Theoremes de Hahn-Banach et applications

Université Pierre et Marie Curie 4M025 : Analyse fonctionnelle approfondie et calcul des variations
Master 1 Mathématiques Année universitaire 2016-2017
TD no5– Théorèmes de Hahn-Banach et applications
Exercice 1. (k · kEet k · kE0)Soit Eun espace vectoriel normé. On note E0son espace dual.
On utilise la notation hf, xi:= f(x)pour tout f∈E0et x∈E. Montrer que :
(a). Pour tout f∈E0,
kfkE0:= sup
kxkE≤1
hf, xi= sup
kxkE=1
hf, xi= sup
kxkE≤1
|hf, xi| = sup
x6=0
|hf, xi|
kxkE
.
Donner un exemple d’espace non réflexif Eet de f∈E0tels que les “sup” ci-dessus ne
soient pas atteints.
(b). Pour tout x∈E,
kxkE= sup
kfkE0≤1
hf, xi= sup
kfkE0=1
hf, xi= sup
kfkE0≤1
|hf, xi| = sup
f6=0
|hf, xi|
kfkE0
.
Montrer que les “sup” ci-dessus sont atteints.
Exercice 2. (E⊂E00). Soit Eun espace vectoriel normé. On note E0, resp. E00 := (E0)0, le
dual de E, resp. le bidual de E. On utilise la notation hf, xiE0,E := f(x)et hφ, fiE00 ,E0:= φ(f)
pour tout f∈E0,x∈E, et φ∈E00. Soit
J:E→E00
l’inclusion “canonique” de Edans son bidual, c’est-à-dire l’application qui à chaque x∈Eassocie
l’élément J(x)∈(E0)0défini par
∀f∈E0,hJ(x), fiE00 ,E0:= hf, xiE0,E .
Montrer que :
(a). Jest bien définie.
(b). Jest linéaire.
(c). kJ(x)kE00 =kxkEpour tout x∈E.
(d). Jest injective.
(e). J(E)est un sous-espace vectoriel de E00
(f). J(E)est fermé si est seulement si Eest un espace de Banach.
(g). Donner un exemple d’espace de Banach Epour lequel J(E)6=E00.
(h). Donner un exemple d’espace vectoriel normé Epour lequel J(E) = E00 (un tel espace est
appelé réflexif).
(i). Montrer qu’un espace vectoriel normé réflexif Eest nécessairement un espace de Banach.
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Exercice 3. (Hahn-Banach dans un Hilbert). Soit Eun espace de Hilbert.
(a). Soit f:F→R, où F⊂Eest un sous-espace vectoriel, une application linéaire et continue.
Définir explicitement une application linéaire et continue e:E→Rtelle que e|F=fet
kekE0=kfkF0. Montrer que eest unique.
(b). Soit A⊂Eun ensemble fermé, convexe et non vide, et soit b∈E\A. Définir explicitement
un hyperplan H⊂Equi sépare strictement Aet {b}.
(c). Soient A⊂Eet B⊂Edeux ensembles fermés, convexes et non vides, dont au moins un
est borné. Définir explicitement un hyperplan H⊂Equi sépare strictement Aet B.
Exercice 4. (ensembles convexes) Soient Eun espace vectoriel normé et C⊂Eun sous-
ensemble fermé. Montrer que les deux affirmations suivantes sont équivalentes :
(a). ∀x∈C∀y∈C∀t∈[0,1], tx + (1 −t)y∈C,
(b). ∀x∈C∀y∈C, 1
2(x+y)∈C.
Exercice 5. (espace produit) Soient Eet Fdeux espaces de Hilbert réels.
(a). Montrer que l’application h·,·iE×F: (E×F)×(E×F)→Rdéfinie par
h(x1, y1),(x2, y2)iE×F:= hx1, x2iE+hy1, y2iF
est un produit scalaire.
(b). Montrer que l’espace E×Fmuni du produit scalaire du point précédent est un espace de
Hilbert.
(c). Soient A⊂Eet B⊂Fdeux ensembles non vides. Montrer que A×Best convexe si est
seulement si Aet Bsont convexes.
(d). Soit C⊂Eun ensemble convexe. Montrer qu’une fonction f:C→Rest convexe si et
seulement si son epigraphe est convexe. Rappel : L’epigraphe de fest le sous-ensemble de
E×Rdéfini par
epif:= {(x, t)∈E×R;f(x)< t}.
Exercice 6. (α-convexité) Soient Eun espace de Hilbert et C⊂Eun ensemble convexe,
fermé et non vide. Une fonction f:C→Rest dite α-convexe, pour α > 0, si et seulement si
f(x) + f(y)
2≥fx+y 2+α 2kx−yk2pour tout x∈Cet y∈C.
(a). Soit f:C→Rune fonction sci et convexe. Montrer que fest minorée par une fonction
affine et continue, c’est-à-dire :
∃x0∈E∃t0∈R∀x∈E, f(x)≥ hx0, xi+t0.
Indication : Fixer un point (x1, t1)∈E×Rtel que x1∈Cet t1f < f(x1), puis séparer les
ensembles epif⊂E×Ret {(x1, t1)} ⊂ E×Rpar un hyperplan fermé H⊂E×F.
(b). Soit f:C→Rune fonction sci et α-convexe. Montrer que fest minorée par une fonction
parabolique, c’est-à-dire :
∃β > 0∃γ∈R∀x∈C, f(x)≥βkxk2+γ.
(c). Donner un exemple de fonction α-convexe. Donner un exemple de fonction strictement
convexe mais non α-convexe.
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