Les régularités et les relations (Les variables et les équations)

Les régularités et les relations : Les variables et les équations
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Domaine - Les régularités et les
relations (Les variables et les
équations)

Les régularités et les relations : Les variables et les équations
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t temps en h 024 48 72 96
B nombre de
bactéries
1 000 3 000 9 000 27 000 210 000
Les régularités et les relations : Les variables et les équations
RR2 : L’élève doit pouvoir exploiter les relations mathématiques pour analyser des situations diverses, faire
des prédictions et prendre des décisions éclairées.
Résultats d'apprentissage
spécifiques
L'élève doit pouvoir :
RR2.1 esquisser, dans le plan
cartésien, le graphique d’une fonction
exponentielle et analyser l’effet de
changement des coefficients ;
RR2.2 déterminer l'équation d'une
fonction exponentielle à partir de son
graphique ou de son tableau de
valeurs ;
RR2.3 résoudre, avec et sans outil
technologique approprié, des
équations exponentielles.
Pistes d'enseignement
CPar l’entremise d’exemples, amener les élèves à découvrir la
signification des termes comme domaine, image, coordonnées à
l’origine et asymptote. Attirer leur attention sur le fait que la
description du graphique d’une fonction exponentielle ou
logarithmique devrait comprendre le plus souvent ces termes.
CRéunir les élèves en équipes de deux et leur confier la tâche de
tracer sur du papier quadrillé les graphiques des fonctions
exponentielles y = 2x, y = 2x - 3 et y = 2x + 3. Leur demander de
vérifier leurs réponses à l’aide d’une calculatrice à affichage
graphique ou d’un ordinateur doté d’un logiciel graphique.
Une fois la tâche terminée, inviter une équipe volontaire à
présenter au reste de la classe la démarche suivie pour tracer à la
main les graphiques de ces fonctions. Au besoin, mettre à sa
disposition un rétroprojecteur et des transparents. Inviter ensuite
une autre équipe volontaire à présenter sa démarche à l’aide de la
calculatrice à affichage graphique munie d’une tablette ou acétate
électronique, ou à l’aide de l’ordinateur doté d’un logiciel
graphique et muni d’un projecteur multimédia (LCD).
Au cours de cette activité, amener les élèves à décrire les
caractéristiques de chaque graphique (le domaine, l’image, les
coordonnées à l’origine et les équations des asymptotes) et à
découvrir la règle qui permet de tracer le graphique d’une fonction
y = ax + b à partir de celui de y = ax.
CDemander aux élèves de résoudre des problèmes tels que le
suivant :
Dans un laboratoire de microbiologie, une technicienne a constaté
qu’un type de bactérie triple toutes les 24 heures. Elle a compilé
les données recueillies dans le tableau ci-après.
Écrivez une équation exponentielle qui représente cette situation.
Donnez toutes les explications nécessaires.

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Pistes d'évaluation
CObserver les élèves pendant qu’ils tracent le graphique de la
fonction y = 2x afin de vérifier s’ils peuvent déterminer :
Sson domaine ;
Sson image ;
Sle point où il coupe l’axe vertical ;
Sson asymptote horizontale.
CÉvaluer la compétence des élèves à utiliser une calculatrice à
affichage graphique, pour générer un graphique exponentiel à
partir d’un tableau de valeurs.
CConfier aux élèves la tâche de tracer les graphiques des fonctions :
a) y = 3x
b) y = 3x+ 4
Leur demander de donner l'équation de l'asymptote horizontale
de chacun des graphiques et d'expliquer comment le graphique b)
se déduit de celui de y = 3x.
Une fois la tâche terminée, leur demander de se réunir deux par
deux pour comparer leurs solutions afin d'y identifier les
ressemblances et les différences et de suggérer des corrections si
nécessaire.
Pendant que les élèves comparent leurs solutions, circuler parmi
eux afin de s'assurer que leurs réponses sont correctes et qu'ils
utilisent la terminologie appropriée.
Demander aux élèves de décrire dans leur journal de bord les
étapes à suivre pour résoudre l'équation exponentielle
:
Sà la main ;
Sà l’aide d’une calculatrice à affichage graphique.
Ressources
Omnimaths 12

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Les régularités et les relations : Les variables et les équations
RR2 : L’élève doit pouvoir exploiter les relations mathématiques pour analyser des situations diverses, faire
des prédictions et prendre des décisions éclairées.
Résultats d'apprentissage
spécifiques
L'élève doit pouvoir :
RR2.4 esquisser, dans le plan
cartésien, le graphique d'une fonction
logarithmique et analyser l'effet de
changement de base ;
RR2.5 résoudre, avec et sans outil
technologique approprié, des
équations logarithmiques et vérifier la
vraisemblance des solutions ;
RR2.6 utiliser les propriétés des
logarithmes pour résoudre des
équations exponentielles.
Pistes d'enseignement
CAmener les élèves à découvrir que la fonction logarithmique est la
réciproque de la fonction exponentielle. Pour ce faire, mettre à la
disposition de chaque équipe de deux élèves un ordinateur doté
d’un logiciel graphique et leur confier la tâche de tracer les
graphiques des fonctions y = 2x et y = 10x, puis de trouver les
équations des graphiques qui sont symétriques des précédents par
rapport à la droite d’équation y = x.
Cette activité devrait permettre aux élèves de comprendre que si
y = logb x, alors x = b y.
CConfier aux élèves la tâche de tracer sur du papier quadrillé les
graphiques des fonctions :
Sy = log2 x
Sy = log4 x
Sy = log x.
Pour ce faire, leur demander de construire un tableau de valeurs
pour chaque fonction en utilisant sa forme exponentielle puis de
tracer le graphique. Ils devraient expliquer comment le graphique
de la fonction logarithmique change quand la base change.
Une fois la tâche complétée, inviter des élèves volontaires à
présenter au reste de la classe la démarche suivie pour tracer les
graphiques. Au besoin, mettre à leur disposition un
rétroprojecteur et des transparents quadrillés.
CÀ l’aide d’une équation comme la suivante
log2 (x - 2) + log2 x = log2 3, expliquer aux élèves la démarche à
suivre pour trouver les racines d’une équation logarithmique.
Attirer leur attention sur les restrictions qui s’appliquent à
l’équation (x > 2 pour l’équation proposée) afin de déterminer la
racine admissible.
Les réunir ensuite en petites équipes et leur demander de résoudre
des équations logarithmiques.
CMontrer aux élèves la démarche à suivre pour tracer le graphique
de la fonction y = log2 x à l’aide d’une calculatrice à affichage
graphique. Attirer leur attention sur le fait que la calculatrice a
deux touches logarithmiques : LOG pour le logarithme à base 10
et ln pour le logarithme naturel ou népérien à base e. Leur
demander ensuite de résoudre des équations telles que
log2 (x - 2) + log2 x = log2 3 à l’aide de cette calculatrice.

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Pistes d'évaluation
•Confier aux élèves la tâche de prouver que si , alors
y = -log3 x. Pendant que les élèves travaillent à prouver cette
proposition, circuler parmi eux afin de vérifier s’ils peuvent :
Spasser correctement de la forme logarithmique à la forme
exponentielle ;
Sjustifier que ces deux fonctions ont le même graphique. Leur
demander ensuite de comparer le graphique à celui
de y = log3 x.
CPendant que les élèves tracent le graphique d’une fonction
logarithmique telle que celui de y = log2 x , circuler dans la classe
et leur poser des questions pertinentes afin de s’assurer qu’ils sont
capables de déterminer :
Sque son domaine est l’ensemble de nombres réels positifs sans
le zéro, R+
* ;
Sque son image est l’ensemble de nombres réels R ;
Sl’intervalle où elle est positive ;
Sl’intervalle où elle est négative ;
Sl’équation de son asymptote verticale, x = 0 ;
Sles coordonnées du point où son graphique coupe l’axe des
abscisses, (1, 0).
CConfier aux élèves la tâche de résoudre l’équation
log2 (x - 3) + log2 x = 2. Leur demander de déterminer les
restrictions qui définissent son ensemble de définition, puis
d’utiliser les propriétés des logarithmes pour transformer
l’équation et déduire finalement les racines admissibles.
Une fois la tâche terminée, demander à des élèves de présenter leur
solution au reste de la classe et proposer à leurs camarades de les
évaluer selon des critères tels que les suivants :
Sla démarche suivie est organisée et claire ;
Sle débit, le ton, l’articulation et le langage sont bons ;
Sle domaine de définition est correctement déterminé ;
Sle choix de la racine admissible est justifié.
CDemander aux élèves de décrire dans leur journal de bord toutes
les étapes à suivre pour résoudre l’équation
ln (x + 2) = ln (x - 3) + 1, où ln est le logarithme naturel ou
népérien de base e = 2,718..., à l’aide d’une calculatrice à affichage
graphique.
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Omnimaths 12