TD n˚3 : Optimisation avec ou sans contrainte d`égalité

TD n˚3 : Optimisation avec ou sans contrainte d’égalité
Exercice 1 : Théorème des fonctions implicites
1. Montrer que la relation vérifiée permet de définir implicitement yen fonction de xau voisinage
du point (x0, y0)indiqué, et écrire le développement limité à l’ordre 1autour de x0de la fonction
x7→ y(x):
(a) x4+y3−2x2y−1=0au voisinage de (0,1).
(b) sin y+y+ex= 1 au voisinage de (0,0).
(c) y3+ (x2+ 1)y+x2= 0 au voisinage de (0,0).
2. Soit f:R3→R2définie par f(x, y, z)=(x2−y2+z2−1, xyz −1). Soit (x0, y0, z0)∈R3tel que
f(x0, y0, z0) = (0,0). Montrer qu’il existe un intervalle Icontenant x0et une fonction ϕ:I→R2
de classe C1telle que ϕ(x0) = (y0, z0)et f(x, ϕ(x)) = (0,0) pour tout x∈I.
3. On considère le système d’équations :
(x2+y2−2z2= 0,
x2+ 2y2+z2= 4.
Montrer que, pour xproche de 0, il existe des fonctions strictement positives y(x)et z(x)telles
que (x, y(x), z(x)) soit solution du système. On déterminera y0(x)en fonction de xet y, ainsi que
z0(x)en fonction de xet z.
4. Si f:R2→Rest une fonction de classe C1telle que f(0,0) = 0,∂f
∂x (0,0) 6=−1et ∂f ∂y (0,0) 6= 0,
montrer que la relation f(f(x, y), y)=0définit implicitement yen fonction de xau voisinage du
point (0,0).
Exercice 2 : Optimisons !
Déterminer les extrema des fonctions suivantes ou les grandeurs indiquées.
1. f(x, y) = 3x3+xy2−xy.
2. f(x, y) = x4+y8.
3. f(x, y, z)=(x−2)2+y2+z2.
4. f(x, y, z) = x3+y3+z3+ 3xyz.
5. f(x, y, z)=(x−2)2+y2+z2sous la contrainte x2+ 2y2+ 3z2= 1.
6. Dessin exigé : f(x, y) = 3x−ysous la contrainte x2+y2= 5.
7. Dessin exigé : f(x, y) = x2+y2sous la contrainte x+ 2y= 6.
8. Dessin exigé : f(x, y) = (xy)asous la contrainte 2x+ 3y= 12, où a > 0.
Exercice 3 : Emballage économique
Quelle est la surface minimale d’un parallélépipède rectangle contenant un volume de 12m3?
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Exercice 4 : Convexité et fonction entropie
Si Uest un ouvert convexe de Rdet f:U→Rest une fonction définie sur U, on dit que fest convexe
si :
∀t∈[0,1],∀x, y ∈U, f(tx + (1 −t)y)≤tf(x) + (1 −t)f(y).
1. Si fest une fonction convexe et de classe C1, montrer, en considérant l’application convexe g(t) =
f((1 −t)x+ty), que :
f(y)−f(x)≥df(x)(y−x) = ∇f(x)·(y−x)∀x, y ∈U.
En déduire qu’une application convexe de classe C1admet un minimum global en xsi et seulement
si xest un point critique.
2. On donne des réels a1, . . . , an, a, avec n≥3, les akn’étant pas tous égaux entre eux. La suite de
l’exercice consiste à déterminer le maximum de la fonction Hdéfinie par :
H(p) = −
n
X
k=1
pkln pk
sur l’espace E, qu’on suppose non vide, défini par :
E=((p1,...pn)∈(R?
+)n|
n
X
k=1
pk= 1 et
n
X
k=1
akpk=a).
(a) Montrer que −Hest une application convexe sur (R?
+)n, et donc sur l’ensemble convexe E.
(b) Montrer que la fonction :
f(x) =
n
X
k=1
(ak−a)e(ak−a)x, x ∈R,
est une bijection strictement croissante de Rsur R(on utilisera le fait que certains aksont
strictement supérieurs à aet d’autres strictement inférieurs à a).
(c) Justifier l’utilisation du théorème des extrema liés. Exprimer les multiplicateurs de Lagrange
en fonction de f−1(0) et des ak.
(d) Conclure.
Exercice 5 : Théorème spectral
Soit A∈ Mn(R)une matrice symétrique, et F:Rn→Rl’application définie par :
F(x) = txAx,
appelée forme quadratique associée à la matrice A. On note également G:Rn→Rle carré de la norme
euclidienne, i.e.
G(x) = kxk2
2=
n
X
i=1
x2
i.
Enfin, on note Sla sphère unité associée à cette norme :
S={x∈Rn,kxk2= 1}={x∈Rn, G(x) = 1}.
1. Calculer ∇F(x)et ∇G(x)pour x∈Rn.
2. Montrer par un argument de compacité que Fadmet un maximum sur S.
3. En déduire que Aadmet une valeur propre réelle :
∃λ∈R,∃x∈S, Ax =λx.
Remarque : Pour montrer que Aest diagonalisable, on procède par récurrence sur la dimension.
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