Electromagnétisme, TD n˚3, corrigé Retour sur le bleu du ciel

Electromagnétisme, TD n˚3, corrigé
Retour sur le bleu du ciel
1 Diffusion par une particule
1) La molécule que l’on considère est située en O. On peut écrire son moment dipolaire p0 =
0α(ω)Einc(0) = 0α(ω)E0. Le potentiel vecteur s’en déduit immédiatement (résultat de cours) :
A(r) = µ0
4π
exp(ikr)
r(−iωp0)
En champ lointain, le champ électrique rayonné est :
E(r) = iωA⊥(r) = µ0
4π
exp(ikr)
rω2p0,⊥
Le symbole ⊥signifie "transverse", c’est-à-dire que l’on prend la composante du vecteur qui
est dans le plan perpendiculaire à la direction d’observation (axe émetteur observateur) ur. Les
champs électrique et magnétiques rayonnés en champ lointain sont donc perpendiculaires à la
direction de propagation. On retrouve une caractéristique des ondes planes. Rappel : en champ
lointain on a montré que les ondes étaient localement planes.
2) L’onde plane incidente est polarisée suivant Ox. Cela signifie que E0=E0ex. Le moment
dipolaire de la molécule est donc lui aussi orienté suivant Ox, ainsi que le potentiel vecteur A(r).
Dans la direction d’observation Ox, la composante transverse de E0est nulle : le champ électrique
diffusé dans cette direction est donc nul. Dans la direction Oy, E0,⊥=E0, le champ électrique
diffusé a une amplitude maximale.
3) La lumière solaire n’est pas polarisée, c’est à dire que la polarisation du champ électrique
incident est aléatoire. Mais elle est dans le plan xOy. Si l’on décompose le champ électrique
incident sur la base ex,ey, on peut écrire le champ diffusé sous la forme (c’est aussi la linéarité
des équations de Maxwell) :
Ediff = (...)p0xex,⊥+ (...)p0yey,⊥
Dans la direction d’observation Ox, ex,⊥= 0 et ey,⊥=ey. Le champ diffusé n’est donc propor-
tionnel qu’à ey: la lumière diffusée dans cette direction est polarisée !
1

4) La puissance diffusée dPdans un angle solide dΩse calcule à partir du vecteur de Poynting
Π=1
2µ0Re (E×B∗). En exprimant Eet Ben champ lointain à l’aide du potentiel vecteur, on
montre facilement que :
dP=ω2
2µ0c|A⊥|2udS=ω2 2µ0c|A⊥|2r2dΩ
En réinjectant l’expression de A⊥, il vient :
dP=µ0p2
0
32π2cω4|ex,⊥|2dΩ
Si la polarisabilité est constante, cette puissance diffusée varie en ω4.
5) Le bleu, autour de 400 nm, est plus diffusé que le rouge, autour de 600 nm, d’un facteur
(600/400)4= 5
2 Exercice de diffusion : les montagnes au loin sont bleues...
1) La section efficace de diffusion est définie par le rapport de la puissance totale diffusée et de
l’amplitude du vecteur de Poynting incident. Le rapport entre puissance et vecteur de Poynting
s’exprime bien en unités de surface, d’où le terme de "section efficace".
Le vecteur de Poynting incident (valeur moyenne temporelle) est :
|Πinc|=0c
2|E0|2
La puissance totale diffusée Pdiff est l’intégrale sur les angles solides de dP(défini en 1.4). En
remarquant que |ex,⊥|2= (1 −sin2θcos2Φ), il vient :
Pdiff =8π
3
µ0p2
0
32π2cω4=µ0p2
0
12πcω4
en remarquant que p0=0α0E0, et en utilisant 0µ0c2= 1, on trouve la section efficace de
diffusion :
σdiff =Pdiff
|Πinc|=α2
0ω4
6πc4
2) Le libre parcours moyen lpm est par définition : lpm = 1/nσdiff où nest le nombre de particules
par unité de volume dans le milieu (ici l’atmosphère).
3) Le flux lumineux dans la direction de l’observateur décroît lors de la traversée de l’atmo-
sphère. Cette atténuation n’est pas due à de l’absorption mais à de la diffusion, c’est-à-dire
de "l’éparpillement" de la lumière au fur et à mesure de sa propagation. La luminance est
L0
B=LBexp(−D/lpm)
2

4) Le soleil éclaire le volume δV qui diffuse la lumière. Ce volume contient nδV molécules. On a
d’après la question 1.41:
dPd=nδV 0α2
0E2 0
32π2c3ω4dΩ
5) Par définition dLd=dPd
dΩS. Il vient donc :
dLd=ndy0α2
0E2 0
32π2c3ω4
6) Entre l’observateur et la chaîne de montagne, on a donc la luminance de l’atmosphère :
Ld=ZD
0
dLd=nD 0α2
0E2 0
32π2c3ω4
7) On a Lapp
B=L0
B+Ldet Lapp
N=Ld
8) Le contraste apparent est défini par :
Capp =Lapp
B−Lapp N
Lapp
B+Lapp N
On note K(ω) = nD α2
0ω4
6πc4. On peut écrire Ld=3
8π
0cE2
0
2K(ω). On peut écrire le contraste
apparent sous la forme :
Capp =exp[−K(ω)]
3K(ω)/2 + exp[−K(ω)]
Application numérique : le contraste est de l’ordre de 9%. La couleur des montagne est due à la
diffusion de l’atmosphère : on les voit bleues.
1Attention, il y a ici une petite erreur de raisonnement : on considère le rayonnement de chaque particule de
manière indépendante et sans prendre en compte les interférences entre les différentes particules ! Le résultat est
quand même juste car l’atmosphère n’est pas figée : on peut montrer que le fait que les molécules bougent dans
l’air conduit en moyenne à sommer les puissances diffusées par chaque molécule
3

400 450 500 550 600 650 700
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
longueur d’onde (nanomètres)
luminance/LB
LN
app
LB
app
Fig. 1 – à gauche : luminances apparentes en fonction de la longueur d’onde. Le bleu est beaucoup
plus présent dans le spectre que le jaune ou le rouge. À droite : vue dans le massif du Mont Blanc
4