Notes de cours

Mathématiques Pré-calcul 40S
Centre scolaire Léo-Rémillard
Préparé par :
Roger Durand
Ce cahier appartient à :
___________________________________________________
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Roger Durand
I.
Mathématiques Pré-calcul 40S
La notation fonctionnelle ..........................................................................................................1
A. L’addition et la soustraction de fonctions ............................................................................. 1
Pratique : l’addition et la soustraction de fonctions ........................................................... 3
B. La multiplication et la division de fonctions ......................................................................... 5
Pratique : la multiplication et la division de fonctions ....................................................... 8
C. La composition de fonctions ................................................................................................. 9
Pratique : la composition de fonctions ............................................................................. 11
Résumé : la notation fonctionnelle ................................................................................... 12
II. La transformation de fonctions ...............................................................................................13
A. Les types de fonctions ......................................................................................................... 13
1. Les fonctions linéaires ...................................................................................................... 13
2. Les fonctions quadratiques ............................................................................................... 14
3. Les fonctions polynomiales de degré > 2 ........................................................................ 15
4. Les fonctions valeur absolue ............................................................................................ 16
5. Les fonctions rationnelles ................................................................................................. 17
6. Les fonctions radicales ..................................................................................................... 18
B. Les translations .................................................................................................................... 19
1. L’effet de k sur un graphique ........................................................................................... 19
2. L’effet de h sur un graphique ........................................................................................... 20
3. L’effet d’une translation sur une coordonnée ................................................................... 21
Pratique : les translations .................................................................................................. 23
C. Les étirements et les compressions ...................................................................................... 26
1. L’effet de 𝑎 sur un graphique ........................................................................................... 26
2. L’effet de 𝑏 sur un graphique ........................................................................................... 27
3. L’effet d’un étirement sur une coordonnée ...................................................................... 28
D. Les réflexions ...................................................................................................................... 30
1. Réflexion par rapport à l’axe des x................................................................................... 30
2. Réflexion par rapport à l’axe des y................................................................................... 31
Pratique : les étirements et les réflexions ......................................................................... 32
E. Toutes les transformations ................................................................................................... 35
1. L’effet d’une transformation sur une coordonnée ............................................................. 35
2. L’effet d’une transformation sur un graphique................................................................. 37
Pratique : les transformations ........................................................................................... 41
Résumé : les transformations ........................................................................................... 45
F. La réciproque d’une fonction .............................................................................................. 46
1. La réciproque de coordonnées .......................................................................................... 46
2. La réciproque de graphiques ............................................................................................. 47
3. Les équations réciproques de fonctions ............................................................................ 48
Pratique : la réciproque..................................................................................................... 49
Résumé : la réciproque ..................................................................................................... 51
G. Les fonctions rationnelles et la division de polynômes ....................................................... 52
1. Les fonctions de la forme 𝑓𝑥 = 𝑎𝑥 − ℎ + 𝑘 .................................................................... 52
2. Les fonctions de la forme 𝑓𝑥 = 𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑏 .................................................................... 53
Pratique : les fonctions rationnelles et la division de polynômes ..................................... 59
Résumé : les fonctions rationnelles et la division de polynômes ..................................... 62
H. L’inverse, la valeur absolue et la racine carrée de fonctions ............................................... 63
1. L’inverse de fonctions ....................................................................................................... 63
2. La valeur absolue de fonctions .......................................................................................... 64
3. La racine carrée de fonctions ............................................................................................. 65
Pratique : l’inverse, la valeur absolue et la racine carrée de fonctions ............................. 66
Résumé : l’inverse, la valeur absolue et la racine carrée de fonctions ............................. 67
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
III. Les fonctions circulaires .........................................................................................................68
A. Introduction aux angles ....................................................................................................... 68
B. Les radians ........................................................................................................................... 69
1. transformer des degrés en radians .................................................................................... 70
2. transformer des radians en degrés .................................................................................... 70
C. La longueur d’arc ................................................................................................................. 71
Pratique : les angles .......................................................................................................... 72
D. Le cercle unité ..................................................................................................................... 74
E. Les six fonctions trigonométriques ...................................................................................... 79
Pratique : le cercle unité et les fonctions trigonométriques .............................................. 80
Résumé : les angles et le cercle unité ............................................................................... 82
F. Les graphiques de fonctions trigonométriques ..................................................................... 83
1. Les 6 graphiques de fonctions trigonométriques .............................................................. 83
2. L’amplitude et la période .................................................................................................. 90
3. Le domaine et l’image ...................................................................................................... 92
4. Les ordonnées et les abscisses à l’origine......................................................................... 93
Pratique : les graphiques de fonctions trigonométriques .................................................. 95
Résumé : les graphiques de fonctions trigonométriques ................................................ 101
G. Résolution d’équations trigonométriques .......................................................................... 102
1. Algébriquement et graphiquement avec le cercle unitaire.............................................. 102
2. En factorisant un terme commun .................................................................................... 107
3. Les fonctions trigonométriques quadratiques ................................................................. 108
Pratique : la résolution d’équations trigonométriques .................................................... 110
Résumé : la résolution d’équations trigonométriques .................................................... 113
IV. Les identités trigonométriques..............................................................................................114
A. L’identité de Pythagore ..................................................................................................... 114
B. Les identités dérivées de cos2 𝜃 + sin2 𝜃 = 1 .................................................................. 115
C. Les preuves d’identités ...................................................................................................... 115
D. Résolution d’équation utilisant les identités...................................................................... 119
E. Les identités de la somme, de la différence et de l’angle double ...................................... 120
Pratique : les identités trigonométriques ........................................................................ 123
Résumé : les identités trigonométriques ......................................................................... 125
V. Les fonctions exponentielles et logarithmiques ....................................................................126
A. Les lois des exposants ....................................................................................................... 126
B. La fonction exponentielle .................................................................................................. 126
Pratique : les fonctions exponentielles ........................................................................... 130
Résumé : les fonctions exponentielles ............................................................................ 132
C. Les logarithmes ................................................................................................................. 133
Pratique : les fonctions logarithmiques .......................................................................... 136
Résumé : les fonctions logarithmiques ........................................................................... 138
D. Résolution d’équations ...................................................................................................... 141
E. Application de fonctions exponentielles ........................................................................... 145
Pratique : les lois des logarithmes et la résolution d’équation ....................................... 147
Résumé : les lois des logarithmes et la résolution d’équation ........................................ 150
VI. Les permutations et les combinaisons ..................................................................................151
A. Les permutations ............................................................................................................... 151
B. Les combinaisons .............................................................................................................. 157
C. Le théorème du binôme ..................................................................................................... 158
Pratique : les permutations et les combinaisons ............................................................. 160
Résumé : les permutations et les combinaisons ............................................................. 164
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
I. La notation fonctionnelle
A. L’addition et la soustraction de fonctions
Elles peuvent être représentées de ces façons :
1. 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) ou (𝑓 + 𝑔)(𝑥)
2. 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) ou (𝑓 − 𝑔)(𝑥)
Exemple
Détermine la somme des fonctions 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 et 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 .
a. algébriquement
Soit la somme ℎ(𝑥) = (𝑓 + 𝑔)(𝑥)
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥) = (2𝑥 + 1) + 𝑥 2
ℎ(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1
b. graphiquement
Dessiner les deux fonctions sur le même plan cartésien
5+4= 9
9 + (−5) = 4
3+1= 4
4 + (−3) = 1
0+1= 1
1 + (−1) = 0
On additionne les valeurs de 𝑦 de chaque fonction. La soustraction fonctionne de
la même façon que l’addition.
1
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Mathématiques Pré-calcul 40S
Exemple
Détermine l’équation de la fonction ℎ(𝑥) = (𝑓 − 𝑔)(𝑥) étant donné les fonctions
𝑓(𝑥) = |𝑥| et 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 5.
Représente graphiquement𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) et ℎ(𝑥) sur un même plan cartésien.
Est-ce que (𝑓 − 𝑔)(𝑥) et (𝑔 − 𝑓)(𝑥) sont équivalentes? Quelles sont les
ressemblances et différences?
2
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Pratique : l’addition et la soustraction de fonctions
1. À partir de chaque paire de fonctions, détermine l’équation de ℎ(𝑥) = (𝑓 + 𝑔)(𝑥).
a. 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 3| et 𝑔(𝑥) = 4
b. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 5 et 𝑔(𝑥) = −𝑥 + 2
c. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 et 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 + 2
d. 𝑓(𝑥) = −𝑥 − 5 et 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 3)2
2.
À partir de chaque paire de fonctions, détermine l’équation de ℎ(𝑥) = (𝑓 − 𝑔)(𝑥).
a. 𝑓(𝑥) = 6𝑥 et 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2
b. 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 7 et 𝑔(𝑥) = 3𝑥 2 + 𝑥 − 2
c. 𝑓(𝑥) = 6 − 𝑥 et 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 1)2 − 7
d. 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 et 𝑔(𝑥) = 4
3.
Soit 𝑓(𝑥) = −6𝑥 + 1 et 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 .
a. Détermine ℎ(𝑥) = (𝑓 + 𝑔)(𝑥) et évalue ℎ(2).
b. Détermine 𝑚(𝑥) = (𝑓 − 𝑔)(𝑥) et évalue 𝑚(1).
c. Détermine p(𝑥) = (𝑔 − 𝑓)(𝑥) et évalue 𝑝(1).
4.
Soit 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 + 2, 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 4 et ℎ(𝑥) = 4𝑥 − 2. Détermine chaque somme
ou différence et indique son domaine.
a. 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)
b. 𝑦 = ℎ(𝑥) − 𝑔(𝑥)
c. 𝑦 = (𝑔 − ℎ)(𝑥)
d. 𝑦 = (𝑓 + ℎ)(𝑥)
5.
Évalue chaque expression à partir des graphiques 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥).
a. (𝑓 + 𝑔)(4)
b. (𝑓 + 𝑔)(−4)
c. (𝑓 + 𝑔)(−5)
d. (𝑓 + 𝑔)(−6)
3
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6.
Mathématiques Pré-calcul 40S
À partir des graphiques 𝑓(𝑥) et de 𝑔(𝑥), associe chaque somme ou différence à son
graphique.
a. 𝑦 = (𝑓 + 𝑔)(𝑥)
b. 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
c. 𝑦 = (𝑔 − 𝑓)(𝑥)
A
B
C
7.
Si ℎ(𝑥) = (𝑓 + 𝑔)(𝑥) et 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 2, quelle est l’équation de 𝑔(𝑥)?
a. ℎ(𝑥) = 𝑥 2 + 5𝑥 + 2
b. ℎ(𝑥) = 2𝑥 + 3
c. ℎ(𝑥) = 3𝑥 2 + 4𝑥 − 2
8.
Si ℎ(𝑥) = (𝑓 − 𝑔)(𝑥) et 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 2, quelle est l’équation de 𝑔(𝑥)?
a. ℎ(𝑥) = −𝑥 2 + 5𝑥 + 3
b. ℎ(𝑥) = −3𝑥 + 11
c. ℎ(𝑥) = −2𝑥 2 + 16𝑥 + 8
9.
Un comptoir de hamburgers a un coût de fonctionnement de 135$ par jour plus 1,25$
par hamburger vendu. Chaque hamburger se vend à 3,50$. Le comptoir peut vendre
un maximum de 300 hamburgers en une journée.
a. Écris une équation pour le coût total, C, et une pour le revenu, R, en fonction du
nombre de hamburgers vendus, n.
b. Représente graphiquement 𝐶(𝑛) et 𝑅(𝑛) dans le même plan cartésien.
c. Le seuil de rentabilité se situe au point où 𝐶(𝑛) = 𝑅(𝑛). Détermine ce point.
d. Élabore un modèle algébrique et un modèle graphique de la fonction qui
représente le profit et détermine le profit maximal journalier.
4
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Mathématiques Pré-calcul 40S
B. La multiplication et la division de fonctions
Elles peuvent être représentées de ces façons :
1. (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) ou 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)
𝑓
𝑓(𝑥)
2. (𝑔) (𝑥) ou 𝑔(𝑥)
Exemple
Détermine le produit des fonctions 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)2 − 5 et 𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 4.
Soit ℎ(𝑥) = (𝑓 ⋅ 𝑔)(𝑥)
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥) = ((𝑥 + 2)2 − 5)(3𝑥 − 4)
ℎ(𝑥) = (𝑥 2 + 4𝑥 − 1)(3𝑥 − 4)
ℎ(𝑥) = 3𝑥 3 − 4𝑥 2 + 12𝑥 2 − 16𝑥 − 3𝑥 + 4
ℎ(𝑥) = 3𝑥 3 + 8𝑥 2 − 19𝑥 + 4
Exemple
Soit 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 et 𝑔(𝑥) = √4𝑥 − 5. Détermine le produit de ces fonctions.
Exemple
Soit les fonctions 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 − 6 et 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 6. Détermine l’équation de la
𝑔
fonction ℎ(𝑥) = (𝑓 ) (𝑥) et représente-les sur un même plan cartésien.
𝑔
ℎ(𝑥) = ( ) (𝑥)
𝑓
2𝑥 + 6
ℎ(𝑥) = 2
𝑥 +𝑥−6
2(𝑥 + 3)
ℎ(𝑥) =
(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
Si on simplifie, nous obtenons la fonction ℎ(𝑥) =
2
. Nous avons la valeur non-
𝑥−2
permise à 𝑥 ≠ 2. Mais puisque nous avons simplifié le facteur 𝑥 + 3, il y a aussi 𝑥 ≠
−3.
5
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Mathématiques Pré-calcul 40S
Faisons un tableau de valeurs pour dessiner le graphique :
𝑥
𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 6
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 − 6
6
𝑔
ℎ(𝑥) = ( ) (𝑥)
𝑓
𝜙 (non défini)
−3
0
0
−2
−4
2
−1
−6
4
0
−6
6
1
−4
8
−2
2
0
10
𝜙 (non défini)
3
6
12
2
4
14
14
1
1
−2
2
−3
−1
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Mathématiques Pré-calcul 40S
Exemple
𝑓
Détermine l’équation et représente graphiquement la fonction ℎ(𝑥) = (𝑔) (𝑥) étant
donné 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 et 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 9𝑥 + 14. N’oublie pas les valeurs non
permises.
7
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Mathématiques Pré-calcul 40S
Pratique : la multiplication et la division de fonctions
𝑓(𝑥)
1. Détermine ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) et ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑥) pour chaque paire de fonctions.
a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 7 et 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 7
b. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 et 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 4
c. 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 5 et 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2
d. 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1 et 𝑔(𝑥) = √6 − 𝑥
2.
À l’aide des graphiques de 𝑓(𝑥) et de 𝑔(𝑥), évalue chaque expression.
a. (𝑓 ⋅ 𝑔)(−2)
b. (𝑓 ⋅ 𝑔)(1)
𝑓
c. (𝑔) (0)
𝑓
d. (𝑔) (1)
3.
Pour chaque paire de fonctions, 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥), détermine l’équation
ℎ(𝑥) = (𝑓 ⋅ 𝑔)(𝑥) et représente les fonctions sur un même plan cartésien.
a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 et 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2
b. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3 et 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 9
1
1
c. 𝑓(𝑥) = 𝑥+1 et 𝑔(𝑥) = 𝑥
4.
Refais le numéro 3 en utilisant ℎ(𝑥) = (𝑔) (𝑥).
5.
Si ℎ(𝑥) = (𝑓 ⋅ 𝑔)(𝑥) et 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5, quelle est l’équation de 𝑔(𝑥)?
a. ℎ(𝑥) = 6𝑥 + 15
b. ℎ(𝑥) = −2𝑥 2 − 5𝑥
c. ℎ(𝑥) = 2𝑥√𝑥 + 5√𝑥
d. ℎ(𝑥) = 10𝑥 2 + 13𝑥 − 30
6.
Soit ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑥) et 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 1, détermine l’équation de 𝑔(𝑥).
𝑓
𝑓(𝑥)
a. ℎ(𝑥) =
b. ℎ(𝑥) =
3𝑥−1
𝑥+7
3𝑥−1
√𝑥+6
c. ℎ(𝑥) = 1,5𝑥 − 0,5
1
d. ℎ(𝑥) = 𝑥+9
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Mathématiques Pré-calcul 40S
C. La composition de fonctions
Elle peut être représentée de cette façon :
1. 𝑓(𝑔(𝑥)) ou (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥)
Une fonction composée est formée de deux fonctions où la valeur de sortie de l’une
est la valeur d’entrée de l’autre.
Exemple
Sachant que 𝑓(𝑥) = 4𝑥 et que 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 6, évalue 𝑓(𝑔(3)).
Méthode 1 :
Évalue la fonction intérieure. Substitue cette valeur dans la fonction extérieure.
𝑔(𝑥) = 𝑥 + 6
𝑔(3) = 3 + 6
𝑔(3) = 9
𝑓(𝑔(3)) = 𝑓(9)
𝑓(𝑥) = 4𝑥
𝑓(9) = 4 ⋅ 9
𝑓(9) = 36
∴ 𝑓(𝑔(3)) = 36
Méthode 2 :
Détermine l’équation de la fonction composée, puis évalue.
𝑓(𝑥) = 4𝑥
𝑓(𝑔(𝑥)) = 4(𝑥 + 6)
𝑓(𝑔(3)) = 4(3 + 6)
𝑓(𝑔(3)) = 4 ⋅ 9
𝑓(𝑔(3)) = 36
Exemple
Sachant que 𝑓(𝑥) = |𝑥| et 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1, évalue (𝑓 ∘ 𝑔)(−2) de deux méthodes
différentes. Est-ce que (𝑔 ∘ 𝑓)(−2) aura la même valeur que (𝑓 ∘ 𝑔)(−2)?
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Mathématiques Pré-calcul 40S
Exemple
Détermine la fonction composée 𝑓(𝑔(𝑥)) et celle de (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) sachant que
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 − 1 et 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 2.
Exemple
Sachant que ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)), détermine 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥) si
ℎ(𝑥) = (𝑥 − 2)2 + (𝑥 − 2) + 1.
ℎ(𝑥) = (𝑥 − 2)2 + (𝑥 − 2) + 1
2
𝑓(𝑔(𝑥)) = (𝑔(𝑥)) + (𝑔(𝑥)) + 1
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 + 1
∴ 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2
Exemple
Étant donné la fonction ℎ(𝑥) = √𝑥 3 + 1, détermine 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥).
10
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Mathématiques Pré-calcul 40S
Pratique : la composition de fonctions
1. À partir des graphiques de 𝑓(𝑥) et de 𝑔(𝑥), évalue chaque composée.
a. 𝑓(𝑔(−4))
b. 𝑓(𝑔(0))
c. 𝑔(𝑓(−2))
d. 𝑔(𝑓(−3))
2.
Sachant que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 8 et 𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 2, évalue chaque composée.
a. 𝑓(𝑔(1))
b. 𝑓(𝑔(−2))
c. 𝑔(𝑓(−4))
d. 𝑔(𝑓(1))
3.
Soit 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 4 et 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 1, détermine l’équation de chaque composée.
a. 𝑓(𝑔(𝑎))
b. 𝑔(𝑓(𝑎))
c. 𝑓(𝑔(𝑥))
d. 𝑔(𝑓(𝑥))
e. 𝑓(𝑓(𝑥))
f. 𝑔(𝑔(𝑥))
4.
À partir de chaque paire de fonctions, détermine l’équation de 𝑓(𝑔(𝑥)) et celle de
𝑔(𝑓(𝑥)).
a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 et 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥
b. 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 + 2 et 𝑔(𝑥) = 𝑥 2
c. 𝑓(𝑥) = |𝑥| et 𝑔(𝑥) = 𝑥 2
5.
Soit 𝑓(𝑥) = √𝑥 et 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 1. Représente graphiquement les fonctions
composées (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) et (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥).
6.
Sachant que ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥), détermine 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥).
a. ℎ(𝑥) = (2𝑥 − 5)2
b. ℎ(𝑥) = (5𝑥 + 1)2 − 5𝑥 − 1
7.
À partir de 𝑓(𝑥) = 3𝑥, 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 7 et ℎ(𝑥) = 𝑥 2 , détermine (𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ)(𝑥) et
𝑔 (𝑓(ℎ(𝑥))).
8.
Sachant que ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)), détermine 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥).
a. ℎ(𝑥) = 2𝑥 2 − 1
2
b. ℎ(𝑥) = 3−𝑥 2
c. ℎ(𝑥) = |𝑥 2 − 4𝑥 + 5|
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Mathématiques Pré-calcul 40S
Résumé : la notation fonctionnelle
Les deux notations pour l’addition de fonction sont :
Les deux notations pour la soustraction de fonctions sont :
Le domaine de la somme ou la différence de fonctions est :
Pour dessiner la somme de fonctions, il faut :
Pour dessiner la différence de fonctions, il faut :
Les deux notations pour le produit de fonctions sont :
Les deux notations pour le quotient de fonctions sont :
𝑓(𝑥)
Une contrainte pour le quotient de fonction 𝑔(𝑥) est que :
Les deux notations pour une fonction composée sont :
Pour évaluer une fonction composée, il existe deux méthodes. Elles sont :
Pour déterminer l’équation d’une fonction composée, il faut :
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Mathématiques Pré-calcul 40S
II. La transformation de fonctions
A. Les types de fonctions
Afin de pouvoir comprendre les transformations des fonctions, il faut premièrement
pouvoir dessiner et identifier certaines fonctions communes.
1. Les fonctions linéaires
Prend la forme de : y  mx  b
a. Dessinez les graphiques :
𝑦=𝑥
𝑦 = 2𝑥 − 1
2
𝑓(𝑥) = − 3 𝑥 + 3
b. Comment déterminons-nous la pente selon l’équation? Graphiquement?
c. Comment déterminons-nous l’ordonnée à l’origine? Les racines?
d. Quels sont le domaine et l’image?
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Mathématiques Pré-calcul 40S
2. Les fonctions quadratiques
Prend deux différentes formes :
i. générale : 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
ii. canonique : 𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘
a. Dessinez les graphiques :
𝑦 = 𝑥2
𝑓(𝑥) = −𝑥 2
𝑦 = (𝑥 − 1)2 + 2
𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 4𝑥 − 3
b. Où se trouve le sommet de 𝑦 = 𝑥 2 ? Dans la forme canonique?
c. Pourquoi, lorsqu’on est donné la forme générale, est-il utile de compléter le
carré? Est-il possible de trouver une formule pour le sommet étant donné la
forme générale?
d. Comment calculer l’ordonnée à l’origine? Comment trouve-t-on les racines?
e. Quels sont le domaine et l’image? Comment a, h et k affectent-ils ceux-ci?
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Mathématiques Pré-calcul 40S
3. Les fonctions polynomiales de degré > 2
Prend la forme :
𝑦 = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑
𝑦 = 𝑎𝑥 4 + 𝑏𝑥 3 + 𝑐𝑥 2 + 𝑑𝑥 + 𝑒
Ou n’importe quel fonction contenant 𝑥 𝑛 où 𝑛 > 2.
a. Dessinez les graphiques :
𝑦 = 𝑥3
𝑦 = 𝑥 3 + 4𝑥 2 + 𝑥 − 6
𝑦 = 𝑥 4 + 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 1
b. Combien y a-t-il de sommets locaux pour une fonction 𝑥 𝑛 ? Combien y a-t-il de
racines possibles?
c. Quels sont le domaine et l’image?
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Mathématiques Pré-calcul 40S
4. Les fonctions valeur absolue
Prend la forme : 𝑦 = 𝑎|𝑏(𝑥 − ℎ)| + 𝑘
a. Dessinez les graphiques :
𝑓(𝑥) = |𝑥|
𝑦 = −|𝑥|
𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2| − 3
𝑦 = |𝑥 − 1| + 2
b. Où se trouve le sommet de 𝑦 = |𝑥|? Dans 𝑦 = |𝑥 − ℎ| + 𝑘?
c. Comment calculons-nous l’ordonnée à l’origine? Comment calculons-nous les
racines? Qu’arrive-t-il lors de calculs si |𝑥| < 0 (par exemple, |𝑥| + 3 = 1)?
d. Quels sont le domaine et l’image? Comment h et k affecte-t-ils ceux-ci?
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Mathématiques Pré-calcul 40S
5. Les fonctions rationnelles
Prend de différentes formes :
i. f ( x) 
1
x
𝑎
ii. 𝑓(𝑥) = (𝑥−ℎ) + 𝑘
𝑥+𝑎
iii. 𝑓(𝑥) = 𝑥+𝑏
iv. cas spéciaux où il y a une simplification de la fonction
a. Dessinez les graphiques :
1
𝑓(𝑥) = 𝑥
1
𝑓(𝑥) =
−1
𝑥+2
𝑥+1
𝑓(𝑥) = 𝑥−2
𝑥+2
𝑓(𝑥) = 2
𝑥 + 5𝑥 + 6
1
1
b. Où se retrouvent les asymptotes de 𝑦 = 𝑥? De 𝑦 = 𝑥−2 + 1?
𝑥+𝑎
c. Comment changeons-nous une fonction sous forme de 𝑓(𝑥) = 𝑥+𝑏 sous une
forme plus facile à dessiner?
d. Comment calculons-nous l’ordonnée à l’origine? Les racines?
e. Comment déterminons-nous les valeurs non permises? Qu’arrive-t-il,
graphiquement, à ces valeurs?
e. Quels sont le domaine et l’image? Comment h et k affecte-t-ils ceux-ci?
17
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
6. Les fonctions radicales
Prend la forme : 𝑓(𝑥) = 𝑎√𝑏(𝑥 − ℎ) + 𝑘
a. Dessinez les graphiques :
𝑦 = √𝑥
𝑦 = √𝑥 + 3 − 1
b. Où se trouve le sommet de 𝑦 = √𝑥? De 𝑦 = √𝑥 − ℎ + 𝑘?
c. Comment déterminons-nous l’ordonnée à l’origine? Les racines? Qu’arrive-t-il
si √𝑥 < 0?
d. Quels sont le domaine et l’image? Comment h et k affecte-t-ils ceux-ci?
18
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
B. Les translations
1. L’effet de k sur un graphique
𝑦 = 𝑓(𝑥) vs. 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑘
a. Dessinez les graphiques :
𝑓(𝑥) = |𝑥|
𝑓(𝑥) = |𝑥| + 1
𝑓(𝑥) = |𝑥| − 2
b. Quel est l’effet de k sur le graphique?
𝑓(𝑥) = √𝑥
𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2
𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1
19
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
2. L’effet de h sur un graphique
𝑦 = 𝑓(𝑥) vs. 𝑦 = 𝑓(𝑥 − ℎ)
a. Dessinez les graphiques :
𝑓(𝑥) = 𝑥 2
𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)2
𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)2
b. Quel est l’effet de h sur le graphique?
20
1
𝑦=𝑥
1
𝑦 = 𝑥−1
1
𝑦 = 𝑥+2
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
3. L’effet d’une translation sur une coordonnée
Les translations déplacent les coordonnées comme elles le font aux graphiques.
Ceci est logique puisqu’un graphique n’est qu’une série de coordonnées.
Exemple
La coordonnée (2, 4) fait partie de 𝑓(𝑥). Que sera cette coordonnée suite à la
transformation 𝑓(𝑥 + 4) − 3?
On sait que 𝑘 = −3 ce qui veut dire que la valeur de 𝑦 diminuera de 3.
Par transformation
Algébriquement
Il y a une translation de 3 unités
𝑦2 = 𝑦1 + 𝑘
vers le bas
𝑦2 = 4 − 3
𝑦 →𝑦−3
𝑦2 = 1
𝑦 → 4−3
𝑦→1
La valeur de ℎ est de −4 (attention : la transformation est 𝑥 − ℎ) ce qui fera que
la valeur de 𝑥 diminuera de 4.
Par transformation
Algébriquement
Il y a une translation de 4 unités vers
𝑥1 = 𝑥2 − ℎ
la gauche
𝑥2 = 𝑥1 + ℎ
𝑥 →𝑥−4
𝑥2 = 2 − 4
𝑥 →2−4
𝑥2 = −2
𝑥 → −2
La nouvelle coordonnée est donc (−2, 1).
On peut décrire cette transformation à l’aide d’une règle de correspondance :
(𝑥, 𝑦) → (𝑥 − 4, 𝑦 − 3)
Ou de façon générale : (𝑥, 𝑦) → (𝑥 + ℎ, 𝑦 + 𝑘)
21
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Exemple
La coordonnée (−4, 4) fait partie de 𝑓(𝑥). Quelle coordonnée fera partie de
𝑓(𝑥 − 5) + 3.
Exemple
Une coordonnée est transformée pour devenir (−2, −3). Quelle était la
coordonnée avant la transformation de 𝑓(𝑥 + 6) + 2?
22
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Pratique : les translations
1. Pour chaque fonction, indique les valeurs de ℎ et de 𝑘.
a. 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 4
b. 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 1)
c. 𝑦 + 3 = 𝑓(𝑥 − 7)
d. 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 2) + 4
2.
Soit le graphique de 𝑦 = 𝑓(𝑥). Détermine les coordonnées et dessine le graphique de
la transformée.
a. 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 3
b. ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 2)
c. 𝑠(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 4)
d. 𝑡(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 2
3.
À l’aide d’une règle de correspondance, montre comment tu ferais pour obtenir les
coordonnées à partir du graphique 𝑓(𝑥).
a. 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 10)
b. 𝑦 + 6 = 𝑓(𝑥)
c. 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 7) + 4
d. 𝑦 − 3 = 𝑓(𝑥 − 1)
4.
À partir du graphique 𝑦 = 𝑓(𝑥), trace le graphique de la transformée. Décris la
transformation et représente-la par une règle de correspondance.
a. 𝑟(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 4) − 3
b. 𝑠(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 2) − 4
c. 𝑡(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 2) + 5
d. 𝑣(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 3) + 2
23
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Mathématiques Pré-calcul 40S
5.
Pour chaque transformation, détermine les valeurs de ℎ et de 𝑘. Ensuite écris
l’équation de la transformée sous la forme 𝑦 = 𝑓(𝑥 − ℎ) + 𝑘.
1
a. 𝑓(𝑥) = 𝑥; translation de 5 unités vers la gauche et de 4 unités vers le haut.
b. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 ; translation de 8 unités vers la droite et de 6 unités vers le haut
c. 𝑓(𝑥) = |𝑥|; translation de 10 unités vers la droite et de 8 unités vers le bas
d. 𝑦 = 𝑓(𝑥); translation de 7 unités vers la gauche et de 12 unités vers le bas
6.
Quelle translation verticale fait-on subir à 𝑦 = 𝑥 2 si le graphique de la transformée
passe par le point (4, 19)?
7.
Quelle translation horizontale fait-on subir à𝑦 = 𝑥 2 si le graphique de la transformée
passe par le point (5, 16)?
8.
Complète le tableau.
Translation
Transformée
Verticale
𝑦 = 𝑓(𝑥) + 5
𝑦 = 𝑓(𝑥 + 7)
𝑦 = 𝑓(𝑥 − 3)
𝑦 = 𝑓(𝑥) − 6
𝑦 = 𝑓(𝑥 + 4) − 9
Horizontale et verticale
Transformation des
coordonnées
(𝑥, 𝑦) → (𝑥, 𝑦 + 5)
(𝑥, 𝑦) → (𝑥 − 7, 𝑦)
(𝑥, 𝑦) → (𝑥 + 4, 𝑦 − 6)
(𝑥, 𝑦) → (𝑥 − 2, 𝑦 + 3)
𝑦 = 𝑓(𝑥 − ℎ) + 𝑘
9.
Le graphique de la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 subit une translation de 4 unités vers la
gauche et de 5 unités vers le haut.
a. Détermine l’équation de la fonction transformée.
b. Quels sont le domaine et l’image de la transformée?
c. Comment peux-tu utiliser la description de la translation pour déterminer le
domaine et l’image de la transformée?
10. Le graphique 𝑓(𝑥) = |𝑥| subit une transformation de 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 9) + 5.
Détermine l’équation de la fonction 𝑔(𝑥) et dessine le graphique.
11. Le graphique de la fonction à la droite est la transformation de la fonction initiale à la
gauche. Écris l’équation de la transformée sous la forme 𝑓(𝑥 − ℎ) + 𝑘.
a.
b.
24
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Mathématiques Pré-calcul 40S
12. Par des translations appliquées au graphique de la fonction 𝑦 = 𝑥 2 , on obtient une
parabole dont les zéros sont 7 et 1.
a. Détermine l’équation de la transformée.
b. Détermine l’ordonnée à l’origine de la transformée.
13. Le graphique de la fonction 𝑓(𝑥) subit des transformations et devient le graphique de
𝑦 = 𝑓(𝑥 − ℎ) + 𝑘.
a. Montre que l’ordre des translations n’a pas d’importance. Explique pourquoi.
b. Quel effet les paramètres ℎ et 𝑘 ont-ils sur le domaine et l’image?
14. Complète le carré et explique la ou les transformations qu’il faut appliquer au
graphique de 𝑦 = 𝑥 2 pour obtenir le graphique de chaque fonction.
a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1
b. 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3
15. Les racines de l’équation quadratique 𝑥 2 − 𝑥 − 12 = 0 sont −3 et 4. Détermine les
racines de l’équation (𝑥 − 5)2 − (𝑥 − 5) − 12 = 0.
16. La fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 4 peut résulter d’une translation de 4 unités vers le haut ou
d’une translation de 4 unités vers la gauche. Explique pourquoi.
17. Dessinez les graphiques des fonctions suivantes. Assurez-vous d’indiquer les racines,
l’ordonnée à l’origine, le domaine et l’image.
a. 𝑦 = 𝑥 2 − 4
b. 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 3)2 + 1
c. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 7𝑥 + 12
d. 𝑦 = 2𝑥 2 − 𝑥 − 1
e. 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 4| − 1
f. 𝑦 = |𝑥 + 1| + 5
g. 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1 − 4
h. 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 3 + 2
i. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)3 − 2
1
j. 𝑓(𝑥) = 𝑥+4 − 3
1
k. 𝑦 = 𝑥 + 1
1
l. 𝑦 = 𝑥−6
25
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Mathématiques Pré-calcul 40S
C. Les étirements et les compressions
1. L’effet de 𝑎 sur un graphique
𝑦 = 𝑓(𝑥) vs. 𝑦 = 𝑎𝑓(𝑥)
a. Dessinez les graphiques des fonctions suivantes :
𝑦 = |𝑥|
𝑦 = √𝑥
1
𝑓(𝑥) = 3|𝑥|
𝑦 = 2 √𝑥
1
𝑦 = 4|𝑥|
𝑓(𝑥) = 4 √𝑥
b. Quel est l’effet de 𝑎 dans 𝑦 = 𝑎𝑓(𝑥) où |𝑎| > 1?
Quel est l’effet de 𝑎 dans 𝑦 = 𝑎𝑓(𝑥) où 0 < 𝑎 < 1?
26
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Mathématiques Pré-calcul 40S
2. L’effet de 𝑏 sur un graphique
𝑦 = 𝑓(𝑥) vs. 𝑦 = 𝑓(𝑏𝑥)
a. Dessinez les graphiques des fonctions suivantes :
𝑓(𝑥) = √𝑥
𝑓(𝑥) = |𝑥|
1
𝑓(𝑥) = √3𝑥
𝑓(𝑥) = |2 𝑥|
𝑓(𝑥) = √5𝑥
1
𝑓(𝑥) = |4 𝑥|
b. Quel est l’effet de 𝑏 dans 𝑦 = 𝑓(𝑏𝑥) où 𝑏 > 1?
Quel est l’effet de 𝑏 dans 𝑦 = 𝑓(𝑏𝑥) où 0 < 𝑏 < 1?
27
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Mathématiques Pré-calcul 40S
3. L’effet d’un étirement sur une coordonnée
Les étirements affectent les coordonnées comme ils affectent les graphiques.
Exemple
La coordonnée (4, 5) fait partie de 𝑓(𝑥). Quelle sera la coordonnée transformée
de 3𝑓(2𝑥)?
La valeur de 𝑎 affecte l’ordonnée (le 𝑦).
Par transformation
Il y a un étirement d’un facteur de 3.
𝑦 → 3𝑦
𝑦 → 3(5)
𝑦 → 15
La valeur de b affecte l’abscisse (le 𝑥).
Par transformation
1
Il y a un étirement de 2.
Algébriquement
𝑥
𝑥1 = 𝑏𝑥2 ou 𝑥2 = 𝑏1
𝑥
4
𝑥→2
𝑥→2
𝑥2 = 2
𝑥2 = 2
La nouvelle coordonnée est (2, 15).
𝑥
La règle de correspondance est (𝑥, 𝑦) → (𝑏 , 𝑎𝑦).
28
Algébriquement
𝑦2 = 𝑎𝑦1
𝑦2 = 3(5)
𝑦2 = 15
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Exemple
La racine de la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 est transformée selon les étirements
1
𝑓(3𝑥). Quelle est la valeur de la racine après cette transformation? Lequel des
5
étirements, 𝑎 ou 𝑏, n’affecte pas si la racine restera une racine?
Exemple
La coordonnée (−3, 6) est transformée à la coordonnée (−6, 4). Quelle a été la
transformation de 𝑓(𝑥) s’il n’y a eu que des étirements?
29
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
D. Les réflexions
1. Réflexion par rapport à l’axe des x
𝑦 = 𝑓(𝑥) vs. 𝑦 = −𝑓(𝑥)
a. Dessinez les graphiques des fonctions suivantes :
𝑦 = |𝑥|
𝑦 = √𝑥
𝑦 = −|𝑥|
𝑦 = −√𝑥
b. Quel est l’effet de 𝑎 < 0?
30
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
2. Réflexion par rapport à l’axe des y
y  f (x) vs. y  f ( x)
a. Dessinez les graphiques des fonctions suivantes :
𝑦 = |𝑥|
𝑦 = √𝑥
𝑦 = |−𝑥|
𝑦 = √−𝑥
b. Quel est l’effet de 𝑏 < 0?
31
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Pratique : les étirements et les réflexions
1. Soit les graphiques ci-dessous. Copie le graphique et dessine une réflexion par
rapport à l’axe des 𝑥. Écris l’équation de la transformée et indique le domaine et
l’image.
a.
b.
c.
2.
Refait le numéro 1 mais en faisant une réflexion par rapport à l’axe des 𝑦.
3.
À l’aide de mots et d’une règle de correspondance, décris la façon d’obtenir le
graphique de chaque transformée à partir du graphique de la fonction 𝑓(𝑥).
a. 𝑦 = 4𝑓(𝑥)
b. 𝑦 = 𝑓(3𝑥)
c. 𝑦 = −𝑓(𝑥)
d. 𝑦 = 𝑓(−𝑥)
4.
Le graphique de la fonction 𝑦 = 𝑓(𝑥) subit un étirement vertical par un facteur de 2
par rapport à l’axe des 𝑥.
a. Détermine le domaine et l’image de la transformée.
b. Explique l’effet d’un étirement vertical sur le domaine et l’image d’une fonction.
32
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
5.
Décris la transformation à appliquer au graphique 𝑓(𝑥) pour obtenir le graphique de
𝑔(𝑥). Ensuite, détermine l’équation de 𝑔(𝑥) sous la forme 𝑦 = 𝑎𝑓(𝑏𝑥).
6.
Décris ce qui arrive au graphique d’une fonction 𝑦 = 𝑓(𝑥) après chaque changement
apporté à son équation.
a. remplacer 𝑥 par 4𝑥.
1
b. remplacer 𝑥 par 4 𝑥.
c. remplacer 𝑦 par 2𝑦.
1
d. remplacer 𝑦 par 4 𝑦.
e. remplacer 𝑥 par −3𝑥.
1
f. remplacer 𝑦 par − 3 𝑦.
7.
Explique les différences entre la transformation du graphique de 𝑦 = 𝑓(𝑥) pour
obtenir le graphique de 𝑦 = 𝑓(𝑏𝑥) et la transformation du graphique de 𝑦 = 𝑓(𝑥)
pour obtenir le graphique de 𝑦 = 𝑎𝑓(𝑥).
8.
Soit la fonction 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 4)(𝑥 − 3). Sans tracer le graphique, détermine les
zéros de la fonction après chaque transformation.
a. 𝑦 = 4𝑓(𝑥)
b. 𝑦 = 𝑓(−𝑥)
1
c. 𝑦 = 𝑓(2 𝑥)
d. 𝑦 = 𝑓(2𝑥)
33
Roger Durand
9.
Mathématiques Pré-calcul 40S
Un point de la fonction 𝑓(𝑥) est associé à son point-image de la fonction 𝑔(𝑥).
Détermine une transformation possible de 𝑓(𝑥) qui permet d’obtenir 𝑔(𝑥).
𝑓(𝑥)
(5, 6)
(4, 8)
(2, 3)
(4, −12)
𝑔(𝑥)
(5, −6)
(−4, 8)
(2, 12)
(2, −6)
Transformation
10. Le son est une forme d’énergie produite et transmise par la matière en vibration et
qui voyage sous forme d’onde. La hauteur tonale est une mesure qui permet de
qualifier un son d’aigu ou de grave. Le graphique 𝑓(𝑥) illustre une hauteur tonale
normale. Copie le graphique et esquisse le graphique de 𝑦 = 𝑓(3𝑥), qui représente
1
une son plus aigu, et celui de 𝑦 = 𝑓(2 𝑥), qui représente un son plus grave.
11. Dessine les graphiques des fonctions suivantes :
a. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2
1
2
b. 𝑓(𝑥) = (4 𝑥)
1
c. 𝑓(𝑥) = − 2 𝑥 2
1
d. 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 3
e. 𝑓(𝑥) = −𝑥 3
f. 𝑓(𝑥) = |−2𝑥|
1
g. 𝑓(𝑥) = 4 |𝑥|
h. 𝑓(𝑥) = −3|2𝑥|
1
i. 𝑓(𝑥) = 2𝑥
5
j. 𝑓(𝑥) = − 𝑥
k. 𝑓(𝑥) = 4√𝑥
1
l. 𝑓(𝑥) = 2 √−𝑥
1
m. 𝑓(𝑥) = −√4 𝑥
34
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
E. Toutes les transformations
1. L’effet d’une transformation sur une coordonnée
𝑦 = 𝑓(𝑥) vs. 𝑦 = 𝑎𝑓(𝑏(𝑥 − ℎ)) + 𝑘
Exemple
La coordonnée (6, −4) fait partie de la fonction 𝑓(𝑥). Quelle sera cette coordonnée
après la transformation −5𝑓(2(𝑥 − 3)) + 1?
Note : il faut toujours faire l’étirement avant la translation
Les valeurs de 𝑎 et de 𝑘 affectent l’ordonnée :
Par transformation
Il y a un étirement d’un facteur de −5 :
𝑦 → −5𝑦
𝑦 → −5(−4)
𝑦 → 20
Algébriquement
𝑦2 = 𝑎𝑦1 + 𝑘
𝑦2 = (−5)(−4) + 1
𝑦2 = 20 + 1
𝑦2 = 21
Ensuite, il y a une translation de 1 unité
vers le haut :
𝑦 →𝑦+1
𝑦 → 20 + 1
𝑦 → 21
Les valeurs de 𝑏 et ℎ affectent l’abscisse :
Par transformation
1
Il y a un étirement d’un facteur de 2
Et une translation de 3 unités vers la droite :
1
𝑥 → 2𝑥 + 3
1
𝑥 → 2 (6) + 3
𝑥→6
La coordonnée sera (6, 21).
Algébriquement
𝑥1 = 𝑏(𝑥2 − ℎ)
6 = 2(𝑥2 − 3)
6
𝑥2 = 2 + 3
𝑥2 = 6
Note : Pourquoi le 𝒚 agit comme on pense et le 𝒙 fait l’inverse?
Lorsque nous avons une fonction, la valeur de 𝑦 est la valeur de 𝑓(𝑥).
Nous disons donc que 𝑦 = 𝑓(𝑥). Alors, si on fait 𝑎𝑓(𝑥) + 𝑘, c’est la même chose
que de dire 𝑎𝑦 + 𝑘. Nos valeurs de y sont multipliés (étirés) par un facteur de 𝑎 et
déplacés par une valeur de 𝑘.
Pour les abscisses, prenons encore 𝑦 = 𝑓(𝑥). Seule une valeur de 𝑥 nous donnera la
valeur voulue de 𝑦. Prenons la coordonnée (2, 5), ici 𝑓(2) = 5. Si nous appliquons
la transformation 𝑓(3(𝑥 − 4)), nous recherchons la valeur de 𝑥 où 𝑓(2) = 5. Dans
ce cas, 𝑓(3(𝑥 − 4)) = 𝑓(2) = 5. Donc, par déduction, nous pouvons dire que
1
3(𝑥 − 4) = 2. Donc, les transformations seront un étirement de 3 et une translation
de 4 unités vers la droite.
35
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Exemple
1
La coordonnée (−4, 7) est transformée selon 14 𝑓(−4(𝑥 + 2)) − 3. Quelle est la
nouvelle coordonnée?
Exemple
Est-ce que les transformations −3𝑓(2(𝑥 − 3)) + 1 et −3𝑓(2𝑥 − 3) + 1 sont
équivalentes? Démontre.
36
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
2. L’effet d’une transformation sur un graphique
𝑦 = 𝑓(𝑥) vs. 𝑦 = 𝑎𝑓(𝑏(𝑥 − ℎ)) + 𝑘
a. Dessiner les graphiques des fonctions
Exemple
Dessinez le graphique de la fonction 𝑦 = 3√−(𝑥 − 1).
Méthode 1 : Graphiquement
Les transformations sont :
𝑎 = 3 – étirement vertical d’un facteur de 3
𝑏 = −1 – réflexion horizontale (par rapport à l’axe des 𝑦)
ℎ = 1 – translation horizontale de 1 unité vers la droite
𝑘 = 0 – aucune translation verticale
Trace la fonction 𝑓(𝑥) = √𝑥 et applique les étirements et les réflexions en
premier.
Chaque coordonnée sur le graphique subit l’étirement et la réflexion. On
applique ensuite la translation horizontale.
37
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Méthode 2 : Avec les coordonnées
On choisit des coordonnées sur le graphique et on applique les
transformations individuellement.
Translation
Étirement
Réflexion
horizontale d’une
vertical d’un
horizontale
unité vers la
Coordonnées
facteur de 3
droite
𝑥 → −𝑥
𝑦 → 3𝑦
𝑥 →𝑥+1
(0, 0)
(0, 0)
(0, 0)
(1, 0)
(1, 1)
(1, 3)
(−1,3)
(0,3)
(4, 2)
(4, 6)
(−4, 6)
(−3, 6)
(9, 3)
(9, 9)
(−9, 9)
(−8, 9)
Dessine le graphique :
Exemple
Dessinez les graphiques de 𝑦 = −2(𝑥 + 3)2 − 1 et 𝑦 = −|2(𝑥 + 1)| + 3
38
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
b. Déterminer l’équation d’une transformation
Exemple
Étant donné 𝑓(𝑥) et sa transformation 𝑔(𝑥), détermine l’équation de la
transformation selon l’équation 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑓(𝑏(𝑥 − ℎ)) + 𝑘.
Il faut premièrement déterminer les étirements :
À la verticale, nous pouvons constater que le graphique 𝑔(𝑥) est 2 fois plus
grand que 𝑓(𝑥). Il y a eu un étirement de 2, donc, 𝑎 = 2.
À l’horizontale, le graphique 𝑔(𝑥) est 4 fois plus petit que 𝑓(𝑥). Il y a eu un
1
étirement de 4, c’est-à-dire que 𝑏 = 4.
Pour déterminer les valeurs de ℎ et de 𝑘, appliquons les étirements à une
coordonnée :
Prenons la coordonnée (0, 0) car celle-ci n’est pas affectée par les
étirements. Cette coordonnée montre une translation de 7 unités vers la
gauche et 2 unités vers le haut, donc, ℎ = −7 et 𝑘 = 2.
Nous pouvons, par contre, calculer ℎ et 𝑘 de n’importe quelle coordonnée :
(4, 4) on applique les étirements→ (1, 8). Cette coordonnée doit devenir la
coordonnée (−6, 10). (1 + ℎ, 8 + 𝑘) → (−6, 10)
1 + ℎ = −6
8 + 𝑘 = 10
ℎ = −7
𝑘=2
La transformation est donc 𝑔(𝑥) = 2𝑓(4(𝑥 + 7)) + 2.
39
Roger Durand
Exemple
Quelle est l’équation de la fonction 𝑔(𝑥)?
40
Mathématiques Pré-calcul 40S
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Pratique : les transformations
1. La fonction 𝑓(𝑥) subit des transformations et devient la fonction
𝑔(𝑥) = −3𝑓(4𝑥 − 16) − 10. Décris les transformations qu’a subit 𝑓(𝑥).
2.
À l’aide du graphique 𝑦 = 𝑓(𝑥), écris l’équation de chaque transformée sous la
forme 𝑦 = 𝑎𝑓(𝑏(𝑥 − ℎ)) + 𝑘.
3.
Pour chaque graphique de 𝑦 = 𝑓(𝑥), esquisse le graphique obtenu par la
combinaison de transformations donnée. Indique la transformation sous la forme
𝑎𝑓(𝑏(𝑥 − ℎ)) + 𝑘
- étirement vertical par un facteur de 2
1
- étirement horizontal par un facteur de 3
- translation de 5 unités vers la gauche
- translation de 3 unités vers le haut
3
- étirement vertical par un facteur de 4
- étirement horizontal par un facteur de 3
- translation de 3 unités vers la droite
- translation de 4 unités vers le bas
41
Roger Durand
4.
Mathématiques Pré-calcul 40S
Le point (−12, 18) fait partie du graphique 𝑓(𝑥). Quel est son point-image après
chaque transformation?
a. 𝑦 + 6 = 𝑓(𝑥 − 4)
b. 𝑦 = 4𝑓(3𝑥)
c. 𝑦 = −2𝑓(𝑥 − 6) + 4
2
d. 𝑦 = −2𝑓 (− 3 𝑥 − 6) + 4
1
e. 𝑦 + 3 = − 3 𝑓(2(𝑥 + 6))
5.
Décris, dans l’ordre approprié, les transformations qui permettent d’obtenir le
graphique de chaque fonction à partir du graphique de 𝑦 = 𝑓(𝑥). Ensuite, indique la
règle de correspondance.
a. 𝑦 = 2𝑓(𝑥 − 3) + 4
b. 𝑦 = −𝑓(3𝑥) − 2
1
c. 𝑦 = − 4 𝑓(−(𝑥 + 2))
d. 𝑦 − 3 = −𝑓(4(𝑥 − 2))
2
3
e. 𝑦 = − 3 𝑓 (− 4 𝑥)
f. 3𝑦 − 6 = 𝑓(−2𝑥 + 12)
6.
Soit la fonction 𝑦 = 𝑓(𝑥). Détermine l’équation de la forme 𝑦 = 𝑎𝑓(𝑏(𝑥 − ℎ)) + 𝑘
obtenue à partir de chaque combinaison de transformations.
a. Un étirement vertical par un facteur de 3, une réflexion par rapport à l’axe des 𝑥,
une translation de 4 unités vers la gauche et 5 unités vers le bas.
1
b. Un étirement horizontal par un facteur de 3, un étirement vertical d’un facteur de
3
, un réflexion par rapport à l’axe des 𝑥 et des 𝑦, une translation de 6 unités vers la
droite et de 2 unités vers le haut.
4
7.
Soit le graphique de 𝑦 = 𝑓(𝑥). Esquisse le graphique de chacune des fonctions
indiquées.
a. 𝑦 + 2 = 𝑓(𝑥 − 3)
b. 𝑦 = −𝑓(−𝑥)
c. 𝑦 = 𝑓(3(𝑥 − 2)) + 1
1
d. 𝑦 = 3𝑓 (3 𝑥)
e. 𝑦 + 2 = −3𝑓(𝑥 + 4)
1
1
f. 𝑦 = 2 𝑓 (− 2 (𝑥 + 2)) − 1
42
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
8.
La fonction 𝑦 = 𝑔(𝑥) est une transformée de 𝑦 = 𝑓(𝑥). Détermine l’équation de
𝑔(𝑥) sous la forme 𝑦 = 𝑎𝑓(𝑏(𝑥 − ℎ)) + 𝑘.
9.
Pour chaque fonction 𝑓(𝑥), détermine l’équation et esquisse le graphique de sa
transformée 𝑔(𝑥).
a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , 𝑔(𝑥) = −2𝑓(4(𝑥 + 2)) − 2
b. 𝑓(𝑥) = |𝑥|, 𝑔(𝑥) = −2𝑓(−3𝑥 + 6) + 4
1
c. 𝑓(𝑥) = 𝑥, 𝑔(𝑥) = − 3 𝑓(−2(𝑥 + 3)) − 2
10. Associe chaque fonction à son graphique.
a. 𝑦 = √𝑥 − 2
b. 𝑦 = √−𝑥 + 2
c. 𝑦 = −√𝑥 + 2
d. 𝑦 = −√−(𝑥 − 2)
43
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
11. Pour chaque graphique, écris l’équation d’une fonction racine de la forme
𝑦 = 𝑎√𝑏(𝑥 − ℎ) + 𝑘.
12. Dessine le graphique des fonctions suivantes.
a. 𝑓(𝑥) = 3(𝑥 + 3)2 − 4
b. 𝑓(𝑥) = −2𝑥 2 − 12𝑥 − 17
1
c. 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 3𝑥 + 1
d. 𝑓(𝑥) = − 2 |𝑥 + 3| + 4
1
e. 𝑓(𝑥) = 3|2(𝑥 − 1)| + 2
f. 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 3 + 1
4
g. 𝑓(𝑥) = −√2(𝑥 + 1) − 3
h. 𝑓(𝑥) = −√−4(𝑥 − 2) + 1
1
i. 𝑓(𝑥) = 3 √−(𝑥 + 2)
1
j. 𝑓(𝑥) = √2 𝑥 + 4
13. Déterminez les ordonnées à l’origine, les racines, le domaine et l’image des fonctions
précédentes.
44
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Résumé : les transformations
Transformation
Règle de correspondance
𝑎>1
a
0<𝑎<1
𝑎<0
𝑏>1
b
0<𝑏<1
𝑏<0
ℎ<0
h
ℎ>0
𝑘<0
k
𝑘>0
Domaine
Image
Coordonnées
importantes
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
𝑦 = 𝑎(𝑏(𝑥 − ℎ))2 + 𝑘
𝑦 = 𝑎(𝑏(𝑥 − ℎ))3 + 𝑘
𝑦 = 𝑎|𝑏(𝑥 − ℎ)| + 𝑘
𝑦=
𝑎
+𝑘
𝑥−ℎ
𝑦 = 𝑎√𝑏(𝑥 − ℎ) + 𝑘
Rappel : Lorsque √𝑥 < 0 ou |𝑥| < 0, il n’existe pas de :
Lorsqu’on résout une fonction radicale et que √−𝑥 = 𝑘 :
45
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
F. La réciproque d’une fonction
Étant donné une fonction, 𝑓(𝑥), la réciproque de cette fonction est dénotée 𝑓 −1 (𝑥).
Lorsque nous prenons la réciproque d’une fonction, les valeurs de 𝑥 et de 𝑦 sont
interchangées. La règle de correspondance est donc : (𝑥, 𝑦) → (𝑦, 𝑥).
1. La réciproque de coordonnées
Exemple
La coordonnée (2, −4) fait partie de 𝑓(𝑥). Quelle sera la coordonnée faisant
partie de 𝑓 −1 (𝑥)?
Les valeurs de 𝑥 et 𝑦 sont échangées : (−4, 2) fera partie de 𝑓 −1 (𝑥).
Exemple
Étant donné la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥 + 1, donne deux coordonnées qui feront
partie de 𝑓 −1 (𝑥).
46
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
2. La réciproque de graphiques
Pour dessiner la réciproque d’un graphique, il faut premièrement dessiner le
graphique, ensuite échanger toutes les valeurs de 𝑥 et de 𝑦.
Exemple
Dessine la réciproque des graphiques :
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1
𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 1
ℎ(𝑥) = |𝑥 − 1| + 2
Quel est l’effet de prendre la réciproque sur une fonction?
C’est une _______________________ par rapport à _______________________.
47
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
3. Les équations réciproques de fonctions
Pour déterminer l’équation de la réciproque d’une fonction, nous échangeons les
variables 𝑥 et 𝑦 et on isole la variable 𝑦.
Exemple
Quelle est l’équation de la réciproque de la fonction 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 4.
Cette fonction peut s’écrire : 𝑦 = 3𝑥 − 4
On échange 𝑥 et 𝑦 : 𝑥 = 3𝑦 − 4
𝑥+4
On isole 𝑦 : 𝑦 = 3
La réciproque est donc : 𝑓 −1 (𝑥) =
𝑥+4
3
Exemple
Quelles sont les réciproques de 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 3 et 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 2 + 1? Quels sont
leur domaine et leur image?
Quel est le rapport entre le domaine et l’image d’une fonction et ceux de sa
réciproque?
48
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Pratique : la réciproque
1. Dessine la réciproque des fonctions et des relations suivantes.
a.
b.
c.
d.
2.
Indique si chaque relation est une fonction. Est-ce que la réciproque sera elle aussi
une fonction? Comment le sais-tu?
3.
Détermine algébriquement l’équation de la réciproque de chaque fonction.
a. 𝑓(𝑥) = 7𝑥
b. 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 4
𝑥+4
c. 𝑓(𝑥) = 3
𝑥
d. 𝑓(𝑥) = 3 − 5
e. 𝑓(𝑥) = 5 − 2𝑥
1
f. 𝑓(𝑥) = 2 (𝑥 + 6)
49
Roger Durand
4.
Mathématiques Pré-calcul 40S
Associe chaque fonction à sa réciproque.
Fonction
a. 𝑦 = 2𝑥 + 5
1
b. 𝑦 = 2 𝑥 − 4
c. 𝑦 = 6 − 3𝑥
d. 𝑦 = 𝑥 2 − 12, 𝑜ù 𝑥 ≥ 0
1
e. 𝑦 = 2 (𝑥 + 1)2 , 𝑜ù 𝑥 ≤ −1
Réciproque
A 𝑦 = √𝑥 + 12
6−𝑥
B𝑦= 3
C 𝑦 = 2𝑥 + 8
D 𝑦 = −√2𝑥 − 1
𝑥−5
E𝑦= 2
5.
Pour chacune des fonctions ci-dessous détermine l’équation de la réciproque, leur
domaine et l’image et représente-les graphiquement.
a. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 2
b. 𝑓(𝑥) = 4 − 2𝑥
1
c. 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 − 6
d. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2, où 𝑥 ≤ 0
e. 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥 2 , où 𝑥 ≥ 0
f. 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 3
g. 𝑓(𝑥) = −√𝑥 − 1 − 2
6.
Détermine le domaine restreint de 𝑓(𝑥) pour que 𝑓 −1 (𝑥) soit une fonction.
a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 3
b. 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)2
c. 𝑓(𝑥) = −(𝑥 − 3)2
d. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2 − 2
7.
Soit la fonction 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 2. Détermine les valeurs suivantes.
a. 𝑓 −1 (4)
b. 𝑓 −1 (−2)
c. 𝑓 −1 (8)
8.
Suppose qu’une fonction 𝑓(𝑥) a une réciproque, 𝑓 −1 (𝑥).
a. Détermine 𝑓 −1 (5) si 𝑓(17) = 5.
b. Détermine 𝑓(−2) si 𝑓 −1 (√3) = −2.
c. Détermine la valeur de 𝑎 si 𝑓 −1 (𝑎) = 1 et 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 5𝑥 + 3, où 𝑥 ≥ −1,25.
9.
Si le point (10, 8) fait partie du graphique de la fonction 𝑦 = 𝑓(𝑥), quel point doit
faire partie du graphique de chacune de ces fonctions?
a. 𝑦 = 𝑓 −1 (𝑥 + 2)
b. 𝑦 = 2𝑓 −1 (𝑥) + 3
c. 𝑦 = −𝑓 −1 (−𝑥) + 1
d. 𝑓 −1 (0)
10. La fonction qui permet de convertir une température en degrés Fahrenheit, 𝑥, en
5
degrés Celsius, 𝑦, est 𝑦 = 9 (𝑥 − 32). Détermine la réciproque de cette fonction. Que
représente cette réciproque? Détermine la température qui équivaut à 32°C.
50
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Résumé : la réciproque
Pour trouver la réciproque d’une coordonnée, il faut :
Pour trouver la réciproque d’une équation, il faut :
Certaines réciproques de fonctions ont des contraintes. Pourquoi? Donne un exemple
d’une fonction et de sa réciproque ayant une contrainte.
Étant donné le graphique d’une fonction, 𝑓(𝑥), le graphique de sa réciproque, 𝑓 −1 (𝑥),
est :
51
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
G. Les fonctions rationnelles et la division de polynômes
𝑎
1. Les fonctions de la forme 𝑓(𝑥) = 𝑥−ℎ + 𝑘
1
Nous savons déjà que les valeurs de ℎ et de 𝑘 déplacent le graphique de 𝑥
horizontalement et verticalement respectivement. Que fait la valeur de 𝑎?
Exemple
1
1
Dessine les graphiques de 2𝑓(𝑥) et de 𝑓(2 𝑥) si 𝑓(𝑥) = 𝑥. Quelles coordonnées
utiliseras-tu pour faire la transformation? Est-ce que 𝑎 cause un étirement
horizontal ou vertical? Comment la valeur de 𝑎 affecte-t-elle le graphique?
1
Dessine le graphique de la fonction 𝑦 = 3𝑥 et 𝑦 =
52
1⁄
3
.
𝑥
Que remarquez-vous?
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
𝑥+𝑎
2. Les fonctions de la forme 𝑓(𝑥) =
𝑥+𝑏
Ces fonctions sont plus difficiles à visualiser étant donné que nous ne connaissons
pas les valeurs de ℎ ni de 𝑘. Il faudra changer la forme de cette fonction afin de
plus facilement la dessiner.
Comment diviser une fonction par une autre :
a. la division longue
Exemple
Prenons
𝑥 2 +5𝑥+6
𝑥+2
.
Étape 1
𝑥+3
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑥 + 2 ) 𝑥 2 + 5𝑥 + 6
−(𝑥 2 + 2𝑥)
Étape 2
3𝑥 + 6
−(3𝑥 + 6)
0
Étape 3
Étape 1 : Combien de fois 𝑥 entre
dans 𝑥 2 ? (ou 𝑥 fois quoi donnera
𝑥 2 ?) Truc : divise 𝑥 2 par 𝑥
Étape 2 : Multiplie 𝑥 + 2 par 𝑥 et
soustrais.
Étape 3 : 𝑥 fois quoi donnera 3𝑥?
Ajouter après le premier 𝑥.
Étape 4 : Multiplie 𝑥 + 2 par 3 et
soustrais.
Étape 4
Reste
𝑥 2 +5𝑥+6
Donc, 𝑥+2 = 𝑥 + 3. Les facteurs du polynôme 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 sont donc 𝑥 +
2 et 𝑥 + 3 (les racines sont 𝑥 = −2 et 𝑥 = −3).
Exemple
𝑥+3
Fais la division suivante : 𝑥+2.
1
̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑥 + 2 )𝑥 + 3
−(𝑥 + 2)
1
Entier
Reste
𝑥+3
Donc, lorsque nous divisons 𝑥+2, nous obtenons un entier et un reste. Le reste
4
est mis sur le dénominateur pareil comme la division 3 nous donne un entier et
1
Entier
un reste qui est mis sur fraction (1 3).
Reste
𝑥+3
𝑥+2
1
= 1 + 𝑥+2
Cette fonction peut plus facilement être
dessinée étant donné que nous avons ℎ et 𝑘.
53
Roger Durand
Exemple
𝑥+2
Dessine le graphique de la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥−1.
54
Mathématiques Pré-calcul 40S
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
b. la division synthétique
La division synthétique est une méthode simplifiée de la division longue. Au
lieu de diviser par le facteur, on divise par la racine.
Exemple
Trouve les racines de la fonction 𝑦 = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 10𝑥 − 8.
Il faut premièrement trouver une racine. Pour le faire, on multiplie le
coefficient du 𝑥 3 par la constante et on trouve les facteurs (dans 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 +
𝑐𝑥 + 𝑑 on multiplie 𝑎 par 𝑑).
1 × 8 = 8 Ses facteurs sont : ±1, 2, 4, 8
On vérifie une option à la fois :
𝑓(1) = 13 − 12 − 10(1) − 8 = −18
𝑓(−1) = (−1)3 − (−1)2 − 10(−1) − 8 = 0
1 n’est pas une racine
−1 est une racine
Racine
Étape 2
−1 ) 1 − 1 − 10 − 8
−1
2
8
1 −2 −8
0
Étape 3
Étape 3
Étape 4
Reste
Étape 3
Étape 4
Étape 4
Étape 1 : On met la racine
comme diviseur et les
coefficients sous le symbole de
division
Étape 2 : On descend le premier
coefficient
Étape 3 : On multiplie ce chiffre
par la racine
Étape 4 : On additionne
Étape 5 : Répéter jusqu’à la fin
Les coefficients 1, −2 𝑒𝑡 − 8 devient les coefficients de notre quotient :
𝑥 3 −𝑥 2 −10𝑥−8
𝑥+1
= 𝑥 2 − 2𝑥 − 8 qu’on peut factoriser à (𝑥 + 2)(𝑥 − 4).
Nos facteurs sont donc (𝑥 + 1)(𝑥 + 2)(𝑥 − 4) et nos racines −1, −2 𝑒𝑡 4.
Note : Divise le polynôme original par le facteur 𝑥 − 1 (ou la valeur 1). Quelle
est la valeur du reste? Que peut-on conclure?
55
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Exemple
Quels sont les facteurs de 𝑥 3 + 4𝑥 2 − 8? Dessine le graphique de cette
fonction. Combien de facteurs y a-t-il? Combien de racines possibles y a-t-il?
56
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
c. les fonctions rationnelles avec trous
Parfois, une fonction rationnelle peut être simplifiée afin de la dessiner plus
facilement. Dans ce cas, il est possible que la simplification ait éliminé des
valeurs non permises.
Exemple
Dessine le graphique de la fonction 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −4
𝑥+2
.
Le numérateur de cette fonction peut être factorisé :
𝑓(𝑥) =
(𝑥+2)(𝑥−2)
𝑥+2
On peut donc simplifier cette fonction à 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2
Par contre, dans la fonction originale, il y a une valeur non permise. Puisqu’on
ne peut pas diviser par 0,
𝑥 + 2 ≠ 0 ou 𝑥 ≠ −2
Il y aura donc un trou à cette place sur le graphique.
57
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Exemple
𝑥+3
Dessine le graphique de la fonction 𝑦 = 2𝑥 2 +7𝑥+3.
Que sera la fonction simplifiée?
Quelles sont les valeurs non permises de la fonction originale?
Quelle valeur non permise deviendra une asymptote et laquelle deviendra un
trou?
58
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Pratique : les fonctions rationnelles et la division de polynômes
1. Associe chaque graphique à l’équation correspondante.
2
2
2
𝐴(𝑥) = 𝑥 − 1
𝐵(𝑥) = 𝑥+1
𝐶(𝑥) = 𝑥−1
2.
Esquisse le graphique de chaque fonction. Détermine le domaine, l’image, les
coordonnées à l’origine et l’équation des asymptotes.
6
4
a. 𝑦 = 𝑥+1
b. 𝑦 = 𝑥 + 1
2
c. 𝑦 = 𝑥−4 − 5
3.
8
d. 𝑦 = − 𝑥−2 + 3
Représente le graphique de chaque fonction.
2𝑥+1
3𝑥−2
a. 𝑦 = 𝑥−4
b. 𝑦 = 𝑥+1
c. 𝑦 =
4.
2
𝐷(𝑥) = 𝑥 + 1
−4𝑥+3
𝑥+2
d. 𝑦 =
2−6𝑥
𝑥−5
𝑎
Écris l’équation de chaque fonction sous la forme 𝑦 = 𝑥−ℎ + 𝑘.
59
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
𝑎
5.
Le graphique de la fonction 𝑦 = 𝑥−7 + 𝑘 passe par les points (10, 1) et (2, 9).
Détermine les valeurs de 𝑎 et de 𝑘 et dessine le graphique de la fonction.
6.
Écris une équation de la forme 𝑦 = 𝑞(𝑥) qui génère un graphique avec une asymptote
𝑝(𝑥)
à 𝑥 = 2 et 𝑦 = −3. Y a-t-il seulement une fonction qui répond à ces critères?
Explique.
7.
Trace le graphique des fonctions. Détermine leur domaine et leur image.
a. 𝑦 =
c. 𝑦 =
𝑥 2 −3𝑥
b. 𝑦 =
𝑥
3𝑥 2 +4𝑥−4
d. 𝑦 =
𝑥+2
𝑥 2 +4𝑥
e. 𝑦 = 𝑥 2 +9𝑥+20
f. 𝑦 =
g. 𝑦 = 𝑥 2 +6𝑥+8
h. 𝑦 =
𝑥 2 +2𝑥−8
8.
𝑥+2
5𝑥 2 +4𝑥−1
5𝑥−1
2𝑥 2 −5𝑥−3
𝑥 2 −9
2𝑥 2 +7𝑥−15
9−4𝑥 2
Quel graphique correspond à chaque fonction rationnelle?
a. 𝐴(𝑥) =
60
𝑥 2 −3𝑥−10
𝑥 2 +2𝑥
𝑥 2 +4
𝑥−2
b. 𝐵(𝑥) = 𝑥 2 −2𝑥
𝑥+2
c. 𝐶(𝑥) = 𝑥 2 −4
2𝑥
d. 𝐷(𝑥) = 𝑥 2 +2𝑥
Roger Durand
9.
Mathématiques Pré-calcul 40S
Écris l’équation de la fonction rationnelle représentée.
10. Écris l’équation d’une fonction rationnelle possible pour chaque ensemble de
caractéristiques.
11
a. Une asymptote verticale en 𝑥 = −4, un point de discontinuité en (− 2 , 9) et une
abscisse à l’origine ayant une valeur de 8.
1
b. Un point de discontinuité en (−2, 5), une asymptote verticale en 𝑥 = 3 et une
abscisse à l’origine à −1.
11. Effectue chaque division et exprime le résultat sous la forme
a. (𝑥 3 + 7𝑥 2 − 3𝑥 + 4) ÷ (𝑥 + 2)
𝑃(𝑥)
𝑥−𝑎
𝑅
= 𝑄(𝑥) + 𝑥−𝑎.
11𝑡−4𝑡 4 −7
b. 𝑡−3
c. (𝑥 3 + 3𝑥 2 − 2𝑥 + 5) ÷ (𝑥 + 1)
d. (4𝑛2 + 7𝑛 − 5) ÷ (𝑛 + 3)
4𝑛3 −15𝑛+2
e.
𝑛−3
f. (𝑥 3 + 6𝑥 2 − 4𝑥 + 1) ÷ (𝑥 + 2)
12. Que sera le reste de la division de chaque polynôme par 𝑥 + 2? Quelles sont 2 façons
de trouver la solution?
a. 𝑥 3 + 3𝑥 2 − 5𝑥 + 2
b. 2𝑥 4 − 2𝑥 3 + 5𝑥
4
3
2
c. 𝑥 + 𝑥 − 5𝑥 + 2𝑥 − 7
d. 8𝑥 3 + 4𝑥 2 − 19
13. Factorise complètement chaque fonction polynomiale.
a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 11𝑥 − 6
b. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 𝑥 − 2
c. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 2 − 16𝑥 − 16
d. 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + 4𝑥 3 − 7𝑥 2 − 34𝑥 − 24
14. Détermine la ou les valeurs de 𝑘 pour lesquelles le binôme indiqué est un facteur du
polynôme.
a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 + 𝑘, 𝑥 − 2
b. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 6𝑥 − 7, 𝑥 + 𝑘
3
2
c. 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 4𝑥 + 𝑥 + 𝑘, 𝑥 + 2
d. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑘𝑥 − 16, 𝑥 − 2
61
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Résumé : les fonctions rationnelles et la division de polynômes
Les étapes de la division polynomiale sont :
Longue division
Division synthétique
Étant donné une fonction, 𝑓(𝑥) :
Si 𝑥 est une racine, alors 𝑓(𝑥) =
Si 𝑥 n’est pas une racine, alors 𝑓(𝑥)=
𝑃(𝑥)
Étant donné une division, 𝑥−𝑎 :
Si 𝑥 − 𝑎 est un facteur, alors 𝑃(𝑎) :
Si 𝑥 − 𝑎 n’est pas un facteur, alors 𝑃(𝑎) :
𝑥+𝑎
𝑎
Pourquoi et comment transformons-nous la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥+𝑏 à 𝑓(𝑥) = 𝑥−ℎ + 𝑘?
1
Quelles sont des coordonnées importantes pour la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥? Comment
utilisons-nous ces coordonnées afin d’appliquer les transformations?
𝑎
Quels sont le domaine et l’image de la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥−ℎ + 𝑘? Quelles sont les
équations des asymptotes?
62
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
H. L’inverse, la valeur absolue et la racine carrée de fonctions
1. L’inverse de fonctions
1
𝑦=
𝑓(𝑥)
Lorsque nous inversons une fonction, nous prenons l’inverse de toutes les valeurs
de 𝑦 puisque 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Exemple
1
Étant donné 𝑓(𝑥), dessine la fonction 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Quelles valeurs de 𝑦 ne changent pas avec la transformation?
Comment la transformation affecte-t-elle les racines?
Comment le domaine et l’image sont-ils affectés par la transformation?
63
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
2. La valeur absolue de fonctions
𝑦 = |𝑓(𝑥)|
Pour appliquer cette transformation, nous prenons les valeurs de 𝑦 et appliquons
la valeur absolue puisque 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Exemple
Étant donné la fonction 𝑓(𝑥), dessine le graphique de 𝑦 = |𝑓(𝑥)|.
Quelles valeurs de 𝑦 seront affectées par la transformation?
Comment le graphique sera-t-il affecté par la transformation?
Comment le domaine et l’image seront affectés par la transformation?
64
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
3. La racine carrée de fonctions
𝑦 = √𝑓(𝑥)
Pour appliquer cette transformation, nous prenons la racine carrée de chaque
valeur de 𝑦 puisque 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Exemple
Dessine la fonction 𝑦 = √|𝑥 + 2| − 1.
Comment la racine affecte-t-elle les valeurs de 𝑦?
Comment la racine affecte-t-elle le graphique?
Comment la racine affecte-t-elle le domaine et l’image?
65
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Pratique : l’inverse, la valeur absolue et la racine carrée de fonctions
1. Dessine l’inverse, la valeur absolue et la racine carrée des fonctions suivantes.
Indique le domaine, l’image, les asymptotes et les intersections avec les axes.
a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3
e. 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 4
2
b. 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 4
f. 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 1|
2
c. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1
g. 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2 − 3
d. 𝑓(𝑥) = √𝑥
h. 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 3| − 2
2.
3.
66
Étant donné les graphiques des fonctions, dessinez les graphiques de l’inverse des
fonctions, de la valeur absolue des fonctions et la racine carrée des fonctions.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
La coordonnée (7, −4) fait partie de la fonction 𝑓(𝑥). Quelle coordonnée fera partie
de l’inverse, la valeur absolue et la racine carrée de la fonction?
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Résumé : l’inverse, la valeur absolue et la racine carrée de fonctions
1
Quels sont les effets au graphique de la transformation 𝑓(𝑥)?
1
Comment le domaine de 𝑓(𝑥) diffère-t-il de 𝑓(𝑥)?
1
Que deviennent les racines d’une fonction 𝑓(𝑥) lorsqu’elle est soumise à la transformation 𝑓(𝑥)?
Que deviennent les asymptotes d’une fonction 𝑓(𝑥) lorsqu’elle est soumise à la transformation
1
?
𝑓(𝑥)
Qu’arrive-t-il au graphique 𝑓(𝑥) lorsqu’il est soumis à la transformation |𝑓(𝑥)|?
Quels sont les effets au domaine et à l’image de la transformation |𝑓(𝑥)|?
Comment la racine carrée de la fonction 𝑓(𝑥) affecte les valeurs de :
𝑦 > 1?
𝑦 = 1?
𝑦 < 1?
𝑦 < 0?
Quels sont les effets au domaine et à l’image de la transformation √𝑓(𝑥)?
67
Roger Durand
III.
Mathématiques Pré-calcul 40S
Les fonctions circulaires
A. Introduction aux angles
côté terminal : la ligne représentant la position de l’angle sur le plan cartésien
angle en position normale : l’angle entre l’axe des x positif en allant dans le sens
anti-horaire
angle co-terminal : angle ayant le même côté terminal que l’angle en position
normale
solution générale : formule décrivant toutes les valeurs possibles d’un côté terminal
arc : longueur d’une section d’un cercle
Exemple
Que sont des angles co-terminaux positifs et négatifs des angles suivants :
40°
212°
300°
Quels sont les angles en position normale des angles -425° et 780°?
Comment faisons-nous pour calculer un angle co-terminal? Quelle est la formule de
tous les angles co-terminaux étant donné un angle?
Dessinez les angles suivants : 45°, 200°, -190°, 650°
68
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
B. Les radians
Dans un cercle il y a 360°. Pour un cercle complet, l’arc est de 2r. Si nous prenons
un cercle de rayon = 1, on peut donc dire que la mesure de l’arc correspond à 2 (la
mesure de l’angle en radians). La mesure des angles en radians est une mesure ayant
la forme k.
Étant donné que 360° et 2 sont équivalents, on peut utiliser cette proportion afin de
transformer les degrés en radians ou vice versa.
Les radians peuvent être en décimal ou on peut trouver la valeur exacte (en fraction).
Exemple
3𝜋
Quelle est la valeur de en décimale?
5
Exemple
360° et 2𝜋 équivalent à l’angle d’un cercle complet.
Quelle est l’angle, exprimé en degrés et en radians,
- d’un demi-cercle
- d’un quart d’un cercle
- de trois quart d’un cercle
- d’un huitième d’un cercle
- d’un douzième d’un cercle
- d’un sixième d’un cercle
Remplissez les points avec les mesures des angles en degrés et en radians
69
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
1. transformer des degrés en radians
Si 360° est équivalent à 2𝜋, 180° est équivalent à :
Si 180° est équivalent à ______, 80° est équivalent à :
Quel calcul doit-on faire pour convertir une mesure de degré en radians?
2. transformer des radians en degrés
Si 2𝜋 est équivalent à 360°, 𝜋 est équivalent à :
Si 𝜋 est équivalent à ______,
5𝜋
8
est équivalent à :
Quel calcul doit-on faire pour convertir une mesure de radians en degrés?
Exemple
Convertissez les angles suivants :
160°
800°
7𝜋
6
radians
1 radian
70
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
C. La longueur d’arc
Pour les cercles ayant un rayon de un, la longueur de l’arc est la même que la mesure
de l’angle en radians. Par contre, pour n’importe quel autre rayon la formule pour la
longueur d’arc est la suivante. Notez : l’angle doit être exprimé en radians.
𝑠 = 𝑟𝜃
Exemple
Un morceau de tarte possède un angle de 38°. Quelle est la longueur d’arc de la croute
si la tarte a un diamètre de 24cm?
L’angle formé entre les aiguilles d’une horloge est de 65°. Quel est le diamètre de
l’horloge si la longueur d’arc de cet angle est de 12,5cm?
71
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Pratique : les angles
1. Convertis chaque mesure en radians. Écris tes réponses sous la forme de multiples de
𝜋. Trace chaque angle.
a. 30°
b. 45°
c. −330°
d. 520°
e. 90°
f. 21°
2.
Convertis chaque mesure en radians. Écris tes réponses sous forme approximative au
centième de radian près.
a. 60°
b. 150°
c. −270°
d. 72°
e. −14,8°
f. 540°
3.
Convertis chaque mesure en degrés. Donne tes réponses sous forme exacte lorsqu’il
est possible et arrondis au dixième près lorsqu’il ne l’est pas.
𝜋
2𝜋
3𝜋
a. 6
b. 3
c. − 8
d. −
5𝜋
2
e. 1
f. 2,75
4.
Convertis chaque mesure en degrés. Donne tes réponses sous forme exacte lorsqu’il
est possible et arrondis au millième près lorsqu’il ne l’est pas.
2𝜋
7𝜋
2
a. 7
b. 13
c. 3
d. 3,66
e. −6,14
f. −20
5.
Trace chaque angle en position standard. Nomme le quadrant où se trouve son côté
terminale.
17𝜋
a. 1
b. −225°
c. 6
d. 650°
6.
e. −
2𝜋
3
f. −42°
Détermine un angle positif et un angle négatif ayant le même côté terminal que
l’angle donné.
3𝜋
a. 72°
b. 4
c. −120°
d.
11𝜋
2
e. −205°
f. 7,8
7.
Détermine si les angles de chaque paire sont co-terminaux. Explique ta réponse.
5𝜋 17𝜋
5𝜋
9𝜋
a. 6 , 6
b. 2 , − 2
c. 410°, −410°
d. 227°, −493°
8.
Exprime sous forme générale la mesure de tous les angles ayant le même côté
terminal que l’angle donné.
𝜋
a. 135°
b. − 2
c. −200°
d. 10
72
Roger Durand
9.
Mathématiques Pré-calcul 40S
Pour chaque angle, détermine tous les angles co-terminaux qui satisfont la condition
donnée. Nomme l’angle en position standard.
a. 65°; 0° ≤ 𝜃 < 720°
b. −40°; −180° ≤ 𝜃 < 360°
3𝜋
c. −40°; −720° ≤ 𝜃 < 720°
d. 4 ; −2𝜋 ≤ 𝜃 < 2𝜋
11𝜋
e. = 6 ; −4𝜋 ≤ 𝜃 < 4𝜋
g. 2,4; −2𝜋 ≤ 𝜃 < 2𝜋
7𝜋
f. 3 ; −2𝜋 ≤ 𝜃 < 4𝜋
h. −7,2; −4𝜋 ≤ 𝜃 < 2𝜋
10. Détermine la longueur d’arc sous-tendu par chaque angle au centre. Exprime tes
réponses au centième d’unité près.
a. rayon de 9,5cm, angle au centre de 1,4 radians
b. rayon de 1,37m, angle au centre de 3,5 radians
c. rayon de 7cm, angle au centre de 130°
d. rayon de 6,25 pouces, angle au centre de 282°
11. Détermine la valeur de la variable à partir des données de chaque figure. Exprime tes
réponses au centième d’unités près.
12. Un arrosoir pivotant fait un tour complet à toutes les 15 secondes. L’eau atteint une
distance de 5 mètres à partir de l’arrosoir.
a. Quelle est la longueur de l’arc du secteur arrosé lorsque l’arrosoir effectue une
5𝜋
rotation de 3 ?
b. Montre comment tu peux déterminer l’aire du secteur arrosé en a.
c. Quel est l’angle de rotation parcouru par l’arrosoir en 2 minutes? Exprime ta
réponse en degrés et en radians.
13. Yellowknife, TNO, et la vallée de Crowsnest Pass, en Alberta, se trouvent à 114° de
longitude Ouest. La latitude de Yellowknife est de 62,45° et celle de Crowsnest Pass
est de 49,63°. Détermine la distance qui sépare ces deux lieux.
73
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
D. Le cercle unité
Cercle unité : radians
Pour trouver les coordonnées des points du cercle unité, il suffit d’utiliser les
rapports trigonométriques et le théorème de Pythagore.
Nous savons que sin  
opposé
mais dans le plan cartésien ceci se traduit par
hypothénus e
y
et puisque le rayon du cercle unité est 1, nous pouvons simplifier à
r
sin   y Nous pouvons faire la même chose pour le cosinus et la tangente.
sin  
y  sin 
x  cos 
tan  
y
x
La tangente peut donc être écrite :
sin 
tan  
cos 
Preuves des coordonnées de 30° :
Nous savons que sin 30° = 0,5 mais puisque 𝑦 = sin 𝜃 nous avons donc que
𝑦 = 0,5. Pour déterminer la valeur de x, nous utilisons le théorème de Pythagore :
x2  y2  r 2
x2  r 2  y2
1
x 2  12   
2
3
x2 
4
3
x
2
2


La coordonnée du côté terminal de l’angle 30° est donc  3 , 1  .
 2 2


Nous pouvons trouver de la même façon les coordonnées du côté terminal de l’angle
60° sachant que cos 60° = 0,5.
Note : sin2 𝜃 = (sin 𝜃)2 ≠ sin 𝜃 2
74
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
1
Pour se souvenir des coordonnées :
Utilisez votre main gauche. Les angles sont représentés ci-dessous. On plie
l’angle dont on veut connaître les coordonnées. On remarque que tous les
dénominateurs sont 2 et tous les numérateurs ont une valeur de 1, √2 ou √3. Les
doigts à la gauche les valeurs de x et les doigts à la droite sont les valeurs de y,
comme dans une coordonnée (𝑥, 𝑦). On ajoute les signes appropriés au quadrant
dans lequel se retrouve l’angle.
(𝑥, 𝑦) = (
√# 𝑑𝑜𝑖𝑔𝑡𝑠 à 𝑙𝑎 𝑔𝑎𝑢𝑐ℎ𝑒 √# 𝑑𝑜𝑖𝑔𝑡𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒
2
,
2
)
Dans l’exemple donné, pour 45°, il y a deux doigts à la gauche et deux doigts à la
√2 √2
).
2
droite. Alors, (𝑥, 𝑦) = ( 2 ,
Note : (𝑥, 𝑦) = (cos 𝜃 , sin 𝜃)
1
http://withfriendship.com/images/b/8803/Unit-circle-picture.gif
75
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
𝑜𝑝𝑝
𝑎𝑑𝑗
Étant donné que sin 𝜃 = ℎ𝑦𝑝 , cos 𝜃 = ℎ𝑦𝑝 , tan 𝜃 =
𝑜𝑝𝑝
𝑎𝑑𝑗
Quelles sont les rapports trigonométriques précédents sur le cercle unité?
Selon le théorème de Pythagore 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 . Que sera ce théorème appliqué au
cercle unité?
Avec le cercle unité, nous pouvons résoudre ces types de problèmes :
a. Déterminer le sinus, le cosinus ou la tangente d’un angle
Exemple
Détermine la valeur de sin 135°.
√2
Utilisant le cercle unité, 𝑦 = sin 𝜃, donc, pour l’angle 135°, 𝑦 = 2 . Puisque
l’angle se retrouve dans le quadrant III, la valeur de 𝑦 sera positive.
Exemple
Détermine les valeurs des rapports trigonométriques suivants :
cos
3𝜋
4
sin 300°
𝑎 = sin 120°
tan
5𝜋
3
𝑏 = tan 225°
76
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
b. Déterminer la valeur d’un angle étant donné la valeur du rapport trigonométrique
Exemple
Détermine la valeur de l’angle.
cos 𝜃 =
√3
2
Dans ce cas, nous cherchons l’angle qui nous donnera une valeur de 𝑥 =
√3
.
2
Nous pouvons récrire cette expression comme :
√3
𝜃 = cos −1 ( 2 )
donc, cos 𝜃 =
√3
2
est équivalent de dire
√3
cos −1 ( 2 )
Un angle possible est 𝜃 =
11𝜋
𝜋
6
par contre, en observant le cercle unité, nous pouvons
voir que
est aussi un angle possible. Les deux angles sont des angles possibles
6
mais aussi n’importe quel angle partageant le même côté terminal.
𝜋
𝜃 = 6 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜀ℤ et 𝜃 =
11𝜋
6
+ 2𝜋𝑛, 𝑛𝜀ℤ
Si, par contre, la question spécifiait un intervalle, tel 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋, il faudrait
nommer tous les angles dans cet intervalle.
Exemple
Détermine la/les valeur(s) des angles pour les rapports suivants :
1
sin 𝜃 = −
2
tan 𝜃 = −
√3
3
dans 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋
√3
cos −1 ( 2 )
sin−1 (−1) dans −180° ≤ 𝜃 < 180°
77
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
c. Déterminer les valeurs d’autres rapports trigonométriques sur le cercle unité
Nous pouvons généraliser l’équation d’un cercle ayant le centre (0, 0) comme
étant 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 . Pour le cercle unité, le rayon a une valeur de 1 alors
l’équation devient donc, 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1.
Exemple
1
La coordonnée (5 , 𝑦) se trouve sur le cercle unité dans le quadrant IV. Quelle est
la valeur de y?
Utilise l’équation de Pythagore pour résoudre :
𝑥2 + 𝑦2 = 1
1 2
(5) + 𝑦 2 = 1
1
𝑦 2 = 1 − 25
24
𝑦 2 = 25
√24
𝑦=± 5
Mais puisque la coordonnée est dans le quadrant IV on garde une seule solution.
2√6
𝑦=−
5
Exemple
4
Le point 𝑃 (− 5 , 𝑦) se trouve sur le côté terminal d’un angle 𝜃 en position
standard sur le cercle unité. Si 𝜃 se trouve dans le quadrant III, détermine la
valeur de tan 𝜃.
78
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
E. Les six fonctions trigonométriques
En formulant les coordonnées du cercle unité, nous avons déjà vu les trois premières
fonctions trigonométriques (celles du sinus, du cosinus et de la tangente). Il ne reste
que les trois autres fonctions (sécante, cosécante et cotangente) qui peuvent être
dérivées des trois premières.
Voici les rapports trigonométriques connus :
𝑦 = sin 𝜃
𝑥 = cos 𝜃
𝑦
sin 𝜃
tan 𝜃 = 𝑥 ou tan 𝜃 = cos 𝜃
Les nouveaux rapports trigonométriques sont :
1
sec 𝜃 =
cos 𝜃
1
csc 𝜃 = sin 𝜃
1
𝑐𝑜𝑠𝜃
cot 𝜃 = tan 𝜃 ou cot 𝜃 = sin 𝜃
Exemple
7𝜋
Quelle est la valeur de sec ( 6 )?
1
7𝜋
Nous savons que sec 𝜃 = cos 𝜃, alors sec ( 6 ) =
7𝜋
Puisque cos ( ) = −
6
√3
,
2
7𝜋
alors sec ( ) = 1/−
6
1
cos(
√3
2
7𝜋
)
6
ou −
2
√3
qui se rationnalise à −
2√3
3
Exemple
Détermine les valeurs suivantes :
csc 225°
cot(−300°)
sec
5𝜋
3
cot 𝜃 = −√3
sec −1(√2)
csc 𝜃 = −2
79
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Pratique : le cercle unité et les fonctions trigonométriques
1. Détermine si les points suivants sont sur le cercle unité.
3 1
d. (5 , − 5)
e. (−
f. ( 4 , 4)
3
6.
5
d. (𝑥, − 7) dans le quadrant IV
e. (𝑥, 3), où 𝑥 < 0
f. (13 , 𝑦), pas dans le quadrant I
12
𝑃(𝜃) est le point d’intersection du côté terminal d’un angle 𝜃 et du cercle unité.
Détermine les coordonnées exactes de chaque point.
𝜋
𝜋
𝜋
a. 𝑃(𝜋)
b. 𝑃 (− 2 )
c. 𝑃 (3 )
d. 𝑃 (− 6 )
e. 𝑃 ( 4 )
3𝜋
f. 𝑃 (−
7𝜋
i. 𝑃 ( 6 )
5𝜋
j. 𝑃 (−
4𝜋
)
4
3
g. 𝑃(4𝜋)
5𝜋
h. 𝑃 ( 2 )
)
Écris une mesure de l’angle au centre 𝜃, dans l’intervalle 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋, telle que le
point 𝑃(𝜃) a les coordonnées indiquées.
1 √3
)
2
√2
√2
(− 2 , − 2 )
√2 √2
)
2
√3 1
b. (1, 0)
1
c. ( 2 ,
√3
)
2
e. (2 ,
f. (2 , −
i.
j. (−1, 0)
g. (−
2
, 2)
d. (−
h.
1
,
1
)
√2 √2
1
√3
(− 2 , − 2)
Quelle est la valeur exacte de chaque rapport trigonométrique?
3𝜋
7𝜋
a. sin 45°
b. tan 30°
c. cos 4
d. cot 6
e. csc 210°
f. sec(−240 °)
g. tan
i. cot(−120°)
j. cos 390°
k. sin
3𝜋
2
5𝜋
3
h. sec 𝜋
l. csc 495°
Détermine la valeur approximative, au centième près, de chaque rapport
trigonométrique.
a. cos 47°
b. cot 160°
c. sec 15°
d. csc 4,71
5𝜋
e. sin 5
f. tan 0,94
g. sin 7
h. tan 6,9
i. cos 302°
80
√7 3
c. (− 8 , 𝑦) dans le quadrant III
a. (0, −1)
5.
1
√3
, − 2)
2
Détermine la coordonnée manquante du point du cercle unitaire qui satisfait les
conditions données.
1
2
a. (4 , 𝑦) dans le quadrant I
b. (𝑥, 3) dans le quadrant II
1
4.
12
c. (− 13 , 13)
7
3.
5
b. ( 8 , 8)
4
2.
√5 7
a. (− 4 , 4)
j. sin (−
11𝜋
19
)
k. cot 6
l. sec(−270°)
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
7.
Soit un angle 𝜃 en position standard. Dans quels quadrants son côté terminal peut-il
se situer dans chaque cas?
a. cos 𝜃 > 0
b. tan 𝜃 < 0
c. sin 𝜃 < 0
d. sin 𝜃 > 0 et cot 𝜃 < 0
e. cos 𝜃 < 0 et csc 𝜃 > 0
f. sec 𝜃 > 0 et tan 𝜃 > 0
8.
Détermine un angle dans l’intervalle 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋 qui donnera la même valeur
lorsqu’on applique le même rapport trigonométrique. Par exemple, sin 30° donne la
même valeur que sin 150°.
a. sin 240°
b. tan 300°
c. sec 135°
𝜋
11𝜋
d. cos 6
e. csc 6
f. cot 5
9.
Sans utiliser la calculatrice, indique si chaque rapport est positif ou négatif.
a. cos 300°
b. sin 4
c. cot 156°
13𝜋
17𝜋
d. csc(−235°)
e. tan 6
f. sec 3
10. Détermine chaque valeur.
a. sin−1 0,2
c. sec 450°
b. tan−1 7
d. cot(−180°)
3
11. Le point 𝑃(𝜃) = (5 , 𝑦) se situe sur le côté terminal d’un angle 𝜃 en position
standard et sur le cercle unité. Ce point est dans le quadrant IV. Quelles sont les
valeurs de tan 𝜃 et de csc 𝜃?
12. Détermine la valeur exacte de chaque expression.
a. cos 60° + sin 30°
b. (sec 45°)2
d. tan2 60° − sec 2 60°
e. (cos
7𝜋 2
) + (sin
4
c. (cos
7𝜋 2
)
4
5𝜋
) (sec
3
5𝜋
3
)
5𝜋
f. cot 2 ( 6 )
13. Détermine la mesure exacte de tous les angles qui satisfont les conditions données.
1
a. sin 𝜃 = − 2 où 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋
b. cot 𝜃 = 1 où −𝜋 ≤ 𝜃 < 2𝜋
c. sec 𝜃 = 2 où −180° ≤ 𝜃 < 90°
d. cos 2 𝜃 = 1 où −360° ≤ 𝜃 < 360°
14. Détermine la mesure approximative de tous les angles qui satisfont les conditions
données. Arrondis ta réponse au centième près.
𝜋
a. cos 𝜃 = 0,42 où −𝜋 ≤ 𝜃 < 𝜋
b. tan 𝜃 = −4,87 où − 2 ≤ 𝜃 < 𝜋
c. csc 𝜃 = 4,87 où −360° ≤ 𝜃 < 180°
d. cot 𝜃 = 1,5 où −180° ≤ 𝜃 < 360°
15. Le point 𝐵(−2, −3) est situé sur le côté terminal d’un angle 𝜃. Détermine la valeur
de cos 𝜃.
16. Avec les coordonnées suivantes se trouvant sur le cercle unitaire, détermine la valeur
du rapport trigonométrique selon le quadrant demandé.
3
5
a. trouve csc 𝜃 avec (5 , 𝑦) dans QIV b. trouve cot 𝜃 avec (𝑥, − 13) dans QIII
81
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Résumé : les angles et le cercle unité
Qu’est-ce qu’un angle en position normale/standard? Comment le dessine-t-on?
Comment dessine-t-on un angle ayant une valeur négative? plus d’une rotation?
Quel est le lien entre un angle mesuré en degré et un angle mesuré en radian? Comment
fait-on la conversion de l’un à l’autre?
Quel est le lien entre l’angle et la longueur d’arc d’un cercle?
D’après cette formule, l’angle doit être exprimé en :
Quels sont les six rapports trigonométriques? Quels sont leurs liens?
Comment savons-nous si une coordonnée est sur le cercle unitaire?
Comment peut-on déterminer la deuxième solution d’une équation trigonométrique
connaissant l’angle en position standard?
Pour sinus et cosinus :
Pour tangente :
Comment utilisons-nous l’information d’un rapport trigonométrique et le quadrant afin de
déterminer un autre rapport trigonométrique?
Que trouvons-nous lorsque nous évaluons sin #? cos −1 #? tan 𝜃 = #?
82
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
F. Les graphiques de fonctions trigonométriques
1. Les 6 graphiques de fonctions trigonométriques
𝑓(𝑥) = sin 𝑥
sin 0 =
sin 𝜋 =
sin 2𝜋 =
sin
π
=
2
sin
3𝜋
=
2
sin
𝜋
=
3
sin
2𝜋
=
3
sin
4𝜋
=
3
sin
5𝜋
=
3
sin
𝜋
=
4
sin
3𝜋
=
4
sin
5𝜋
=
4
sin
7𝜋
=
4
sin
𝜋
=
6
sin
5𝜋
=
6
sin
7𝜋
=
6
sin
11𝜋
=
6
1
0.5
−2𝜋
−𝜋
𝜋
2𝜋
−0.5
−1
83
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
𝑓(𝑥) = cos 𝑥
cos 0 =
cos 𝜋 =
cos 2𝜋 =
cos
π
=
2
cos
3𝜋
=
2
cos
𝜋
=
3
cos
2𝜋
=
3
cos
4𝜋
=
3
cos
5𝜋
=
3
cos
𝜋
=
4
cos
3𝜋
=
4
cos
5𝜋
=
4
cos
7𝜋
=
4
cos
𝜋
=
6
cos
5𝜋
=
6
cos
7𝜋
=
6
cos
11𝜋
=
6
1
0.5
−2𝜋
−𝜋
𝜋
−0.5
−1
84
2𝜋
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
𝑓(𝑥) = tan 𝑥
tan 0 =
tan 𝜋 =
tan 2𝜋 =
tan
π
=
2
tan
3𝜋
=
2
tan
𝜋
=
3
tan
2𝜋
=
3
tan
4𝜋
=
3
tan
5𝜋
=
3
tan
𝜋
=
4
tan
3𝜋
=
4
tan
5𝜋
=
4
tan
7𝜋
=
4
tan
𝜋
=
6
tan
5𝜋
=
6
tan
7𝜋
=
6
tan
11𝜋
=
6
1
0.5
−2𝜋
−𝜋
𝜋
2𝜋
−0.5
−1
85
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
𝑓(𝑥) = csc 𝑥
csc 0 =
csc 𝜋 =
csc 2𝜋 =
csc
π
=
2
csc
3𝜋
=
2
csc
𝜋
=
3
csc
2𝜋
=
3
csc
4𝜋
=
3
csc
5𝜋
=
3
csc
𝜋
=
4
csc
3𝜋
=
4
csc
5𝜋
=
4
csc
7𝜋
=
4
csc
𝜋
=
6
csc
5𝜋
=
6
csc
7𝜋
=
6
csc
11𝜋
=
6
1
0.5
−2𝜋
−𝜋
𝜋
−0.5
−1
86
2𝜋
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
𝑓(𝑥) = sec 𝑥
sec 0 =
sec 𝜋 =
sec 2𝜋 =
sec
π
=
2
sec
3𝜋
=
2
sec
𝜋
=
3
sec
2𝜋
=
3
sec
4𝜋
=
3
sec
5𝜋
=
3
sec
𝜋
=
4
sec
3𝜋
=
4
sec
5𝜋
=
4
sec
7𝜋
=
4
sec
𝜋
=
6
sec
5𝜋
=
6
sec
7𝜋
=
6
sec
11𝜋
=
6
1
0.5
−2𝜋
−𝜋
𝜋
2𝜋
−0.5
−1
87
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
𝑓(𝑥) = cot 𝑥
cot 0 =
cot 𝜋 =
cot 2𝜋 =
cot
π
=
2
cot
3𝜋
=
2
cot
𝜋
=
3
cot
2𝜋
=
3
cot
4𝜋
=
3
cot
5𝜋
=
3
cot
𝜋
=
4
cot
3𝜋
=
4
cot
5𝜋
=
4
cot
7𝜋
=
4
cot
𝜋
=
6
cot
5𝜋
=
6
cot
7𝜋
=
6
cot
11𝜋
=
6
1
0.5
−2𝜋
−𝜋
𝜋
−0.5
−1
88
2𝜋
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Les caractéristiques des fonctions trigonométriques :
Définissez les termes suivants :
Amplitude :
Dessine une fonction sinusoïdale et indique l’amplitude.
Quelles fonctions ne possèdent pas d’amplitude?
Période :
Est-ce que toutes les fonctions trigonométriques ont la même période?
Sommet :
Quelles fonctions ne possèdent pas de sommets?
Période
Amplitude
Sommets
Domaine
Image
𝑓(𝑥) = sin 𝑥
𝑓(𝑥) = cos 𝑥
𝑓(𝑥) = tan 𝑥
𝑓(𝑥) = csc 𝑥
𝑓(𝑥) = sec 𝑥
𝑓(𝑥) = cot 𝑥
89
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Les fonctions trigonométriques sont affectées par les transformations comme
toutes autres fonctions.
Prenons 𝑓(𝑥) = 𝑎 sin(𝑏(𝑥 − ℎ)) + 𝑘 ou 𝑓(𝑥) = 𝑎 cos(𝑏(𝑥 − ℎ)) + 𝑘
Laquelle des valeurs (𝑎, 𝑏, ℎ, 𝑘) affectera l’amplitude?
Laquelle affectera la période?
Que font ℎ et 𝑘?
2. L’amplitude et la période
Exemple
Dessinez les fonctions suivantes sur un même plan cartésien.
𝑓(𝑥) = sin 𝑥
amplitude :
𝑔(𝑥) = 2 sin(𝑥)
amplitude :
1
ℎ(𝑥) = 2 sin(𝑥)
amplitude :
Comment la valeur de 𝑎 affecte-t-elle le graphique? Quelles caractéristiques du
graphique ont changées?
Qu’arriverait-il au graphique si 𝑎 < 0? Quelle serait donc l’amplitude?
Comment peux-tu déterminer l’amplitude à partir de l’équation de la fonction? À
partir d’un graphique d’une fonction sinusoïdale?
90
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Exemple
Dessinez les fonctions suivantes sur un même plan cartésien.
𝑓(𝑥) = cos 𝑥
période :
𝑔(𝑥) = cos(2𝑥)
période :
1
ℎ(𝑥) = cos (2 𝑥)
période :
Comment la valeur de 𝑏 affecte-t-elle le graphique? Quelles caractéristiques du
graphique ont changées?
Créez une formule pour calculer la période d’une fonction sinusoïdale. Comment
cette formule diffère de la fonction tangente? Et celles de sécante, cosécante et
cotangente? Généralisez votre formule.
91
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
3. Le domaine et l’image
Dans une transformation 𝑎𝑓(𝑏(𝑥 − ℎ)) + 𝑘, lesquelles des valeurs 𝑎, 𝑏, ℎ, 𝑘
affectent le domaine? Lesquelles affectent l’image?
Le domaine
Quelles fonctions trigonométriques ont un domaine affecté par une
transformation?
Le domaine des fonctions sinus et cosinus est :
Le domaine de la fonction tangente est : {𝑥𝜖ℝ|𝑥 ≠
}
Que représentent les valeurs dans le domaine précédent? Généralisez le domaine
de cette fonction?
L’image
Quelles fonctions trigonométriques ont une image affectée par une
transformation?
L’image de la fonction tangente est :
L’image des fonctions sinus et cosinus est : {𝑦𝜖ℝ|
}
Que représentent les valeurs dans le domaine précédent? Généralisez l’image de
ces fonctions?
92
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
4. Les ordonnées et les abscisses à l’origine
Les ordonnées à l’origine peuvent être calculées en établissant l’angle comme
étant 0 et calculer la valeur de 𝑦.
Les abscisses peuvent être calculées en établissant 𝑦 = 0 et ensuite résoudre pour
𝑥. Nous pouvons aussi prendre les racines originales et les transformer avec les
valeurs de b et de h.
5. Dessinez les graphiques ayant subi une transformation
Exemple
1
Faites l’esquisse de la fonction 𝑦 = 3 sin (2 𝑥) − 1.
Commencez par dessiner la fonction 𝑦 = sin 𝑥.
Quelle est la période et l’amplitude de la fonction transformée?
Ajustez l’échelle de vos axes en conséquence de ces deux caractéristiques.
Appliquez la translation verticale et horizontale.
Note : la translation horizontale s’appelle le déphasage
Note : Soyez attentifs aux parenthèses! sin(2𝑥 − 𝜋) ≠ sin(2(𝑥 − 𝜋))
93
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Exemple
𝜋
Dessinez la fonction 𝑓(𝑥) = 3 tan (𝑥 − 6 ) + 1
Exemple
𝜋
Quelle est l’équation de la fonction suivante? 𝑦 = cos (4 (𝑥 + 4 )) + 1
Déterminez les valeurs de 𝑎 et 𝑏 en premier, ensuite les valeurs de ℎ et de 𝑘.
Les graphiques sinusoïdales peuvent avoir plusieurs solutions puisque les
fonctions sinus et cosinus sont semblables (de même pour tangente/cotangente et
sécante/cosécante).
94
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Pratique : les graphiques de fonctions trigonométriques
1. Détermine l’amplitude de chaque fonction périodique. Esquisse le graphique de
chaque fonction.
1
a. 𝑦 = 2 sin 𝜃
b. 𝑦 = 2 cos 𝜃
1
c. 𝑦 = − 3 sin 𝑥
2.
d. 𝑦 = −6 cos 𝑥
Détermine la période de chaque fonction périodique, en degrés et en radians.
Esquisse le graphique de chaque fonction.
1
a. 𝑦 = sin 4𝜃
b. 𝑦 = cos 3 𝜃
2
c. 𝑦 = sin 3 𝑥
d. 𝑦 = cos 6𝑥
3.
Associe chaque fonction à son graphique.
a. 𝑦 = 3 cos 𝑥
b. 𝑦 = cos 3𝑥
c. 𝑦 = − sin 𝑥
d. 𝑦 = − cos 𝑥
4.
Détermine la période et l’amplitude de chaque fonction.
a. 𝑦 = 2 sin 𝑥
b. 𝑦 = −4 cos 2𝑥
5
2
1
c. 𝑦 = 3 sin (− 3 𝑥)
d. 𝑦 = 3 cos (2 𝑥)
5.
Détermine l’équation de la forme 𝑦 = asin(𝑏𝑥) et 𝑦 = acos(𝑏𝑥) pour chaque
fonction. Quelle graphique s’apprêtait mieux à la fonction sinus? cosinus?
95
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
6.
Esquisse le graphique pour chaque fonction dans l’intervalle [−360°, 360°]. Indique
le maximum, le minimum, les coordonnées à l’origine, la période et l’image.
a. 𝑦 = 2 cos 𝑥
b. 𝑦 = −3 sin 𝑥
1
3
c. 𝑦 = 2 sin 𝑥
d. 𝑦 = − 4 cos 𝑥
7.
En acoustique, la deuxième harmonique correspond à 𝑓(𝑥) = sin 2𝑥 et la troisième
harmonique à 𝑓(𝑥) = sin 3𝑥. Trace les graphiques des harmoniques pour
−2𝜋 ≤ 𝑥 < 2𝜋.
8.
Un son résulte de la vibration d’un objet, qui entraîne des variations de la pression
d’air perçues par le tympan. Les sons musicaux correspondent à des vibrations
régulières ou périodiques. Un son simple produira une seule onde sinusoïdale sur un
oscilloscope. Détermine l’amplitude et la période de chaque son suivant. Que sont les
valeurs de 𝑎 et de 𝑏?
9.
La pression artérielle varie de façon cyclique et atteint son maximum (systole)
lorsque le cœur se contracte, ce qui produit le pouls.
a. Détermine la pression moyenne lors d’un battement de cœur.
b. Détermine le pouls de la personne (le nombre de battements par minute)
10. Détermine le déphasage et le déplacement vertical de chaque fonction par rapport à
𝑦 = sin 𝑥. Esquisse le graphique de chaque fonction.
a. 𝑦 = sin(𝑥 − 50°) + 3
b. 𝑦 = sin(𝑥 + 𝜋)
2
c. 𝑦 = sin (𝑥 + 3) + 5
d. 𝑦 = 2 sin(𝑥 + 50°) − 10
e. 𝑦 = −3 sin(6𝑥 + 30°) − 3
96
1
𝜋
f. 𝑦 = 3 sin (2 (𝑥 − 4 )) − 10
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
11. Détermine le déphasage et le déplacement vertical de chaque fonction par rapport à
𝑦 = cos 𝑥. Esquisse le graphique de chaque fonction.
𝜋
a. 𝑦 = cos(𝑥 − 30°) + 12
b. 𝑦 = cos (𝑥 − 3 )
c. 𝑦 = cos (𝑥 +
5𝜋
6
) + 16
e. 𝑦 = 4 cos(𝑥 − 𝜋) + 4
12. Détermine l’image de chaque fonction.
𝜋
a. 𝑦 = 3 cos (𝑥 − 2 ) + 5
c. 𝑦 = 1,5 sin 𝑥 + 4
d. 𝑦 = 4 cos(𝑥 + 15°) + 3
𝜋
f. 𝑦 = 3 cos (2𝑥 − 6 ) + 7
b. 𝑦 = −2 sin(𝑥 + 𝜋) − 3
2
3
d. 𝑦 = 3 cos(𝑥 + 50°) + 4
13. Associe chaque fonction à sa description dans le tableau qui suit.
a. 𝑦 = −2 cos(2(𝑥 + 4)) − 1
b. 𝑦 = 2 sin(2(𝑥 − 4)) − 1
c. 𝑦 = 2 sin(2𝑥 − 4) − 1
d. 𝑦 = 3 sin(3𝑥 − 9) − 1
e. 𝑦 = 3 sin(3𝑥 + 𝜋) − 1
14. Associe chaque fonction à son graphique.
𝜋
a. 𝑦 = sin (𝑥 − 4 )
c. 𝑦 = sin 𝑥 − 1
𝜋
b. 𝑦 = sin (𝑥 + 4 )
d. 𝑦 = sin 𝑥 + 1
97
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
15. Écris l’équation de chaque fonction sinus sous la forme 𝑦 = 𝑎 sin(𝑏(𝑥 − ℎ)) + 𝑘 à
partir des caractéristiques.
𝜋
a. amplitude : 4, période : 𝜋, déphasage : 2 à droite, translation : 6 unités vers le bas
1
𝜋
b. amplitude : 2, période : 4𝜋, déphasage : 6 à gauche, translation : 1 vers le haut
3
c. amplitude : 4, période : 720°, déphasage : aucun, translation : 5 unités vers le bas
16. Le graphique de 𝑦 = cos 𝑥 subit les transformations indiquées. Détermine la valeur
des paramètres 𝑎, 𝑏, ℎ et 𝑘 de la transformée. Écris l’équation de la fonction
transformée sous la forme 𝑦 = 𝑎 cos(𝑏(𝑥 − ℎ)) + 𝑘.
a. un étirement vertical par un facteur de 3 par rapport à l’axe des 𝑥, un étirement
horizontal par un facteur de 2 par rapport à l’axe des 𝑦, une translation de 2
unités vers la gauche et 3 unités vers le haut.
1
b. un étirement vertical par un facteur de 2 par rapport à l’axe des 𝑥, un étirement
1
horizontal par un facteur de 4 par rapport à l’axe des 𝑦, une translation de 3
unités vers la droite et 5 unités vers le bas.
3
c. un étirement vertical par un facteur de 2 par rapport à l’axe des 𝑥, un étirement
𝜋
horizontal par un facteur de 3 par rapport à l’axe des 𝑦, une translation de 4
unités vers la droite et de 1 unité vers le bas.
17. Quand la lumière blanche traverse un prisme, elle se décompose en toutes les
couleurs du spectre visible. Chaque couleur correspond à une longueur d’onde
différente du spectre électromagnétique. Ordonne les couleurs en ordre décroissant
de période.
18. L’image d’une fonction trigonométrique de la forme 𝑦 = 𝑎 sin(𝑏(𝑥 − ℎ)) + 𝑘 est
{𝑦𝜖ℝ| − 13 ≤ 𝑦 ≤ 5}. Détermine les valeurs de 𝑎 et 𝑘.
98
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
19. À partir de chaque graphique d’une fonction sinusoïdale, détermine l’amplitude, la
période, le déphasage, la translation vertical, le domaine, l’image et les coordonnées
maximums et minimums dans l’intervalle 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋.
20. Détermine une équation de la forme 𝑦 = 𝑎 sin(𝑏(𝑥 − ℎ)) + 𝑘 pour chaque
graphique.
99
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
21. Détermine une équation de la forme 𝑦 = 𝑎 cos(𝑏(𝑥 − ℎ)) + 𝑘 pour chaque
graphique.
22. Compare les équations des fonctions suivantes et détermine si leur graphique est
équivalent.
𝜋
𝑦 = 3 sin (3 (𝑥 − 2)) − 1
𝜋
7
𝑦 = 3 cos ( 3 (𝑥 − 2)) − 1
23. Les casques suppresseurs de bruit sont conçus pour maximiser la qualité de l’écoute
en éliminant les bruits ambiants. Pour cela, ils émettent des ondes sonores qui imitent
celles des bruits ambiants, mais qui sont déphasés de 180°.
𝜋
Suppose que l’amplitude et la période des ondes sinusoïdales sont de 4 et 2
respectivement. Détermine l’équation des ondes sonores que le casque d’écoute doit
émettre pour éliminer le bruit ambiant.
24. Le mouvement d’un point sur un rotor industriel peut être décrit par la fonction
2𝜋
ℎ(𝑡) = 13 cos (0,7 𝑡) + 15 où ℎ est la hauteur du point, en mètres, et 𝑡 est le temps
écoulé, en minutes.
a. En combien de temps est la hauteur maximum atteinte? Quelle est cette hauteur?
b. En combien de temps est la hauteur minimum atteinte? Quelle est cette hauteur?
c. Détermine la hauteur du point après 1h12min.
100
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Résumé : les graphiques de fonctions trigonométriques
Étant donné la fonction trigonométrique transformée 𝑎𝑓(𝑏(𝑥 − ℎ)) + 𝑘, comment
trouve-t-on les caractéristiques suivantes :
Sinus
Cosinus
Tangente
Sécante
Cosécante
Cotangente
Amplitude
Période
Maximum
et
minimum
Asympotes
Domaine
Image
Quelles sont les étapes pour dessiner un graphique d’une fonction trigonométrique?
Étant donné un graphique, comment déterminons-nous les valeurs de 𝑎, 𝑏, ℎ, et 𝑘?
101
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
G. Résolution d’équations trigonométriques
1. Algébriquement et graphiquement avec le cercle unitaire
a. Équations de la forme sin 𝜃 = 𝑘 ou cos 𝜃 = 𝑘
Exemple
1
sin 𝜃 = − 2
Algébriquement, la prochaine étape serait de prendre le sinus inverse de
chaque côté de l’équation :
1
sin−1(sin 𝜃) = sin−1 (− 2)
1
𝜃 = sin−1 (− 2)
𝜃=
7𝜋
6
et 𝜃 =
11𝜋
6
ou
𝜃 = 210° et 𝜃 = 330°
Mais puisqu’il n’y a pas d’intervalle donné, il faut indiquer les solutions sous
forme générale.
𝜃=
𝜃=
7𝜋
+ 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖 ℤ
6
11𝜋
6
+ 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖ℤ
Graphiquement :
𝑦 = sin 𝑥
1
Où sin 𝜃 = − 2 donc
1
𝑦 = −2
1
valeurs de 𝜃 où 𝑦 = − 2
102
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Exemple
Trouvez les valeurs des angles suivants :
cos 𝜃 =
√3
2
dans l’intervalle −2𝜋 ≤ 𝜃 < 2𝜋
tan 𝜃 = 12 en degrés arrondis à 4 décimales dans l’intervalle 0 ≤ 𝜃 < 360°
sec 𝜃 = −0,6 en radians arrondis à 4 décimales
b. Équations de la forme 𝑎 sin 𝜃 + 𝑐 = 𝑘 ou 𝑎 cos 𝜃 + 𝑐 = 𝑘
Exemple
1
sin 𝜃 + 2 = 0
Il faut commencer par isoler la fonction trigonométrique :
1
sin 𝜃 = − 2
À ce point nous trouvons la valeur de l’angle comme les exemples précédents.
Graphiquement :
1
On dessine 𝑦 = sin 𝑥 + 2
1
Les valeurs de 𝑥 où sin 𝜃 + 2 = 0 sont les solutions.
𝜃=
7𝜋
6
+ 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖ℤ
𝜃=
11𝜋
6
+ 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖ℤ
103
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Exemple
Résous cos 𝜃 −
√3
4
=
√3
4
dans l’intervalle −180° ≤ 𝜃 ≤ 180°
Exemple
Résous 2 tan 𝑥 − 2 = 0
Exemple
Résous 2 cos 𝜃 − √3 = 0 dans l’intervalle −2𝜋 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋
104
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
c. Équations lorsque l’angle n’est pas simple (sin(𝑏𝑥) = 𝑘)
Exemple
1
Résous sin 2𝑥 − 1 = − 2 dans l’intervalle 0 ≤ 𝑥 < 2𝜋
Il faut commencer par isoler la fonction trigonométrique :
1
sin 2𝑥 = 2
Une fois isolée, on prend le sinus inverse de chaque côté de l’équation afin
d’isoler l’angle :
1
sin−1(sin 2𝑥) = sin−1 (2)
1
2𝑥 = sin−1 (2)
𝜋
2𝑥 = 6
On isole 𝑥 :
𝜋
𝑥 = 12
et
2𝑥 =
et
𝑥=
5𝜋
6
5𝜋
12
Par contre, la valeur de 𝑏 dans l’équation a changé la période, dans ce cas,
doublant le nombre de solutions possibles.
Pour déterminer les autres solutions dans l’intervalle, on additionne la période à
chaque solution trouvée jusqu’à ce la prochaine solution ne soit pas dans
l’intervalle :
La période de cette fonction est 𝜋.
𝜋
13𝜋
13𝜋
25𝜋
+ 𝜋 = 12
+ 𝜋 = 12 cette solution n’est pas dans l’intervalle
12
12
5𝜋
12
+𝜋 =
17𝜋
17𝜋
12
12
+𝜋 =
29𝜋
12
cette solution n’est pas dans l’intervalle
105
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
𝜋
5𝜋 13𝜋 17𝜋
Les solutions sont donc : , ,
,
12 12 12 12
Exemple
Combien y a-t-il de solutions dans l’intervalle 0 ≤ 𝑥 < 2𝜋 pour l’équation
𝜋
3 sin(4 (𝑥 − 4 ) =
√3
?
2
Comment déterminons-nous le nombre de solutions dans l’intervalle?
Exemple
𝜋
Résous cos(𝑥 + 4 ) = −
106
√3
2
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
2. En factorisant un terme commun
Exemple
sin 𝑥 cos 𝑥 = sin 𝑥
Le premier instinct de plusieurs serait de diviser chaque côté par sinus pour
donner :
cos 𝑥 = 1
Il ne faut absolument pas faire ceci puisque le terme sinus n’est plus dans
l’équation, nous venons d’éliminer toutes les solutions pour ce terme.
Il faut plutôt factoriser. Commençons par faire l’équation égale à zéro :
sin 𝑥 cos 𝑥 − sin 𝑥 = 0
sin 𝑥 (cos 𝑥 − 1) = 0
Puisque deux facteurs se multipliant égal à zéro :
Soit
Soit
sin 𝑥 = 0
cos 𝑥 − 1 = 0
𝑥=0
cos 𝑥 = 1
𝑥=0
Puisqu’il n’y a pas d’intervalle, nous donnons la solution sous forme générale :
𝑥 = 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖ℤ
Exemple
sec 𝑥 cos 𝑥 = −2 cos 𝑥
Y a-t-il des valeurs non-permises?
Exemple
cos 𝑥 tan 𝑥 − cos 𝑥 − tan 𝑥 = −1
107
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
3. Les fonctions trigonométriques quadratiques
a. prendre la racine carrée
Lorsque nous avons une équation quadratique simple (sans terme du premier
degré), il est suggéré de prendre la racine carrée des deux côtés de l’équation.
Exemple
Résous cos 2 𝑥 = 1
Prenons la racine carrée :
cos 𝑥 = ±1
Rappel : si nous prenons la racine carrée, deux solutions sont possibles. Par
exemple, si 𝑥 2 = 4, la valeur de 𝑥 peut être 2 ou −2.
Pour cos 𝑥 = 1 :
𝑥=0
Sous forme générale :
𝑥 = 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖ℤ et 𝑥 = 𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛 𝜖ℤ
Dans ce cas, on peut même simplifier à :
𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛𝜖ℤ
Exemple
Résous 4 sin2 𝑥 = 1
108
Pour cos 𝑥 = −1 :
𝑥=𝜋
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
b. factoriser un trinôme quadratique
Exemple
Résous cos 2 𝜃 − 2 cos 𝜃 = −1 dans l’intervalle 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋
Dans ce cas, nous pouvons faire en sorte que l’équation soit égale à zéro.
cos2 𝜃 − 2 cos 𝜃 + 1 = 0
Cette équation ressemble à :
𝑥 2 − 2𝑥 + 1 = 0
Que nous pouvons factoriser à :
(𝑥 − 1)(𝑥 − 1) = 0
Supposons que 𝑥 = cos 𝜃, alors nous pouvons substituer cette valeur pour
factoriser notre équation :
(cos 𝜃 − 1)(cos 𝜃 − 1) = 0
Il y a donc un seul terme qui nous aidera à déterminer la solution :
cos 𝜃 − 1 = 0
cos 𝜃 = 1
𝜃=0
𝜃 = 2𝜋
Exemple
Résous
2 sin2 𝑥 = sin 𝑥 + 1
109
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Pratique : la résolution d’équations trigonométriques
1. Détermine le nombre de solutions de chaque équation dans l’intervalle donné.
a. sin 𝜃 =
√3
2
où 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋
c. tan 𝜃 = −1 où −360° ≤ 𝜃 ≤ 180°
b. cos 𝜃 =
d. sec 𝜃 =
1
où −2𝜋 ≤ 𝜃 < 2𝜋
√2
2√3
3
où −180° ≤ 𝜃 < 180°
1
2.
Quelles sont les solutions générales de l’équation cos 𝜃 = 2 ?
3.
Détermine les valeurs exactes de 𝜃 dans chaque équation trigonométrique ou énoncé.
a. 2 cos 𝜃 − √3 = 0 où 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋
b. csc 𝜃 est non définie, où 0° ≤ 𝜃 < 360°
c. 5 − tan2 𝜃 = 4 où −180° ≤ 𝜃 ≤ 360°
3𝜋
d. sec 𝜃 + √2 = 0 où −𝜋 ≤ 𝜃 ≤ 2
4.
Résous chaque équation pour 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋. Arrondis au centième de radian près.
a. tan 𝜃 = 4,36
b. cos 𝜃 = −0,19
c. sin 𝜃 = 0,91
d. cot 𝜃 = 12,3
e. sec 𝜃 = 2,77
e. csc 𝜃 = −1,57
5.
Résous chaque équation dans l’intervalle indiqué.
a. 3 cos 𝜃 − 1 = 4 cos 𝜃 où 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋
b. √3 tan 𝜃 + 1 = 0 où −𝜋 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋
c. √2 sin 𝑥 − 1 = 0 où −360° < 𝑥 ≤ 360°
d. 3 sin 𝑥 − 5 = 5 sin 𝑥 − 4 où −360° ≤ 𝑥 < 180°
e. 3 cot 𝑥 + 1 = 2 + 4 cot 𝑥 où −180° < 𝑥 < 360°
f. √3 sec 𝜃 + 2 = 0 où −𝜋 ≤ 𝜃 ≤ 3𝜋
6.
Détermine les valeurs de 𝜃 dans l’intervalle indiqué. Lorsque c’est possible, donne la
valeur exacte. Sinon, arrondis au millième près.
a. 2 cos2 𝜃 − 3 cos 𝜃 + 1 = 0 où 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋
b. tan2 𝜃 − tan 𝜃 − 2 = 0 où 0° ≤ 𝜃 < 360°
c. sin2 𝜃 − sin 𝜃 = 0 où 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋
d. sec 2 𝜃 − 2 sec 𝜃 − 3 = 0 où −180° ≤ 𝜃 < 180°
7.
Que sont les solutions de 5 cos2 𝜃 = −4 cos 𝜃 ?
8.
Voici le travail d’un élève voulant trouver la solution 2 sin2 𝜃 = sin 𝜃à où
0 < 𝜃 ≤ 𝜋. Trouve l’erreur commise et la façon appropriée de déterminer la
solution.
2 sin2 𝜃 = sin 𝜃
2 sin2 𝜃 sin 𝜃
=
sin 𝜃
sin 𝜃
2 sin 𝜃 = 1
1
𝜋 5𝜋
sin 𝜃 = 2
𝜃 = 6, 6
110
Roger Durand
9.
Mathématiques Pré-calcul 40S
Résous chaque équation dans l’intervalle 0 ≤ 𝑥 < 2𝜋.
a. sin 3𝑥 =
√3
2
b. cos 2 𝑥 = 1
1
c. sin 2𝑥 = 0
d. sin 4𝑥 = − 2
f. 4 sin2 𝑥 − 1 = 0
e. tan 2𝑥 = √3
1
g. tan 𝑥 + √3 = 0
h. sin (2 𝑥) = −
1
i. sin 𝑥 − 2 = 0
k. 4 sin 𝑥 + 3 = 3 sin 𝑥 + 2
m. 3 tan 𝑥 = 3
o. sin 𝑥 cos 𝑥 tan 𝑥 + sin 𝑥 cos 𝑥 = 0
q. (sec 𝑥 + 1)(sin 𝑥 − 1)(cot 𝑥 − 1) = 0
s. tan 𝑥 cos 𝑥 + cos 𝑥 = 0
u. sec 𝑥 cos 𝑥 + sec 𝑥 = 0
w.
tan 𝑥
2
−
tan 𝑥
3
3
y. cos2 𝑥 = 4
1
= −6
10. Continue le beau travail.
1
a. sin2 𝑥 − 4 = 0
c. 3 tan2 𝑥 = 3
e. 4 sin2 𝑥 − 3 = 0
g. 2 sin2 𝑥 − sin 𝑥 − 1 = 0
i. 2 sin2 𝑥 = 1 − sin 𝑥
√3
2
j. 2 cos 𝑥 − √3 = 0
l. 2 sin 𝑥 cos 𝑥 = cos 𝑥
n. 2 cos 𝑥 + 1 = 2
1
p. 2 cos 𝑥 (cos 𝑥 + 2) = 0
r. csc 𝑥 cot 𝑥 + cot 𝑥 = 0
t. (cos 𝑥 − 1)(tan 𝑥 − 1) = 0
sin 𝑥
sin 𝑥
v. 2 = 3
x.
csc 𝑥
5
+
csc 𝑥
3
16
= 15
z. 6 cos2 𝑥 − 3 cos 𝑥 − 3 = 0
b. 2 sin2 𝑥 − 3 sin 𝑥 + 1 = 0
d. 4 cos2 𝑥 + 2 cos 𝑥 − 2 = 0
f. 2 cos3 𝑥 + cos2 𝑥 − cos 𝑥 = 0
h. tan4 𝑥 − tan2 𝑥 = 0
j. cos 8 𝑥 − cos 4 𝑥 = 0
𝜋
11. a. 4 cos (2 (𝑥 − 3 )) + 6 = 3 dans l’intervalle 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋
𝜋
b. −2,8 sin ( 6 (𝑥 − 12)) + 16 = 16 dans l’intervalle 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋
c. 12 cos(2(𝑥 − 45°)) + 8 = 10 dans l’intervalle 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°
d. 7 cos(3𝑥 − 18) = 4 dans l’intervalle 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋
e. 6,2 sin(4(𝑥 + 8°)) − 1 = 4 dans l’intervalle 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°
𝜋
1
f. sin (4 (𝑥 − 6)) = 2 dans l’intervalle 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋
g. 4 cos(𝑥 − 45°) + 7 = 10 dans l’intervalle 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°
h. 8 cos(2𝑥 − 5) = 3 en radians
i. 5,2 sin(45(𝑥 + 8°)) − 1 = −3 en degrés
111
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
12. Que représentent le domaine et l’image des situations suivantes?
a. La population d’une ville au bord d’un lac, qui reçoit des résidants saisonniers,
est modélisée par la fonction 𝑃(𝑡) = 6000 sin(𝑡 − 8) + 8000.
b. La hauteur de la marée un jour donné peut être modélisée par la fonction
ℎ(𝑡) = 6 sin(𝑡 − 5) + 7.
c. La hauteur au-dessus du sol d’un passager dans une grande roue peut être
modélisée par la fonction ℎ(𝑡) = 6 sin(𝑡 − 30) + 12.
d. La température quotidienne moyenne peut être modélisée par la fonction
2𝜋
ℎ(𝑡) = 9 cos (365 (𝑡 − 200)) + 14.
13. La tension électrique normale, V, en volts (V), fournie par une prise électrique à
Cuba a un comportement sinusoïdal. Elle oscille entre −155𝑉 et 155𝑉 et effectue 60
cycles par seconde. Détermine une équation de la tension électrique en fonction du
temps, 𝑡.
14. Le renard arctique est un animal répandu dans la toundra arctique. Suppose que la
population de renards, 𝑅, dans le nord du Manitoba peut être modélisée par la
𝜋
fonction 𝑅(𝑡) = 500 sin (12 𝑡) + 1000, où t est le temps en mois. Combien de
temps prendra la population à se rendre à 650 individus?
15. La Lune prend 28 jours à traverser toutes ses phases, de la nouvelle Lune à la pleine
Lune et de retour à la nouvelle Lune. Écris une équation du pourcentage de la Lune
étant visible en fonction du temps. Détermine à quel(s) moment(s) 60% de la Lune
sera visible.
Nouvelle
Lune
112
Premier
quart
Pleine
Lune
Deuxième Nouvelle
quart
Lune
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Résumé : la résolution d’équations trigonométriques
Comment feriez-vous pour résoudre les équations des différents types d’équations?
sin 𝜃 = 𝑎 (la fonction peut aussi être cos 𝜃 ou tan 𝜃)
sec 𝜃 = 𝑎 (la fonction peut aussi être csc 𝜃 ou cot 𝜃)
acos 𝜃 + 𝑏 = 𝑐 (ou sin 𝜃 , tan 𝜃)
tan(𝑎𝜃) = 𝑏
sin2 𝜃 = 𝑎
acos 2 𝜃 + 𝑏 cos 𝜃 + 𝑐 = 0
sin 𝜃 cos 𝜃 + sin 𝜃 = 0
(ou n’importe quelle équation possédant des termes en commun)
𝑎 tan(𝑏(𝑥 − ℎ)) + 𝑘 = 𝑐
Étant donné une fonction trigonométrique 𝑎 sin(𝑏(𝑥 − ℎ)) + 𝑘 = 𝑐, laquelle des
transformations affecte le nombre de solutions possibles dans un intervalle donné?
Comment trouvons-nous le nombre de solutions? Comment trouvons-nous toutes les
solutions possibles?
113
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
IV. Les identités trigonométriques
A. L’identité de Pythagore
Une identité est une équation qui est vraie peu importe la valeur de x qu’on y insère.
Par exemple :
𝑥 + 3 = 7 ne comporte qu’une seule solution; celle de 𝑥 = 4
|𝑥| = 5 comporte deux solutions; 𝑥 = 5 et 𝑥 = −5
Une identité aura un nombre infini de solution puisque n’importe quelle valeur de x
(ou de la variable recherchée) fonctionne dans l’équation.
Prenons le cercle unitaire et le théorème de Pythagore.
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
Puisque le rayon est 1 :
𝑥2 + 𝑦2 = 1
Nous savons aussi que cos   x et que sin   y , donc par substitution :
cos 2 𝜃 + sin2 𝜃 = 1
Exemple
2
Quelle est la valeur de tan 𝜃 si cos 𝜃 = 5 si 𝜃 est retrouvé dans le quadrant IV?
Nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore ou l’identité dont nous venons de
découvrir.
sin 𝜃
Nous savons que tan 𝜃 = cos 𝜃, et puisque nous avons déjà la valeur de cos 𝜃 nous
n’avons qu’a déterminer la valeur de sin 𝜃.
cos 2 𝜃 + sin2 𝜃 = 1
2 2
(5) + sin2 𝜃 = 1
4
25
+ sin2 𝜃 = 1
21
sin2 𝜃 = 25
√21
5
sin 𝜃 = ±
mais puisque la solution est dans le quadrant IV sin 𝜃 = −
sin 𝜃
tan 𝜃 = cos 𝜃
tan 𝜃 =
−√21/5
2/5
21
tan 𝜃 = −
114
2
√21
5
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
B. Les identités dérivées de 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 + 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜽 = 𝟏
D’autres identités peuvent être dérivées de l’identité de Pythagore, cos2 𝜃 + sin2 𝜃 = 1
La première est dérivée en divisant chaque côté de l’équation par sin2 𝜃.
cos2 𝜃 + sin2 𝜃 = 1
cos2 𝜃
sin2 𝜃
sin2 𝜃
1
+ sin2 𝜃 = sin2 𝜃
cot 2 𝜃 + 1 = csc 2 𝜃
La deuxième est dérivée en divisant chaque côté de l’équation par cos2 𝜃.
cos2 𝜃 + sin2 𝜃 = 1
cos2 𝜃
cos2 𝜃
sin2 𝜃
1
+ cos2 𝜃 = cos2 𝜃
1 + tan2 𝜃 = sec 2 𝜃
C. Les preuves d’identités
Pour démontrer qu’une preuve est vraie, il faut montrer, en manipulant l’équation,
que le côté droit est égal au côté gauche. Nous ne changeons pas les termes d’un côté
à l’autre de l’équation comme dans une résolution d’équation lorsque nous faisons
une preuve.
Une substitution est le plus souvent utilisé pour changer un côté de l’équation. Ces
identités sont les plus communes :
sin 𝜃
tan 𝜃 = cos 𝜃
cot 𝜃 =
cos 𝜃
sin 𝜃
1
sec 𝜃 = cos 𝜃
1
csc 𝜃 = sin 𝜃
cos 2 𝜃 + sin2 𝜃 = 1
cot 2 𝜃 + 1 = csc 2 𝜃
1 + tan2 𝜃 = sec 2 𝜃
Il faut se rappeler que pour les trois derniers, ces équations peuvent être manipulées
afin de faire la substitution.
Donc, lorsque nous avons le terme tan2 𝜃, nous pouvons le substituer par sec 2 𝜃 − 1
en manipulant 1 + tan2 𝜃 = sec 2 𝜃.
115
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Pour transformer un côté, nous avons quelques méthodes :
1. Substituer un terme par un autre utilisant les identités connues (regardez quels
termes vous voulez éliminer et faites la substitution appropriée)
Exemple
Démontre que 2 sin2 𝑥 − 1 = 1 − 2 cos 2 𝑥.
En observant le côté gauche, on voit qu’il n’y a que le sinus qu’on veut
transformer en cosinus (côté droit).
On peut utiliser l’identité de Pythagore cos 2 𝜃 + sin2 𝜃 = 1 et la changer à
sin2 𝑥 = 1 − cos 2 𝑥 afin de faire la substitution du côté gauche.
Côté gauche
2 sin2 𝑥 − 1
Côté droit
1 − 2 cos2 𝑥
2(1 − cos 2 𝑥) − 1
On substitue sin2 𝑥 = 1 − cos 2 𝑥
On multiplie
2
2 − 2 cos 𝑥 − 1
2
1 − 2 cos 𝑥
On simplifie
2
1 − 2 cos 𝑥
Puisque le côté gauche est égal au côté droit, l’identité est prouvée.
Exemple
Prouve l’identité cot 𝑥 sin 𝑥 sec 𝑥 = 1
Côté gauche
116
Côté droit
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
2. Mettre sur un dénominateur commun
Exemple
1−cos 𝑥
sin2 𝑥
Faites la preuve 1+cos 𝑥 = (1+cos 𝑥)2
Côté gauche
1 − cos 𝑥
1 + cos 𝑥
1 − cos 𝑥 1 + cos 𝑥
(
)(
)
1 + cos 𝑥 1 + cos 𝑥
Côté droit
sin2 𝑥
(1 + cos 𝑥)2
On met le côté gauche sur le même
dénominateur que le côté droit
1 − cos 2 𝑥
(1 + cos 𝑥)2
2
sin 𝑥
(1 + cos 𝑥)2
On multiplie
2
On substitue 1 − cos2 𝑥 par sin2 𝑥
sin 𝑥
(1 + cos 𝑥)2
Exemple
sec 𝑥
sin 𝑥
Faites la preuve de l’identité suivante sin 𝑥 − cos 𝑥 = cot 𝑥
Côté gauche
Côté droit
117
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
3. Substituer le chiffre 1 par une identité
Exemple
Faites la preuve de l’identité
Côté gauche
Côté droit
1
1
1
+
sec 2 𝑥 csc 2 𝑥
2
2
cos 𝑥 + sin 𝑥
1
1
+
sec 2 𝑥 csc 2 𝑥
4. Factoriser
Exemple
Faites la preuve de l’identité
Côté gauche
1 − cos 2 𝑥
1 + cos 𝑥
1
1
+
sec 2 𝑥 csc 2 𝑥
1−cos2 𝑥
1+cos 𝑥
Le côté droit peut être substitué
On substitue sin 𝑥 et cos 𝑥
= 1 − cos 𝑥
Côté droit
1 − cos 𝑥
On factorise le numérateur
(1 − cos 𝑥)(1 + cos 𝑥)
1 + cos 𝑥
On simplifie
1 − cos 𝑥
1 − cos 𝑥
5. Multiplier des expressions rationnelles afin de changer leur forme
Exemple
sec 𝑥+1
sec 𝑥−cos 𝑥
Faites la preuve de l’identité 1+cos 𝑥 = sin2 𝑥
Côté gauche
sec 𝑥 + 1
1 + cos 𝑥
Côté droit
sec 𝑥 − cos 𝑥
sin2 𝑥
On multiplie le dénominateur (et le
numérateur) par son conjugué
sec 𝑥 + 1 1 − cos 𝑥
(
)(
)
1 + cos 𝑥 1 − cos 𝑥
On simplifie
sec 𝑥 − 1 + 1 − cos 𝑥
1 − cos 2 𝑥
sec 𝑥 − cos 𝑥
sin2 𝑥
118
sec 𝑥 − cos 𝑥
sin2 𝑥
On substitue 1 − cos2 𝑥 par sin2 𝑥
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
D. Résolution d’équation utilisant les identités
Si une équation comporte deux rapports trigonométriques mais qu’il n’est pas
possible de factoriser, il est parfois mieux de faire une substitution utilisant une
identité.
Exemple
2 sin 𝑥 = 7 − 3 csc 𝑥
1
On commence par substituer csc 𝑥 par sin 𝑥.
3
2 sin 𝑥 = 7 − sin 𝑥
2 sin2 𝑥 = 7 sin 𝑥 − 3
On remarque qu’il y des valeurs non permises pour 𝑥.
(sin 𝑥 ≠ 0 donc 𝑥 ≠ 0, 𝜋)
On multiplie chaque côté par sin 𝑥
2 sin2 𝑥 − 7 sin 𝑥 − 3 = 0
(2 sin 𝑥 − 1)(sin 𝑥 − 3) = 0
2 sin 𝑥 − 1 = 0
1
sin 𝑥 = 2
𝜋
𝑥 = 6 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖ℤ
𝑥=
5𝜋
6
On factorise
sin 𝑥 − 3 = 0
sin 𝑥 = 3
𝑥 ne comporte aucune solution pour sin 𝑥 = 3
+ 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖ℤ
Puisque la valeur non permise, sin 𝑥 ≠ 0, ne se retrouve pas dans les solutions, nous
n’avons pas besoin de rejeter de solutions.
Exemple
Résous 3 cos 𝑥 + 2 = 5 sec 𝑥
119
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
E. Les identités de la somme, de la différence et de l’angle double
Il existe d’autres identités que nous pouvons utiliser afin de trouver la valeur exacte
d’un rapport trigonométrique, résoudre une équation ou prouver une identité.
Les identités de la somme
cos(   )  cos  cos   sin  sin 
sin(   )  sin  cos   cos  sin 
tan(   ) 
tan   tan 
1  tan  tan 
Les identités de la différence
cos(   )  cos  cos   sin  sin 
sin(   )  sin  cos   cos  sin 
tan(   ) 
tan   tan 
1  tan  tan 
Les identités de l’angle double
sin 2a  2 sin a cos a
cos 2 a  sin 2 a

cos 2a  2 cos 2 a  1
1  2 sin 2 a

tan 2a 
2 tan a
1  tan 2 a
1. Trouver la valeur exacte d’un rapport trigonométrique
Exemple
7𝜋
Quelle est la valeur de sin ( 12 )?
4𝜋
3𝜋
Indice : sin ( 12 + 12 )
120
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
2. Résoudre une équation
Exemple
sin 2𝑥 = √2 cos 𝑥
En utilisant l’identité de l’angle double, on peut substituer sin 2𝑥 afin de
simplifier l’équation.
2 sin 𝑥 cos 𝑥 = √2 cos 𝑥
On isole tous les termes
2 sin 𝑥 cos 𝑥 − √2 cos 𝑥 = 0
On factorise
cos 𝑥 (2 sin 𝑥 − √2) = 0
cos 𝑥 = 0
𝑥 = 2 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖ℤ
2 sin 𝑥 − √2 = 0
√2
sin 𝑥 =
2
𝜋
𝑥 = 4 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖ℤ
𝑥=
𝑥=
𝜋
3𝜋
2
+ 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖ℤ
3𝜋
4
+ 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖ℤ
Exemple
Résous cos 2𝑥 = tan 𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥
121
Roger Durand
3.
Mathématiques Pré-calcul 40S
Prouver une identité
1−cos 2𝑥
Faites la preuve de l’identité suivante sin 2𝑥 = tan 𝑥
Côté gauche
122
Côté droit
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Pratique : les identités trigonométriques
1. Simplifie chaque expression autant que possible. Indique s’il y a des valeurs nonpermises à cette expression.
a. sec 𝑥 sin 𝑥
b. sec 𝑥 cot 𝑥 sin2 𝑥
cos 𝑥
cos 𝑥 tan 𝑥
c. cot 𝑥
d. tan 𝑥 sin 𝑥
e. csc 𝑥 cot 𝑥 sec 𝑥 sin 𝑥
g.
i.
sin 𝑥−sin 𝑥 cos2 𝑥
cos 𝑥
f. 1−sin2 𝑥
h.
sin2 𝑥
sin 𝑥 cos 𝑥−sin 𝑥
j.
cos2 𝑥−1
sin 𝑥
cos2 𝑥−cos 𝑥−2
6 cos 𝑥−12
tan2 𝑥−3 tan 𝑥−4
sin 𝑥 tan 𝑥+sin 𝑥
1
1
k. cos 𝑥 + sec 𝑥
l. sin 𝑥−1 + sin 𝑥+1
m. 1+cos 𝑥 + sin 𝑥
n. sec 𝑥−1 + sec 𝑥+1
o. 2 cos 𝑥
p. cos 2𝑥 cos 𝑥 + sin 2𝑥 sin 𝑥
q.
r. cos 2𝑥+sin2 𝑥
sin 𝑥
cos 𝑥
cos 𝑥
sin 2𝑥
cos 𝑥
cos3 𝑥
cos 2𝑥+1
2 cos 𝑥
2. Simplifie chaque expression et donne sa valeur exacte lorsque possible.
a. cos 40° cos 20° − sin 40° sin 20°
b. sin 20° cos 25° + cos 20° sin 25°
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
c. cos 2 ( 6 ) − sin2 (6 )
d. cos ( 2 ) cos ( 3 ) − sin ( 2 ) sin (3 )
𝜋
𝜋
e. 2 sin ( 4 ) cos (4 )
f. (6 cos 2 24° − 6 sin2 24°) tan 48°
g. 1−tan2 76°
h. 2 cos 2 6 − 1
2 tan 76°
𝜋
𝜋
i. 1 − 2 cos2 12
3. Détermine la valeur exacte de chaque expression.
a. cos 75°
b. tan 165°
7𝜋
c. sin 12
d. cos 195°
𝜋
𝜋
e. csc 12
f. sin (− 12)
4. Démontre les identités suivantes. Nomme les valeurs non-permises pour que l’identité
soit vraie.
a. cos 𝑥 + cos 𝑥 tan2 𝑥 = sec 𝑥
c.
e.
g.
sin 𝑥 cos 𝑥−sin 𝑥
cos2 𝑥−1
csc 𝑥
=
1−cos 𝑥
sin 𝑥
= csc 2𝑥
2 cos 𝑥
sin 𝑥+tan 𝑥
1+cos 𝑥
2
sin 2𝑥
= 2 cos2 𝑥
i. csc 𝑥 + sec 2 𝑥 = csc 2 𝑥 sec 2 𝑥
1+tan 𝑥
b.
sin2 𝑥−cos2 𝑥
= sin 𝑥 − cos 𝑥
sin 𝑥+cos 𝑥
1−sin2 𝑥
1+sin 𝑥
d. 1+2 sin 𝑥−3 sin2 𝑥 = 1+3 sin 𝑥
f.
h.
sin 𝑥 cos 𝑥
=
1−cos 𝑥
1+cos 𝑥
tan 𝑥
sin 2𝑥
cos 2𝑥
+
cos 𝑥
cot 𝑥−1
sin 𝑥
csc 𝑥
= csc 𝑥
j. 1−tan 𝑥 = sec 𝑥
sin 𝑥
cos 𝑥
k. 1+cot 𝑥 = tan 𝑥
l. cos 𝑥 + 1+sin 𝑥 = sec 𝑥
m. 1+cot2 𝑥 = tan2 𝑥
n. 1+sin 𝑥 + 1−sin 𝑥 = 2 sec 𝑥
1+tan2 𝑥
4 cot 𝑥
o. − 1−csc2 𝑥 = 4 tan 𝑥
cos 𝑥
cos 𝑥
p. sin4 𝑥 − cos 4 𝑥 = 2 sin2 𝑥 − 1
123
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
q. cot 2 𝑥 − csc 2 𝑥 = −1
1
s. csc 𝑥 sin 𝑥 tan 𝑥 = cot 𝑥
r. csc 𝑥 − sin 𝑥 = cos 𝑥 cot 𝑥
1−2 sin 𝑥 cos 𝑥
t. (tan 𝑥 − 1)2 =
cos2 𝑥
u. cos 𝑥−sin 𝑥 = 1−tan 𝑥
v. 1+cos 𝑥 = (csc 𝑥 + cot 𝑥)2
cos 𝑥+sin 𝑥
w.
tan3 𝑥−1
tan 𝑥−1
1+tan 𝑥
1−cos 𝑥
= sec 2 𝑥 + tan 𝑥
sec 𝑥
sin 𝑥
x. sin 𝑥 − cos 𝑥 = cot 𝑥
5. Résous les équations trigonométriques suivantes dans l’intervalle 0 ≤ 𝑥 < 2𝜋.
a. sin 2𝑥 − sin 𝑥 = 0
b. cos 2𝑥 = sin 𝑥
c. cos 𝑥 − cos 2𝑥 = 0
d. tan 𝑥 cos 𝑥 sin 𝑥 − 1 = 0
2
e. 2 sin 𝑥 − cos 𝑥 − 1 = 0
f. sin 𝑥 = sec 𝑥 cot 𝑥
g. 2 tan2 𝑥 = −3 sec 𝑥
h. cos 2 𝑥 = sin2 𝑥
i. 3 − 3 csc 𝑥 + cot 2 𝑥 = 0
j. 3 sin2 𝑥 + 3 cos 𝑥 − 4 = sin2 𝑥 − 2 cos 𝑥
3
k. sin 𝑥 = sin 𝑥
l. 2 sin3 𝑥 − 2 cos 2 𝑥 − sin 𝑥 + 1 = 0
m. 2 sec 2 𝑥 − tan4 𝑥 = −1
n. tan2 𝑥 + 2 sec 2 𝑥 = 3
6.
124
5
2
Étant donné que sin 𝛼 = 13, où 𝛼 se trouve dans le quadrant II, et que cos 𝛽 = 5, où
𝛽 se trouve dans le quadrant IV, trouve la valeur exacte de :
a. cos(𝛼 + 𝛽)
b. sin(2𝛼)
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Résumé : les identités trigonométriques
Quelle est la différence entre une équation et une identité?
Qu’est-ce qu’il faut faire pour démontrer qu’une identité est vraie?
Quelles sont des méthodes qu’on puisse utiliser pour démontrer une identité?
Comment utilisons-nous une identité afin de trouver la valeur exacte d’un rapport
trigonométrique?
En quelle circonstance devons-nous utiliser les identités pour résoudre une équation?
Qu’essayons-nous de faire en utilisant l’identité pour résoudre l’équation?
125
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
V. Les fonctions exponentielles et logarithmiques
A. Les lois des exposants
a a a
m
n
m n
m
am
a
   m
b
b
am
 a mn
n
a
(a m ) n  a mn
(ab) m  a m b m
a m 
a0  1
1
am
B. La fonction exponentielle
a.
f ( x)  b x
Dessinez le graphique de la fonction 𝑓(𝑥) = 2𝑥 .
Quelles sont trois coordonnées importantes pour cette fonction?
Comment est-ce que changer la base à une valeur 𝑏 > 2 change le graphique?
Comment est-ce que changer la base à une valeur 0 < 𝑏 < 1 change le graphique?
Comment est-ce que changer la base à une valeur 𝑏 < 0 change le graphique?
126
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Exemple
Dessinez le graphique des fonctions suivantes :
𝑓(𝑥) = 4−𝑥
1 𝑥
𝑓(𝑥) = (4)
1
𝑓(𝑥) = 4𝑥
Quel est le lien entre l’inverse d’une fonction exponentielle et la base?
Quel est le lien entre un exposant négatif et la base?
127
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Exemple
Dessinez le graphique des fonctions suivantes :
𝑓(𝑥) = 4𝑥+1 − 3
𝑔(𝑥) = −3𝑥 + 2
1 𝑥−2
ℎ(𝑥) = ( )
+1
2
Quelles sont les propriétés des fonctions suivantes?
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
Domaine :
ℎ(𝑥)
Image :
Asymptote :
Généralise les propriétés pour toutes les fonctions du type 𝑓(𝑥) = 𝑎 ⋅ 𝑏 𝑥−ℎ + 𝑘
Image :
Domaine :
Asymptote :
128
Roger Durand
b.
Mathématiques Pré-calcul 40S
f ( x)  e x
Une base que nous utiliserons parfois est 𝑒, le nombre d’Euler. Quelle est cette
valeur?
Prenons la formule de l’intérêt composé pour dériver la valeur de 𝑒.
𝑖 𝑛𝑡
𝑉𝑓 = 𝑉𝑖 (1 + 𝑛)
où
𝑉𝑓 = valeur finale de l’investissement
𝑉𝑖 = valeur initiale de l’investissement
𝑖 = taux d’intérêt annuel
𝑡 = durée de l’investissement
𝑛 = nombre de paiements par année
Si on investit 1$ pendant un an quel montant aurons-nous à la fin de l’année si
l’intérêt de 100% est composé annuellement?
𝑖 𝑛𝑡
𝑉𝑓 = 𝑉𝑖 (1 + 𝑛)
1 1⋅1
𝑉𝑓 = 1$ (1 + 1)
𝑉𝑓 = 2$
Complétez le tableau pour déterminer le montant après 1 an selon le montant de
paiements par année. Utilisez la valeur initiale de 1$ à un taux de 100% par an.
Intérêt composé…
Semestriellement
À chaque quart
Mensuellement
De façon hebdomadaire
Quotidiennement
À chaque heure
À chaque minute
À chaque seconde
Valeur de n
Valeur finale
Le nombre d’Euler est utilisé lors de calculs en finances pour calculer l’intérêt
composé continuellement, en biologie pour démontrer la croissance d’une
population et en mathématiques ce nombre apparaît à des places non attendues
comme le calcul d’aires, les séries et les permutations.
Le nombre 𝑒 est aussi connu comme la base naturelle.
Ce nombre est irrationnel et a une valeur (à 10 décimales) de :
129
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Pratique : les fonctions exponentielles
1. Indique si les fonctions suivantes sont exponentielles. Comment le sais-tu?
a. 𝑦 = 𝑥 3
2.
b. 𝑦 = 6𝑥
1
d. 𝑦 = 0,75𝑥
c. 𝑦 = 𝑥 2
Soit les fonctions exponentielles suivantes :
1 𝑥
𝑓(𝑥) = 4𝑥
𝑔(𝑥) = (4)
ℎ(𝑥) = 2𝑥
a. Laquelle a la plus grande valeur lorsque 𝑥 = 5?
b. Laquelle a la plus grande valeur lorsque 𝑥 = −5?
c. Pour quelle valeur de 𝑥 les trois ont-ils la même valeur? Quelle est cette valeur?
3.
Associe chaque fonction exponentielle à son graphique.
a. 𝑦 = 5𝑥
1 𝑥
b. 𝑦 = ( )
4
2 𝑥
c. 𝑦 = ( )
3
4.
Écris l’équation de chaque fonction exponentielle représentée.
5.
Trace le graphique de chaque fonction exponentielle. Détermine le domaine, l’image,
l’ordonnée à l’origine et l’asymptote.
a. 𝑓(𝑥) = 6𝑥
6.
130
b. 𝑓(𝑥) = 3,2𝑥
1
c. 𝑓(𝑥) = (10)
𝑥
3 𝑥
d. 𝑓(𝑥) = (4)
Détermine la fonction décrivant chaque situation suivante.
a. Le nombre de bactéries double à chaque heure.
b. La demi-vie de l’isotope radioactif actinium-225 est de 10 jours
c. Lorsque la lumière pénètre l’eau d’un étang, la quantité de lumière visible diminue
de 20% à chaque mètre de profondeur.
d. La population de poissons a un taux de croissance de 10% par année.
Roger Durand
7.
Mathématiques Pré-calcul 40S
Esquisse le graphique des fonctions exponentielles suivantes. Détermine les
propriétés de ces fonctions.
a. 𝑓(𝑥) = 2(3𝑥 ) − 4
b. 𝑓(𝑥) = 6𝑥−2 + 3
1 3(𝑥−1)
c. 𝑦 = −4(3)𝑥+5
d. 𝑦 = (2)
1
e. 𝑓(𝑥) = − 2 (52(𝑥−4) ) + 3
g. 𝑓(𝑥) = 1,5(0,75)
8.
𝑥−4
2
5
2 2𝑥−2
f. 𝑦 = − (3)
−2
Associe chaque graphique à la fonction correspondante.
A 𝑦 = 32(𝑥−1) − 2
B 𝑦 = 2𝑥−2 + 1
1
C 𝑦=
1 2𝑥
− (2)
+2
1
1
D 𝑦 = − 2 (4)2
(𝑥+1)
+2
131
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Résumé : les fonctions exponentielles
Comment ont l’air les graphiques exponentiels 𝑓(𝑥) = 𝑎 ⋅ 𝑏 𝑥−ℎ + 𝑘 où :
𝑏>1
0<𝑏<1
𝑏<0
Comment les valeurs de 𝑎, ℎ et 𝑘 affectent-elles le graphique?
Le graphique d’une fonction exponentielle ayant un exposant négatif est équivalent à :
Le graphique inverse d’une fonction exponentielle est équivalent à :
Les propriétés de la fonction exponentielle 𝑓(𝑥) = 𝑎 ⋅ 𝑏 𝑥−ℎ + 𝑘 sont :
132
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
C. Les logarithmes
a. la fonction logarithmique
La fonction logarithmique est la réciproque de la fonction exponentielle.
Étant donné la fonction exponentielle :
𝑦 = 𝑏𝑥
Alors, la fonction logarithmique est :
𝑥 = 𝑏𝑦
Pour isoler la variable 𝑦, on présente une nouvelle fonction : le logarithme. Celuici prend la forme :
log 𝑏 𝑚 = 𝑛
Si 𝑦 = 𝑏 𝑥 , alors log 𝑏 𝑦 = 𝑥
Exemple
Transformez les exponentielles en logarithmes.
43 = 64
𝑖3 = 𝑐
𝑚𝑡 = 𝑘
Exemple
Transformez les logarithmes en exponentielles.
log 4 16 = 2
log 5 ℎ = 3
log 𝑠 𝑛 = 𝑝
Exemple
Évalue les logarithmes suivants.
1
log 3 81
log 6 (216)
log 9 3
Note : au lieu d’écrire le logarithme à base 10, log10 𝑥 on écrit log 𝑥, sans écrire la
base, et à base 𝑒 c’est ln 𝑥, le logarithme naturel.
133
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Il est aussi possible de dessiner le graphique d’une fonction logarithmique.
Puisque cette fonction est la réciproque de la fonction exponentielle, nous n’avons
qu’à échanger les valeurs de 𝑥 et de 𝑦 de cette dernière fonction.
Exemple
Faites l’esquisse de la fonction 𝑓(𝑥) = log 3 𝑥.
Puisque la base du logarithme est 3, nous commençons par choisir les
coordonnées de la fonction réciproque de cette même base, 𝑦 = 3𝑥 .
1
Les coordonnées de 𝑦 = 3𝑥 qu’on utilisera sont : (−1, 3) , (0, 1) et (1, 3).
1
Prenons la réciproque et nous avons les coordonnées : (3 , −1) , (1, 0) et (3, 1).
Comment ce graphique compare-t-il au graphique de 𝑦 = 3𝑥 ?
Que sont les propriétés de la fonction logarithmique? Comment celles-ci compare
aux propriétés de la fonction exponentielle?
134
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Exemple
Dessinez le graphique des fonctions suivantes :
𝑦 = log 4 𝑥
𝑓(𝑥) = − log 2 (𝑥 − 2) + 3
Que sont leurs propriétés?
135
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Pratique : les fonctions logarithmiques
1. Pour les fonctions exponentielles représentées, dessine la fonction réciproque, écris
l’équation de la réciproque et détermine le domaine, l’image, l’asymptote et les
coordonnées à l’origine.
2.
Récris chaque énoncé sous forme logarithmique.
a. 122 = 144
3.
4.
1
b. 83 = 2
c. 10−5 = 0,00001
Récris chaque énoncé sous forme exponentielle.
2
a. log 5 25 = 2
b. log 8 4 = 3
c. log 1000000 = 6
d. 72𝑥 = 𝑦 + 3
d. log11 (𝑥 + 3) = 𝑦
Évalue chaque expression à l’aide de la définition d’un logarithme.
3
a. log 5 125
b. log 1
c. log 4 √4
d. log 1 27
3
5.
Détermine deux nombres naturels consécutifs, 𝑎 et 𝑏, tels que 𝑎 < log 2 28 < 𝑏.
6.
Détermine une valeur de 𝑥 pour laquelle log 3 𝑥 est :
a. un nombre entier positif
b. un nombre entier négatif
c. égal à zéro
d. un nombre rationnel
7.
Détermine la valeur de 𝑥.
1
a. log 6 𝑥 = 3
b. log 𝑥 9 = 2
c. log 1 𝑥 = −3
4
8.
Évalue chaque expression.
a. 5𝑚 , où 𝑚 = log 5 7
c. log 2 (log 3 (log 4 64))
9.
Détermine l’abscisse à l’origine du graphique de 𝑦 = log 7 (𝑥 + 2).
1
4
d. log 𝑥 16 = 3
b. 8𝑛 , où 𝑛 = log 8 6
d. log 4 (log 2 (log 1016 ))
10. Le point (8 , −3) appartient au graphique de la fonction logarithmique 𝑓(𝑥) = log 𝑐 𝑥
et le point (4, 𝑘) de sa réciproque, 𝑦 = 𝑓 −1 (𝑥). Détermine la valeur de 𝑘.
136
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
11. Esquisse le graphique de chaque fonction.
a. 𝑦 = log 2 (𝑥 + 4) − 3
b. 𝑦 = − log 3 (𝑥 + 1) + 2
c. 𝑦 = log 4 (−2(𝑥 − 8))
12. Indique les caractéristiques suivantes de chaque fonction :
- l’équation de l’asymptote
- le domaine et l’image
- les coordonnées à l’origine
a. 𝑦 = −5 log 3 (𝑥 + 3)
b. 𝑦 = log 6 (4(𝑥 + 9))
c. 𝑦 = log 5 (𝑥 + 3) − 2
d. 𝑦 = −3 log 2 (𝑥 + 1) − 6
13. Dans chaque cas, le graphique non étiqueté est un étirement de l’autre. Étiquette le
graphique avec l’équation appropriée.
14. Décris, dans l’ordre, les transformations qu’il faut subir aux graphiques de
𝑦 = log 7 𝑥 et 𝑦 = log 3 𝑥 pour obtenir le graphique de chaque fonction.
1
a. 𝑦 = log 7 (4(𝑥 + 5)) + 6
b. 𝑦 = 2 log 7 (− 3 (𝑥 − 1)) − 4
c. 𝑦 = 5 log 3 (−4𝑥 + 12) − 2
d. 𝑦 = − 4 log 3 (6 − 𝑥) + 1
1
137
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Résumé : les fonctions logarithmiques
Quel est le lien entre la fonction exponentielle et la fonction logarithmique?
Comment fait-on pour convertir une expression exponentielle en logarithme? Logarithme
en exponentielle?
Comment a l’air le graphique logarithmique? Comment fait-on pour le dessiner? Quelles
sont ses propriétés?
Pourquoi, dans l’expression log 𝑏 𝑚, est-ce que 𝑚 > 0?
138
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
b. les lois des logarithmes
Prenons deux nombres :
𝐴 = 𝑚 𝑥 et 𝐵 = 𝑚𝑦 ou en forme logarithmique : log 𝑚 𝐴 = 𝑥 et log 𝑚 𝐵 = 𝑦
𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝑚 𝑥 𝑚𝑦
𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝑚 𝑥+𝑦
log 𝑚 (𝐴 ⋅ 𝐵) = 𝑥 + 𝑦
log 𝑚 (𝐴 ⋅ 𝐵) = log 𝑚 𝐴 + log 𝑚 𝐵
Multiplions ces nombres
Appliquons la loi des produits des exposants
Transformons en logarithme
Substituons 𝑥 et 𝑦
Il s’agit de la première loi des logarithmes : log 𝑚 (𝐴 ⋅ 𝐵) = log 𝑚 𝐴 + log 𝑚 𝐵
Essayez de déterminer la loi des quotients des logarithmes utilisant la même
𝐴
méthode. C’est-à-dire, quelle est la loi pour log 𝑚 ( )?
𝐵
Complétez la démonstration de la loi de la puissance des logarithmes.
Prenons un nombre 𝐴 = 𝑚 𝑥 ou sous forme logarithmique log 𝑚 𝐴 = 𝑥
𝐴 = 𝑚𝑥
𝐴𝐵 = 𝑚𝐵𝑥
Élevons à un exposant B
Transformons en logarithme
139
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Nous pouvons utiliser cette dernière loi afin de déterminer une dernière loi, nous
permettant de changer un logarithme de base. Ceci est utile puisque nos
calculatrices ne calculent qu’en base 10 et base 𝑒.
Complétez la démonstration :
log 𝑚 𝐴 = 𝑥
Prenons une expression logarithmique
𝑚𝑥 = 𝐴
En forme exponentielle
Prenons le logarithme de la base voulue de chaque
côté de l’équation
Nous utilisons ces lois afin de simplifier et de développer des expressions ou
résoudre des équations.
Exemple
Simplifie les expressions suivantes :
log 6 8 + log 6 9 − log 6 2
Développe les expressions suivantes :
log 5
140
𝑥𝑦
𝑧
1
2 log 2 12 − log 2 6 − 3 log 2 27
𝑥3
ln 𝑦
√𝑧
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
D. Résolution d’équations
a. exposants à bases semblables
Si, dans une équation contenant des exponentielles, les bases sont égales, il suit
que leurs exposants sont égaux aussi.
Exemple
Résous 2𝑥+3 = 25
Puisque les bases sont égales, alors,
𝑥+3=5
𝑥=2
Exemple
Résous 43𝑥−2 = 42(𝑥+3)
Si une équation contenant des bases différentes mais pouvant être mises sous la
même base, il faut faire ceci avant de résoudre.
Exemple
Résous 3𝑥−1 = 93
Puisque 9 peut être écrit comme base 3, nous le transformons.
3𝑥−1 = (32 )3
3𝑥−1 = 36
𝑥−1=6
𝑥=7
Exemple
1
Résous 22𝑥+1 =
8
141
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
b. logarithmes
Lorsqu’il n’y a qu’un seul logarithme dans une équation, il suffit d’isoler le
logarithme et ensuite transformer celle-ci en exponentielle.
Exemple
Résous 3 log 3 (𝑥 + 3) + 1 = 7
3 log 3 (𝑥 + 3) = 6
log 3 (𝑥 + 3) = 2
32 = 𝑥 + 3
9 =𝑥+3
𝑥=6
Isolons le logarithme
Transformons en forme exponentielle
Isolons 𝑥
Exemple
Résous 8 = 4 log 2 (−2(𝑥 − 3))
Lorsqu’une équation contient plus d’un logarithme à base semblable, il faut soit
utiliser les lois des logarithmes ou faire comme dans les équations exponentielles
à bases semblables pour résoudre.
Exemple
Résous log 5 (2𝑥 + 6) = log 5 8
Dans ce cas, nous pouvons dire que 2𝑥 + 6 = 8 comme dans les équations
exponentielles à bases semblables.
2𝑥 + 6 = 8
2𝑥 = 2
𝑥=1
142
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Exemple
Résous log 3 (2𝑥 + 1) = 1 − log 3 (𝑥 + 1)
log 3 (2𝑥 + 1) + log 3 (𝑥 + 1) = 1
log 3 (2𝑥 + 1)(𝑥 + 1) = 1
log 3 (2𝑥 2 + 3𝑥 + 1) = 1
31 = 2𝑥 2 + 3𝑥 + 1
0 = 2𝑥 2 + 3𝑥 − 2
0 = (2𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
1
𝑥 = −2 et 𝑥 = 2
On isole les logarithmes
On utilise la loi des produits
On développe
On utilise la définition du logarithme
On factorise
On résous
Il faut vérifier nos solutions puisqu’il est possible qu’il y ait des racines étrangères
ou non-permises.
Dans les logarithmes, il n’est pas possible dans log 𝑚 𝑥 que 𝑥 ≤ 0.
Donc, les valeurs non permises pour 𝑥 sont :
2𝑥 + 1 ≤ 0 et 𝑥 + 1 ≤ 0
1
𝑥 ≤ − 2 et 𝑥 ≤ −1
1
Se simplifiant tout simplement à 𝑥 ≤ − 2
1
Puisque la solution de 𝑥 = −2 est < − 2, nous rejetons cette solution.
Exemple
Résous log(8𝑥 + 4) = 1 + log(𝑥 + 1)
143
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
c. exposants à bases différentes
Lorsque nous avons des équations exponentielles avec des bases différentes, il
faut commencer par isoler l’exponentielle et par la suite utiliser les lois des
logarithmes.
Exemple
Résous 8(32𝑥 ) = 568
8(32𝑥 ) = 568
32𝑥 = 71
log 32𝑥 = log 71
2𝑥 log 3 = log 71
log 71
𝑥=
2 log 3
isolons l’exponentielle
prenons le logarithme de chaque côté de l’équation
utilisons la loi de l’exposant pour descendre le 2𝑥
isolons 𝑥
𝑥 = 1,940029217
On vérifie la solution :
8(32⋅1,9400 ) = 568
567,96 ≅ 568
À cause de l’arrondissement de notre solution, nous n’avons pas exactement la
même valeur. Par contre, nous pouvons voir que c’est une solution qui a du sens
puisqu’elle est très près de 568.
Exemple
Résous 42𝑥−1 = 3𝑥+2
144
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
E. Application de fonctions exponentielles
1. l’intérêt composé
𝑖 𝑛𝑡
𝑉𝑓 = 𝐶 (1 + 𝑛)
Exemple
On dépose 3 000$ dans un compte à un taux d’intérêt de 3,5% annuel dont les
paiements se font mensuellement. Combien de temps prendra ce montant à
s’élever à 5 000$?
2. l’intérêt composé continuellement
𝑉𝑓 = 𝐶𝑒 𝑖𝑡
Voici un article (en anglais, malheureusement) qui explique bien ce concept et le
lien avec le logarithme naturel.
3. les suites géométriques
Une suite géométrique est une suite où le prochain terme est déduit en multipliant
le terme précédent par un nombre (nommé la raison). La formule est la suivante :
𝑡𝑛 = 𝑡1 𝑟 𝑛−1 où
𝑡1 = premier terme
𝑟 = la raison (le nombre par lequel on multiplie)
𝑛 = le nombre du terme qu’on cherche
Exemple
9 27 81
Étant donné la suite, {3, 2 , 4 , 6 , … }, la valeur 1970,5 est une approximation de
quel terme?
145
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
4. les demi-vies
La demi-vie d’une substance radioactive ou un médicament est la durée pour qu’il
ne reste que la moitié de la substance. Si la demi-vie de l’aspirine est de 20
minutes. S’il y a 320mg d’aspirine dans notre corps, après 20 minutes il y en
aurait 160mg.
Durée dans le corps Montant d’aspirine
(minutes)
(mg)
20
320
40
160
60
80
La durée de vie d’une substance peut-être représentée par :
𝑁
= 𝑒 −𝜆𝑡 où 𝜆 est une constante dépendant de la substance
𝑁
0
La demi-vie peut-être dérivée de cette dernière formule :
𝑡1 =
2
ln 2
λ
𝑡
ou en fonction du montant 𝐶 =
1 𝑡
(2) 1/2
Exemple
Dérive la formule de la demi-vie selon la formule de durée de vie.
5. l’échelle Richter/décibels/pH
L’échelle Richter, qui mesure la magnitude des tremblements de terre, l’échelle
des décibels, qui mesure l’intensité des sons, et l’échelle de pH, qui mesure
l’acidité de solutions, utilisent tous un échelle logarithmique. Ceci facilite la
comparaison de données très petites à très grandes.
Exemple
On a ressenti un tremblement de terre de magnitude 6,3 sur l’échelle Richter à
Vancouver, et un autre de 8,9 sur l’échelle Richter au Japon. Combien de fois le
tremblement de terre au Japon était-il plus intense que celui de Vancouver?
𝐴
𝑀 = log (𝐴 )
où 𝑀 = magnitude, 𝐴 = l’intensité du tremblement,
0
146
𝐴0 = l’intensité du tremblement de référence
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Pratique : les lois des logarithmes et la résolution d’équation
1. Récris chaque expression à l’aide des lois des logarithmes.
a. log 7 𝑥𝑦 3 √𝑧
b. log 5 (𝑥𝑦𝑧)8
c. log
2.
𝑥2
𝑦
d. log 3 𝑥√ 𝑧
3
𝑦 √𝑧
Simplifie et évalue chaque expression à l’aide des lois des logarithmes.
1
a. log12 24 − log12 6 + log12 36
b. 3 log 5 10 − 2 log 5 64
c. log 3 27√3
3.
1
d. log 2 72 − 2 (log 2 3 + log 2 27)
Récris chaque expression sous sa forme la plus simple.
log 𝑥
a. log 9 𝑥 − log 9 𝑦 + 4 log 9 𝑧
b. 3 − 2 log 3 𝑦
1
c. log 6 𝑥 − 5 (log 6 𝑥 + 2 log 6 𝑦)
d.
2
log 𝑥
3
+
log 𝑥
5
4.
Évalue log 𝑎 12 étant donné que log 𝑎 9 = 1,129 et log 𝑎 4 = 0,712.
5.
Évalue chaque expression.
a. 3𝑘 , où 𝑘 = log 2 40 − log 2 5
6.
Si log 3 = 𝑃 et log 5 = 𝑄, quelle expression algébrique en fonction de 𝑃 et 𝑄
représente chaque logarithme?
3
25
a. log 5
b. log 5
c. log 3√5
d. log 9
7.
Récris chaque expression sous sa forme la plus simple. Indique les restrictions sur les
valeurs de la variable.
𝑥
7
a. log 5 𝑥 + log 5 √𝑥 3 − 2 log 5 𝑥
b. log11 ( 𝑥) + log11 √𝑥 5 − 3 log11 𝑥
√
c. log 2 (𝑥 2 − 25) − log 2 (3𝑥 − 15)
d. log 7 (𝑥 2 − 16) − log 7 (𝑥 2 − 2𝑥 − 8)
e. 2 log 8 (𝑥 + 3) − log 8 (𝑥 2 + 𝑥 − 6)
8.
Montre que chaque expression est vraie lorsque 𝑐 > 0 et 𝑐 ≠ 1.
a. log 𝑐 48 − (log c 3 + log 𝑐 2) = log 𝑐 8
b. 7 log 𝑐 4 = 14 log 𝑐 2
1
c. 2 (log 𝑐 2 + log 𝑐 6) = log 𝑐 2 + log 𝑐 √3
d. log 𝑐 (5𝑐)2 = 2(log 𝑐 5 + 1)
9.
L’intensité d’un son, 𝛽, en décibels, est défini par la formule 𝛽 = 10 log (𝐼 ) où I est
b. 7𝑛 , où 𝑛 = 3 log 8 4
𝐼
0
l’intensité d’un son et 𝐼0 est le seuil d’audibilité, soit 10−12 𝑊/𝑚2 .
a. Quelle est l’intensité d’un son en dB d’un sèche-cheveux ayant une intensité de
0,00001𝑊/𝑚2 .
b. La sirène d’un camion d’incendie a un niveau sonore de 118dB. La circulation a
un niveau sonore de 85dB. Combien de fois plus élevé l’intensité sonore du
camion est-il de la circulation?
c. Le tracteur d’Élise est 63 fois plus bruyant que sa voiture. Si le niveau sonore de
sa voiture est de 80dB, quel est le niveau sonore de son tracteur?
147
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
10. Résous chaque équation. Vérifie tes réponses par substitution.
a. 24𝑥 = 4𝑥+3
b. 25𝑥−1 = 53𝑥
c. 3𝑤+1 = 9𝑤−1
3𝑚−1
2𝑚+5
3𝑥
𝑥−3
d. 36
=6
e. 4 = 8
f. 27𝑥 = 9𝑥−2
g. 1252𝑦−1 = 25𝑦+4
h. 162𝑘−3 = 32𝑘+3
11. Les fruits de mer doivent être conservés au congélateur, sinon ils sont contaminés par
des bactéries qui les détériorent. Leur vitesse relative de détérioration, V, augmente
𝑇
avec la température selon le modèle, 𝑉 = 100(2,7)8 , où 𝑇 est la température en
degrés Celsius.
a. Esquisse le graphique de la vitesse de détérioration en fonction de la
température, de 0°𝐶 à 25°𝐶.
b. À partir de ton graphique, prédis la température à laquelle la vitesse double et
atteint 200.
c. Quelle est la vitesse relative à 15°𝐶?
d. Si la vitesse maximale acceptable est 500, quelle est la température de
conservation maximale?
12. Une culture compte 2 000 bactéries au départ et leur nombre double à toutes les
0,75h. Au bout de combien d’heures y aurait-il 32 000 bactéries?
13. Simon a besoin de 7 000$ pour acheter une motoneige, mais il n’a que 6 000$. La
banque lui propose un compte d’épargne qui rapporte un taux d’intérêt annuel de
3,93%, composé annuellement. Pendant combien de temps Simon devra-t-il
conserver ce placement avant d’avoir assez d’argent pour acheter sa motoneige?
14. Un placement de 1 000$ rapporte des intérêts, composés trimestriellement, selon un
taux annuel de 8%.
a. Écris une équation qui représente la valeur du placement en fonction du temps
en années.
b. Détermine la valeur après 4 ans.
c. Combien de temps faut-il pour que la valeur du placement double?
15. Le cobalt-60 ( 60
27𝐶 ) a une demi-vie de 5,3 ans.
a. Écris une équation qui modélise cette situation.
b. Quelle fraction d’un échantillon reste-t-il après 25,6 ans?
1
c. Combien de temps faut-il pour qu’un échantillon de cobalt-60 n’ait que 512 de sa
masse initiale?
16. Résous chaque équation.
a. 15 = 12 + log 𝑥
c. 4 log 3 𝑥 = log 3 81
e. 4(7𝑥 ) = 92
g. 6𝑥−1 = 271
i. 7log7 3 = 𝑥
148
b. log 5 (2𝑥 − 3) = 2
d. 2 = log(𝑥 − 8)
𝑥
f. 23 = 11
h. 42𝑥+1 = 54
j. 𝑒 ln(5−𝑥) = 7
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
17. Résous chaque équation.
a. log 7 𝑥 + log 7 (𝑥 − 1) = log 7 4𝑥
c. log 3 (𝑥 + 3) + log 3 (𝑥 + 5) = 1
e. 2 log 3 𝑥 = log 3 32 + log 3 2
g. log 2 𝑥 − log 2 3 = 5
b. log 6 (𝑥 2 − 24) − log 6 𝑥 = log 6 5
d. log 2 (𝑥 − 2) = 2 − log 2 (𝑥 − 5)
3
f. 2 log 7 𝑥 = log 7 125
h. log 6 𝑥 = 2 − log 6 4
18. Détermine la valeur de 𝑥 au centième près.
a. 72𝑥 = 2𝑥+3
c. 92𝑥−1 = 71𝑥+2
e. log 5 (𝑥 − 18) − log 5 𝑥 = log 5 7
g. 2 log 4 (𝑥 + 4) − log 4 (𝑥 + 12) = 1
b. 1,6𝑥−4 = 53𝑥
d. 4(7𝑥+2 ) = 92𝑥−3
f. log 2 (𝑥 − 6) + log 2 (𝑥 − 8) = 3
h. log 3 (2𝑥 − 1) = 2 − log 3 (𝑥 + 1)
5
i. log 2 √𝑥 2 + 4𝑥 = 2
k. log 𝑥 log 𝑥 = 4
m. log 4 𝑥 + log 2 𝑥 = 6
2
j. 𝑥 log 𝑥 = 𝑥
l. (log 𝑥)2 = log 𝑥 2
4
n. log 3 𝑥 − log 27 𝑥 = 3
19. Soit 5𝑚+𝑛 = 125 et log 𝑚−𝑛 8 = 3. Détermine la valeur de 𝑚 et de 𝑛.
20. Résous 42𝑥+1 = 9(41−𝑥 ).
149
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Résumé : les lois des logarithmes et la résolution d’équation
Quelle est la valeur de log 𝑚 𝑚? log 𝑏 𝑏 𝑚 ? log 𝑏 1? log 𝑏 0? log 𝑏 𝑚 où 𝑚 < 0?
Quelle sorte d’équation n’avons-nous pas besoin des logarithmes pour résoudre?
Comment faisons-nous pour résoudre :
- une équation exponentielle avec deux bases différentes?
- une équation logarithmique avec un seul logarithme?
- une équation logarithmique avec plus d’un logarithme?
Qu’est-ce qu’une racine étrangère? Dans quelles équations faut-il vérifier pour celles-ci?
150
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
VI. Les permutations et les combinaisons
A. Les permutations
Une permutation est une disposition où l’ordre est important.
1. Le dénombrement et la notation factorielle
Le dénombrement est fait par la multiplication du nombre d’éléments qu’on
cherche à placer.
Exemple
Combien de numéros pouvons-nous écrire avec les chiffres 1, 2 et 3?
Faisons une liste :
111 112 113
211 212 213
311 312 313
121
221
321
122
222
322
123
223
323
131
231
331
132
232
332
133
233
333
Il y a donc 27 possibilités. Mais ça devient long de toujours faire des listes de
cette façon.
Nous pouvons aussi faire une arborescence :
Au lieu, utilisons la méthode de dénombrement.
___ ___ ___
Il y a 3 positions pour les chiffres.
_3_ _3_ _3_
Dans chaque position, il y a 3 options.
_3_ _3_ _3_
Pour avoir un total de 27, quelle opération doit-on faire?
Lorsqu’on peut réutiliser des éléments, la formule est donc :
où 𝑛 = nombre d’éléments
𝑟 = nombre de positions
151
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Exemple
Combien y a-t-il de possibilités de plaques d’immatriculation au Manitoba (sans
compter les plaques personnalisées)?
2. La notation factorielle et nPr
Exemple
Nous voulons placer nos figurines de Star Wars sur une étagère. Nous avons à
placer : Han Solo, Chewbacca, Luke, Leia, Darth Vader et l’Empereur. Combien
de façons y a-t-il de placer les figurines?
___ ___ ___ ___ ___ ___
Il y a 6 positions pour les figurines.
_6_ ___ ___ ___ ___ ___
Nous avons 6 options pour la position 1.
_6_ _5_ ___ ___ ___ ___
Étant donné qu’on a déjà placé une figurine,
il reste 5 choix pour la position 2.
_6_ _5_ _4_ _3_ _2_ _1_
Nous continuons avec les autres positions.
Comme dans le dénombrement d’éléments avec répétition, on multiplie. Il y a
donc 720 façons de placer nos figurines.
Lorsqu’on ne peut pas réutiliser des éléments, le dénombrement se fait par la
multiplication répétée du nombre d’objets diminuant à chaque position.
C’est la notation factorielle.
𝑛! = 𝑛 ⋅ (𝑛 − 1) ⋅ (𝑛 − 2) ⋅ … ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
Exemple
Combien de façons y a-t-il de placer les gens dans la classe de pré-calcul en rang?
152
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Parfois, le nombre de positions et d’éléments à placer n’ont pas la même valeur.
Exemple
Prenons nos 6 figurines de Star Wars. Cette fois, ton ami te demande d’ordonner
quatre figurines préférées en ordre. Combien de façons existe-t-il de faire ceci?
___ ___ ___ ___
Il y a trois positions dans cet exemple.
_6_ ___ ___ ___
Nous avons 6 choix possibles pour la position 1.
_6_ _5_ _4_ _3_
5 choix en position 2, 4 choix en position 3...
Nous multiplions et trouvons qu’il y a 360 façons d’ordonner 6 figurines en 4
positions. Remarquez que nous avons éliminé 2! de l’exemple précédent.
6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
2⋅1
6!
= 2!
Généralisez pour 𝑛 éléments placés en 𝑟 positions :
𝑛𝑃𝑟
=
Exemple
Combien de façon y a-t-il de choisir 0 billes d’un sac de 100? De choisir 100
billes?
100𝑃0 =
La valeur de 0! est :
153
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
3. Les permutations groupées
Pour calculer le nombre de permutations lorsque certains éléments sont en
groupes il faut multiplier le nombre de permutations de chaque groupe par le
nombre de permutations du nombre de groupes.
Exemple
Nous avons 4 livres de physique, 3 livres de mathématiques et 8 livres de Calvin
and Hobbes. Combien de façon pouvons-nous placer 2 livres de chaque sorte sur
une étagère si les livres de même sorte doivent être côte à côte?
Nous avons trois groupes :
_3_ _2_ _1_
Nous devons choisir comment placer les 3 sortes en
premier. Il y a 3𝑃3 façons de faire ceci.
4𝑃2
3𝑃2
8𝑃2
Nous devons choisir chaque groupe indépendamment l’un
de l’autre
Nous multiplions les deux étapes :
3!
4!
3!
8!
⋅
⋅
⋅
3𝑃3 ⋅ 4𝑃2 ⋅ 3𝑃2 ⋅ 8𝑃2 =
(3 − 3)! (4 − 2)! (3 − 2)! (8 − 2)!
Il y a 24 192 façons de placer ces livres sur l’étagère.
Exemple
On veut se débarrasser de nos disques compacts car ils sont désuets. On les vend à
un homme très particulier qui demande que les disques soient ordonnés par sorte
de musique. Tu aimerais garder 2 disques de chaque sorte pour montrer à vos
enfants lorsqu’ils seront plus vieux. Si vous avez 10 disques « country », 8
disques « hip-hop », 9 disques « blues » et 12 disques « trance », combien de
façons y a-t-il d’ordonner les disques?
154
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
4. Les permutations circulaires
Le nombre de permutations de 𝑛 éléments dans un cercle est (𝑛 − 1)!
Exemple
On place 4 clés sur un anneau. Combien de différentes façons y a-t-il de placer ces
clés?
5. Les permutations où il y a des éléments répétés
Exemple
Combien de permutations y a-t-il pour les lettres du mot « cool »?
Normalement, nous dirions que nous pouvons choisir 4 lettres et les arranger en 4
positions : 4𝑃4
Par contre, si nous changeons le premier « o » par le deuxième, le mot reste
« cool », aucun changement au mot. Il faut donc diminuer le nombre de
permutations par le montant de façon dont on peut permuter les « o ». Il y a donc :
4!
= 12 permutations
2!
Exemple
Combien de permutations y a-t-il pour le mot « mississippi »?
Dans ce cas, il y a 11 lettres donc, 11𝑃11. Mais nous devons aussi diviser par le
nombre de permutations des lettres « i », « s » et « p ».
11!
4!⋅4!⋅2!
= 34 650
La formule générale pour les permutations lorsqu’il y a répétition d’éléments est :
𝑛!
𝑎1 !𝑎2 !𝑎3 !…𝑎𝑘 !
où il y a 𝑎1 d’une sorte, 𝑎2 d’une autre sorte, etc.
Exemple
Si nous prenons le numéro de téléphone 1-866-533-6663 (1-866-JEDONNE),
combien y a-t-il de permutations?
155
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Mathématiques Pré-calcul 40S
6. Permutations avec restrictions
Lorsqu’il y a des restrictions dans un problème, il est parfois utile de diviser le
problème en différents cas.
Exemple
Combien existe-t-il de permutations d’une rangée composée de 4 filles et 3
garçons s’il doit y avoir deux personnes du même sexe aux extrémités.
Il y a deux cas : deux filles aux extrémités ou deux garçons aux extrémités
Cas 1 : Les filles aux extrémités
_4_ ___ _3_
Nous commençons par placer les filles (4 et 3 choix)
_4_ _5!_ _3_
Il reste 3 garçons et 2 filles à placer (5 personnes)
1 440 permutations avec les filles aux extrémités
Cas 2 : Les garçons aux extrémités
_3_ ___ _2_
Nous commençons par placer les garçons (3 et 2 choix)
_3_ _5!_ _2_
Il reste 1 garçons et 4 filles à placer (5 personnes)
720 permutations avec les garçons aux extrémités
Il y a un total de 1 440 + 720 = 2 160 permutations
Exemple
Combien de nombres paires supérieurs à 300 peux-tu former à l’aide de trois
chiffres pris parmi 1, 2, 3, 4, 5, 6 si aucun chiffre ne peut se répéter?
156
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
B. Les combinaisons
Dans une combinaison, l’ordre des éléments n’est pas important.
Au restaurant, une commande de frites, un burger et une crème glacée est la même
chose qu’une commande d’un burger, une crème glacée et des frites.
On calcule le nombre de combinaisons de la façon suivante :
𝑛𝐶𝑟
𝑛
=( )=
𝑟
𝑛𝑃𝑟
𝑟!
𝑛!
= (𝑛−𝑟)!𝑟!
Exemple
Tu as un jeu de cartes standard. Combien y a-t-il de combinaison de 5 cartes
distribuée au hasard?
Nous choisissons 5 cartes d’un total de 52. Il y a 𝑛 = 52 éléments et nous allons en
choisir 𝑟 = 5. Un rappel que dans une main de 5 cartes, l’ordre n’a pas d’importance
donc c’est une combinaison.
52𝐶5
52!
= (52−5)!5! = 2 598 960
Exemple
À la loterie 6/49, tu dois choisir 6 chiffres à partir de 49. Combien de combinaisons y
a-t-il pour cette loterie? Est-ce que vous avez plus de chance de gagner le 6/49 au le
Lotto Max (choisir 7 chiffres de 49)? Note : vous n’avez pas besoin d’avoir tous les
chiffres pour gagner un prix.
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Mathématiques Pré-calcul 40S
C. Le théorème du binôme
Le binôme de Newton est dénoté (𝑎 + 𝑏)𝑛 . À l’aide de combinaisons, il est possible
de déterminer les termes peu importe les valeurs de 𝑎, 𝑏 ou 𝑛.
Binôme
Forme développée
Valeur
de 𝑛
Nombre
de termes
(𝑎 + 𝑏)0
(𝑎 + 𝑏)1
(𝑎 + 𝑏)2
(𝑎 + 𝑏)3
(𝑎 + 𝑏)4
Quel est le lien entre la valeur de l’exposant, 𝑛, et le nombre de termes dans le
binôme développé?
Que remarquez-vous par rapport aux exposants de 𝑎 et de 𝑏?
Placez les coefficients du binôme développé sur les lignes. Complétez le triangle de
Pascal en déterminant le patron.
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Mathématiques Pré-calcul 40S
Déterminez le patron du triangle de Pascal utilisant les combinaisons :
Élaborez la formule pour tous les termes d’un binôme de Newton connaissant la
régularité des exposants et des coefficients ainsi que le nombre de termes.
Exemple
Combien de termes contient le binôme développé (2𝑥 − 3𝑦 2 )9? Quel est le dernier
terme? Quel est le coefficient du 5e terme?
159
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Mathématiques Pré-calcul 40S
Pratique : les permutations et les combinaisons
1. Évalue chaque expression.
a. 8𝑃2
b. 7𝑃5
c. 6𝑃6
d. 4𝑃1
2.
Montre que 4! + 3! ≠ (4 + 3)!
3.
Quelle est la valeur de chaque expression?
9!
a. 9!
b. 5!4!
c. 5! 3!
d. 6(4!)
102!
e. 100!2!
f. 7! − 5!
4.
De combien de façons différentes peux-tu ordonner les lettres de chaque mot (ignore
les accents)?
a. ballon
b. vieilli
c. aqilluqqaq
d. emmené
e. élève
f. baguette
5.
Quatre élèves se portent candidats pour représenter leur classe au conseil étudiant.
Dans combien d’ordres différents peut-on inscrire leurs noms sur le bulletin de vote?
6.
Détermine la valeur de la variable.
a. 𝑛𝑃2 = 30
b. 𝑛𝑃3 = 990
c. 6𝑃𝑟 = 30
d. 2(𝑛 𝑃2 ) = 60
7.
Détermine le nombre de trajets qui mènent du point A au point B.
a.
b.
c.
8.
Résous chaque problème.
a. Combien de nombres pairs supérieurs à 200 peux-tu former à partir des chiffres
1, 2, 3, 4, 5 pris trois à la fois sans répéter les nombres?
b. Combien de groupes de quatre lettres qui débutent par B ou par E et qui se
terminent par une voyelle peux-tu former à partir des lettres A, B, C, E, U et G?
9.
De combien de façons quatre filles et trois garçons peuvent-ils se mettre en rang :
a. si on veut un garçon à chaque extrémité?
b. si les garçons doivent être côte à côte?
c. si les garçons doivent être côte à côte au milieu du rang?
10. Combien de façons y a-t-il d’ordonner sept livres sur une tablette :
a. si chaque livre est différent?
b. si deux livres sont identiques?
c. si chaque livre est différent et que le livre M doit être à une extrémité?
d. si chaque livre est différent et que quatre livres particuliers doivent être côte à
côte?
160
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Mathématiques Pré-calcul 40S
11. Une organisation nationale prévoit attribuer à chacun de ses membres un code
d’identification formé de 4 caractères, soit une lettre, sauf O, suivie de trois chiffres
différents. Si l’organisation compte 25 300 membres, pourra-t-elle attribuer un code
d’identification distinct à chaque membre? Explique ta réponse.
12. Tu as oublié le code de ton cadenas. Il s’agit de trois nombres, de 0 à 39, que tu
entres en tournant la mollette à droite, à gauche, puis à droite. Les nombres peuvent
se répéter. S’il te faut 15 secondes pour tester un code, combien de temps te faudra-til pour tester tous les codes possibles? Exprime ta réponse en heures.
13. Combien de nombres entiers de 3 000 à 8 999 inclusivement ne contiennent pas le
chiffre 7?
14. Résous chaque équation.
a. 3𝑃𝑟 = 3!
b. 7𝑃𝑟 = 7!
c. 𝑛𝑃3 = 4(𝑛−1 𝑃2 )
d. 𝑛(5 𝑃3 ) = 7𝑃5
15. Combien de nombres entiers entre 1 et 1 000 ne contiennent pas de chiffres répétés?
16. Détermine si les problèmes suivants s’agissent de permutations ou combinaisons.
a. Dans un cercle de bienvenue autochtone, chaque personne serre deux fois la main
de chaque autre personne. S’il y a huit personnes, combien de poignées de main
donne-t-on?
b. Combien de nombres inférieurs à 300 peux-tu former à partir des chiffres 1, 2, 3,
4 et 5?
c. Une agence de location veut acheter 10 voitures. Elle a le choix de 15 véhicules.
Combien de possibilités y a-t-il?
d. On doit choisir 6 des 18 joueurs d’une équipe. Combien de possibilités y a-t-il?
17. Évalue chaque expression.
a. 6𝑃4
b. 7𝐶3
c. 5𝐶2
d. 10𝐶7
18. Soit dix employés. Combien de résultats possibles y a-t-il si on veut :
a. former un groupe de quatre?
b. assigner quatre tâches différentes?
19. Énumère toutes les permutations et les combinaisons des lettres A, B, C et D prises
deux à la fois. Quelle relation y a-t-il entre le nombre de combinaisons et de
permutations?
20. Détermine la valeur de 𝑛.
a. 𝑛𝐶1 = 10
b. 𝑛𝐶2 = 21
c. 𝑛𝐶𝑛−2 = 6
d. 𝑛+1𝐶𝑛−1 = 15
21. Définis les cas qui aideront à résoudre puis résous.
a. Combien de nombres inférieurs à 1 000 peux-tu former à l’aide d’un ou de
plusieurs chiffres parmi 1, 2, 3, 4 et 5?
161
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
b. On veut former une équipe à partir de six élèves de 11e année et de cinq élèves de
12e année. Combien de possibilités y a-t-il si l’équipe doit compter quatre
membres de l’une ou de l’autre des années et un substitut en 11e année?
22. Montre que 11𝐶8 =
11𝐶3 .
23. Évalue 5𝐶5 pour déterminer le nombre de combinaisons de cinq éléments pris parmi
cinq et 5𝐶0 pour déterminer le nombre de combinaisons de zéro élément pris parmi
cinq. Explique tes réponses.
24. Tu as une pièce de 1¢, une pièce de 5¢, une pièce de 10¢ et une pièce de 25¢.
Combien de sommes d’argent différentes peux-tu obtenir si tu regroupes :
a. trois des pièces de monnaie?
b. au plus deux des pièces de monnaie?
25. S’il y a six filles, de combien de façons peux-tu regrouper :
a. quatre filles?
b. au moins quatre filles?
26. Vérifie l’identité 𝑛𝐶𝑛+1 + 𝑛𝐶𝑟 =
𝑛+1𝐶𝑟 .
27. Dans un restaurant, combien de choix as-tu si tu peux commander un hamburger
avec trois garnitures suivantes : tomates, laitue, cornichons, piments forts, oignons,
fromage. S’agit-il de permutation ou de combinaison? Explique.
28. Une pizzeria offre dix garnitures différentes. Combien de pizzas offre-t-elle avec
quatre garnitures différentes?
29. Pour former un jury, on choisit parmi 12 femmes et 8 hommes.
a. Combien de jurys possibles de 12 personnes y a-t-il?
b. Combien de jurys de 7 femmes et 5 hommes sont possibles?
c. Combien de jurys y a-t-il avec moins de 10 femmes?
30. Soit un jeu régulier de 52 cartes. Combien de combinaisons possibles y a-t-il :
a. de 5 cartes?
b. de cinq cartes dont trois cartes de cœur?
c. de cinq cartes dont une seule noire?
31. Combien d’ensembles distincts de quatre manuels de sciences et de trois de
géographie peut-on créer de six manuels de sciences et de sept manuels de
géographie tous différents?
32. Combien de termes y a-t-il dans le développement de chaque expression?
a. (𝑥 − 3𝑦)4
b. (1 + 3𝑡 2 )7
c. (𝑎 + 6)𝑞
162
Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
33. Développe chaque binôme.
a. (𝑥 + 𝑦)2
b. (𝑎 + 1)3
3
d. (𝑎 + 3𝑏)
e. (3𝑎 − 2𝑏)5
c. (1 − 𝑝)4
f. (2𝑥 − 5)4
34. Détermine la valeur simplifiée :
a. du 6e terme du développement de (𝑎 + 𝑏)9
b. du 4e terme du développement de (𝑥 − 3𝑦)6
c. du 7e terme du développement de (1 − 2𝑡)14
d. du terme du milieu du développement de (4𝑥 + 𝑦)4
e. de l’avant dernier terme du développement de (3𝑤 2 + 2)8
35. Selon le binôme (𝑥 + 𝑦)12 :
a. Combien de terme y a-t-il dans le développement de ce binôme?
b. Quel est le quatrième terme du développement?
c. Quelle valeur de 𝑟 dans 12𝐶𝑟 donnera le coefficient maximal? Quel est ce
coefficient?
36. Développe et simplifie chaque binôme.
𝑎
a. (𝑏 + 2)
3
𝑎
4
b. (𝑏 − 𝑎)
𝑥 6
c. (1 − 2)
1 4
d. (2𝑥 2 − 𝑥)
2 9
37. Détermine le terme simplifié qui contient 𝑥 9 dans le développement (𝑥 2 + 𝑥) .
38. Un des termes du développement de (3𝑥 + 𝑎)7 est 81 648𝑥 5 . Détermine les valeurs
possibles pour 𝑎.
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Roger Durand
Mathématiques Pré-calcul 40S
Résumé : les permutations et les combinaisons
Éléments
Formule
répétés?
Dénombrement
Permutation
Combinaison
Quelle est la différence entre une permutation et une combinaison?
Comment des contraintes (répétition, éléments identiques, groupements d’éléments) affectent le
nombre de façons dont un événement peut se produire?
Quelle est la relation entre le triangle de Pascal et le développement du binôme de
Newton?
Comment faisons-nous pour trouver un coefficient ou un terme spécifique dans le développement
du binôme de Newton, (𝑥 + 𝑦)𝑛 ?
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