12 septembre

Universit´e Paris 6
Ann´ee universitaire 2011-2012
Master enseignement premi`ere ann´ee, cours d’alg`ebre R´esum´e de la s´eance du
12 septembre
D´efinition d’un corps (commutatif), exemples : Q,R,C,Z/pZ... ; corps de
caract´eristique nulle.
On fixe pour toute la suite un corps de caract´eristique nulle K. D´efinition
d’un K-espace vectoriel, exemples : K,Kn, l’espace nul, K[X], l’espace des
fonctions continues de Rdans Rlorsque K=R; le corps Rpeut ˆetre vu comme
un Q-espace vectoriel ; le corps Cpeut ˆetre vu comme un Q-espace vectoriel,
et ´egalement comme un R-espace vectoriel. Un contre-exemple : si n > 0 alors
Knmuni de l’addition usuelle et de la loi externe (λ, (x1, . . . , xn)) 7→ (0,...,0)
n’est pas un K-espace vectoriel ; et un exemple un peu inhabituel : C2muni de
l’addition usuelle et de la loi externe (λ, (z1, z2)) 7→ (λz1, λz2) est un C-espace
vectoriel.
Notion de sous-espace vectoriel d’un K-espace vectoriel E. Exemples : {0}et
E; le sous-ensemble de l’espace vectoriel des applications continues de Rdans R
form´e de celles qui s’annulent en 0 ; le sous-ensemble de Knform´e des n-uplets
(x1, . . . , xn) tels que xi=xjpour tout (i, j).
Somme F+Gde deux sous-espaces vectoriels Fet Gd’un K-espace vec-
toriel E; notion de somme directe et caract´erisations ´equivalentes (nullit´e de
l’intersection, unicit´e de la d´ecomposition).
Notion de sous-espace vectoriel suppl´ementaire. Mise en garde : en g´en´eral
un sous-espace vectoriel de Epeut avoir plusieurs suppl´ementaires. Exemple :
K=R, E =R2, F ={(x, 0)}x∈R, G ={(0, y)}y∈Ret H={(z, z}z∈R; on a alors
E=F⊕G=F⊕H.
Intersection d’une famille quelconque de sous-espaces vectoriels. Mise en
garde : l’intersection ne commute pas aux sommes directes, dans l’exemple ci-
dessus E=F⊕Gmais Hn’est pas somme directe de F∩Het G∩H.
Notion de sous-espace vectoriel hPi engendr´e par un sous-ensemble Pd’un
K-espace vectoriel E. D´efinition comme intersection de tous les sous-espaces
vectoriels de Econtenant P, et description en termes de combinaisons lin´eaires
d’´el´ements de P. Quelques mots sur les combinaisons lin´eaires a priori infinies
(dans lesquelles on suppose toujours implicitement que presque tous les scalaires
sont nuls) et sur la combinaison lin´eaire vide, nulle par convention. Si Fet G
sont deux sous-espaces vectoriels de Ealors F+Gest le sous-espace vectoriel
engendr´e par F∪G.
Notion d’application lin´eaire, premiers exemples : l’identit´e, l’application
nulle, l’application (x, y, z)7→ (5x−7y+238z, 2x+πy +√11z) de R3dans R2....
La compos´ee de deux applications lin´eaires est lin´eaire, et si une application
lin´eaire est bijective, sa r´eciproque (ensembliste) est lin´eaire. Notion de noyau
et d’image d’une application lin´eaire ; une application lin´eaire est injective si et
seulement si son noyau est nul.
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Si Eest un K-espace vectoriel et si Fet Gsont deux sous-espaces vectoriels
de Etels que E=F⊕G, d´efinition de la projection psur Fparall`element `a
G, et propri´et´es ´el´ementaires : pest lin´eaire, p2=p, Im p=Fet Ker p=G.
R´eciproquement, si pest une application lin´eaire de Edans Etelle que p2=p
alors E= Im p⊕Ker pet pest la projection sur Im pparall`element `a Ker p.
Commentaires. J’ai d´emontr´e certaines assertions, en ai admis d’autres, et ai
demand´e aux ´etudiants d’en prouver quelques unes en direct `a titre d’exercice.
Par ailleurs, les exercices 1, 5, 9, 11, et 13 de la feuille de TD Th´eorie des
ensemblesde M. Romagny ont ´et´e trait´es.
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