Exercices : Nombres premiers Exercice 1 Les trois parties I, II, III peuvent être traitées indépendamment les unes des autres. Partie I Soit E = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ;7 ; 8 ; 9 ; 10 . Déterminer les paires a ; b d’entiers distincts de E tels que le reste de la division euclidienne de ab par 11 soit 1. Partie II Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. 1. L’entier (n − 1)! est-il pair ? 2. L’entier (n − 1)! + 1 est-il divisible par un entier naturel pair ? 3. Prouver que l’entier (15 − 1)! + 1 n’est pas divisible par 15. 4. L’entier (11 − 1)! + 1 est-il divisible par 11 ? Partie III Soit p un entier naturel non premier (p > 2). 1. Prouver que p admet un diviseur q (1 < q < p) qui divise (p − 1)! 2. L’entier q divise-t-il l’entier (p − 1)! + 1 ? 3. L’entier p divise-t-il l’entier (p − 1)! + 1 ? Exercice 2 1. Pour a un entier naturel, on considère l’expression : (E) : a4 − a3 − 5a2 a. Factoriser l’expression (E) comme un produit de deux polynômes du second degré. b. En déduire l’unique valeur de a afin que l’expression (E) définisse un nombre premier. 2. Pour a un entier naturel, on considère l’expression : (F ) : a4 − 3a2 Justifier que le nombre (F ) ne peut être un nombre premier. Exercice 3 Soit n un entier naturel. On considère le nombre A défini par : A = 23 ×3n ×5n 1. a. Déterminer le nombre de diviseurs du nombre A dans les cas suivant : n=0 ; n=1 ; n=2 b. Déterminer une expression en fonction de n donnant le nombre de diviseurs du nombre A. 2. Combien de diviseurs admet le nombre 6 075 000. Exercice 4 Soit N un entier naturel, impair non premier. On suppose que N =a2 −b2 où a et b sont deux entiers naturels tels que a>b. 1. Montrer que a et b n’ont pas la même parité. 2. Montrer que N peut s’écrire comme produit de deux entiers naturels p et q. 3. Quelle est la parité de p et de q ?