Programme de colle no 1

MP*1 2016/2017
Programme de colle no1
Semaine du 12 septembre
Dénombrabilité
Parties d’un ensemble dénombrable, stabilité de la dénombrabilité par union dénombrable et produit
fini. Dénombrabilité de Q, non-dénombrabilité de Rvia celle de {0,1}N. Existence de nombres trans-
cendants.
Révisions de première année sur les nombres réels
On revoit les notions de base : maniement des bornes supérieure/inférieure, densité (ce dernier point
sera repris en détail dans le cours de topologie).
Convexité
•Barycentres, parties convexes d’un espace vectoriel réel. Enveloppe convexe. Théorème de Ca-
rathéodory.
•Fonctions convexes d’une variable réelle. Caractérisation par la croissance des pentes. Consé-
quences sur la régularité. Caractérisation par la dérivée. Exemples d’inégalité obtenues par un
argument de convexité. Inégalités de Hölder et de Minkowski dans Rn.
Pas encore de topologie bien entendu.