Les régularités et les relations : Les variables et les équations Domaine - Les régularités et les relations (Les variables et les équations) Mathématiques 3231/3232 81 Les régularités et les relations : Les variables et les équations Les régularités et les relations : Les variables et les équations RR2 : L’élève doit pouvoir exploiter les relations mathématiques pour analyser des situations diverses, faire des prédictions et prendre des décisions éclairées. Résultats d'apprentissage spécifiques Pistes d'enseignement L'élève doit pouvoir : RR2.1 esquisser, dans le plan C Par l’entremise d’exemples, amener les élèves à découvrir la cartésien, le graphique d’une fonction signification des termes comme domaine, image, coordonnées à exponentielle et analyser l’effet de l’origine et asymptote. Attirer leur attention sur le fait que la changement des coefficients ; description du graphique d’une fonction exponentielle ou logarithmique devrait comprendre le plus souvent ces termes. RR2.2 déterminer l'équation d'une fonction exponentielle à partir de son C Réunir les élèves en équipes de deux et leur confier la tâche de graphique ou de son tableau de tracer sur du papier quadrillé les graphiques des fonctions valeurs ; exponentielles y = 2 x, y = 2 x - 3 et y = 2 x + 3 . Leur demander de vérifier leurs réponses à l’aide d’une calculatrice à affichage RR2.3 résoudre, avec et sans outil graphique ou d’un ordinateur doté d’un logiciel graphique. technologique approprié, des Une fois la tâche terminée, inviter une équipe volontaire à équations exponentielles. présenter au reste de la classe la démarche suivie pour tracer à la main les graphiques de ces fonctions. Au besoin, mettre à sa disposition un rétroprojecteur et des transparents. Inviter ensuite une autre équipe volontaire à présenter sa démarche à l’aide de la calculatrice à affichage graphique munie d’une tablette ou acétate électronique, ou à l’aide de l’ordinateur doté d’un logiciel graphique et muni d’un projecteur multimédia (LCD). Au cours de cette activité, amener les élèves à décrire les caractéristiques de chaque graphique (le domaine, l’image, les coordonnées à l’origine et les équations des asymptotes) et à découvrir la règle qui permet de tracer le graphique d’une fonction y = a x + b à partir de celui de y = a x. C Demander aux élèves de résoudre des problèmes tels que le suivant : Dans un laboratoire de microbiologie, une technicienne a constaté qu’un type de bactérie triple toutes les 24 heures. Elle a compilé les données recueillies dans le tableau ci-après. t temps en h B nombre de bactéries 0 24 48 72 96 1 000 3 000 9 000 27 000 210 000 Écrivez une équation exponentielle qui représente cette situation. Donnez toutes les explications nécessaires. 82 Mathématiques 3231/3232 Les régularités et les relations : Les variables et les équations Pistes d'évaluation Ressources C Observer les élèves pendant qu’ils tracent le graphique de la fonction y = 2x afin de vérifier s’ils peuvent déterminer : S son domaine ; S son image ; S le point où il coupe l’axe vertical ; S son asymptote horizontale. Omnimaths 12 C Évaluer la compétence des élèves à utiliser une calculatrice à affichage graphique, pour générer un graphique exponentiel à partir d’un tableau de valeurs. C Confier aux élèves la tâche de tracer les graphiques des fonctions : a) y = 3x b) y = 3x+ 4 Leur demander de donner l'équation de l'asymptote horizontale de chacun des graphiques et d'expliquer comment le graphique b) se déduit de celui de y = 3x. Une fois la tâche terminée, leur demander de se réunir deux par deux pour comparer leurs solutions afin d'y identifier les ressemblances et les différences et de suggérer des corrections si nécessaire. Pendant que les élèves comparent leurs solutions, circuler parmi eux afin de s'assurer que leurs réponses sont correctes et qu'ils utilisent la terminologie appropriée. Demander aux élèves de décrire dans leur journal de bord les étapes à suivre pour résoudre l'équation exponentielle : S à la main ; S à l’aide d’une calculatrice à affichage graphique. Mathématiques 3231/3232 83 Les régularités et les relations : Les variables et les équations Les régularités et les relations : Les variables et les équations RR2 : L’élève doit pouvoir exploiter les relations mathématiques pour analyser des situations diverses, faire des prédictions et prendre des décisions éclairées. Résultats d'apprentissage spécifiques Pistes d'enseignement L'élève doit pouvoir : C Amener les élèves à découvrir que la fonction logarithmique est la RR2.4 esquisser, dans le plan réciproque de la fonction exponentielle. Pour ce faire, mettre à la cartésien, le graphique d'une fonction disposition de chaque équipe de deux élèves un ordinateur doté logarithmique et analyser l'effet de d’un logiciel graphique et leur confier la tâche de tracer les changement de base ; graphiques des fonctions y = 2 x et y = 10 x, puis de trouver les équations des graphiques qui sont symétriques des précédents par RR2.5 résoudre, avec et sans outil rapport à la droite d’équation y = x . technologique approprié, des Cette activité devrait permettre aux élèves de comprendre que si équations logarithmiques et vérifier la y = logb x, alors x = b y. vraisemblance des solutions ; RR2.6 utiliser les propriétés des logarithmes pour résoudre des équations exponentielles. C Confier aux élèves la tâche de tracer sur du papier quadrillé les graphiques des fonctions : S y = log 2 x S y = log 4 x S y = log x . Pour ce faire, leur demander de construire un tableau de valeurs pour chaque fonction en utilisant sa forme exponentielle puis de tracer le graphique. Ils devraient expliquer comment le graphique de la fonction logarithmique change quand la base change. Une fois la tâche complétée, inviter des élèves volontaires à présenter au reste de la classe la démarche suivie pour tracer les graphiques. Au besoin, mettre à leur disposition un rétroprojecteur et des transparents quadrillés. C À l’aide d’une équation comme la suivante log2 (x - 2) + log 2 x = log2 3 , expliquer aux élèves la démarche à suivre pour trouver les racines d’une équation logarithmique. Attirer leur attention sur les restrictions qui s’appliquent à l’équation (x > 2 pour l’équation proposée) afin de déterminer la racine admissible. Les réunir ensuite en petites équipes et leur demander de résoudre des équations logarithmiques. C Montrer aux élèves la démarche à suivre pour tracer le graphique de la fonction y = log 2 x à l’aide d’une calculatrice à affichage graphique. Attirer leur attention sur le fait que la calculatrice a deux touches logarithmiques : LOG pour le logarithme à base 10 et ln pour le logarithme naturel ou népérien à base e . Leur demander ensuite de résoudre des équations telles que log2 (x - 2) + log 2 x = log2 3 à l’aide de cette calculatrice. 84 Mathématiques 3231/3232 Les régularités et les relations : Les variables et les équations Pistes d'évaluation • Confier aux élèves la tâche de prouver que si Ressources , alors Omnimaths 12 y = -log 3 x . Pendant que les élèves travaillent à prouver cette proposition, circuler parmi eux afin de vérifier s’ils peuvent : S passer correctement de la forme logarithmique à la forme exponentielle ; S justifier que ces deux fonctions ont le même graphique. Leur demander ensuite de comparer le graphique à celui de y = log 3 x . C Pendant que les élèves tracent le graphique d’une fonction logarithmique telle que celui de y = log2 x , circuler dans la classe et leur poser des questions pertinentes afin de s’assurer qu’ils sont capables de déterminer : S que son domaine est l’ensemble de nombres réels positifs sans le zéro, R +* ; S que son image est l’ensemble de nombres réels R ; S l’intervalle où elle est positive ; S l’intervalle où elle est négative ; S l’équation de son asymptote verticale, x = 0 ; S les coordonnées du point où son graphique coupe l’axe des abscisses, (1, 0). C Confier aux élèves la tâche de résoudre l’équation log2 (x - 3) + log2 x = 2 . Leur demander de déterminer les restrictions qui définissent son ensemble de définition, puis d’utiliser les propriétés des logarithmes pour transformer l’équation et déduire finalement les racines admissibles. Une fois la tâche terminée, demander à des élèves de présenter leur solution au reste de la classe et proposer à leurs camarades de les évaluer selon des critères tels que les suivants : S la démarche suivie est organisée et claire ; S le débit, le ton, l’articulation et le langage sont bons ; S le domaine de définition est correctement déterminé ; S le choix de la racine admissible est justifié. C Demander aux élèves de décrire dans leur journal de bord toutes les étapes à suivre pour résoudre l’équation ln (x + 2) = ln (x - 3) + 1 , où ln est le logarithme naturel ou népérien de base e = 2,71 8... , à l’aide d’une calculatrice à affichage graphique. Mathématiques 3231/3232 85 Les régularités et les relations : Les variables et les équations Les régularités et les relations : Les variables et les équations RR2 : L’élève doit pouvoir exploiter les relations mathématiques pour analyser des situations diverses, faire des prédictions et prendre des décisions éclairées. Résultats d'apprentissage spécifiques Pistes d'enseignement L'élève doit pouvoir : C À l’aide d’exemples variés, amener les élèves à découvrir le sens de RR2.7 esquisser, dans le plan la période, de l’amplitude, du déphasage, du domaine et de cartésien, le graphique d'une fonction l’image d’une fonction périodique. L’étude de ces fonctions sinusoïdale et analyser l'effet de devraient être abordée avec des angles exprimés en degrés et en changement des coefficients ; radians. RR2.8 déterminer l'équation d'une C Réunir les élèves en petites équipes et leur confier la tâche de fonction sinusoïdale à partir de son tracer les graphiques cartésiens des fonctions y = sin x , graphique ou de son tableau de y = 4 sin x , y = sin 2x et y = 4 sin 2x , à la main et à l’aide d’un valeurs. outil technologique approprié. Leur demander d’examiner ces graphiques afin de déduire comment le graphique d’une fonction sinusoïdale change quand l’amplitude et la période changent. Une fois la tâche terminée, demander à une équipe volontaire de présenter sa solution au reste de la classe. Les élèves pourraient refaire cette activité avec des fonctions en cosinus. C Pour aller plus loin dans leur apprentissage, soumettre aux élèves du cours avancé des activités qui leur permettent d’explorer des fonctions telles que les suivantes : Mathématiques 3232 a) b) Ces activités devraient amener les élèves à expliquer toute la démarche à suivre pour passer des graphiques des fonctions de base y = sin x et y = cos x à ceux des fonctions de la forme y = A sin B (x + C) + D et y = A cos B (x + C) + D. • Demander aux élèves de déterminer la fonction sinusoïdale f(x) = A sin Bx (A et B sont positifs) dont une partie de son graphique est montré par le diagramme ci-contre. Demander aux élèves du cours avancé de déterminer cette fonction f(x) si on fait subir au graphique un déplacement vertical d’une unité et un déphasage de 86 radian. Mathématiques 3231/3232 Les régularités et les relations : Les variables et les équations Pistes d'évaluation Ressources C Soumettre aux élèves une activité qui fait intervenir la détermination de toutes les caractéristiques d’une fonction sinusoïdale de la forme f(x) = A sin Bx (A >0 et B >0). Pendant qu’ils travaillent sur cette activité, circuler parmi eux et leur poser des questions pertinentes afin de vérifier s’ils sont capables de déterminer que : Omnimaths 12 S son amplitude est *A* ; S sa période est ; S ses zéros dans l’intervalle sont 0, S son maximum = A pour ; S son minimum = -A pour . et ; C Donner aux élèves deux fonctions sinusoïdales de la forme f(x) = A sin Bx et g(x) = A sin [B(x - h)] avec B > 0 . Les réunir en équipes de deux et leur demander de discuter ensemble de la façon de passer du graphique de f(x) à celui de g(x) si h > 0 et si h < 0 . S’assurer bien qu’ils savent que h , qui est le déphasage de g(x) par rapport à f(x), définit la translation horizontale qui permet de passer d’un graphique à l’autre. Leur proposer ensuite de : S tracer le graphique cartésien de la fonction f(x) = 2 sin 3x ; S calculer le déphasage du graphique cartésien de la fonction g(x) = 2 sin par rapport à celui de f(x) ; S tracer le graphique cartésien de g(x) dans le même plan cartésien. C À l’aide d’un test papier-crayon, évaluer si les élèves sont capables de trouver l’équation d’une fonction sinusoïdale à partir de son graphique. Mathématiques 3231/3232 87 Les régularités et les relations : Les variables et les équations Les régularités et les relations : Les variables et les équations RR2 : L’élève doit pouvoir exploiter les relations mathématiques pour analyser des situations diverses, faire des prédictions et prendre des décisions éclairées. Résultats d'apprentissage spécifiques Pistes d'enseignement L'élève doit pouvoir : RR2.9 résoudre, algébriquement et graphiquement, des équations trigonométriques dans l’intervalle 0O # x < 360O et placer les solutions sur le cercle trigonométrique ; RR2.10 résoudre, algébriquement et graphiquement, des équations trigonométriques dans l’intervalle 0 # x < 2B et placer les solutions sur le cercle trigonométrique. C Par l’entremise d’activités variées, amener les élèves à comprendre comment déterminer sur un cercle trigonométrique tous les angles, en degrés, pour lesquels des équations comme les suivantes sont vraies. (Soit 0 O# x < 360O) S sin x = 0,5 S cos x = S tan x = Les réunir ensuite en petites équipes et leur demander de faire des activités similaires pour des angles x, en radians, tels que 0 # x < 2B rad. Inviter des volontaires à présenter leurs résultats au reste de la classe. C Demander aux élèves de résoudre l’équation 2sin x - 1 = 0 et de placer les solutions sur le cercle trigonométrique, avec 0 O# x < 360 O, à l’aide d’une calculatrice à affichage graphique puis algébriquement. C Au cours de cette activité, amener les élèves à découvrir que les solutions de toute équation de la forme sin x = sin 2 sont : où n est tout nombre entier et x et 2 sont exprimés en degrés. a) où n est tout nombre entier et x et 2 sont exprimés en radians. b) C Par l’entremise d’activités variées, amener les élèves à découvrir que les solutions de toute équation de la forme cos x = cos 2 sont : a) où n est tout nombre entier et x et 2 sont exprimés en degrés. b) où n est tout nombre entier et x et 2 sont exprimés en radians. Leur confier ensuite la tâche de découvrir les solutions de toute équation de la forme tan x = tan 2 et de rédiger un compte rendu de la solution de l’équation tan 3x = 1 pour 0 O# x < 360 O. 88 Mathématiques 3231/3232 Les régularités et les relations : Les variables et les équations Pistes d'évaluation Ressources C Pendant que les élèves travaillent sur des activités impliquant la Omnimaths 12 localisation des solutions d’équations trigonométriques sur le cercle trigonométrique, circuler parmi eux afin de vérifier s’ils sont capables de : S convertir les angles 300, 450, 600, 900, 1200, 1350, 1450 et 1800 en radians ou vice versa ; S localiser ces angles sur le cercle trigonométrique ; S trouver les valeurs des rapports trigonométriques de ces angles et les interpréter à l’aide du cercle trigonométrique. C Demander aux élèves de tracer, à l’aide d’une calculatrice à affichage graphique, les graphiques des fonctions f(x) = 2 sin x et g(x) = sin x + 0,5 dans l’intervalle 0 O# x < 360 O, puis d’utiliser le diagramme obtenu pour résoudre l’équation 2 sin x = sin x + 0,5 . Leur demander ensuite de placer les solutions sur le cercle trigonométrique. Une fois l’activité terminée, discuter avec les élèves de la façon dont ils ont utilisé la calculatrice pour tracer les graphiques et déterminer l’abscisse aux points d’intersection. Vérifier s’ils : S ont choisi le mode degrés ; S ont réglé convenablement les paramètres de la fenêtre d’affichage (p. ex. : Xmin = 0, Xmax = 360 et Xscl = 30 ou 60 ou...) pour faciliter la lecture des points d’intersection. S’assurer qu’ils ont placé correctement les solutions (300 et 1500) sur le cercle trigonométrique. C Dans le cas de résolution d’équations trigonométriques, demander aux élèves d’annoter leur travail afin de décrire les techniques utilisées. Leur demander aussi de décrire brièvement ce qui a bien marché et ce qui n’a pas marché au cours de cette résolution. Leur demander de décrire le rôle des outils technologiques utilisés et de justifier pourquoi ils les ont choisis. C En vue d’évaluer les habiletés des élèves relatives à la résolution d’équations trigonométriques, leur demander d’élaborer individuellement une liste des difficultés et des confusions les plus courantes qu’ils ont rencontrées. Leur demander de comparer leurs listes et d’élaborer une liste globale pouvant servir comme point de repère pour identifier les points sur lesquels il leur faut travailler pour s’améliorer. Mathématiques 3231/3232 89 Les régularités et les relations : Les variables et les équations Les régularités et les relations : Les variables et les équations RR2 : L’élève doit pouvoir exploiter les relations mathématiques pour analyser des situations diverses, faire des prédictions et prendre des décisions éclairées. Résultats d'apprentissage spécifiques Pistes d'enseignement L'élève doit pouvoir : C Montrer aux élèves du cours avancé la méthode de trouver toutes RR2.11 déterminer les solutions les solutions possibles de l’équation 2 cos 2x sin x = sin x , où x générales d'équations trigonométriques est un angle exprimé en rad, et comment les placer sur le cercle dont le domaine est l'ensemble de trigonométrique. Attirer leur attention sur le fait que la nombres réels et placer les solutions décomposition en facteurs mène aux deux équations suivantes : sur le cercle trigonométrique ; Mathématiques 3232 Mathématiques 3232 S sin x = 0 dont les solutions principales, dans l’intervalle 0 # x < 2 , sont x = 0 et x = . Ses solutions générales, qui RR2.12 résoudre des équations tiennent compte de tous les angles co-terminaux, sont alors trigonométriques du second degré ; x = 0 + 2n et x = + 2n . En combinant les solutions Mathématiques 3232 générales de sin x = 0 , on obtient x = n . RR2.13 résoudre graphiquement des S cos 2x = dont les solutions générales sont équations trigonométriques complexes. Mathématiques 3232 Leur confier ensuite la tâche de résoudre des équations telles que les suivantes : a) cos x tan x = cos x , où x est un angle exprimé en degrés. b) cos x - 2 sin x cos x = 0 , où x est un angle exprimé en radians. c) sin x tan x = sin x + tan x - 1 , où x est un angle exprimé en degrés. Une fois la tâche terminée, demander à des volontaires de présenter leurs solutions au reste de la classe. C Amener les élèves du cours avancé à comprendre que la résolution d’une équation trigonométrique du second degré se ramène à celle d’une équation algébrique du second degré. Attirer leur attention sur le fait que si l’équation est en sinus ou en cosinus, les racines acceptables sont celles situées dans l’intervalle [-1, +1] et que cette restriction ne se présente pas pour la tangente. Mathématiques 3232 Leur confier ensuite la tâche de résoudre dans l’intervalle 0# x < 2 des équations telles que les suivantes : 2 a) sin x + sin x - 2 = 0 b) 2 cos 2 x - 3 cos x + 1 = 0 c) tan2 x - 3 tan x + 2 = 0 Ils devraient rédiger un compte rendu de la solution détaillée de chaque équation. 90 Mathématiques 3231/3232 Les régularités et les relations : Les variables et les équations Pistes d'évaluation Ressources C Pendant que les élèves résolvent des équations trigonométriques qui font appel à la factorisation, surveiller à ce qu’ils n’éliminent pas le facteur commun quand ils simplifient. Observer s’ils sont capables d’identifier les solutions principales et les solutions générales de chaque équation. Mathématiques 3232 Omnimaths 12 C Soumettre aux élèves l’équation trigonométrique sin 2 x - 4 sin x + 4 = 0 et leur demander d’expliquer individuellement pourquoi elle n’admet pas de solutions tandis que l’équation algébrique z2 - 4z + 4 = 0 a des racines. Mathématiques 3232 Les réunir ensuite en équipes de deux et leur demander de discuter de leurs solutions afin d’y identifier les points forts et les points faibles et de suggérer des corrections si nécessaire. C En vue d’évaluer la compétence des élèves à résoudre des équations trigonométriques complexes, leur demander de rédiger un compte rendu de la démarche suivie pour trouver les solutions de l’équation x sin x - 1 = 0 dans l’intervalle , au millième près. Mathématiques 3232 Ils devraient décrire en détail toutes les fonctions et les options utilisées de l’outil technologique qui a servi à résoudre cette équation. Ramasser les comptes rendus des élèves afin de les examiner en vue de vérifier : S la qualité de l’analyse et du raisonnement ; S la clarté et l’organisation des étapes suivies ; S la précision des réponses ( ±1,114 et ±2,773). C Demander aux élèves d’inclure dans leur portfolio des activités qui fournissent une preuve qu’ils ont atteint les résultats d’apprentissage spécifiques relatifs à l’étude des équations trigonométriques avancées. Les inviter ensuite à des rencontres individuelles afin de discuter avec eux de la pertinence de ces activités. Mathématiques 3232 Mathématiques 3231/3232 91 Les régularités et les relations : Les variables et les équations Les régularités et les relations : Les variables et les équations RR2 : L’élève doit pouvoir exploiter les relations mathématiques pour analyser des situations diverses, faire des prédictions et prendre des décisions éclairées. Résultats d'apprentissage spécifiques Pistes d'enseignement L'élève doit pouvoir : RR2.14 vérifier les identités trigonométriques : S numériquement, pour les cas particuliers ; S algébriquement, pour les cas généraux ; S graphiquement ; C Amener les élèves à découvrir la différence entre une équation trigonométrique et une identité trigonométrique. Leur confier ensuite la tâche d’utiliser les identités pythagoriciennes sin 2 2 + cos 2 2 = 1 , 1 + tan2 2 = sec 2 2 et 1 + cotan2 2 = cosec 2 2 pour simplifier des expressions trigonométriques et prouver des identités telles que les suivantes : a) Simplifiez l’expression RR2.15 utiliser les identités d'addition, de soustraction et d'angles doubles pour le sinus et le cosinus pour résoudre des problèmes. Mathématiques 3232 . b) Démontrez l’identité . Attirer leur attention aux restrictions qu’ils doivent considérer en simplifiant des expressions. • Réunir les élèves en petites équipes et leur demander de résoudre des problèmes tels que le suivant : Soit l’équation . a) Montrez que cette équation est vraie pour x = 60 0. b) Utilisez un graphique pour montrer que cette équation pourrait être une identité. c) Prouvez algébriquement que cette équation est une identité. Une fois le problème résolu, inviter une équipe volontaire à présenter sa solution au reste de la classe. Au besoin, mettre à sa disposition un rétroprojecteur, une calculatrice à affichage graphique munie d’un acétate ou tablette électronique ou un ordinateur doté d’un logiciel graphique et d’un projecteur LCD (panneau à cristaux liquides). C Soumettre aux élèves du cours avancé des activités variées de résolution de problèmes qui font intervenir l’utilisation des formules de cos(A + B) , cos(A - B) , sin(A + B) , sin(A - B) , tan(A + B) , tan(A - B) , sin 2A , cos 2A et tan 2A . Au cours de ces activités, les élèves devraient résoudre des problèmes concrets et abstraits comme celui ci-dessous. On pose tan A = x et tan B = y , où A et B sont deux angles en radians. Calculez la mesure de (A + B), en radians, si (3x + 3)(2y + 2) = 12. Mathématiques 3232 92 Mathématiques 3231/3232 Les régularités et les relations : Les variables et les équations Pistes d'évaluation Ressources • Pendant que les élèves travaillent à démontrer des identités trigonométriques, circuler parmi eux afin de vérifier s'ils sont capables d'utiliser correctement un des procédés suivants : S Transformer le membre de gauche par des manipulations algébriques afin qu'il soit identique au membre de droite. S Transformer le membre de droite par des manipulations algébriques afin qu'il soit identique au membre de gauche. S Manipuler algébriquement et indépendamment les deux membres afin qu'ils soient identiques. Omnimaths 12 • Confier aux élèves la tâche d'utiliser une calculatrice à affichage graphique afin de tracer un diagramme qui montre que l'équation peut être une identité. Leur demander ensuite de prouver l'identité algébriquement. Une fois la tâche terminée, inviter les élèves à se réunir en équipes de deux afin de discuter de leurs solutions, d'y identifier les points forts et les points faibles et de suggérer des corrections si nécessaire. Circuler dans la classe pendant la discussion afin de s'assurer qu'ils utilisent la terminologie appropriée et qu'ils n'ont pas oublié d'indiquer les valeurs de la variable qui sont inadmissibles. • Demander aux élèves d'écrire dans leur journal de bord la définition de ce qu'est une identité trigonométrique et d'y ajouter un exemple et sa preuve. • Demander aux élèves du cours avancé de construire un tableau qui résume les identités d'addition et de soustraction de deux angles pour les fonctions sinus, cosinus et tangente et les identités d'angles doubles pour les mêmes fonctions. Mathématiques 3232 • Demander aux élèves de compiler un portfolio comprenant : S une lettre de présentation qui résume toutes les notions abordées concernant les équations et les fonctions exponentielles, logarithmiques et trigonométriques ; S des activités qui se rapportent aux notions étudiées et qui fournissent une preuve qu'ils ont atteint les résultats d'apprentissage spécifiques prescrits ; S une analyse de leur croissance personnelle en mathématiques en étudiant ces notions. Mathématiques 3231/3232 93 Les régularités et les relations : Les variables et les équations 94 Mathématiques 3231/3232