TD n°1 : Optimisation des fonctions à une variable

TD n°1 : Optimisation des fonctions à une variable
Exercice 1
Pour chacun des exemples suivants, calculer supx∈If(x)et infx∈If(x). De plus, indiquer si ces bornes sont
atteintes, et en quel(s) point(s).
1. f(x) = x(1 −x)sur I= [0,1].
2. f(x)=1−e−xsur I=R+.
3. f(x)=3x4−4x3+ 6x2−12x+ 1 sur I=R.
4. f(x) = 1
√x2−x+1 sur I= [0,1].
Exercice 2
Soit f:R→Rune fonction continue telle que
lim
x→±∞ f(x)=+∞.
Montrer qu’elle admet un minimum global.
Exercice 3
Soit f: [0,+∞[→Rune fonction continue ayant une limite finie en +∞.
1. Montrer que fest bornée.
2. Montrer que fadmet un maximum global ou un minimum global.
3. Donner un exemple de fonction ayant un maximum global mais pas de minimum.
Exercice 4
Soit f: [0,+∞[→Rune fonction convexe.
1. Montrer que f(x)
xadmet une limite ldans R∪ {+∞} lorsque x→+∞.
2. Montrer que si l≤0, alors fest décroissante.
3. Montrer que si lest fini, alors f(x)−lx admet une limite dans Rlorsque x→+∞.
Exercice 5 : Minimum d’une fonction convexe
Soit f:R→Rune fonction convexe.
1. On suppose que fadmet un minimum local.
(a) Montrer que ce minimum est global.
(b) Caractériser l’ensemble des points où il est atteint.
(c) Montrer que si fest strictement convexe, alors il est unique.
2. On suppose que fest dérivable et admet un point critique. Montrer que fatteint en ce point un
minimum global.
3. On suppose que fest deux fois dérivable et qu’il existe un réel ctel que f00 ≥c > 0. Montrer que f
possède un unique minimum global. Que peut-on dire si l’on suppose seulement que f00 >0?
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Exercice 6 : Log-convexité
Soit f:R→R+
∗une fonction. On dit que fest log-convexe si ln fest une fonction convexe.
1. Monter que fest log-convexe si, et seulement si, pour tout réel λcompris entre 0et 1, pour tous réels
xet y, on a :
f(λx + (1 −λ)y)≤f(x)λf(y)1−λ.
2. Calculer (ln f)00 en fonction de f0et f00.
3. Montrer que la fonction Γdéfinie ci-dessous est log-convexe
Γ(s) =
n
X
k=1
kse−k.
On pourra utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwartz, que l’on rappelle ici : pour tous réels (x1, . . . , xn)
et (y1, . . . , yn), on a
n
X
i=1
xiyi!2 ≤ n
X
i=1
x2
i! n
X
i=1
y2
i!.
Exercice 7 : Méthode de Newton
La méthode de Newton est un algorithme itératif pour la recherche des zéros d’une fonction. Cet algorithme
repose sur un argument usuel de détermination de point fixe.
Dans toute la suite, on notera I= [a, b]avec a<bdes réels. Considérons une fonction f:I→Rde classe
C2dont la dérivée est strictement positive, et telle quef(a)<0< f(b). La méthode de Newton consiste à
atteindre un point fixe de la fonction :
F(x) = x−f(x)
f0(x),
en considérant la suite (xn)définie par la récurrence suivante : xn+1 =F(xn),x0∈I.
1. Vérifier que fs’annule en un unique point zqui est un point fixe de F.
2. Dans le cas standard, la suite (xn)ne converge que pour un choix de x0suffisamment proche de z:
(a) En utilisant une formule de Taylor d’ordre deux, montrer que pour tout xdans I, il existe tentre
xet ztel que :
F(x)−z=1
2
f00(t)
f0(x)(x−z)².
(b) En déduire qu’il existe C > 0tel que
|F(x)−z| ≤ C|x−z|²,
pour tout xde I, et qu’il existe α > 0tel que l’intervalle [z−α, z +α]soit inclus dans Iet stable par
F. En déduire que si x0appartient à [z−α, z +α], la suite (xn)converge vers z.
3. Montrer que si fest convexe sur I, l’intervalle [z, b]est stable par F. Vérifier que si x0appartient à
[z, b],la suite (xn)est décroissante et converge vers z.
4. Interpréter géométriquement la construction de la suite (xn).
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