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Correction : 41 p. 24
a) La liste des diviseurs de 60 dans ℤ sont : - 60, - 30, - 20, - 15, - 12, - 10, - 6, - 5, - 4,
- 3, - 2, - 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60.
b) La liste des diviseurs de (- 75) dans ℤ sont : - 75, - 25, - 15, - 5, - 3, - 1, 1, 3, 5, 15, 25
et 75.
c) La liste des diviseurs de 34 dans ℤ sont : - 34, - 17, - 2, - 1, 1, 2, 17 et 34.
Correction : 43 p. 24
Il existe des entiers relatifs a, b et c tels que a | bc sans que a | b et a|c.
Par exemple, a = 30, b = 15 et c = 4.
Correction : 44 p. 24
On considère n entiers relatifs.
(n – 1), n et (n + 1) sont trois entiers relatifs.
De plus : (n – 1) + n + (n + 1) = 3n est divisible par 3.
La somme de trois entiers relatifs consécutifs est divisible par 3.
Correction : 45 p. 24
a) On a : (a + b)3 = (a + b)(a + b)2
= (a + b)(a2 + 2ab + b2)
= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
= a3 + b3+ 3(a2b + ab2)
b) Raisonnons par double implication.
• On suppose que : 3 | a3 + b3. Montrons alors que : 3 | (a + b)3
On a : 3 | 3 et 3 | a3 + b3.
Par combinaison linéaire : 3 | a3 + b3+ 3(a2b + ab2), soit 3 | (a + b)3.
• On suppose que : 3 | (a + b)3. Montrons alors que : 3 | a3 + b3
On a : 3 | 3 et 3 | (a + b)3.
Par combinaison linéaire : 3 | (a + b)3 - 3(a2b + ab2), soit 3 | a3 + b3.
Donc : 3 | a3 + b3 si et seulement si 3 | (a + b)3.
Correction : 46 p. 24
n est un entier relatif.
On suppose que : a | n – 3 et a | 2n – 1.
Par combinaison linéaire, on a : a | - 2(n – 3) + (2n – 1), soit a | 5.
Correction : 41, 43, 44, 45, 46, 48, 49, 51 et 52 p. 24
1/4
Correction : 48 p. 24
a) Les diviseurs stricts de 220 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 et 110.
b) Les diviseurs stricts de 284 sont : 1, 2, 4, 71 et 142.
La somme des diviseurs stricts de 220 est égale à 284 et celle des diviseurs stricts de
284 est égale à 220.
220 et 284 sont des nombres amiables.
c) Les deux nombres parfaits inférieurs ou égaux à 30 sont 6 et 28.
En effet, les diviseurs stricts de 6 sont : 1, 2 et 3. De plus : 1 + 2 + 3 = 6.
Les diviseurs stricts de 28 sont : 1, 2, 4, 7 et 14. De plus : 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Correction : 49 p. 24
a) On suppose que : (2x + y)(3x – y) = 4.
(2x + y) et (3x – y) sont des entiers relatifs.
Donc : (2x + y) et (3x – y) sont des diviseurs de 4.
b) (2x + y) est un entier naturel, puisque x et y sont des entiers naturels.
Le produit (2x + y)((3x – y) doit être un entier naturel (soit 4).
Donc, (3x – y) est un entier naturel.
D’après la question précédente, (2x + y) et (3x – y) sont des diviseurs de 4, et
positifs.
Les diviseurs positifs de 4 sont 1, 2 et 4.
Donc, on a les différents cas suivants :
2x + y = 1
2x + y = 2
3x – y = 4
3x – y = 2
2x + y = 4
3x – y = 1
On additionne les deux équations.
5x = 5
y = 3x - 4
5x = 4
y = 3x - 2
5x = 5
y = 3x – 1
x=1
x=
x=1
y=-1
y=
y=2
Seul le couple (1 ; 2) convient puisque x et y sont des entiers naturels.
Réciproquement, si x = 1 et y = 2, alors (2x + y)(3x – y) = 4 × 1 = 4.
Donc : S = {(1 ; 2)}.
Correction : 51 p. 24
a) On a : (n + 4)(3n – 5) + 20 = 3n2 – 5n + 12n – 20 + 20
= 3n2 + 7n
2
Donc : 3n + 7n = (n + 4)(3n – 5) + 20.
Correction : 41, 43, 44, 45, 46, 48, 49, 51 et 52 p. 24
2/4
b) On a :
=
=
+
= 3n - 5 +
3n – 5 est un entier relatif.
Donc,
est un entier relatif si et seulement si
est un entier relatif.
D’où : n + 4 est un diviseur, supérieur ou égal à 4, de 20 (puisque n entier naturel).
Les diviseurs, supérieur ou égaux à 4, de 20 sont : 4, 5, 10 et 20.
Donc : n + 4 est égal à 4, 5, 10 ou 20.
D’où : n prend les valeurs : 0, 1, 6 ou 16.
Réciproquement, si n vaut 0, 1, 6 ou 16, alors
est égale à 0, 2, 15 ou 44.
Donc : S = {0 ; 1 ; 6 ; 16}.
Correction : 52 p. 24
On conjecture que, pour tout entier naturel n ≥ 1, on a : 9 | 22n + 6n – 1.
Montrons cette propriété par récurrence.
• Initialisation : 221+ 6 × 1 – 1 = 27 est divisible par 9.
La propriété est vraie au rang n = 1.
•
Héréditaire : Soit k un entier naturel non nul.
On suppose que : 9 | 22k + 6k – 1.
Il existe donc un entier p tel que : 22k + 6k – 1 = 9p, soit 22k = 9p – 6k + 1
= 22 × 22k + 6(k + 1) – 1
= 22 (9p – 6k + 1) + 6k + 6 - 1
= 198p – 132k + 22 + 6k + 5
= 198p – 126k + 27
= 9(22p – 14k + 3)
Or : 22p – 14k + 3 est un entier, soit 9 | 22k + 1 + 6(k + 1) – 1.
On a : 22k + 1 + 6(k + 1) – 1
La propriété est donc héréditaire.
On a donc démontré que : pour tout entier naturel n ≥ 1, on a : 9 | 22n + 6n – 1.
Autre méthode (plus complexe) :
Montrons cette propriété par récurrence.
• Initialisation : 221+ 6 × 1 – 1 = 27 est divisible par 9.
La propriété est vraie au rang n = 1.
•
Héréditaire : Soit k un entier naturel non nul.
On suppose que : 9 | 22k + 6k – 1.
Correction : 41, 43, 44, 45, 46, 48, 49, 51 et 52 p. 24
3/4
= 22 (22k + 6k - 1) – 22 × (6k – 1) + 6(k + 1) – 1
= 22 (22k + 6k - 1) – 132k + 22 + 6k + 6 – 1
= 22 (22k + 6k - 1) – 126k + 27
= 22 (22k + 6k - 1) + 9 (– 14k + 3)
Par hypothèse de récurrence, 9 | 22k + 6k – 1. De plus : 9 | 9.
Par combinaison linéaire, 9 | 22 (22k + 6k - 1) + 9 (– 14k + 3), soit
9 | 22k + 1 + 6(k + 1) – 1.
On a : 22k + 1 + 6(k + 1) – 1
La propriété est donc héréditaire.
On a donc démontré que : pour tout entier naturel n ≥ 1, on a : 9 | 22n + 6n – 1.
Correction : 41, 43, 44, 45, 46, 48, 49, 51 et 52 p. 24
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