . Notons B la boule
2°
h~
un
est
8
C~ - C2 =
C . Soit donc
f (0) ~ f(C) ,
0 =
Cn voit que
0~
d’après
C
de
sont convexes,
C~
on a
a~ q c~ ~ Bi ’
r .
E
On
et de rayon
B , cx ~ B~
sépare
donc a
Bi
r ~
les inclusions :s
a
B~ ,
u
f(C1)}
donc
et
BI
f (C2) .
et
D’après
la
PROPOSITION 55. - Si
C
de
f
il
que a , tel
C
56. -
un
alors il existe
H =
que
HO .
f(V)
étant
K
un
n
f1
Si
y
commence
f (C ~ _ f6 ,
est
C
un
V
on
une
C
voit que
HO
E
Xc
contenant
autre
~~
et
soient
E
V9
et
un
espace vectoriel
E
disjointe
de
di sjoint
proposition 54,
K
f (C). ;
à
point
un
r,y
sous-variété affine de
f (u) ,~
un
Soit
la distance de 03B1
et de rayon
a
pour la
comme
hyperplan qui
est
et
r
,
maximalement complet,
de
C , il existe
x0 .
strictement
E
hyperplan affine H,
convexe
x0
E , x0 ~
E
n
da.n3
Soit,
sépare
Démonstration. - On
telle que
tel que
=
PROPOSITION
K ,
de
maximalement complet,
non
K ,
sur
dans la boule ouverte de centre
existe,
sur
E
strictement C et
sépare
Il existe
E* , l’équation
E
sépare Ci
un corps valué
est
F ;,qui
E ,9
Démonstration. où
K
d’un espace vectoriel
un convexe
hyperplan
(a)
proposition 5C,
entraîne
et
de Cs
C .
ayant obtenu f E
f(V)
=
(c~} ~9
donc
convient.
m-ouvert, la proposition exprime
que la
jauge
suppose
E ,y p)
propriété
que K n’est pas maximalement complet, la proposition 53 et, a fortiori, les propositions 54 ~ 55 ,s 56 sont fausses;9 il suffit de reprendre le contre-exemple de
___ proposition 4â avec les notations
d’alors, il n’existe pas de droite de F
de
C
étant
p,
(K ~
9
un convexe
v ,p
a
la
de Hahn-Banach. Si
on
SEMI-NORMES ET ENSEMBLES CONVEXES
(’.i
passant par
tout
juste
ment
complet :
C
,
donner
la
u)
et
ne
rencontrant pas la boule unité ouverte de F . On peut
il n’est pas maximale.
résultat extrêmement partiel, quand
un
une base dénombrable,
proposition 35 rc-ste vraie si
une conséquence facile du résultat suivant s
et que
m-ieme. Il est
est
(K , p)
Soient
un
semi-normé
espace vectoriel
dénombra’-le),
étant de dimension
(il
existe
(On démontre
"
de
projection
une
L ,
sur
[4]
E finie]
,,o-:-r
de
r
~i
>
C
,
9
soit dense dans
positif
un
qu’il exisE , G
3 alors il
non
en
par récurrence
( ! + ~i)
1
’+’
méthode
1
la codimension
de
cas
puis on raison e
tel ;3 que
L
L
suffit même
telle que
,
dans le
d’abord ce résultat
,iuc dans
+
nombre réel
-un
E
le corps value
sur
sous-espace vectoriel de codimension dénombrable de E
te un sous-espace vectoriel G de " , tel que G
réalisant
Ey
et
x0; --
n ’ e st pa
en
une suite
i=1
’= ; ’
en
type.)
:.lü
d’extension
-.
C est alorsg_
gendr
alore p(xi)ù;
L la
étant trivial,
:’
par
m-fermé = ,:
_
,
et l’on pose
droite engendrée
xC
£ C,
il
qv.5-
é-. un
n’;,j a,
sens
c a. ù
où
-5
dan s 1 ’
espac
e
p . On
absorbant de jauge
peut sup oser C
a
1
par x0 :
ori a
x,-= / m(11) ,
Nous -j_ions maintenant >§;;,,jiier. le
ce
i e
on
puisqu’un hisp=rp,lar>
pa,s ,l’ espoir de
séparer
problème
11
de côtés
ë".
couvexes
=
de
i,=,
a. i:,1>
trois
et pa.r suite
03C0-1(x0)
convient.
plusieurs convexes,
Cependant
j;.el conqUe?,
deux à deux:
.
îs-ni
:x
K ,
limitation pour
droite. On a déjà rencontré une
peuvent être sépara p~~-’ aucune
on ne pourra pas touIci
encore,
>
2
.
k
card
la séparation de deux convexe. :o
si
de K , disjointsdeux à deux,
convexes
n
quelconques
séparer
jours
ne
o
puisque
l’on
ne
peut évidemment séparer
Nous allons utiliser le lenme
i
algébrique
classes de
suivant :1
A - nodules
3 .
J.-P. CARPENTIER
(PROPOSITION 57). -
(xi)i~I
Soient
V
famille d’éléments de
une
espace vectoriel sur un corps k, et
{0} . Faisons l’une des hypothèses suivan-
un
K -
’
tes :
la
card I ~ card
2~
c.-’-rd 1
card
Alors il existe
f
V*
e
J
sous-espace
i
=
est
un
exemplaire de
03A0
l’hypothèse
Supposons
une
établit
un
isomorphisme
x1 ~ . ~ ~ i x. ~
,
du
03A3
tel que, pour
3°,
c’est
évident,
car
I = J
Î1
et
doit montrer
on
9
~
et si à f E V*
Kx. ,
V*
entre
sur
V . Soit alors
engendre
= ~
,
K . Si
K. ,
forme linéaire définie
une
V ; on a V
base Je
I
E
Ki ,
où
K.J
qu’il existe
03B ji j ~ 0 .
et
j
=
1 ,
tout j ,
pour
maintenant
card I
(03BBJi(i,j)~I J
card k . Alors
cT.rd i
infini et
puissance card I ,y donc la sous-corps de k, k’, qu’elle
de puissance au plus card 1Alors k est un espace vectoriel sur
card I , on en déduirait
est une base. Si on avait card H
I9 donc card H > card I , et on peut indexer une famille
famille de
est
engendre,
k’ ; dont
card k card
d’éléments de
non
on
une
i
pour tout
convient.
par
est
(x. J. J
soit
,
0
peut toujours prolonger
peut supposer que
vectoriel,
(f(xi))i~J
dans
Dans
on
on
que
associe
on
k ,
f(xi) ~
telle que
Démonstration. - Comme
un
card
est linéairement indépendante.
3° (xi)i~I
’
k ,
f ini et
tous
k
indépendante
nuls, donc 2 _
k’ . Alors
sur
0
~*
entraîne
03B ji
à
~*
fixé
i
0 .
card k , et raisonnons par réfini et -lard I
T~e résultat étant
l’espace engendré par les
évident quand cette dimension est 1 , supposons-la vraie quand elle est n - 1 .
Soit alors ï ’
l’espace engendré par (x. ) 1~T, et soit H un hyperplan de V’
I
Suppo sons
currence
la dimension de
sur
.
contenant
au
moins
un
Xi:0
et la fajnille
(zi)
dans
( I’ est
non
card I’t
~T
card
I
i . Il existe
donc,
H
donc
f
pour tout
i.
Soit
-r~ E V , yd
y~
+
E
à
=
g
est
un
colinéaires
T~
I ~s par
y~ + H,
yl , par
étant de dimension
n -
considérons
3
,
strictement contenu dans
card H,y soit
yl
h , parallèlement
sur
i,
.
des vecteurs de
Projetons E
pour tout
x..
zi
élément de
g
E*
vecteurs
i~ ~
i
pour tout
on a
i
1,
aux
exemple
n(xi) f
0
+
y~
xi
l’ ).
de
I’ .
.
pour tout
tel que
qui vérifie
H
4
SEMI-NORMES ET ENSEMBLES CONVEXES
Si maintenant
C
si
e;t.
est
espace vectoriel
un
’:. de
fennec est B,
boule
vectoriel
de
E
convexe
B
k . Soient
sur
C
dans
non
.,
Si
F
on
p(B n F)
_
card k . Or si
car
verte de
p ,
’’/~ 0 ! s~/~’ c ~ n/C ,
fl =
est
base de
une
est
base
f
c’ est
*:
est
9
et n
f,(e.)
=
K tel que
définie et que
E
1
03BF
linéaire
larme
û
et si
et
x
x. ~
y*x .
...
pour tout
B0- est la
i. ,
unité
appliquant B/B0
une
= f1_
base de
+f i ,
._
Or,
ou-
sur
N = {x |x~039,
N,
>
A ~ A/J =
c’est vrai
car
f1(ej) = 03B1jk)pour j.=
sm voit qwe
(ej) .
la base
sur
.
.9P
ek
et si
définit m.e forme linéaire
on
(T :t
03C3(ek) = ek :
p(x) = 0}
k+h,
..
°
si
(ek(k-1,
vérifie
p
.
k
B/B0 .
su.r
et si
F . 3i
de
pour j =
03C4
f (X. ) ~
par
-
éléments
n
B/C ,
... ,
engendré
si
B/B0 ,
sur
k,
sur
e, . , ... ,
où 03B1j
E
k,
sur
par
est
telle que
sur
card
=
de B
d’espace
on,
o
0
P
applique
p
orthogonale
par
qui
i
appliquant
o
Notons
de
forme
ime
ind K
engendré
vectoriel
le sous-espace
sur F
Il existe
p ; dont la
de jauge
l’application canonique
0 , notons ~
F =
complet K ,
minimum
0
avec
x ,
o .. ,
est
le corps maximalement
est muni d’une structure
que
x ,
p
sur
contenant
sur
1 ,9
... ,
k
bien
fi1
Il
F
f1
en
résulte
que
0
entraîne
f1(xi) ~
C .
et que
On
a
tout
~(C)
Si
démontré
E,
nous
reprend
un
n
ques de E
est
une
et tout
sur
x
Posons alors
obtem. la
propriété
n
=
... ,’
de
... ,’
E
sur
C , q (x)
dans
f
une
f
{r ) _ 0 ,
F ; pour le
projection de
proposition 41.
E
F
sur
donc
f1 (C) cA.
prolonger 2-
telle que
= fl
proposition
un
eh
système T .
projections quelcon... ,
9
ek+1 ’
projection
.,
r
el ’
(e.)...peuvent
, , lesêtrevecteurs
incorporés dans
la base
,
alors que
raffinement de la
système vérifiant la.
Soient
fl
allons introduire
C . C’est
on
A
n’ est
E
,
,
et
~h+1 ~
des
... ~,
un
ek Alors,
F,
et
on a
suivante :
C
puisque
C . pour tout
x
C
dans
pour tout i = 1...,
h+k
C .
pour j = 1 ,
... ,
.
n .Nous avons
J.-P. CARPENTIE
paorosition 5.
;.-
,0
"
" "
c
si
_
1
si
-
11
est
1;, " .o- _1i. uni j,.-, i’op.>nn,-.e
et
.---O-’- " ’ ~~
-, ,
", i
de
~" -~~
~ ’ ~~~ ~ ~ ,à -Ô
-
-
. > r«, ce, , .
ou ,
’
.’
,
î~ . ~ ~’ ~ ~ n
à-1
,
com-
jauge
d’1 éléments de
’
p
’~
sur E ,
B
1,
.>deux
’ »L:’ z= ’
..°. ,1
1(
’-.Eidions maint
.’
deux.
.;-Li i>..
Etulions
images disjointes
;:?an t 1laa sépa
maint
man
t
deux ia deux
tion de plusie
urs s
pl ; ’ si eur
ration de
©
,
«; . ) . -
:,, , -;r sy g.i:;,c :i-. :. ; .ii.:i :i
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(X .~) .
de
(> ,
-
.disioints
"" ’ "-i -i.i ,m ’
-converic
, - . ;,,rp, , ’.. , , -
’
toute famille
>io’_tI.
’
---’---’-~-
,
’
îe corps maximalement
sur
absorbant et contenant
------~i-
1
"
--
E
f(xi) / f(C) .
I ,
tel e que
espace vectoriel
a£
--
n g :==/
.t_=iit, ,
ç
?
~
’
non dans
un
e zt
#- -#
.,: .
,
;i e
i
,nat* ; t. ai-i à ia,
03B1i2 , 03B1i3 , 03B1i4
ndition du
co
és ad jacent s
deux côt
a
gaux.
>1, £.
’
’1’ _’
J
’i ’
,
=-ç->,
y;>T?.i- le ;i
- .i: ,
quadrilatère
1
"
,
.il,
x1
1Jou "
x1 ,
o
x2 x3
"
:.
1, , î;, 5--.
tout
égaux;
deux côtés
a
lc ..-i ° .- x J’autre p J rt , si OE sépare
x" a dé’Ùx
àd’iacentJ é£aUX°
dE;
un 2
.Fi-_ quadrilatère
t.Jut
;cL
.i,;-.:.,;. i a .;=i :,,,i>,
c ,1 ’ peut , , ’ a.; . ’ m suppeser
,
(Ci1> . 1% - , À vérifie
,
i, ,
àoEeC-
G.
r.:::
;>.
la condition
1J.
c
OE.
,
,
,
e gi,
’
= Ci4
Ci3 , 03B1i4
03B1i3 ~
le
a
qu
dri
latere
03B1i1 03B1i2
03B1i3
dépend
n c=
que cet e propriété
.. ,
03B1i4
ôt és
deux c
a
p ;7 ;s des
03B1i1
djacen
a
03B1i2
,
ts
,
03B1i
3
,
-’" 0’ à ’-- >,O
.
,
à ,
(-
Il
-"’-°---
o .
-
-"
dis-
deux a deux
lat ère, i l exis xe
c
.
o
,
’.1
---
~~~"~~~~~~~’~
-,-
’CI-£’
est
S"
SiC Ci
.
Démonstration. -
boules fermées
de
T:..
~
tî°oïs
Eoùpal-e
~ _
~~~---~--
’
’~
convexes
’
’
~
__.
C1 ,
deiàc
centre
Ceii’£±=
;.:.
xi
et, £le
e rayon
et
d
es
qv,elles
p. ,, montrons que
03C1i
|xi - xi|ont
et, de rzi.o!;.
x.
une
intersection
vide.
*
3 # serai-t contradiction a%-ec 1*
x . - 1 z= . j ,[ et |=fi ( - xl .) seraient tou s deux
ei’î;t,
n
tère, puisque
( xi . en
o
K
deux à1
C’ , 2,.
non
de
ind
-.
:],o_;#= 1; .1> 1_:x
=i-na=-e
--
n convex s
K ;, ’i_B-_làO -1 "%né 1 ,1.on -’ÀU 15,,
C, ,
,=Y
particulier, .ii
£iV,1
’% l’, .ll.
1 ? ? nt é,_ ,oli
L -=
Cn sont
Si Ci , ... ,
53. -
PROPOSITION
xk|
~
nombre
h... Gin
i
oà o
da--fls
,
Ci’
( xi . - x" ) jj
et
fini,
é-
B
ant
n
;..;>e
C.
i
c.
en
=
par su it e le s
intersection
fi ;
,
B.,
’
car
non
B..
î
qui est impossible.
0
PJ.r
ri
’ i’J
sont
propriété
=
’
s-u.i.le,
entraînerait
iE
B
n
Ci est
que
emboîtées, et,
vide. Leur intersection est
G
i
du
plus p etit s
une
x
io
,
une
x.
étant
boule B £
tous deux
3o
partie propre
de
B
SEMI-NORMES ET ENSEMBLES CONVEXES
la subdivision de
e t,
cl:e.ci;se:
F;
ind
en
boules ouvertes de même rayon que
K
contenu dansun ensemble de la
donc il
des
point :
de
points
sépare
03B1
les
’ L~~~s propositions
B
qui
sont dans
ne
il y
partition,
des
aucun
a
By
ind K
n
C.. Soit
03B1
un
tel
deux a deux.
Ci
5~ et 59 permettent de résoudre des problèmes de
séparation
particuliers.
PROPOSITION
60. - Si
E
(K , v) , soit
complet
,.~ r boule unité
C
fermée
C
_’.~l
e
~
Cn
B
avec
C)
n
de
~~ ,
convexes
n(n - 1) 2
Cn deux à deux (il
...,
corps value maximalement
ind
jauge
p ,
translates de
il existe
K ,p
suffira de n(n-1) 2ind K,
4 ).
si
o
Démonstration. - Si
i~j;
avec
néaire
en
Ci
déduit f(Ci)
)
~ f(Cj
ont tous leurs côtés
posons
puis,
f(Ci) ,
deux les
tient
(ei)i~I est une
p .
e
est
k-linéaire de
alors,
quons enfin que si
C
triction
x
x e
n ’
voit que les quadrilatères
deux à deux les
f
= T
card 1
card I
,
p(x) :
°
=
E
un
convexe
3~
(x )
card
ceci
va
fini
possède
Alors il existe
1~
f
e
E*
f . On ob-
espace vectoriel
absorbant
résultats suivants.
non
sur
le corps value à valuation
Si
{xl)
est
K ,
et
o
plus généraux. Remarf(x) ~ C , il suffit d’assurer
nous permettre d’écarter la res-
un
vide :
iEI
E, vérifiant l’une des hypothèses suivantes s
2°
.
proposition 57,
x ~ C , pour assurer
E ~9
C
1°
C..
9
telle que
f
~ B . :r-. obtient alors facilement les
de
de
,
des résultats
avec
6l . - Soient
discrète
d’éléments
comme
On
proposition 58, C est la boule unité
sur
k , et si ei = 03C1(ei) ,
et
Eï
10] ce qui permet, pour toute
ùe trouver
y = x 03BB
où
i~j.
la
traduisant la
en
ind
li-
une
base de
base orthonormale de
une
a n(n-1) 2 yij
Il existe
car on
sépare
difficultés. Revenons à la situation de
forme
xj . Il y
n
supposer _. ,. valuation discrète pour obtenir des
Nous écartons le cas de la valuation triviale qui est sans
plus généraux.
ouverte de
xi -
=
équivalent
Ci Cj = Ø .
f {G ) pour tout i et j ,
égaux. Alors
Nous allons
yij
à
si
à
sépare deux
qui
+ C ,
xi
est
telle que
f,
,
K
=
C
or
E ,
sur
03B1 dans
‘.
sont
e .. ,
et contenus
un hyperplan qui sépare C1 ,
sur un
absorbât contenant
ur: convexe
B .
deux à
disjoints
est un espace vectoriel
C
card
la
I card k ,
propriété (n) .
telle que
C
pour tout
i
e
1 .
o
une
famille
J . -P . CARPENTIER
E
PROPOSITION 62. - Soit
(K , v) .
On
ind
suppose
--
te un
de
On
Démonstration. -
espace vectoriel sur
4 . - Soit
p
qui sépare
E
peut
i3. exis-
deux à deux..
B3
exemple
Nv .
deux à deuxdisjointes,
p
B1 , B2 ,
supposer par
corps à valuation discrète
le
semi-norme vérifiant Np =
une
sont trois boules de
B f , B2 ’ B3
H
un
K >
sont des boules
B1 , B~ , B~
que
écartant d’abord le cas où certaines seraient de rayoh nul. Si
p ,
est alors la boule unité ouverte de p , on a
Bi = xi + 7~i B pour i=l ,2 , ’3
ouvertes de
B
en
~i ~ 0 .
avec
B. - B.J = (x. - x.)
J
+
(i ~ j)
E
wi.
~-J
-L
1
où
si
jilJ= 03BBi~-
-*-
J
l
ou inversement .
x.
Pour
forme linéaire
une
f (0) ~
f,
>
f(B. - B.)
J
est
~
.
équivalent
à
~n ~
x. - x.
Soit
il
n’y
f(B.)
= i j ij ,
y..
forme
une
linéaire
telle
f
et,
n
J
en
B.
n
,
la
appliquant
Alors,
(f (L . ) ) Z i=i 9 2, 3 .
deux à
B, .
B. = Ø , on a yij ~ B (i ~ j) et il existe
car
que f(yij) ~ f(B) pour tout i , j i ~ j ,
entraîne
yij i ~ j . Alors f(xi - xj) ij ~ f(B)
puisque
que trois éléments
a
-x.
f (=-~-) ~ f {L) .
)
qui sépare
F" ,, et
il existe a
proposition 60,
H =
deux à deux
sépare
..
Alors,
de
B1
si B3
est de rayon
de
revient à
ou
B’~
>
telle que
f
che
nul,
est
B., J
séparer
un
une
variété affine9 mais
point
de
B
B1
~" {B~) _ f~ ~ f (x3 ) ~ f(Bl)>
n
séparer B,,
B2 .
ou
On cher-
f (~, ) ~ f (B2) ,
et
et l’on achevé de même.
Si
et
’:’fv
d’abord
f
sont de rayon
B3
nul, soient
f ( x ~) ~
f(x - x2) ~ f(B) ,
est assuré par
9
sont de rayon
Si B1 , B2 ,B3
Remarque. -
La
x~
E
et
r~
f ’ (xJ ) ~ f(B,) ,
telle que
B~ .
°
et
f {xz ) ~
et l’on achevé de même par la
il
nul,
n’y
a
pas de
On cherche
ce qui
proposition 60.
difficultés.
proposition 52 serait fausse pour trois convexes ne provenant pas
(Voir le contre-exemple déjà donné avant la proposition 57.)
de la même seni-norme.
En particulier,
Pour
E
dans
on
peut séparer par
généraliser plus,
relativement à
on
un
est amené à
la jauge
de
hyperplan
introduire
tous
partir de celles données dans K . Il faudra
qu’ elle conserve la condition du quadrilatère. Pour
(vérifiant
N N )~, B.
p
ces
boules sont des boules
gue et
sans
=
difficultés.
est
ouvertes,
donnée,
nous
les autres
distincts.
la condition du
p . I~es définitions
ment à
de
points
cas
en
se
quadrilatère
transposent immédiate-
outre choisir
f
afin
cela si la famille de boules
supposons d’abord que toutes
se
traitant de manière a~.nalo-
SEMI-NORMES ET ENSEMBLES CONVEXES
Alors si
.
de centre
est de centre
B.
xi
x.
et de rayon
p(xi - x~ ) .
et de rayon
r. ,
Si par
soit
Bi~
exemple xl xz
quadrilatère avec
x.-) = p (xl - x4) ’ on a
y et ~~’~ _ ~i~~ . Si on choisit f de manière que
î (x4) ~ f (B.~ 2) , on voit que, puisque xz et x4 sont dans
est un générateur de J
f(x2) et f(x4) sont dans 03BE-1
condition du
vérifie .la
x3 x4
B1 z ’
f(x2) ~
~"1
où
f(B1,2)
y
’
la boule ouverte
9
donc
que
chaque quadrilatère ait une image ayant deux côtés égaux. nous
séparer deux points d’une boule de p . Comme il est facile de
voir que, par permutation des sommets, la condition du quadrilatère. est conservée,
sont distinctes,
on doit envisager a priori
conditions, dont au plus
i ~ j , ~ui est
puisque ces conditions sont de la forme
ce qui sera
lente à
f (Bî i) ’ On doit ensuite assurer f(B. ) n
encor e réalisa des que
(1
~
j).
puisque
B.
Ainsiy
pour que
amenés à
sommes
C4n
.
f(B .. ) ,
f(xi) ~
f(Bj) ~ Ø ,
f(xj) ~ f(B..)
a
On
à introduire
et 03B1 , séparant
les
conditions
t’(D1) ,
ô3 0 - Soient E
discrète
Soient B 1
non
un
triviale (fi,,v) ,
, ... ,
Bn
n
..
p
boules de E
n
H , qui sépare deux ù
deux
$eS
f (p1. ) .
une
f
existera si
ind K.- B’où
n
espace vectoriel
et
étant deux à deux
les
f(xj) ~
existera si
avec
disjointes,
(B.)...
ind
K,
le corps value à valuation
sur
semi-norme sur E
n
C2n
s
ind K
vérifiant
- n(n - 1) 2
un hyperplan de E ,
il existe
Np
ind
=
K ,
y
1)
Séminaire CHOGUET,
Initiation à l’Analyse,
4e année, 1 ~~4/E; 5 , n J 7c, i ~ p.
11
DANS UN ESPACE
février 1965
SECTORIEL
SUR UN CORPS
par Jean-Pierre CARPFNTIER
Troisième partie
Ensembles
dans
convexes
espace vectoriel
un
topologique
’
exposerons quelques résultats obtenus sur les
convexes dans un espace vectoriel topologique sur un corps value ultramétrique.
Cette étude a été commencée par MONNA [8] (*), mais le théorème essentiel, sur la
troisième partie,
Dans cette
structure des
nous
compacts
convexes
dans
un
espace vectoriel "localement
convexe",
est
nouveau.
III.1.
Propriétés générales
{x ~v)
sur ce
est
liant les convexes et la
corps value
un
ultramétrique,
y
E
topologie.
espace vectoriel
un
topologique
corps.
PROPOSITION 64.
-
Si
C
est convexe,
C
-
Si
C
est convexey
C = j3
-
Si
C ~ f~ ,
est
convexe.
C = C,
ou
et
C
est donc
convexe.
est à la fois ouvert et fermé.
C
Démonstration.
-
Si
C
-
Si
G~~,
que
C
est
est
y ~ C,
l’ adhé-rence d’un sous-A-module est
un
il existe
un
voisinage
C ,
de tout
On définit
ensembles
et
C
dans
x
est
voisinage
un
C ,
C~
0 ,
l’enveloppe
convexes
un
sous-A-module.
x0
9 il
en
résulte
Comme si
C
est aussi fermé.
C .
on a
convexe
de
car
est ouvert et
on a
Remarque. - Si
(*)
x~
e
fermée d’un ensemble
fermés contenant
M . Elle est
égale
iR
à
cor~me
l’intersection des
ou encore
à
c (hi) .
Les chiffres entre crochets renvoient à la bibliographie placée à la fin du
et les références aux propositions 1 à 63 se rapportent aux pre-
présent exposé,
mière et deuxième parties.
SEMI-NORMES ET ENSEMBLES CONVEXES
,
:~
Remarquons aussi que l’enveloppe
est ouvert non vide,
c(l1) est
d’un
convexe
ensemble
c (M) = Î ~
convexe, et
ouvert est ouverte : si
=
~~,
M
c(M)
donc
ou-
vert.
PROPOSITION 65. - Soit
où
f
est
H
défini par
r(x) ~cx~
H~~x i
,propriétés suivantes sont équivalentes :
hyperplan
un
forme linéaire. Les
une
~le
~
(1 ) f est continue,
(2) H est fermé,
(3 ) C H
intérieur,
(4) Un côté de H a un point intérieur,
(5) Tout côté de H est ouvert (sauf H ),
(6) Tout côté de H est fermé,
(7) Un côté de H est fermé.
’
Démonstration.
~
(l)
-_...--~
(5)
>
(4)
-~-~
(5) ,
(1 )
par
f
(2)
(3)
==>
car
t
est connu.
est trivial.
les côtés de
de boules ouvertes de
(l) ===>
fermées).
pour la même raison
est trivial.
===>
(7)
(7)
_->
(l) :s
fermé est
sissons
a E
H
et
À
E
K ,
pour tout
H
b
B
= ~ x ~1
tel que
A~0,
x E
de
Il revient
U
au
H , il n’y
ces
b)
convexe
convexes
quand
sur un
topologique
varie,
a
E
+
est
a
fermé
encore :
H
est donc
fermé.
corps valué ultramétrique.
sur
s’il existe dans
choi-
E
avec ~
H . Cet ensemble s’écrit
ensembles
sont aussi
K
rien à démontrer. Si le côté
a
(~ - ~ ~ ~
.
Un espace vectoriel
voisinages
images réciproques
les boules ouvertes de
K,
et contient
est l’intersection de
est dit localement
sont des
f (b) _ ~,
III.2. Espaces vectoriels localement
que K
(car
si le côté fermé est
où
H
autres que
H
K .
(6)
(6)
donc
(3)
_-~
E
le corps value ultramétriun
système
fondamental de
convexes.
même de dire que la topologie de
semi-normes, d’après le §
II.2.
E
est définie par
un
système
de
J . -P . CARPENTIER
On
p.
:~ celles des espaces vectoriels localement
des
convexes
a
sur
66. -
lement
convexe
sur
Sji
!.
li,
et
est maximalement
h’
forme linéaire continue définie
continu de
III.3.
~ tout
f’
E
complet,
un
vectoriel de
un
F
sur
il existe
,
un
loca-
vectoriel
espace
si
,
f
l;
prolongement linéaire
E’t
F ...
de s
Séparation
compléter
Nous allons ici
d’af irmer l’existence
les résultats du (;
fermés
d’hyperplans
~~~jr
séparant
des conditions permettant
ueux
Ici
convexes.
encore
’
tude est
analogue
PROPOSITION 67. e}:
topo logique
toriel fermé de
1° Si
F n
01
R .
à celle faite dans les espaces vectoriels
l:
On suppose
I~’,
sur
C,~
C1 ,
des
convexes
de
E
Soient
maximalement complet.
H ,
I~’
un
un
espace
vec-
sous-espace
vec-
E .
--
Ø
et
C1 ouvert, il existe
ferme de
un
E :
tel
H
que H ~ C1 = Ø et H ~ F .
2° Si
de E ,
,
Cl
El
n
C2 = Ø , CL ouvert, et k J Z/(2) ,
séparant Ci et -~ .
il existe
un
hyperplan fermé
.
pourrait multiplier les transcriptions de ce type des
ouvert entraîne H
II .5, elles résultent toutes du
1
proposition 65, un des côtés de ~i ..lyant un point intérieur.
Démonstration. - On
rèmes
la
(PROPOSITION 68). - Si A est
E c A
-
pour toute l’oawu: linéaire
continue sur
E
.
qui le contiennent.
côtes
est intersection des
- A
fermé,
un point intérieur :
un
f(E) C f(A)
=:=:>
théo-
Démonstration immédiate.
liaintenarit,
C
un
convexe
se
ramène
supposons de
au
cas
E
de
compact
entraîne que
point,
on
nous
K
où
.
convexe
que
L’ existence de
convexes
est a valuation discrète :
K
est
complet,
et alors
on
séparé.
Soit
réduits à
un
compacts,
les
envisageant
complétés,
voit que K est localement
non
en
donc à valuation discrète.
PROPOSITION 69. - On suppose
convexe
un
élément de
C1
E .
un
convexe
K
maximalement
compact
de
E ,
complet.
C2
So ient
E
lo calement
convexe fermé de
E,
a
SEMI-NORMES ET ENSEMBLES CONVEXES
1° Si
11
a
~ C2 ,
il existe
hyperplan fermé
un
de
F. ’
H ,
tel que
a E
et
H
C~ - ~
n
e
Si
2°
et
sépare C1 et C2
n
C1
existe un hyperplan ferme
i1_
,
de
H , qui
E ,
.
Démonstration.
1°
Puisque
a ~ C2 ,
(e.
+
,
C?
n
C
qui
il existe
C
et l’
on
s.
point intérieur,
2°
étant compact et
G1
(C1i
C , tel que
ouverts, on
+
C)
n
(C
est
il existe
C1
Ce sont d,es
III.4.
Structure des
E
0 . Alors il existe
et telle que tout
première partie
K .
Soit
C
xi ei ,
I
=
{ x ~(
engendre
x E
E ~
E .
C
p (x) ~ 1 ~
9
stant
borné,
ce
la
p
.
iEI
-
K ,
p{ei)
sur
1e
xi~
E
corps
conte-
E ,
F , qui est
A
libre
et
~
une
p , pour
se
ramène
p
est
est
une
la quelle
au cas
plus
oùC
fine que la
r_orme, à laquel le
famille d’ éléments de E :
vérifiant :
~.
1
pour tout
tendant
au sens
fermé
proposition.
borné de
avec
C ,
qui est po ssible si on
topologie définie par
topol-ogie donnée sur E . Il en résulte d’ abord que
nous pouvons appliquer le. propo sition 8 ;t il existe
-
convexe
..
Démonstration. - Introduisons la jauge maximum de
C
de la
d’ éléments de
(ei)i~I
famille
suivant le filtre de Fréchet de
0
vers
0
la contiennent.
un convexe
s’écrive :x = 03A3
C
de
sont des convexes
topologique séparé
espace vectoriel
un
une
de
convexe
C
vectoriel top ologique.
"
~
tend
x
Cz
+
convexe, toute variété li--
est localement
hyperplans fermés qui
faciles de la
va.lué ,com_pLet à-valuation discrète
nant
et
convexes compacts dans un espace
PROPOSITION ?2. - Soit
voisinage
un
C
fermés qui le contiennent.
E
Ci
est intersection des
conséquences
+
est localement convexe, tout
côtés d’hyperplans
(FROPOSITION ?1 ) . -
fermée
comme
E
Si
COROLLAIRE
néaire
est
Ø;
COROLLAIRE (PROPOSITION 70). intersection des
convexe
+
proposition ~?.
la
appliquer
C
C2 fermé9
C2) =
+
voisinage
+
-
a t;n
de
0 , C , tel que
car il contient
ouvert,
C2
peut appliquer la propo sition ~? .
un
~
donc aussi
i
pour tout
x
vers
dans
0
de la norme,
E,.
E
I ,
e
il existe
une
famille
{x ) i iEI
suivant le filtre de Fréchet de
avec
p {x) _
sup
iEI
{x1) .
unique, d’éléments de
et
telle que x = 03A3
I ,
xi ei
,
J.-P. CARPENTIER
résulte que, si x
donnée étant moins fine,y
Il
en
e
C , on a ~xi ( 1 pour tout i ,y et que, la topologie
x = ~
a fortiori, pour cette topologie, ce qui
i~I xi1 e.
1,
achevé la démonstration.
On aurait
Remarque. -
théorème du même type
un
en
valuation maximalement
et dimension dénombrable.
(PROPOSITION 73 ) . -
Soient
IL
un
~.I
produit
(
A
muni de la structure
est l’anneau des entiers de
corps à valuation discrète
un
espace vectoriel topologique séparé
contenant 0 de E . Alors, il existe un
E
complète
~
corps, et
C
complet,
compact
isomorphisme-homeomorphisme de C
algébrique et de la topologie produit
sur ce
un convexe
I~ ) .
conclusion du théorème entraîne : il exi ste
Remarque. telle que :
quement libre d’éléments de Z ,
tout x dans C s’écrit de manière unique x = ~L
xi e.
une
famille topologie
(ei)i~I ,
-
somme
-
est
prise
de la
sens
au
~
~
En
Ai
effet,
(e ) 1 1E 1
E
xi
~
propriété.
~’
~
cette
a
topologie
(xi) ; FI ,
pour toute famille
de
Fosons
de la définition des structures de
s’écrit
x
= ~.
K
.
Ecartant le
localement
On notera
~’’
compact,
Nous dirons
Y
en
=
ce
existe dans
x
avec
e. =
part,
03B4ij
où la
E
et xeC .
symbole
de
pour toute famille
et c’est
il résulte
comme
h
=
~
serait réduit à
cas
où
C
qui
est
équivalent
outre que
Ker f
propriété
Soit C
une
=
vérifie P ;
nX
~
Ce dernier fait entraîne que
n
C .
C
à. K
engendre E, ,
0y nous pouvons suppoà. valuation discrète et k
donc que
F est
{/y )(
Rappelons
qu’un sous-ensemble X
Montrons que la
=
l’ensemble des formes linéaires continues
f
noteras
.~.
"
fini. Nous supposerons
on
e
e..
x .
Démonstration. ser
xi e.
libre. D’autre
topologiquement
k , 03A3 xl ei existe
d’éléments de
y
E ,
2-
A ,
est
, xi
de
E’
a
a e
propriété
est absorbant.
E . Si
.
K ,
f
e
E~ ,
1) .
P si :
U-inductive.
E’
chaîne de sous-ensembles de
or
la
sur
C
il est évident que
Y
vérifiant P. Il faut montrer que
vérifie
p supposons qu’ il ne
SEMT-NORMES ET ENSEMBLES CONVEXES
vérifie pas
f-10(J)
P2.
Soit donc
est ouvert et
Alors si X
est
un
f~
Ker0
E
Y
est
g
tel que
fermé,
ensemble de la chaîne
C étant compact, il existe
’’’
contenant
gl ’
... ,y
~n
et
f~ ,
on a
qui contredit le fait que X a la propriété P2. Donc Y vérifie P2. D’après
Montrons
Zorn, il existe un ensemble _‘v , ayant la propriété P,
qu’alors X vérifie
ce
l’ axiome de
Sinon
on
pourrait
définie
f0
trouver
la droite
sur
la valuation
D
nul dans
engendrée
par
KerC g j9 soit la forme linéaire
n
perplan fermé
n
=
tel que
H
la forme linéaire
H
et
continue, permettant
y0
E
H
de définir
C
1 .
par
Xû
C~ _ a~.
;,x~, posons ‘~~
1 . Soit ~ un élément engendrant l’
est triviale) ; on a
~B et c,B compact,
pact absorbante
a :
non
x0
de
k
donc il
(proposition 69).
~~
par
Comme
1 =
H
=
com-
N f0 - ~
,
y
( ~ _ 0~,
existe
Si
[
go
on
si
un
hy-
est
g0(x) = l~
on a
donc,
(qui
par
est
suite,
évident si §
Montrons que
X
=
u{g0}
0 , puisque
a
la
K
propriété
=A).
P. Il
a
déjà
la
propriété P1.
Vérifions
P2:
J.-P. CARPENTIER
( xC
entraîne
Ker g
f1
e
’
y0
f-1 (J)>
~ KerC
g
g, et
Ker
~
E
(KerC gC)
=
n
(
E
y0
geX
"
gcX
entraîne
C
KerC f)
f1
~ ~
yp
f
quand
E
g)>
KerC
gEX
X .
g~f
’n
i1
e ffet9
existe y
~ KerC
A , posons y’
g0(y) = 03B1 ~
Si
tout
donc
X ,
g dans
1
H
(J)
yy /~ î~~
et
g0
g
,
e st
gC (y’ ) _
a
KerC f) .
( ~
0
KerC f .
g(y’) = 0
et
Cependant y0
pour.
f-1 (J)
~
et
Éui
qui démontre P~_
P2..
1
g ~ {0}
on
i
~
f-10 (J) ~ ~
~ f-f (J) , puisque
y
y - 03B1y0
f-1
(J)
t y’
t ~f ~
(Y ) ,
~ KerC
1
y’
_
~ KerC
AJ.=;n _ï:
trrî
..-nt
.e nn ...r
En résume,
~
f
E
démontre
ce
ce
incompatible
X
avec
maximale,
et. l’on
a :
{0}
=
.
‘’
gcX
et de la
soi t l’ application 03C6 de
topologie produit,, définie
est linéaire et
qp
C
AX
dans
muni de la structure
continue ;9 elle est injective,
(1
car
g~X
sur un
de
compact
sous-espace
espace est. AX
lui-même. remarquons d’abord que si
donc il existe
x
un
ef
E
prise
si g ~
(a ) y,où a _ 0
co {C )
au sens
X
morphisme,
=
ag
03B4fg
,
f
pour tout
E X9
si
de la
x
=
or
(a) X
topologie produit.
f ,
g
= ~ 0~ ~ ~
Montrons que
f
ce
est
sous-
EX,y
le
ag =
ef
s’écrit
Par
1
si g
f .
En utilisant
ef= Cbg)gEx’
sous-espace vectoriel fermé engendré par
note
on
~.
A‘1 puisque
est
KerC
tel que
de Kronecker
symbole
on
’
C
de
isomorphisme
un
algébrique
par
suite,
x
=
le vecteur de
= 03A3
ag eg ,
03C6(C) = AX
et
A’:
la
cp
somme
est
étant
un
iso-
étant compact.
Remarque. nous
pact
Si K est un corps fini à valuation discrète, alors le théorème
donne le résultat : Un espace vectoriel topologique localement convexe, comsur
h’.,
quence d’un
est
Ce dernier résultat est une conséisomorphe à un produit
fort
plus
(voir BOURBAKI, Algèbre commutative, chapitre 3,
SEMI-NORMES ET ENSEMBLES CONVEXES
exercice
20) :
morphe à
un
Un espace vectoriel linéairement
K .
produit
de manière ~~
Est-il
qu’ il- englobe
ce
Nous allons achever
possible
sur un
est iso-
K
corps
le théorème 73 lui-même
dernier énoncé ?
ce
étudiant plus
en
compact
généraliser
de
précisément
les
d’un
compacts
convexes
es-
pace norme.
.
~
Remarquons d’abord qu’un
compact engendre
convexe
dré par
C
absorbant
topologique canonique de AI
tend
I
flénombrable, et,
est
Soit d’ autre
(e. ) 1 1_E _ T
E
part
l’espace
I ,
Supposons K
est une application
cy
Fréchet de 1 ,
de
I
est
de
E, isomorphe à
un convexe
compact
~vous allons ~’démontrer la
E ,
comme
il existe
une
-
de
discrète
ou bien : (a)
t
~’
existe
j-
~
on
Ar~ (
on
voit que
le résultat est établi.
0
C
0,
>
est
dans
Z
norme
peut
vers
réciproques
si
C
est
E
dans
(E , p)
,
avec
tendant
f~
de la convergence
voir facilement que, si
suivant le filtre de
effet
en
un
un
d’es-
produit
compact contenant 0
puisse l’exprimer
convexe
laquelle
on
... ,
espace vectoriel normé
un
et soit
N =N,
est de
= ~
x
~
ou bien : (b)
base orthonormale
-
tendant
p (ei)
C :
C
un convexe
sur un
corps
complet
compact absorbant dans
Alors,
E
telle que si
~~
-
0 .
contenant
20142014
"
dans
ci-dessus.
valuation
E ,y
F ,
base orthonorrnale de
PROPOSITION 74. - Soit
à
image
muni de la
Alors
compact.
la base
Soient
compact).
pace
de
l’ espace engenn’est pas indispen-
des fonctions d’un ensemble
localement
uniforme.
ce
est de di-
F
I . Comme
étant total dans
suivant le filtre de Fréchet de
0
vers
,
la famille
et
suivant le filtre de Fréchet de
0
vers
C . Soit
~I .
isomorphe à
et
dans F
est
engendre
affine
proposition 73 (mais
C . Mous pouvons utiliser la
sable) :
espace admettant un système
un
dénombrable ; il suffit de montrer que l’espace
mension dénombrable, et l’on peut alors supposer 0 e
total
03B1n
n ~
E
. ~
R*+
"~
admet
f’ f2 ’
,
dimension
avec B.
X.
e .
1 1
tel
’
un
2014-’
système
réels strictement positifs, tendant
~’
1
F ~ ,
C ={x |
que
... ,,
et il existe
finie,
f
x ~
p(x) =
E ,y
une
base
.
sup
- 2014.1 ,. n
e1 ,
~ 1_ ~ ,
y
i -1
total dénombrable :s il existe dans
pour
vers
0,
p , et
une
tels que :
suite
et
"
.i.
x = 03A3 03BBi e1 ,
11
... ,
e
qu’ il
i
i
E
une
de nombres
y
J.-P. CARPENTIER
F.
Far suite
est
q (x)
me
~~~~
M
sup f
=
peut
en
v
a-3ire
rapprocher
la
proposition
75. - Si
~~
est
F ,
=
une
d’éléments
pour
tout
de
K ,
i9
muni de la
nor-
.
à valuation discrète
complet
=
vérifiant A . ,1
E
1
~
1--.1
On
à l’ensemble des suites
isomorphe
telles ^u’ il
,
base
ilexiste
el ,
une
muni de deux semi-normes
,
base
de
enn
... ,
espace vectoriel de dimension finie sur
un
I;
suivante :
orthogonale
telle
E
pour
p1
que, si
x
p1
et
dans
p2
un
corps
p! vérifiant
et
E,
c’ est-
= 03A3
~~ 03BBi
i e.
i,
Démontrons d’bord la proposition 75.
Montrons que
pl (0) =
(qui existe,
est
nous
pouvons supposer que
et
,
projection
une
,
S’il existe
base de
une
est
une
N
sur
norme.
Sinon,
1
Posons
soient
p2(03C01(x)) p2(x)
vérifiant
sphérique) .
étant complet
{i~T_
une norme.
pZ
E
de
E1 -
et
orthogonale pour
y
..., e~,
orthogonale pour p~ , il est
E orthogonale pour
p~ et que, puisque
elle est aussi orthogonale pour
p~ .
E~
i
et si
e17+, ,
en
en
(x) ) ,
... ,
,
diat que
el ,
p~ (x) -
... ,
,
est
base de
une
est
base de
une
p~ (x - ~2 {x) ) ) ,
Supposons maintenant que p~ soit une norme, de boule unité
p~ . La proposition est évidente si la dimension de
fine que
nons
sup p2(x)
telle
par récurrence. Soient
Soit 03C9
~ x ~1
une
projection
E,
construction,
x E
pour tout
x
il existe
une
de
E
p^. {x) ~ bl ~ ,
Ke1
n
dans
sur
El _ Ke1
E.
base de
~?Z ~ Bz ,
E,z , on a
on a
n
Alors,
si
E1 ; x~ ,
+ oo , et
que
... ,,
tel que
el
p2(03C9(x)) pz (x) .
B~ .
et par suite
El
est de dimension
nil , orthogonale. Les
plus
1 . Raison-
est
donc
Ker W,
est
p~
E
p2(e1) =b1 .
Si
B2
p1 (03C9(x)) p1 (x)
n -
i ,
on
en
déduit que
e~ ,
... ,
en
est
une
base
orthogonale
et
relations obtenues
entrainent :a
et
est
Comme par
pour
et
p~ .
SEMI-NORMES ET ENSEMBLES CONVEXES
Le
de
‘e
la
proposition
un
cas
m , et
(E , i.,)
:,o san-t
iy -
notE~rons
p,
soit
tel que
proposition 75
p .
fournie
.
-_ïe la
particulier
en
~;~ ) .
le
74.
jau-
faisant intervenir la
en
.
b
__
bi
f’ini9
et il existe
~
eC
e~
.
construit la
on
.
est
b.
la boule unité de
B
C ,
de
p(x) ~i
sup
xcC
de È
projection 03C91
sur
telle que
Posons
E.
=
E~ *
x~ . e
03C9-11
(0) ,
~
et recommençons la. même
tel que -
p(e~) ~
’
~
’
=
opération :t
~
et
h~ , ~
construit
on
b2~
sup
=
projection
C?~ -
E
de
sur
j-
Ke2 vérifiant
On
répète
ainsi
les
car
et l’on construit
a
voit facilement
qu’elle vérifie la
inégalités
p(03C9j(x))
sinon il existerait
p(x) ,
pour
e.
... ,,
y
~k
fixe,
et la suite des
~-k
?(e. - e. ))
’-h
~k
~
esc
et
03B1
pour tout
k
et
(E , p) .
total
°
03C6k = ik - 03C9k+1 , puis 03A6k
=
03C6k
n :i
C
ne
Soient
s
pour tout j ,
pour tout
Posons :
~
donc
i , 03C0j(x)
p(x - L
est total dans
~’
p(03C0j(x)) p(o.) ,
E
C
pour tout
.
p(ei) 03B1
0,
>
~k
puisque
serait pas compact, Montrons que
de
°
...
utili-
en
a
telle que
i,
o
o
k
donc que
03A6k(C) ~ C ,
x = 03A3 Tï.(x) : (ei)i~N
i=l ~
On voit que
On
p
avoir de valeurs d’a.dhérence
pourrait
ne
e.
e ..dont on
...9
et pour
pl
e.
~L
c/
el ’
p1(03C9j(x)) p1(x) .
sous-suite
une
suite
une
propriété (~r)
o
03C60 .
E ,
E = E ,
avec
Notons enfin
.
03C0j(x)) p(ek+1 ) ,
j- (E , p) . Enfin,
et, Si
i , donc
x E
E
si
donc que :
x E
03C0j(x)
C ,9
vérifie
,
E
C
J . -P . CARPENTIER
7-68
le théorème est démontré.
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