12 septembre
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Université Paris 6
Année universitaire 2011-2012
Master enseignement première année, cours d’algèbre Résumé de la séance du
12 septembre
Définition d’un corps (commutatif), exemples : Q, R, C, Z/pZ... ; corps de
caractéristique nulle.
On fixe pour toute la suite un corps de caractéristique nulle K. Définition
d’un K-espace vectoriel, exemples : K, K n , l’espace nul, K[X], l’espace des
fonctions continues de R dans R lorsque K = R ; le corps R peut être vu comme
un Q-espace vectoriel ; le corps C peut être vu comme un Q-espace vectoriel,
et également comme un R-espace vectoriel. Un contre-exemple : si n > 0 alors
K n muni de l’addition usuelle et de la loi externe (λ, (x1 , . . . , xn )) 7→ (0, . . . , 0)
n’est pas un K-espace vectoriel ; et un exemple un peu inhabituel : C2 muni de
l’addition usuelle et de la loi externe (λ, (z1 , z2 )) 7→ (λz1 , λz2 ) est un C-espace
vectoriel.
Notion de sous-espace vectoriel d’un K-espace vectoriel E. Exemples : {0} et
E ; le sous-ensemble de l’espace vectoriel des applications continues de R dans R
formé de celles qui s’annulent en 0 ; le sous-ensemble de K n formé des n-uplets
(x1 , . . . , xn ) tels que xi = xj pour tout (i, j).
Somme F + G de deux sous-espaces vectoriels F et G d’un K-espace vectoriel E ; notion de somme directe et caractérisations équivalentes (nullité de
l’intersection, unicité de la décomposition).
Notion de sous-espace vectoriel supplémentaire. Mise en garde : en général
un sous-espace vectoriel de E peut avoir plusieurs supplémentaires. Exemple :
K = R, E = R2 , F = {(x, 0)}x∈R , G = {(0, y)}y∈R et H = {(z, z}z∈R ; on a alors
E = F ⊕ G = F ⊕ H.
Intersection d’une famille quelconque de sous-espaces vectoriels. Mise en
garde : l’intersection ne commute pas aux sommes directes, dans l’exemple cidessus E = F ⊕ G mais H n’est pas somme directe de F ∩ H et G ∩ H.
Notion de sous-espace vectoriel hPi engendré par un sous-ensemble P d’un
K-espace vectoriel E. Définition comme intersection de tous les sous-espaces
vectoriels de E contenant P, et description en termes de combinaisons linéaires
d’éléments de P. Quelques mots sur les combinaisons linéaires a priori infinies
(dans lesquelles on suppose toujours implicitement que presque tous les scalaires
sont nuls) et sur la combinaison linéaire vide, nulle par convention. Si F et G
sont deux sous-espaces vectoriels de E alors F + G est le sous-espace vectoriel
engendré par F ∪ G.
Notion d’application linéaire, premiers exemples : √
l’identité, l’application
nulle, l’application (x, y, z) 7→ (5x − 7y + 238z, 2x + πy + 11z) de R3 dans R2 ....
La composée de deux applications linéaires est linéaire, et si une application
linéaire est bijective, sa réciproque (ensembliste) est linéaire. Notion de noyau
et d’image d’une application linéaire ; une application linéaire est injective si et
seulement si son noyau est nul.
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Si E est un K-espace vectoriel et si F et G sont deux sous-espaces vectoriels
de E tels que E = F ⊕ G, définition de la projection p sur F parallèlement à
G, et propriétés élémentaires : p est linéaire, p2 = p, Im p = F et Ker p = G.
Réciproquement, si p est une application linéaire de E dans E telle que p2 = p
alors E = Im p ⊕ Ker p et p est la projection sur Im p parallèlement à Ker p.
Commentaires. J’ai démontré certaines assertions, en ai admis d’autres, et ai
demandé aux étudiants d’en prouver quelques unes en direct à titre d’exercice.
Par ailleurs, les exercices 1, 5, 9, 11, et 13 de la feuille de TD Théorie des
ensembles de M. Romagny ont été traités.
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