Espace vectoriel

Espace vectoriel
MPSI
22 juin 2008

Table des mati`eres
1 D[Pleaseinsertintopreamble]finitions 2
2 Sous-espaces vectoriels 4
2.1 D´efinitions............................. 4
2.2 Crit`ere de reconaissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Sous espace suppl´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Partie g´en´eratrice d’un sous-espace . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4.1 Sous espace engendr´e par un partie . . . . . . . . . . . 5
2.4.2 Sous espace engendr´e par une partie fini . . . . . . . . 5
2.5 Produit de deux espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Application lin´eaire 6
3.1 Vocabulaire ............................ 6
3.2 Noyau et Image d’une application lin´eaire . . . . . . . . . . . 6
3.2.1 Image ........................... 6
3.2.2 Noyau ........................... 7
3.3 Op´erations sur les applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 Structure ............................. 7
3.5 Projecteur............................. 7
3.5.1 Propri´et´e caract´eristique . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.6 Sym´etrie.............................. 8
3.6.1 Propri´et´e caract´eristique . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1

Chapitre 1
D´efinitions
D´efinition 1 Soit E un espace et K un corps.
Donc dit que (E,+,.) est un K-espace vectoriel si il v´erifie les propri´et´es
suivantes :
1- + est une loi de composition interne :
∀(x, y)∈E2x+y∈E
2- + est une loi associative :
∀(x, y, z)∈E3(x+y) + z=x+ (y+z)
3- + poss`ede un ´element neutre OE:
∀x∈E x +OE=OE+x=x
4- Tous ´el´ements x de E est sym´etrisable pour + dans E. Ce sym´etrique est
−x:
∀x∈E x + (−x) = (−x) + x=OE
5- + est commutatif dans E :
∀(x, y)∈E2x+y=y+x
6- ”.” est une loi de composition externe :
∀x∈E, ∀λ∈K, λ.x ∈E
7- ”.” poss`ede un ´element neutre 1K:
∀x∈E1k.x =x
2

8- ”.” v´erifie :
∀x∈E, ∀(λ, µ)∈K2λ.(µ.x)=(λ×µ).x
9- ”.” v´erifie :
∀x∈E, ∀(λ, µ)∈K2(λ+µ).x = (λ.x)+(µ.x)
10- ”.” v´erifie :
∀(x, y)∈E2,∀λ∈K λ.(x+y) = λ.x +λ.y
Si un espace ne v´erifie que les 4ere propri´et´es, on dit que c’est un groupe. Si
il v´erifie les 5ere, c’est un groupe commutatif.
Propri´et´e 1 Soit E un K-espace vectoriel :
→ ∀x∈E, 0K.x = 0E
→ ∀x∈E−x= (−1K).x
→Soit x un vecteur de E, λ∈K:
(λ.x =OE)⇔(λ=OKou x =OE)
3

Chapitre 2
Sous-espaces vectoriels
2.1 D´efinitions
D´efinition 2 Soit E un K-espace vectoriel. Soit F un espace.
On dit que F est un sous-espace de E si :
F c E
(F, +, .)est un K-espace vectoriel
Propri´et´e 2 Soit E un K-espace vectoriel. Soient F et G deux sous espace
de E :
→ {OE}est le plus petit sous espace de E.
→F∩Gest un sous espace de E
→F∪Gest un sous espace de E
2.2 Crit`ere de reconaissance
Propri´et´e 3 ( F est un sous espace de E ) ⇔
F c E
F6=∅
∀(x, y)∈F2,∀(λ, µ)∈K2, λx +µy ∈F
2.3 Sous espace suppl´ementaire
Soit E un K-espace vectoriel. Soient F,G deux sous espace de E.
D´efinition 3 F et G sont dit en somme direct si :
F∩G={OE}
4