Arithmétique 1

2013-2014
Arithmétique 1
Jeudi 10 octobre
Enigme du jour :
Existe-t-il une puissance de 2 qui commence par un 7 ?
soit n = pa11 · · · par r la décomposition de n en facteurs premiers. Alors
les diviseurs de n sont les nombres de la forme pb11 · · · pbrr où
Théorème :
b1 6 a1 , b2 6 a2 , . . . , br 6 ar .
Combien 1000 a-t-il de diviseurs ? Plus généralement, quel est le nombre
de diviseurs de pa11 · · · par r ?
Exercice 1.
Exercice 2.
Combien y a-t-il d'entiers 1 6 n 6 1000 qui sont divisibles par 3 ou
Exercice 3.
A quelle condition un entier n admet-il un nombre impair de diviseurs ?
Exercice 4.
Quels sont les entiers 6 1000 admettant exactement 7 diviseurs ?
par 5 ?
Est-il vrai que le produit de quatre nombres consécutifs est toujours
divisible par 2 ? Par 4 ? Par 8 ? Par 16 ?
Exercice 5.
Exercice 6.
Quels sont les entiers p tels que p et p + 1 sont premiers ?
Exercice 7.
Quels sont les entiers p tels que p, p + 2 et p + 4 sont premiers ?
Exercice 8.
Quel est le plus grand entier k tel que 100! est divisible par 7k ?
(*) Plus généralement, si p est un nombre premier, donner une expression calculant le plus grand entier k tel que n! est divisible par pk .
Exercice 9.
Notons σ(n) la somme des diviseurs de n. Que vaut σ(n) si n est un
nombre premier ? Si n est une puissance d'un nombre premier ?
Exercice 10.
Exercice 11.
(*) Soit τ (n) le nombre de diviseurs de n. Montrer que
√
n+1
nτ (n) 6 σ(n) 6
τ (n).
2
1√
Exercice 12. Montrer que τ (n) 6
n.
2
τ (n)
(**) Montrer que pour tout a > 0, a tend vers 0 lorsque n tend vers l'inni.
n
Exercice 13. Un nombre est dit parfait si σ(n) = 2n.
Montrer que si 2k+1 − 1 est un nombre premier alors 2k (2k+1 − 1) est parfait.
(*) Montrer que tout nombre parfait pair est de cette forme.
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