TD 2: Nombres complexes 1Équations trigonométriques 2 Forme

TD 2: Nombres complexes
c Emmanuel Vieillard-Baron,
1
2.3
Équations trigonométriques
1.1
1. Calculer les parties réelles et imaginaires de
Première série
z1 = (3 + 2i)2 (2 − i) z2 =
Résoudre dans l’ensemble des nombres réels les équations trigonométriques suivantes :
1. cos(2x) + cos(x) = 0
2. cos(2x) + cos(x) = −1
3. tan 3x − π5 = tan x +
1.2
4π
5
√
2. Calculer z3 = (1 + i 3)9 .
3. Soit z un nombre complexe différent de 1, calculer les parties réelles et imaginaires
de Z = 2+z̄
1−z̄ .
√
4. cos x − 3 sin x = 1
√
√
√
5. ( 3+1) cos x+( 3−1) sin x+ 3−1 =
0
2.4
Seconde série
Soit z ∈ U \ {1}. Montrer que :
Résoudre dans l’ensemble des nombres réels les équations trigonométriques suivantes :
1. cos 2x −
π
3
= sin x +
(3 + 2i)(1 + i)
.
1−i
3π
4
4. sin x + sin 2x + sin 3x = 0
√
√
5. 3 cos x − 3 sin x = 6
√
6. 2 sin x cos x + 3 cos 2x = 0
2. cos4 x + sin4 x = 1
3. sin x + sin 3x = 0
z+1
∈ iR.
z−1
2.5
Soient :
2
P = {z ∈ C | Im (z) > 0}
Forme algébrique - Forme trigonométrique
D = {z ∈ C | |z| < 1}
2.1
f : C \ {1} −→ C
z−i
z
7−→
z+i
1. Montrer que l’image par f d’un élément de P est élément de D.
2. Montrer que tout élément de F possède un unique antécédent par f dans P .
Mettre sous forme algébrique puis trigonométrique le nombre complexe :
Z=
−4
√ .
1+i 3
Calculer Z 3 .
3
2.2
3.1
Calculer les parties réelles et imaginaires des nombres complexes :
3
1. (1 − i)
2.
Modules et arguments
√1+i
3+i
3. e−24iπ + e4iπ
4.
(1+2i)2 −(1−i)3
(3+2i)3 −(2+i)2
On donne les nombres complexes
√
√
√ 1
√
3
−1 + i 3
√ .
z1 = ( 6 + i 2)( + i
) z2 =
1
3
4
4
2 +i 2
1. Mettre z1 et z2 sous forme algébrique a + i b.
4.2
2. Déterminer le module puis un argument de z1 , z2 et z1 z2 .
Résoudre de deux façons différentes l’équation (z + 1)5 = (z − 1)5 . Comparer les
3. Déterminer le module puis un argument de Z = zz12 , Z ′ = z26 . Écrire Z et Z ′ sous résultats.
forme algébrique.
4.3
3.2
Résoudre dans C les équations :
Soient les nombres complexes :
√
z1 = 1 + i z2 = 3 + i
√
√
z3 = 2 − i 2.
1. z 2 = −7 + 24i
1. Déterminer le module puis un argument de chacun de ces nombres.
z14
2. z 2 = −3 − 4i
z14 z3
z2 .
Ecrire Z sous forme
2. En déduire le module et un argument de
et de Z =
exponentielle puis sous forme trigonométrique.
3. Calculer la forme algébrique de Z.
7π
π
π
4. En déduire la valeur exacte de cos( 7π
16 ), sin( 12 ), cos( 12 ), sin( 12 ).
2
3. z − 2(2 + i)z + 6 + 8i = 0
6. z 6 + (2i − 1)z 3 − 1 − i = 0
Déterminer :
1. Les racines cinquièmes de −i
p
p
√
√
Déterminer le module et l’argument de z = 2 + 2 + i 2 + 2.
2. Les racines sixièmes de
−4
√
1+i 3
4.5
Déterminer le module et l’argument de, pour θ ∈ R :
eiθ + 1
et eiθ − 1
3.5
Simplifier, pour θ ∈ ]−π, π[ :
Calculer le produit des n racines nième de l’unité.
5
Application des nombres complexes à la géométrie
5.1
iθ
e −1
eiθ + 1
Polynômes, équations, racines nième de l’unité
4
5. z 4 + (3 − 6i)z 2 − 2(4 + 3i) = 0
4.4
3.3
3.4
4. z 2 + z + 1 = 0
4.1
Montrer que
|z − i| = |z + i]
si et seulement si z est réel.
5.2
Soit P le polynôme défini dans C par :
P (z) = z 3 + (−2 − 3 i)z 2 + 3(1 + 2 i)z − 9 i.
1. Montrer que P possède une racine imaginaire pure.
2. Montrer qu’il existe un polynôme Q(z) de degré 2 tel que P (z) = (z − 3 i)Q(z).
3. Résoudre alors P (z) = 0. Terminer la factorisation de P .
Déterminer les points M du plan d’affixe z tels que :
1.
1+z
1−z
∈ R.
2.
1+z
1−z
∈ IR.
1+z 3. 1−z
= 1.
4. M est aligné avec les points d’affixe i
et iz.
5.3
5.6
1. Résoudre dans C l’équation : z 2 − 2z + 2 = 0.
2. On note K, L, M les points d’affixes respectives
zK = 1 + i zL = 1 − i
Soient x ety deux réels. On considère les nombres complexes : z1 = x − 4 + i(y − 5),
z2 = x + 4 + i(1 − y), z = x + iy et son image M (x, y) dans le plan.
1. Pour quel point M a-t-on z1 = 3z2 ?
√
zM = −i 3.
2. Déterminer et représenter l’ensemble D des points M tels que z1 − z2 soit réel.
Placer ces points dans le plan muni d’un repère orthonormal direct (O,~i, ~j) d’unité
graphique 2 cm. On complètera la figure dans les questions suivantes.
3. On note A le point d’affixe −2i. Montrer que z1 z2 est imaginaire pur si et seulement
si |z + 2i| = 5. En déduire l’ensemble C des points M tels que z1 z2 soit imaginaire
pur.
3. (a) Soit N le symétrique
√ du point M par rapport au point L. Vérifier que l’affixe
zN de N est 2 + i( 3 − 2).
(b) La rotation de centre O et d’angle π2 transforme le point M en le point A, le
point N en le point C. Déterminer les affixes zA et zC de A et C.
6
(c) La translation de vecteur w
~ d’affixe 2i transforme le point M en le point D et
le point N en le point B. Déterminer les affixes zD et zB de D et B.
6.1
4. (a) Montrer que le point K est le milieu de [BD] et [AC].
(b) Montrer que
zC − zK
= i.
zB − zK
(c) En déduire la nature du quadrilatère ABCD.
5.4
Identité du parallélogramme
Application à la trigonométrie
Linéariser :
1. cos2 x
2
2. cos x sin x
e
ikθ
=e
in θ2
k=0
n
X
cos (kθ)
et
k=0
AC 2 + BD2 = AB 2 + BC 2 + CD2 + DA2 .
On pose u = e .
– Calculer 1 + u + u2 + u3 + u4 + u5 .
– En déduire la valeur de cos 2π
5 .
– Application :comment construire à la règle et au compas un pentagone régulier...
6. cos2 sin3 x
n
X
– En déduire que dans un paralélogramme ABCD, la somme des carrés des diagonales En déduire :
est égale à la somme des carrés des côtés :
2iπ
5
4. cos a cos b
Soit n ∈ N. Montrer que :
|z + z ′ |2 + |z − z ′ |2 = 2(|z| + |z ′ |2 ).
Construction à la règle et au compas du pentagone régulier
5. cos a cos b cos c
6.2
– Montrer que pour tout complexes z et z ′ , on a :
5.5
3. cos2 x sin2 x
sin (n+1)θ
2
sin θ2
n
X
sin (kθ)
k=0
6.3
1. Calculer Cn =
n
X
k=0
cos(x + kα) et Sn =
n
X
sin(x + kα).
k=0
2. (Polynômes de Tchebychev) Soit n ∈ N∗ . Exprimer cos nx sous la forme
Tn (cos x) et sin nx sous la forme sin xPn (cos x) où Tn et Pn sont des polynômes.
7
Application à la géométrie
(b) L’image du point A par une rotation d’angle θ et de centre O.
(c) L’image du point A par une homothétie de centre O et de rapport k.
2. Montrer que le triangle ABC est équilatéral si et seulement si
7.1
On considère les points A et B du plan complexe d’affixes respectives :
zA = 1 + i et zB = −2 + 3i
1. Déterminer l’affixe du point E en sorte que le triangle ABE soit équilatéral direct.
2. Déterminer les affixes des points C et D tels que ABCD soit un carré direct.
7.2
On considère les points A et B du plan complexe d’affixes respectives :
zA = 2 + 4i et zB = 8 + i
Prouver que le triangle OEF est rectangle.
7.3
a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca.
7.6
→
→
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal (O, −
u ,−
v ). Á tout point M du
−1
′
′
plan on associe un point M d’affixe z = z̄ :
1. Déterminer une relation entre les arguments de z et de z ′ . En déduire que les points
O, M et M ′ sont alignés.
2. Montrer que z ′ + 1 = 1z (z − 1).
On appelle A et B les points d’affixe respective 1 et −1 et C le cercle de centre A et
contenant le point O.
3. On suppose dans cette question que M appartient à C \ {O}.
(a) Justifier l’égalité |z − 1| = 1. Montrer que |z ′ + 1| = |z ′ |. Interpréter
géométriquement cette égalité.
(b) Déduire de ce qui précède une construction du point M ′ à partir du point M .
On considère les points A, B et C du plan complexe d’affixes respectives :
zA = 1 − i,
zB = 3 − i
et zC = 2i
4. On suppose que M est d’affixe non réelle. On nomme M1 son symétrique par rapport
à l’axe des réels :
1. Déterminer k ∈ R en sorte que O soit le barycentre de (A, k), (B, 2) et (C, −2).
2. Si les points A, B et C ont pour affixes respectives z, z ′ et z ′′ ∈ C, à quelle(s)
condition(s) O est-il le barycentre de (A, k), (B, 2) et (C, −2) ? Exprimer alors la
valeur de k.
′
7.4
→
→
Dans un repère orthonormal (O, −
u,−
v ), on considère la suite de points Mn d’affixes
zn définies par :
√
1+i 3
zn .
z0 = 8 et pour tout n > 1, zn+1 =
4
√
1. Mettre 1+i4 3 sous forme trigonométrique.
2. Calculer z1 , z2 et z3 et placer les points M0 , M1 , M2 , M3 .
z
n
3. Calculer n+1−z
zn+1 . En déduire que (O, Mn , Mn+1 est rectangle et que |zn+1 − zn | =
√
3|zn+1 |.
7.5
Soient A, B et C trois points du plan d’affixe respective a, b et c :
1. Donner l’affixe des points suivants :
→
(a) L’image du point A par une translation de vecteur −
v.
′
z +1
(a) Calculer zz′ +1
−1 en fonction de z̄. Exprimer alors l’argument de z ′ −1 en fonction
−−−→
−−−→
\
de (M1 A, M1 B).
(b) Montrer que M ′ appartient au cercle circonscrit au triangle AM B. (On pourra
−−→
−−→
\
utiliser le fait que 4 points A, B, M et M ′ sont cocycliques si (M A, M B) =
−−→
−−−→
\
(M ′ A, M ′ B) [π]).
7.7
8
Similitudes
8.1
Étudier la similitude qui transforme A(1; 2) en A′ (0; −3) et B(3, −1) en B ′ (1, 1).
8.2
√
On considère l’homothétie h de centre A(3; −1) de rapport − 2 ; la rotation r de centre
−−→
B(0; 2), d’angle 3π
4 ; la translation t de vecteur BO. On considère l’application composée
s = t ◦ r ◦ h. Déterminer lepoint Ω tel que s(Ω) = O.