TD n˚3 : Optimisation avec ou sans contrainte d’égalité Exercice 1 : Théorème des fonctions implicites 1. Montrer que la relation vérifiée permet de définir implicitement y en fonction de x au voisinage du point (x0 , y0 ) indiqué, et écrire le développement limité à l’ordre 1 autour de x0 de la fonction x 7→ y(x) : (a) x4 + y 3 − 2x2 y − 1 = 0 au voisinage de (0, 1). (b) sin y + y + ex = 1 au voisinage de (0, 0). (c) y 3 + (x2 + 1)y + x2 = 0 au voisinage de (0, 0). 2. Soit f : R3 → R2 définie par f (x, y, z) = (x2 − y 2 + z 2 − 1, xyz − 1). Soit (x0 , y0 , z0 ) ∈ R3 tel que f (x0 , y0 , z0 ) = (0, 0). Montrer qu’il existe un intervalle I contenant x0 et une fonction ϕ : I → R2 de classe C 1 telle que ϕ(x0 ) = (y0 , z0 ) et f (x, ϕ(x)) = (0, 0) pour tout x ∈ I. 3. On considère le système d’équations : ( x2 + y 2 − 2z 2 = 0, x2 + 2y 2 + z 2 = 4. Montrer que, pour x proche de 0, il existe des fonctions strictement positives y(x) et z(x) telles que (x, y(x), z(x)) soit solution du système. On déterminera y 0 (x) en fonction de x et y, ainsi que z 0 (x) en fonction de x et z. ∂f 4. Si f : R2 → R est une fonction de classe C 1 telle que f (0, 0) = 0, ∂f ∂x (0, 0) 6= −1 et ∂y (0, 0) 6= 0, montrer que la relation f (f (x, y), y) = 0 définit implicitement y en fonction de x au voisinage du point (0, 0). Exercice 2 : Optimisons ! Déterminer les extrema des fonctions suivantes ou les grandeurs indiquées. 1. f (x, y) = 3x3 + xy 2 − xy. 2. f (x, y) = x4 + y 8 . 3. f (x, y, z) = (x − 2)2 + y 2 + z 2 . 4. f (x, y, z) = x3 + y 3 + z 3 + 3xyz. 5. f (x, y, z) = (x − 2)2 + y 2 + z 2 sous la contrainte x2 + 2y 2 + 3z 2 = 1. 6. Dessin exigé : f (x, y) = 3x − y sous la contrainte x2 + y 2 = 5. 7. Dessin exigé : f (x, y) = x2 + y 2 sous la contrainte x + 2y = 6. 8. Dessin exigé : f (x, y) = (xy)a sous la contrainte 2x + 3y = 12, où a > 0. Exercice 3 : Emballage économique Quelle est la surface minimale d’un parallélépipède rectangle contenant un volume de 12m3 ? 1 Exercice 4 : Convexité et fonction entropie Si U est un ouvert convexe de Rd et f : U → R est une fonction définie sur U , on dit que f est convexe si : ∀t ∈ [0, 1], ∀x, y ∈ U, f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y). 1. Si f est une fonction convexe et de classe C 1 , montrer, en considérant l’application convexe g(t) = f ((1 − t)x + ty), que : f (y) − f (x) ≥ df (x)(y − x) = ∇f (x) · (y − x) ∀x, y ∈ U. En déduire qu’une application convexe de classe C 1 admet un minimum global en x si et seulement si x est un point critique. 2. On donne des réels a1 , . . . , an , a, avec n ≥ 3, les ak n’étant pas tous égaux entre eux. La suite de l’exercice consiste à déterminer le maximum de la fonction H définie par : H(p) = − n X pk ln pk k=1 sur l’espace E, qu’on suppose non vide, défini par : ( ) n n X X ? n E = (p1 , . . . pn ) ∈ (R+ ) | pk = 1 et ak pk = a . k=1 k=1 (a) Montrer que −H est une application convexe sur (R?+ )n , et donc sur l’ensemble convexe E. (b) Montrer que la fonction : f (x) = n X (ak − a)e(ak −a)x , x ∈ R, k=1 est une bijection strictement croissante de R sur R (on utilisera le fait que certains ak sont strictement supérieurs à a et d’autres strictement inférieurs à a). (c) Justifier l’utilisation du théorème des extrema liés. Exprimer les multiplicateurs de Lagrange en fonction de f −1 (0) et des ak . (d) Conclure. Exercice 5 : Théorème spectral Soit A ∈ Mn (R) une matrice symétrique, et F : Rn → R l’application définie par : F (x) = t xAx, appelée forme quadratique associée à la matrice A. On note également G : Rn → R le carré de la norme euclidienne, i.e. n X 2 G(x) = kxk2 = x2i . i=1 Enfin, on note S la sphère unité associée à cette norme : S = {x ∈ Rn , kxk2 = 1} = {x ∈ Rn , G(x) = 1} . 1. Calculer ∇F (x) et ∇G(x) pour x ∈ Rn . 2. Montrer par un argument de compacité que F admet un maximum sur S. 3. En déduire que A admet une valeur propre réelle : ∃λ ∈ R, ∃x ∈ S, Ax = λx. Remarque : Pour montrer que A est diagonalisable, on procède par récurrence sur la dimension. 2