TD 2: Nombres complexes 1Équations trigonométriques 2 Forme

TD 2: Nombres complexes
c
Emmanuel Vieillard-Baron,
1´ Equations trigonom´etriques
1.1 Premi`ere s´erie
R´esoudre dans l’ensemble des nombres r´eels les ´equations trigonom´etriques suivantes :
1. cos(2x) + cos(x) = 0
2. cos(2x) + cos(x) = −1
3. tan 3x−π
5= tan x+4π 5
4. cos x−√3 sin x= 1
5. (√3+1) cos x+(√3−1) sin x+√3−1 =
0
1.2 Seconde s´erie
R´esoudre dans l’ensemble des nombres r´eels les ´equations trigonom´etriques suivantes :
1. cos 2x−π
3= sin x+3π 4
2. cos4x+ sin4x= 1
3. sin x+ sin 3x= 0
4. sin x+ sin 2x+ sin 3x= 0
5. 3 cos x−√3 sin x=√6
6. 2 sin xcos x+√3 cos 2x= 0
2 Forme alg´ebrique - Forme trigonom´etrique
2.1
Mettre sous forme alg´ebrique puis trigonom´etrique le nombre complexe :
Z=−4
1 + i√3.
Calculer Z3.
2.2
Calculer les parties r´eelles et imaginaires des nombres complexes :
1. (1 −i)3
2. 1+i
√3+i
3. e−24iπ +e4iπ
4. (1+2i)2−(1−i)3
(3+2i)3−(2+i)2
2.3
1. Calculer les parties r´eelles et imaginaires de
z1= (3 + 2i)2(2 −i)z2=(3 + 2i)(1 + i)
1−i.
2. Calculer z3= (1 + i√3)9.
3. Soit zun nombre complexe diff´erent de 1, calculer les parties r´eelles et imaginaires
de Z=2+¯z
1−¯z.
2.4
Soit z∈U\ {1}. Montrer que :
z+ 1
z−1∈iR.
2.5
Soient :
P={z∈C|Im (z)>0}
D={z∈C| |z|<1}
f:C\ {1} −→ C
z7−→ z−i
z+i
1. Montrer que l’image par fd’un ´el´ement de Pest ´el´ement de D.
2. Montrer que tout ´el´ement de Fposs`ede un unique ant´ec´edent par fdans P.
3 Modules et arguments
3.1
On donne les nombres complexes
z1= (√6 + i√2)(1
4+i√3 4)z2=−1 + i√3
1
2+i√3 2
.

1. Mettre z1et z2sous forme alg´ebrique a+i b.
2. D´eterminer le module puis un argument de z1,z2et z1z2.
3. D´eterminer le module puis un argument de Z=z1
z2,Z′=z6
2.´
Ecrire Zet Z′sous
forme alg´ebrique.
3.2
Soient les nombres complexes :
z1= 1 + i z2=√3 + i z3=√2−i√2.
1. D´eterminer le module puis un argument de chacun de ces nombres.
2. En d´eduire le module et un argument de z4
1et de Z=z4
1z3
z2. Ecrire Zsous forme
exponentielle puis sous forme trigonom´etrique.
3. Calculer la forme alg´ebrique de Z.
4. En d´eduire la valeur exacte de cos(7π
16 ), sin(7π 12 ), cos( π 12 ), sin( π 12 ).
3.3
D´eterminer le module et l’argument de z=p2 + √2 + ip2 + √2.
3.4
D´eterminer le module et l’argument de, pour θ∈R:
eiθ + 1 et eiθ −1
3.5
Simplifier, pour θ∈]−π, π[ :
eiθ −1
eiθ + 1
4 Polynˆomes, ´equations, racines ni`eme de l’unit´e
4.1
Soit Ple polynˆome d´efini dans Cpar :
P(z) = z3+ (−2−3i)z2+ 3(1 + 2 i)z−9i.
1. Montrer que Pposs`ede une racine imaginaire pure.
2. Montrer qu’il existe un polynˆome Q(z) de degr´e 2 tel que P(z) = (z−3i)Q(z).
3. R´esoudre alors P(z) = 0. Terminer la factorisation de P.
4.2
R´esoudre de deux fa¸cons diff´erentes l’´equation (z+ 1)5= (z−1)5. Comparer les
r´esultats.
4.3
R´esoudre dans Cles ´equations :
1. z2=−7 + 24i
2. z2=−3−4i
3. z2−2(2 + i)z+ 6 + 8i= 0
4. z2+z+ 1 = 0
5. z4+ (3 −6i)z2−2(4 + 3i) = 0
6. z6+ (2i−1)z3−1−i= 0
4.4
D´eterminer :
1. Les racines cinqui`emes de −i
2. Les racines sixi`emes de −4
1+i√3
4.5
Calculer le produit des nracines ni`eme de l’unit´e.
5 Application des nombres complexes `a la g´eom´etrie
5.1
Montrer que
|z−i|=|z+i]
si et seulement si zest r´eel.
5.2
D´eterminer les points Mdu plan d’affixe ztels que :
1. 1+z
1−z∈R.
2. 1+z
1−z∈IR.
3. 
1+z
1−z
= 1.
4. Mest align´e avec les points d’affixe i
et iz.

5.3
1. R´esoudre dans Cl’´equation : z2−2z+ 2 = 0.
2. On note K, L, M les points d’affixes respectives
zK= 1 + i zL= 1 −i zM=−i√3.
Placer ces points dans le plan muni d’un rep`ere orthonormal direct (O,~ i,~ j) d’unit´e
graphique 2 cm. On compl`etera la figure dans les questions suivantes.
3. (a) Soit Nle sym´etrique du point Mpar rapport au point L. V´erifier que l’affixe
zNde Nest 2 + i(√3−2).
(b) La rotation de centre Oet d’angle π
2transforme le point Men le point A, le
point Nen le point C. D´eterminer les affixes zAet zCde Aet C.
(c) La translation de vecteur ~w d’affixe 2itransforme le point Men le point Det
le point Nen le point B. D´eterminer les affixes zDet zBde Det B.
4. (a) Montrer que le point Kest le milieu de [BD] et [AC].
(b) Montrer que
zC−zK
zB−zK
=i.
(c) En d´eduire la nature du quadrilat`ere ABCD.
5.4 Identit´e du parall´elogramme
– Montrer que pour tout complexes zet z′, on a :
|z+z′|2+|z−z′|2= 2(|z|+|z′|2).
– En d´eduire que dans un paral´elogramme ABCD, la somme des carr´es des diagonales
est ´egale `a la somme des carr´es des cˆot´es :
AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.
5.5 Construction `a la r`egle et au compas du pentagone r´egulier
On pose u=e2iπ
5.
– Calculer 1 + u+u2+u3+u4+u5.
– En d´eduire la valeur de cos 2π
5.
– Application :comment construire `a la r`egle et au compas un pentagone r´egulier...
5.6
Soient xetydeux r´eels. On consid`ere les nombres complexes : z1=x−4 + i(y−5),
z2=x+ 4 + i(1 −y), z=x+iy et son image M(x, y) dans le plan.
1. Pour quel point Ma-t-on z1= 3z2?
2. D´eterminer et repr´esenter l’ensemble Ddes points Mtels que z1−z2soit r´eel.
3. On note Ale point d’affixe −2i. Montrer que z1z2est imaginaire pur si et seulement
si |z+ 2i|= 5. En d´eduire l’ensemble Cdes points Mtels que z1z2soit imaginaire
pur.
6 Application `a la trigonom´etrie
6.1
Lin´eariser :
1. cos2x
2. cos xsin2x
3. cos2xsin2x
4. cos acos b
5. cos acos bcos c
6. cos2sin3x
6.2
Soit n∈N. Montrer que :
n
X
k=0
eikθ =ein θ
2sin (n+1)θ
2
sin θ
2
En d´eduire :
n
X
k=0
cos (kθ) et
n
X
k=0
sin (kθ)
6.3
1. Calculer Cn=
n
X
k=0
cos(x+kα) et Sn=
n
X
k=0
sin(x+kα).
2. (Polynˆomes de Tchebychev) Soit n∈N∗. Exprimer cos nx sous la forme
Tn(cos x) et sin nx sous la forme sin xPn(cos x) o`u Tnet Pnsont des polynˆomes.

7 Application `a la g´eom´etrie
7.1
On consid`ere les points Aet Bdu plan complexe d’affixes respectives :
zA= 1 + iet zB=−2 + 3i
1. D´eterminer l’affixe du point Een sorte que le triangle ABE soit ´equilat´eral direct.
2. D´eterminer les affixes des points Cet Dtels que ABCD soit un carr´e direct.
7.2
On consid`ere les points Aet Bdu plan complexe d’affixes respectives :
zA= 2 + 4iet zB= 8 + i
Prouver que le triangle OEF est rectangle.
7.3
On consid`ere les points A,Bet Cdu plan complexe d’affixes respectives :
zA= 1 −i, zB= 3 −iet zC= 2i
1. D´eterminer k∈Ren sorte que Osoit le barycentre de (A, k), (B, 2) et (C, −2).
2. Si les points A,Bet Cont pour affixes respectives z,z′et z′′ ∈C, `a quelle(s)
condition(s) Oest-il le barycentre de (A, k), (B, 2) et (C, −2) ? Exprimer alors la
valeur de k.
7.4
Dans un rep`ere orthonormal (O, −→ u , −→ v), on consid`ere la suite de points Mnd’affixes
znd´efinies par :
z0= 8 et pour tout n>1, zn+1 =1 + i√3
4zn.
1. Mettre 1+i√3
4sous forme trigonom´etrique.
2. Calculer z1, z2et z3et placer les points M0,M1,M2,M3.
3. Calculer zn+1−zn
zn+1 . En d´eduire que (O, Mn, Mn+1 est rectangle et que |zn+1 −zn|=
√3|zn+1|.
7.5
Soient A, B et Ctrois points du plan d’affixe respective a, b et c:
1. Donner l’affixe des points suivants :
(a) L’image du point Apar une translation de vecteur −→ v.
(b) L’image du point Apar une rotation d’angle θet de centre O.
(c) L’image du point Apar une homoth´etie de centre Oet de rapport k.
2. Montrer que le triangle ABC est ´equilat´eral si et seulement si
a2+b2+c2=ab +bc +ca.
7.6
Le plan complexe est muni d’un rep`ere orthonormal (O, −→ u , −→ v). ´ A tout point Mdu
plan on associe un point M′d’affixe z′=−1
¯z:
1. D´eterminer une relation entre les arguments de zet de z′. En d´eduire que les points
O, M et M′sont align´es.
2. Montrer que z′+ 1 = 1
z(z−1).
On appelle Aet Bles points d’affixe respective 1 et −1 et Cle cercle de centre Aet
contenant le point O.
3. On suppose dans cette question que Mappartient `a C \ {O}.
(a) Justifier l’´egalit´e |z−1|= 1. Montrer que |z′+ 1|=|z′|. Interpr´eter
g´eom´etriquement cette ´egalit´e.
(b) D´eduire de ce qui pr´ec`ede une construction du point M′`a partir du point M.
4. On suppose que Mest d’affixe non r´eelle. On nomme M1son sym´etrique par rapport
`a l’axe des r´eels :
(a) Calculer z′+1
z′−1en fonction de ¯z. Exprimer alors l’argument de z′+1 z′−1en fonction
de ( \
−−−→
M1A, −−−→ M1B).
(b) Montrer que M′appartient au cercle circonscrit au triangle AMB. (On pourra
utiliser le fait que 4 points A,B,Met M′sont cocycliques si ( \
−−→
MA, −−→ MB) =
(\
−−→
M′A, −−−→ M′B) [π]).
7.7
8 Similitudes
8.1
´
Etudier la similitude qui transforme A(1; 2) en A′(0; −3) et B(3,−1) en B′(1,1).
8.2
On consid`ere l’homoth´etie hde centre A(3; −1) de rapport −√2 ; la rotation rde centre
B(0; 2), d’angle 3π
4; la translation tde vecteur −−→
BO. On consid`ere l’application compos´ee
s=t◦r◦h. D´eterminer lepoint Ω tel que s(Ω) = O.