Electromagnétisme, TD n˚4, corrigé Relation entre rayonnement

Electromagnétisme, TD n˚4, corrigé
Relation entre rayonnement, diffraction,
réflexion et diffusion
1 Calcul du champ rayonné
a)
En champ lointain, le champ électrique est donné par
E=−∂A⊥
∂t ,A⊥=A−(A.u)u
où u=r/r est le vecteur unitaire dans la direction d’observation. En champ lointain, le potentiel
vecteur A(r, t) = A(r)e−iωt est donné par
A(r) = µ0
4π
eikr
rZa/2
−a/2
dx0Zb/2
−b/2
dy0j0eyexp[i(αix0+βiy0−ku·r0)]
avec k=ω/c = 2π/λ. L’intégration sur r0s’effectue dans le plan (x, y). On peut donc écrire
ku·r0=αx0+βy0où α=ksin θcos φet β=ksin θsin φ. Le potentiel vecteur s’écrit alors
A(r) = µ0
4π
eikr
rj0eyZa/2
−a/2
ei(αi−α)x0dx0Zb/2
−b/2
ei(βi−β)y0dy0
soit, en effectuant l’intégration
A(r) = µ0
4π
eikr
rj0abey
sin[(αi−α)a/2]
(αi−α)a/2
sin[(βi−β)b/2]
(βi−β)b/2=A(r)ey
1

En régime monochromatique, le champ électrique vaut E=iωA⊥. Comme Aest proportionnel
au vecteur constant ey, le calcul de Ese ramène au calcul de ey⊥:
E(r) = iωA(r)
−sin2θcos φsin φ
1−sin2θsin2φ
−sin θcos θsin φ
Calcul de la puissance moyenne rayonnée en champ lointain
Notons hΠ(r)ila valeur moyenne du vecteur de Poynting au point ret Pray la puissance moyenne
rayonnée dans l’angle solide Ωautour de la direction u. On a la relation suivante :
Pray =hΠ(r)i · Savec S=r2Ωu(1)
La valeur moyenne du vecteur de Poynting est donnée par la formule usuelle :
hΠ(r)i=1
2µ0
Re {E×B∗}(2)
En champ lointain, les champs Eet Bsont transverses et sont donnés en fonction du potentiel
vecteur A(régime monochromatique à la pulsation ω) par :
E=i ω A⊥(3)
B=iω
cu×A=iω cu×A⊥(4)
Ainsi :
hΠ(r)i=ω2
2µ0c|A⊥|2u(5)
Ceci nous donne finalement l’expression de la puissance moyenne rayonnée dans l’angle solide Ω
autour de la direction u:
Pray =ε0c
2ω2r2|A⊥|2Ω(6)
On remarquera que cette puissance est indépendante de rcar |A⊥|2varie en 1/r2en champ
lointain, dans le vide.
Enfin, comme A(r) = A(r)eydans notre cas, nous pouvons montrer en faisant le calcul (long et
fastidieux...) sur les coordonnées sphériques que :
|A⊥|2=|A|21−sin2θsin2φ(7)
b) Dans cette partie, on raisonne directement sur le potentiel vecteur, ce qui est suffisant pour
déterminer l’existence de lobes.
L’expression du potentiel vecteur contient un produit de deux sinus cardinaux. On aura des zéros
d’émission pour les directions telles que :
(αi−ksin θcos φ)a
2=pπ
2

(βi−ksin θsin φ)b
2=p0π
où pet p0sont des entiers. On a donc des lobes d’autant plus nombreux et étroits que aet bsont
grands.
Si on se limite au plan (x, z), on a φ= 0. La condition pour avoir un zéro d’émission est
(αi−ksin θ)a/2 = pπ. Pour αi= 0, le premier zéro est tel que ksin θa/2 = π, c’est-à-dire
sin θ=λ/a. C’est l’ouverture angulaire du faisceau rayonné. On retrouve ici l’ouverture angulaire
classique due à la diffraction.
c) Si αiet βisont nuls, alors les sinus cardinaux sont maxima pour α=β= 0, c’est-à-dire dans
la direction Oz. Le champ rayonné est donc maximum dans la direction normale.
On peut comprendre ce résultat de manière intuitive. Le courant dans la plaque étant uniforme
pour αi=βi= 0, tous les éléments de courants sont en phase. Dans la direction Oz, il n’y a
pas de différence de marche entre les champs émis par les différents éléments de courant : les
champs émis sont donc aussi en phase. On a des interférences constructives, et donc un maximum
d’émission dans cette direction.
d)
Cherchons la direction θpour laquelle les points en 0et a/2émettent en opposition de phase. Il
faut que 2π
λOM =2π λ
a
2sin θ=π
soit sin θ=λ/a. Dans ce cas, on peut associer deux à deux tous les points de la plaque séparés de
a/2. Les champs émis par ces deux points interfèrent destructivement et s’annulent. On a donc
un zéro d’émission globale de la plaque.
2 Réflexion, diffraction, diffusion
a) Si les dimensions de la plaque sont grandes devant la longueur d’onde, cette plaque est un
miroir. Le maximum d’émission est obtenu pour α=αiet β=βi. On retrouve bien les lois de
Descartes, c’est-à-dire la conservation de la composante tangentielle du vecteur d’onde entre le
champ incident et le champ réfléchi (rayonné par le courant induit).
Le mécanisme physique conduisant à la réflexion est le suivant : une onde électromagnétique met
en mouvement les électrons du métal. Il apparaît alors un courant induit variable dans le temps.
Ce courant induit rayonne un champ, c’est le champ réfléchi.
3

La direction spéculaire (la direction donnée par les lois de Descartes) est la seule pour laquelle
tous les éléments de courants du miroir émettent en phase. Dès que l’on s’écarte un peu de
cette direction, l’accord de phase entre les champs rayonnés par les différents points de la plaque
diminue rapidement et le champ s’annule très vite : le champ réfléchi est donc très directif.
b) Le faisceau réfléchi a une ouverture angulaire. Dans le plan (x, z), cette ouverture angulaire
θ'λ/a est, dans le langage de l’optique physique, attribuée à la diffraction du faisceau (on
retrouve bien le résultat classique). Dans le point de vue adopté ici, le miroir est considéré comme
une antenne et l’ouverture angulaire apparaît comme une conséquence de la taille finie de cette
antenne. L’ouverture angulaire du faisceau réfléchi est due à la perte progressive de l’accord de
phase entre les champs émis par les différents points de l’antenne lorsque l’on s’éloigne de la
direction spéculaire. La “diffraction” du faisceau est donc liée à un phénomène d’interférences
entre les champs émis par les différents points de la plaque.
c) La plaque a maintenant des dimensions très petites devant la longueur d’onde considérée.
Les sinus cardinaux de l’expression du champ sont constants et égaux à 1. On n’a donc plus de
dépendance en θ. On a une source ponctuelle oscillant dans le temps, telle qu’il n’y ait plus de
déphasage entre les différents points de la source : c’est un dipôle ponctuel. Un exemple type est
une poussière qui diffuse la lumière visible. Le potentiel vecteur est alors donné par :
A(r) = µ0
4π
eikr
rj0abey=µ0 4π
eikr
r(−iωp0)
On retrouve bien la forme du potentiel vecteur dans l’approximation dipolaire, le moment dipo-
laire de la plaque étant donné par −iωp0=j0ab ey.
4