Electromagnétisme, TD n˚3, corrigé Retour sur le bleu du ciel

Electromagnétisme, TD n˚3, corrigé
Retour sur le bleu du ciel
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Diffusion par une particule
1) La molécule que l’on considère est située en O. On peut écrire son moment dipolaire p0 =
0 α(ω)Einc (0) = 0 α(ω)E0 . Le potentiel vecteur s’en déduit immédiatement (résultat de cours) :
A(r) =
µ0 exp(ikr)
(−iωp0 )
4π
r
En champ lointain, le champ électrique rayonné est :
E(r) = iωA⊥ (r) =
µ0 exp(ikr) 2
ω p0,⊥
4π
r
Le symbole ⊥ signifie "transverse", c’est-à-dire que l’on prend la composante du vecteur qui
est dans le plan perpendiculaire à la direction d’observation (axe émetteur observateur) ur . Les
champs électrique et magnétiques rayonnés en champ lointain sont donc perpendiculaires à la
direction de propagation. On retrouve une caractéristique des ondes planes. Rappel : en champ
lointain on a montré que les ondes étaient localement planes.
2) L’onde plane incidente est polarisée suivant Ox. Cela signifie que E0 = E0 ex . Le moment
dipolaire de la molécule est donc lui aussi orienté suivant Ox, ainsi que le potentiel vecteur A(r).
Dans la direction d’observation Ox, la composante transverse de E0 est nulle : le champ électrique
diffusé dans cette direction est donc nul. Dans la direction Oy, E0,⊥ = E0 , le champ électrique
diffusé a une amplitude maximale.
3) La lumière solaire n’est pas polarisée, c’est à dire que la polarisation du champ électrique
incident est aléatoire. Mais elle est dans le plan xOy. Si l’on décompose le champ électrique
incident sur la base ex , ey , on peut écrire le champ diffusé sous la forme (c’est aussi la linéarité
des équations de Maxwell) :
Ediff = (...)p0x ex,⊥ + (...)p0y ey,⊥
Dans la direction d’observation Ox, ex,⊥ = 0 et ey,⊥ = ey . Le champ diffusé n’est donc proportionnel qu’à ey : la lumière diffusée dans cette direction est polarisée !
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4) La puissance diffusée dP dans un angle solide dΩ se calcule à partir du vecteur de Poynting
Π = 2µ1 0 Re (E × B∗ ). En exprimant E et B en champ lointain à l’aide du potentiel vecteur, on
montre facilement que :
dP =
ω2
ω2
|A⊥ |2 udS =
|A⊥ |2 r2 dΩ
2µ0 c
2µ0 c
En réinjectant l’expression de A⊥ , il vient :
dP =
µ0 p20 4
ω |ex,⊥ |2 dΩ
32π 2 c
Si la polarisabilité est constante, cette puissance diffusée varie en ω 4 .
5) Le bleu, autour de 400 nm, est plus diffusé que le rouge, autour de 600 nm, d’un facteur
(600/400)4 = 5
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Exercice de diffusion : les montagnes au loin sont bleues...
1) La section efficace de diffusion est définie par le rapport de la puissance totale diffusée et de
l’amplitude du vecteur de Poynting incident. Le rapport entre puissance et vecteur de Poynting
s’exprime bien en unités de surface, d’où le terme de "section efficace".
Le vecteur de Poynting incident (valeur moyenne temporelle) est :
|Πinc | =
0 c
|E0 |2
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La puissance totale diffusée Pdiff est l’intégrale sur les angles solides de dP (défini en 1.4). En
remarquant que |ex,⊥ |2 = (1 − sin2 θ cos2 Φ), il vient :
Pdiff =
8π µ0 p20 4
µ0 p20 4
ω
=
ω
3 32π 2 c
12πc
en remarquant que p0 = 0 α0 E0 , et en utilisant 0 µ0 c2 = 1, on trouve la section efficace de
diffusion :
Pdiff
α2 ω 4
σdiff =
= 0 4
|Πinc |
6πc
2) Le libre parcours moyen lpm est par définition : lpm = 1/nσdiff où n est le nombre de particules
par unité de volume dans le milieu (ici l’atmosphère).
3) Le flux lumineux dans la direction de l’observateur décroît lors de la traversée de l’atmosphère. Cette atténuation n’est pas due à de l’absorption mais à de la diffusion, c’est-à-dire
de "l’éparpillement" de la lumière au fur et à mesure de sa propagation. La luminance est
L0B = LB exp(−D/lpm)
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4) Le soleil éclaire le volume δV qui diffuse la lumière. Ce volume contient nδV molécules. On a
d’après la question 1.41 :
0 α02 E02 4
dPd = nδV
ω dΩ
32π 2 c3
5) Par définition dLd =
dPd
dΩS .
Il vient donc :
dLd = ndy
0 α02 E02 4
ω
32π 2 c3
6) Entre l’observateur et la chaîne de montagne, on a donc la luminance de l’atmosphère :
Z D
Ld =
0
dLd = nD
0 α02 E02 4
ω
32π 2 c3
app
0
7) On a Lapp
B = LB + Ld et LN = Ld
8) Le contraste apparent est défini par :
C app =
app
Lapp
B − LN
app
Lapp
B + LN
α2 ω 4
cE 2
3 0 0
0
On note K(ω) = nD 6πc
4 . On peut écrire Ld = 8π
2 K(ω). On peut écrire le contraste
apparent sous la forme :
exp[−K(ω)]
C app =
3K(ω)/2 + exp[−K(ω)]
Application numérique : le contraste est de l’ordre de 9%. La couleur des montagne est due à la
diffusion de l’atmosphère : on les voit bleues.
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Attention, il y a ici une petite erreur de raisonnement : on considère le rayonnement de chaque particule de
manière indépendante et sans prendre en compte les interférences entre les différentes particules ! Le résultat est
quand même juste car l’atmosphère n’est pas figée : on peut montrer que le fait que les molécules bougent dans
l’air conduit en moyenne à sommer les puissances diffusées par chaque molécule
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luminance/LB
4.5
4
Lapp
N
3.5
Lapp
B
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
400
450
500
550
600
longueur d’onde (nanomètres)
650
700
Fig. 1 – à gauche : luminances apparentes en fonction de la longueur d’onde. Le bleu est beaucoup
plus présent dans le spectre que le jaune ou le rouge. À droite : vue dans le massif du Mont Blanc
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