Exercices : Nombres premiers

Exercices : Nombres premiers
Exercice 1
Les trois parties I,II,III peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.
Partie I
Soit E=1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10.
Déterminer les paires a;bd’entiers distincts de Etels que le reste de la division euclidienne de ab par 11 soit 1.
Partie II
Soit nun entier naturel supérieur ou égal à 3.
1. L’entier (n−1)! est-il pair ?
2. L’entier (n−1)! + 1 est-il divisible par un entier naturel pair ?
3. Prouver que l’entier (15 −1)! + 1 n’est pas divisible par 15.
4. L’entier (11 −1)! + 1 est-il divisible par 11 ?
Partie III
Soit pun entier naturel non premier (p>2).
1. Prouver que padmet un diviseur q(1< q < p)qui divise (p−1)!
2. L’entier qdivise-t-il l’entier (p−1)! + 1 ?
3. L’entier pdivise-t-il l’entier (p−1)! + 1 ?
Exercice 2
1. Pour aun entier naturel, on considère l’expression :
(E) : a4−a3−5a2
a. Factoriser l’expression (E)comme un produit de deux polynômes du second degré.
b. En déduire l’unique valeur de aafin que l’expression (E)définisse un nombre premier.
2. Pour aun entier naturel, on considère l’expression :
(F) : a4−3a2
Justifier que le nombre (F)ne peut être un nombre premier.
Exercice 3
Soit nun entier naturel. On considère le nombre Adéfini par :
A= 23×3n×5n
1. a. Déterminer le nombre de diviseurs du nombre Adans les cas suivant :
n= 0 ;n= 1 ;n= 2
b. Déterminer une expression en fonction de ndonnant le nombre de diviseurs du nombre A.
2. Combien de diviseurs admet le nombre 6 075 000.
Exercice 4
Soit Nun entier naturel, impair non premier.
On suppose que N=a2−b2où aet bsont deux entiers naturels tels que a>b.
1. Montrer que aet bn’ont pas la même parité.
2. Montrer que Npeut s’écrire comme produit de deux entiers naturels pet q.
3. Quelle est la parité de pet de q?