TD n°1 : Optimisation des fonctions à une variable
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TD n°1 : Optimisation des fonctions à une variable
Exercice 1
Pour chacun des exemples suivants, calculer supx∈I f (x) et inf x∈I f (x). De plus, indiquer si ces bornes sont
atteintes, et en quel(s) point(s).
1. f (x) = x(1 − x) sur I = [0, 1].
2. f (x) = 1 − e−x sur I = R+ .
3. f (x) = 3x4 − 4x3 + 6x2 − 12x + 1 sur I = R.
4. f (x) =
√
1
x2 −x+1
sur I = [0, 1].
Exercice 2
Soit f : R → R une fonction continue telle que
lim f (x) = +∞.
x→±∞
Montrer qu’elle admet un minimum global.
Exercice 3
Soit f : [0, +∞[→ R une fonction continue ayant une limite finie en +∞.
1. Montrer que f est bornée.
2. Montrer que f admet un maximum global ou un minimum global.
3. Donner un exemple de fonction ayant un maximum global mais pas de minimum.
Exercice 4
Soit f : [0, +∞[→ R une fonction convexe.
1. Montrer que
f (x)
x
admet une limite l dans R ∪ {+∞} lorsque x → +∞.
2. Montrer que si l ≤ 0, alors f est décroissante.
3. Montrer que si l est fini, alors f (x) − lx admet une limite dans R lorsque x → +∞.
Exercice 5 : Minimum d’une fonction convexe
Soit f : R → R une fonction convexe.
1. On suppose que f admet un minimum local.
(a) Montrer que ce minimum est global.
(b) Caractériser l’ensemble des points où il est atteint.
(c) Montrer que si f est strictement convexe, alors il est unique.
2. On suppose que f est dérivable et admet un point critique. Montrer que f atteint en ce point un
minimum global.
3. On suppose que f est deux fois dérivable et qu’il existe un réel c tel que f 00 ≥ c > 0. Montrer que f
possède un unique minimum global. Que peut-on dire si l’on suppose seulement que f 00 > 0 ?
1
Exercice 6 : Log-convexité
Soit f : R → R+
∗ une fonction. On dit que f est log-convexe si ln f est une fonction convexe.
1. Monter que f est log-convexe si, et seulement si, pour tout réel λ compris entre 0 et 1, pour tous réels
x et y, on a :
f (λx + (1 − λ)y) ≤ f (x)λ f (y)1−λ .
00
2. Calculer (ln f ) en fonction de f 0 et f 00 .
3. Montrer que la fonction Γ définie ci-dessous est log-convexe
Γ(s) =
n
X
k s e−k .
k=1
On pourra utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwartz, que l’on rappelle ici : pour tous réels (x1 , . . . , xn )
et (y1 , . . . , yn ), on a
!2
! n
!
n
n
X
X
X
2
2
xi yi
≤
xi
yi .
i=1
i=1
i=1
Exercice 7 : Méthode de Newton
La méthode de Newton est un algorithme itératif pour la recherche des zéros d’une fonction. Cet algorithme
repose sur un argument usuel de détermination de point fixe.
Dans toute la suite, on notera I = [a, b] avec a < b des réels. Considérons une fonction f : I → R de classe
C 2 dont la dérivée est strictement positive, et telle quef (a) < 0 < f (b). La méthode de Newton consiste à
atteindre un point fixe de la fonction :
f (x)
,
F (x) = x − 0
f (x)
en considérant la suite (xn ) définie par la récurrence suivante : xn+1 = F (xn ), x0 ∈ I.
1. Vérifier que f s’annule en un unique point z qui est un point fixe de F .
2. Dans le cas standard, la suite (xn ) ne converge que pour un choix de x0 suffisamment proche de z :
(a) En utilisant une formule de Taylor d’ordre deux, montrer que pour tout x dans I, il existe t entre
x et z tel que :
1 f 00 (t)
F (x) − z =
(x − z)².
2 f 0 (x)
(b) En déduire qu’il existe C > 0 tel que
|F (x) − z| ≤ C|x − z|²,
pour tout x de I, et qu’il existe α > 0 tel que l’intervalle [z − α, z + α] soit inclus dans I et stable par
F . En déduire que si x0 appartient à [z − α, z + α] , la suite (xn ) converge vers z.
3. Montrer que si f est convexe sur I, l’intervalle [z, b] est stable par F . Vérifier que si x0 appartient à
[z, b], la suite (xn ) est décroissante et converge vers z.
4. Interpréter géométriquement la construction de la suite (xn ).
2
