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extrait du programme officiel
Cours 6ème –
LA DIVISION
Chapitre N3 – page 1
Cette partie du programme s’appuie principalement sur la résolution de problèmes. L’activité de recherche ne fait pas l’objet d’une rubrique
particulière puisque, constamment, elle doit sous-tendre l’ensemble des travaux numériques.
Outre leur intérêt propre, ces problèmes doivent permettre aux élèves, en continuité avec l’école élémentaire, d’associer à une situation
concrète un travail numérique et de mieux saisir le sens des opérations et des équations figurant au programme.
Les travaux numériques prennent appui sur la pratique du calcul exact ou approché, sous différentes formes : le calcul mental, le calcul à la
main (dans le cas de nombres courants et d’opérations techniquement simples), l’emploi d’une calculatrice.
Contenus
Compétences exigibles
Commentaires
Nombres entiers et
Multiplier et diviser un décimal par 10; 100; 1 000
La multiplication et la division par une puissance de dix sont
décimaux :
ou par 0,1; 0,01; 0,001
à relier à des problèmes d’échelle ou de changements
écriture et opérations
d’unités.
La division est une opération en cours d’acquisition en début
Calculer le quotient et le reste de la division
de collège. On la reliera aux problèmes d’encadrement d’un
euclidienne d’un nombre entier par un nombre
entier (ou d’un décimal) par des multiples d’un entier et on
entier d’un ou 2 chiffres.
entraînera les élèves à donner aussi bien l’approximation
Effectuer, dans des cas simples, la division
entière d’un quotient par excès que par défaut. L’objectif
décimale d’un nombre entier ou décimal par un
principal est l’acquisition du sens de l’opération, au travers
nombre entier.
d’une technique et de diverses utilisations.
Aucune compétence n’est exigible quant à la technique de la
division à la main de deux décimaux.
I QUOTIENT DE DEUX NOMBRES ENTIERS :
1. DEFINITION ET VOCABULAIRE :
Définition :
Le quotient de A par B est le nombre qui multiplié par
B donne A.
A : B = 2 signifie que 2×B = A
Exemple :
10 : 5 = 2 signifie 2×5 = 10
Vocabulaire :
on peut noter le quotient de deux façons
Dans l'écriture 21 = 3
7
21 est le numérateur
7 est le dénominateur
3 est le quotient
Dans l'écriture 21 : 7 = 3
21 est le dividende
7 est le diviseur
3 est le quotient
2. LA DIVISION EUCLIDIENNE :
Règle :
Effectuer une division euclidienne, c'est chercher deux
nombres entiers : le quotient et le reste.
Exemple :
dividende
diviseur
200
reste
60
4
7
Cette division signifie aussi que :
200 = 7×28+4 avec 4 < 7
26
quotient
Dividende = diviseur × quotient + reste
avec reste < diviseur
Règle :
3. QUOTIENT EXACT :
Lorsque le reste de la division euclidienne est égal à zéro, on dit que le quotient est exact.
Exemple :
203
63
0
7
29
29 est le quotient exact de 203 par 7. On a 203 : 7 = 29
C'est à dire 29 * 7 = 203
On dit alors que : • 203 est divisible par 7
• 7 est un diviseur de 203
• 203 est un multiple de 7
Cours 6ème –
LA DIVISION
Les critères de divisibilité :
Divisibilité…
… par 2 : Un nombre
… par 3 : Un nombre
… par 5 : Un nombre
… par 9 : Un nombre
Exemple :
Chapitre N3 – page 2
est
est
est
est
divisible
divisible
divisible
divisible
par
par
par
par
deux s'il est pair.
3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
5 s'il se termine par 5 ou 0.
9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
• 1521 est divisible par 3 car 1+5+2+1 = 9
• 558 est divisible par 9 car 5+5+8 = 18
II QUOTIENT APPROCHE :
1. TRONCATURE ET ARRONDI A L'UNITE :
Exemple 1 :
La partie entière (ou troncature à l'unité) du nombre 56,7 s'obtient en supprimant les
chiffres après la virgule. Sa partie entière est donc 56.
Exemple 2 :
L'arrondi à l'unité de 56,7 est l'entier le plus proche de ce nombre, c'est à dire 57.
Exemple 3 :
56
56,7
57
Le nombre 17,35 admet 17 à la fois comme troncature à l'unité et comme arrondi à l'unité.
Remarque :
•
•
•
•
•
163,5 et aussi proche de 163 que de 164 mais son arrondi à l'unité est 164.
L'arrondi à l'unité de 12,3 est 12
On dit que c'est une valeur approchée par défaut.
L'arrondi à l'unité de 127,9 est 128.
C'est une valeur approchée par excès.
2. QUOTIENT APPROCHE :
Exemple :
435
15
10
30
20
60
40
50
1
7
62,142857…
Cette division ne se "termine jamais". Son quotient n’est
pas un nombre décimal. On ne peut donner qu'une valeur
approchée du quotient.
62,142 est une valeur approchée tronquée au millième.
62,143 est une valeur approchée arrondie au millième.
III QUOTIENT D'UN NOMBRE DECIMAL PAR UN NOMBRE ENTIER :
Règle :
Pour diviser un nombre décimal par un nombre entier, on place la virgule
au quotient dès que l’on abaisse le chiffre des dixièmes du quotient.
Exemple :
1 9,2
32
0
16
1 ,2
19,2 : 16 = 1,2
IV DIVISIONS PARTICULIERES :
Règle :
Exemple :
Diviser par 10 ou 100 ou 1000 revient à multiplier par 0,1 ou 0,01 ou 0,001.
Diviser par 0,1 ou 0,01 ou 0,001 revient à multiplier par 10 ou 100 ou 1000.
45,8:10 = 45,8×0,1 = 4,58
7,3:1 000 = 7,3×0,001 = 0,0073
8,43:0,1 = 8,43×10 = 84,3
0,052:0,001 = 0,052×1 000 = 52