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Cours 6ème – LA DIVISION Chapitre N3 – page 1
extrait du programme officiel
Cette partie du programme s’appuie principalement sur la résolution de problèmes. L’activité de recherche ne fait pas l’objet d’une rubrique
particulière puisque, constamment, elle doit sous-tendre l’ensemble des travaux numériques.
Outre leur intérêt propre, ces problèmes doivent permettre aux élèves, en continuité avec l’école élémentaire, d’associer à une situation
concrète un travail numérique et de mieux saisir le sens des opérations et des équations figurant au programme.
Les travaux numériques prennent appui sur la pratique du calcul exact ou approché, sous différentes formes : le calcul mental, le calcul à la
main (dans le cas de nombres courants et d’opérations techniquement simples), l’emploi d’une calculatrice.
Contenus Compétences exigibles Commentaires
Nombres entiers et
décimaux :
écriture et opérations
Multiplier et diviser un décimal par 10; 100; 1 000
ou par 0,1; 0,01; 0,001 La multiplication et la division par une puissance de dix sont à relier à des problèmes d’échelle ou de changements
d’unités.
Calculer le quotient et le reste de la division
euclidienne d’un nombre entier par un nombre
entier d’un ou 2 chiffres.
Effectuer, dans des cas simples, la division
décimale d’un nombre entier ou décimal par un
nombre entier.
La division est une opération en cours d’acquisition en début
de collège. On la reliera aux problèmes d’encadrement d’un
entier (ou d’un décimal) par des multiples d’un entier et on
entraînera les élèves à donner aussi bien l’approximation
entière d’un quotient par excès que par défaut. L’objectif
principal est l’acquisition du sens de l’opération, au travers
d’une technique et de diverses utilisations.
Aucune compétence n’est exigible quant à la technique de la
division à la main de deux décimaux.
I QUOTIENT DE DEUX NOMBRES ENTIERS :
1. DEFINITION ET VOCABULAIRE :
Définition : Le quotient de A par B est le nombre qui multiplié par
B donne A.
A : B = 2 signifie que 2×B = A
 Exemple : 10 : 5 = 2 signifie 2×5 = 10
Vocabulaire :
on peut noter le quotient de deux façons
Dans l'écriture 21 : 7 = 3
21 est le dividende
7 est le diviseur
3 est le quotient
Dans l'écriture 21
7 = 3
21 est le numérateur
7 est le dénominateur
3 est le quotient
2. LA DIVISION EUCLIDIENNE :
Règle : Effectuer une division euclidienne, c'est chercher deux
nombres entiers : le quotient et le reste.
 Exemple :
dividende diviseur
200
60
4
7
26
Cette division signifie aussi que :
200 = 7×28+4 avec 4 < 7
reste quotient
Règle : Dividende = diviseur
×
quotient + reste
avec reste < diviseur
3. QUOTIENT EXACT :
Lorsque le reste de la division euclidienne est égal à zéro, on dit que le quotient est exact.
 Exemple : 29 est le quotient exact de 203 par 7. On a 203 : 7 = 29
C'est à dire 29 * 7 = 203
2
63
7
29
03
0 On dit alors que : • 203 est divisible par 7
• 7 est un diviseur de 203
• 203 est un multiple de 7

Cours 6ème – LA DIVISION Chapitre N3 – page 2
 Les critères de divisibilité :
Divisibilité…
… par 2 : Un nombre est divisible par deux s'il est pair.
… par 3 : Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
… par 5 : Un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 5 ou 0.
… par 9 : Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
 Exemple : • 1521 est divisible par 3 car 1+5+2+1 = 9
• 558 est divisible par 9 car 5+5+8 = 18
II QUOTIENT APPROCHE :
1. TRONCATURE ET ARRONDI A L'UNITE :
 Exemple 1 : La partie entière (ou troncature à l'unité) du nombre 56,7 s'obtient en supprimant les
chiffres après la virgule. Sa partie entière est donc 56.
 Exemple 2 : L'arrondi à l'unité de 56,7 est l'entier le plus proche de ce nombre, c'est à dire 57.
56 56,7 57
 Exemple 3 : Le nombre 17,35 admet 17 à la fois comme troncature à l'unité et comme arrondi à l'unité.
 Remarque : • 163,5 et aussi proche de 163 que de 164 mais son arrondi à l'unité est 164.
• L'arrondi à l'unité de 12,3 est 12
• On dit que c'est une valeur approchée par défaut.
• L'arrondi à l'unité de 127,9 est 128.
• C'est une valeur approchée par excès.
2. QUOTIENT APPROCHE :
 Exemple : 4 3 5 7
1 5 62,142857…
1 0
3 0
2 0
6 0
4 0
5 0
1
Cette division ne se "termine jamais". Son quotient n’est
pas un nombre décimal. On ne peut donner qu'une valeur
approchée du quotient.
62,142 est une valeur approchée tronquée au millième.
62,143 est une valeur approchée arrondie au millième.
III QUOTIENT D'UN NOMBRE DECIMAL PAR UN NOMBRE ENTIER :
Règle : Pour diviser un nombre décimal par un nombre entier, on place la virgule
au quotient dès que l’on abaisse le chiffre des dixièmes du quotient.
 Exemple :
19,2 : 16 = 1,2
1 9,2
3 2
0
16
1 ,2
IV DIVISIONS PARTICULIERES :
Règle : Diviser par 10 ou 100 ou 1000 revient à multiplier par 0,1 ou 0,01 ou 0,001.
Diviser par 0,1 ou 0,01 ou 0,001 revient à multiplier par 10 ou 100 ou 1000.
 Exemple : 45,8:10 = 45,8×0,1 = 4,58 8,43:0,1 = 8,43×10 = 84,3
7,3:1 000 = 7,3×0,001 = 0,0073 0,052:0,001 = 0,052×1 000 = 52