1 Cours - Trigonométrie - c0099 On appelle cercle Trigonométrique

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Cours - Trigonométrie - c0099
On appelle cercle Trigonométrique , un cercle de rayon R = 1 , orienté positivement dans le sens contraire des
aiguilles d’une montre.
Lignes trigonométriques d’un angle :
cos α = OP ; sin α = OQ ; tan α = AS ; cotan α = BR
Lignes trigonométriques dans un triangle rectangle quelconque :
cos α = AB
AC ; sin α = BC AC ; tan α = sin α cos α = BC AB ; cotan α = 1 tan α
Projection sur l’horizontale : AB = AC . cos α On multiplie par le cosinus
Projection sur la verticale : BC = AC . sin α On multiplie par le sinus
Relèvement - horizontale sur verticale : BC = AB . tan α

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Relations fondamentales :
- 1 ≤ cos α ≤ + 1 et - 1 ≤ sin α ≤ + 1 cos 2 α + sin 2 α = 1 pour tout α réel
Lignes trigonométriques des angles usuels :
x deg 0 ° 30 ° 45 ° 60 ° 90 ° 180 °
x rad 0 π
6 π 4 π 3 π 2 π
cos x +1 3
2 2 2 1
2 0 -1
sin x 0 1
2 2
2 3 2 +1 0
Angles remarquables :
Equations trigonométriques :
Deux angles ont même cosinus si et seulement si ils sont égaux ou opposés, au nombre de tours près.
cos X = cos A ⇔ 
 X ≡ +A [2π]
ou
X ≡ -A [2π]
La notation X ≡ A [2π] se lit X congru à A modulo 2π.
On dit aussi : X = A + 2kπ , ∀ k ∈ ZZ , où 2kπ = k (2π) = k tours entiers.

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Deux angles ont même sinus ssi ils sont égaux ou supplémentaires (somme π) , au nombre de tours près.
sin X = sin A ⇔ 
 X ≡ +A [2π]
ou
X ≡ π – A [2π]
Deux angles ont même tangente si et seulement si ils sont égaux, au nombre de demi-tours près.
tan X = tan A ⇔ X ≡ A [π]
Angles associés :
Angles opposés cos (- x) = cos x sin (- x) = -sin x
Angles supplémentaires (somme = 180 °) cos (π - x) = -cos x sin (π - x) = sin x
Angles différant de π (différence = 180 °) cos (π + x) = -cos x sin (π + x) = -sin x
Angles complémentaires (somme 90 °) cos 
π
2 – x = sin x sin 
π
2 – x = cos x
Exemple : Résoudre sin 3x = 1
2 sur l’intervalle [0 ; 2π [
On sait sin π
6 = 1 2 . L’équation devient sin 3x = sin π 6 , d’où 
3x ≡ π
6 [2π]
3x ≡ π – π
6 [2π] ≡ 5π 6 [2π] .
L’expression [2π] signifie que les angles 3x solutions diffèrent entre eux de tours entiers, les solutions x , qui
en sont les tiers, diffèrent de tiers de tours , donc de 2π
3 .
x ≡ π
18 
2π
3
x ≡ 5π
18 
2π
3
. Il faut ensuite sélectionner les angles x , calculés à partir de π
18 et 5π 18 , par sauts de ±2π 3 .
… -23π
18 , -11π 18 , +ππ 18 , +13ππ 18 , +25ππ 18 , +37π 18 , +49π 18 , +61π 18 ….
… -19π
18 , -7π 18 , +5ππ 18 , +17ππ 18 , +29ππ 18 , +41π 18 , +53π 18 , +65π 18 …

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Fonction cosinus : f : x →→ f(x) = cos (x) .
Pour tout angle x , mesuré en radian, porté sur le cercle trigonométrique, à partir de l'origine A des angles, on
fait correspondre l'extrémité M(cos x ; sin x) de l'angle x .
Pour tout x réel, l'abscisse de M , cos x , est reportée en ordonnée sur le graphique précédent.
cos (-2π) = cos 0 = cos 2π = cos 4π … = + 1
cos (-3π) = cos (-π) = cos π = cos 3π = -1 et cos (-3π
2 ) = cos (- π 2 ) = cos π 2 = cos 3π 2 = cos 5π 2 = 0 .
Pour tout x réel : cos (-x) = cos x et cos (π – x) = -cos x .
La fonction cosinus admet une période T = 2π , soit : cos [x + k(2π)] = cos (x + 2kπ) = cos x , quel que soit
l'entier relatif k ∈ ZZ .
Fonction sinus : f : x →→ f(x) = sin (x) .
Pour tout angle x , mesuré en radian, porté sur le cercle trigonométrique, à partir de l'origine A des angles, on
fait correspondre l'extrémité M(cos x ; sin x) de l'angle x .
Pour tout x réel, l'ordonnée de M , sin x , est reportée en ordonnée sur le graphique précédent.
cos (-2π) = cos 0 = cos 2π = cos 4π … = + 1
cos (-3π) = cos (-π) = cos π = cos 3π = -1 et cos (-3π
2 ) = cos (- π 2 ) = cos π 2 = cos 3π 2 = cos 5π 2 = 0 .
Pour tout x réel : sin (-x) = -sin x et sin (π – x) = sin x .
La fonction sinus admet une période T = 2π , soit : sin [x + k(2π)] = sin (x + 2kπ) = sin x , quel que soit
l'entier relatif k ∈ ZZ .

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