Theoremes de Hahn-Banach et applications

Université Pierre et Marie Curie
Master 1 Mathématiques
4M025 : Analyse fonctionnelle approfondie et calcul des variations
Année universitaire 2016-2017
TD no 5 – Théorèmes de Hahn-Banach et applications
Exercice 1. (k · kE et k · kE 0 ) Soit E un espace vectoriel normé. On note E 0 son espace dual.
On utilise la notation hf, xi := f (x) pour tout f ∈ E 0 et x ∈ E. Montrer que :
(a). Pour tout f ∈ E 0 ,
kf kE 0 := sup hf, xi = sup hf, xi = sup |hf, xi| = sup
kxkE ≤1
kxkE =1
kxkE ≤1
x6=0
|hf, xi|
.
kxkE
Donner un exemple d’espace non réflexif E et de f ∈ E 0 tels que les “sup” ci-dessus ne
soient pas atteints.
(b). Pour tout x ∈ E,
kxkE =
sup hf, xi =
kf kE 0 ≤1
sup hf, xi =
kf kE 0 =1
sup |hf, xi| = sup
kf kE 0 ≤1
f 6=0
|hf, xi|
.
kf kE 0
Montrer que les “sup” ci-dessus sont atteints.
Exercice 2. (E ⊂ E 00 ). Soit E un espace vectoriel normé. On note E 0 , resp. E 00 := (E 0 )0 , le
dual de E, resp. le bidual de E. On utilise la notation hf, xiE 0 ,E := f (x) et hφ, f iE 00 ,E 0 := φ(f )
pour tout f ∈ E 0 , x ∈ E, et φ ∈ E 00 . Soit
J : E → E 00
l’inclusion “canonique” de E dans son bidual, c’est-à-dire l’application qui à chaque x ∈ E associe
l’élément J(x) ∈ (E 0 )0 défini par
∀f ∈ E 0 , hJ(x), f iE 00 ,E 0 := hf, xiE 0 ,E .
Montrer que :
(a). J est bien définie.
(b). J est linéaire.
(c). kJ(x)kE 00 = kxkE pour tout x ∈ E.
(d). J est injective.
(e). J(E) est un sous-espace vectoriel de E 00
(f). J(E) est fermé si est seulement si E est un espace de Banach.
(g). Donner un exemple d’espace de Banach E pour lequel J(E) 6= E 00 .
(h). Donner un exemple d’espace vectoriel normé E pour lequel J(E) = E 00 (un tel espace est
appelé réflexif).
(i). Montrer qu’un espace vectoriel normé réflexif E est nécessairement un espace de Banach.
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Exercice 3. (Hahn-Banach dans un Hilbert). Soit E un espace de Hilbert.
(a). Soit f : F → R, où F ⊂ E est un sous-espace vectoriel, une application linéaire et continue.
Définir explicitement une application linéaire et continue e : E → R telle que e|F = f et
kekE 0 = kf kF 0 . Montrer que e est unique.
(b). Soit A ⊂ E un ensemble fermé, convexe et non vide, et soit b ∈ E \ A. Définir explicitement
un hyperplan H ⊂ E qui sépare strictement A et {b}.
(c). Soient A ⊂ E et B ⊂ E deux ensembles fermés, convexes et non vides, dont au moins un
est borné. Définir explicitement un hyperplan H ⊂ E qui sépare strictement A et B.
Exercice 4. (ensembles convexes) Soient E un espace vectoriel normé et C ⊂ E un sousensemble fermé. Montrer que les deux affirmations suivantes sont équivalentes :
(a). ∀x ∈ C ∀y ∈ C ∀t ∈ [0, 1], tx + (1 − t)y ∈ C,
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(b). ∀x ∈ C ∀y ∈ C, (x + y) ∈ C.
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Exercice 5. (espace produit) Soient E et F deux espaces de Hilbert réels.
(a). Montrer que l’application h·, ·iE×F : (E × F ) × (E × F ) → R définie par
h(x1 , y1 ), (x2 , y2 )iE×F := hx1 , x2 iE + hy1 , y2 iF
est un produit scalaire.
(b). Montrer que l’espace E × F muni du produit scalaire du point précédent est un espace de
Hilbert.
(c). Soient A ⊂ E et B ⊂ F deux ensembles non vides. Montrer que A × B est convexe si est
seulement si A et B sont convexes.
(d). Soit C ⊂ E un ensemble convexe. Montrer qu’une fonction f : C → R est convexe si et
seulement si son epigraphe est convexe. Rappel : L’epigraphe de f est le sous-ensemble de
E × R défini par
epif := {(x, t) ∈ E × R; f (x) < t}.
Exercice 6. (α-convexité) Soient E un espace de Hilbert et C ⊂ E un ensemble convexe,
fermé et non vide. Une fonction f : C → R est dite α-convexe, pour α > 0, si et seulement si
x+y
α
f (x) + f (y)
≥f
+ kx − yk2 pour tout x ∈ C et y ∈ C.
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(a). Soit f : C → R une fonction sci et convexe. Montrer que f est minorée par une fonction
affine et continue, c’est-à-dire :
∃x0 ∈ E ∃t0 ∈ R ∀x ∈ E, f (x) ≥ hx0 , xi + t0 .
Indication : Fixer un point (x1 , t1 ) ∈ E × R tel que x1 ∈ C et t1 f < f (x1 ), puis séparer les
ensembles epif ⊂ E × R et {(x1 , t1 )} ⊂ E × R par un hyperplan fermé H ⊂ E × F .
(b). Soit f : C → R une fonction sci et α-convexe. Montrer que f est minorée par une fonction
parabolique, c’est-à-dire :
∃β > 0 ∃γ ∈ R ∀x ∈ C, f (x) ≥ βkxk2 + γ.
(c). Donner un exemple de fonction α-convexe. Donner un exemple de fonction strictement
convexe mais non α-convexe.
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